【文档说明】河北省冀州中学2021届高三上学期第二次月考数学试题 【精准解析】.doc，共(20)页，1.708 MB，由管理员店铺上传

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-1-2020-2021学年冀州中学上学期第二次月考高三年级数学试题考试时间：115分钟考试分数：150分一．单项选择题：本题共8小题.每小题5分.共40分．在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|log1}Ax

x=.集合{|||2}BxNx=.则AB=（）A.{|01}xxB.{|02}xxC.{|02}xxD.{0,1}【答案】B【解析】【分析】分别求解集合,AB，再求AB.【详解】2l

og102xx，02Axx=，0,1B=，02ABxx=.故选：B2.设()fx是可导函数，且000(2)()lim2xfxxfxx→−−=−，则'0()fx=（）A.2B.1−C.1D.2−

【答案】C【解析】【分析】由导数的定义计算．【详解】000000(2)()(2)()lim2lim22xxfxxfxfxxfxxx→→−−−−=−=−−，∴000(2)()lim12xfxxfxx→−−=−，∴0000000()()(2)()limli()m12xxfx

xfxfxxfxxxxf→→+−−−==−=．故选：C．【点睛】本题考查导数的定义，注意定义中0000()()()limxfxxfxfxx→+−=，分子分母都是x的增量x，两者一样．根据极限的性质000000()()()()li

mlimxxfxxfxfxmxfxxmx→→+−+−=，（m是常数且0m）．-2-3.函数sin2yx=在,33f处的切线斜率为（）A.1B.1−C.3−D.3【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，然后代入切点的横坐标，即可求得本题答

案.【详解】由sin2yx=，得2cos2yx=，所以切线斜率2cos213k==−.故选：B【点睛】本题主要考查在曲线上一点的切线斜率，属基础题.4.定义在R上的函数()fx满足()()0fxfx-+=,(4)()fxfx+=且()

2,0x−时,1()25xfx=+,则2(log20)f=()A.1−B.45−C.1D.45【答案】A【解析】【分析】由题意知,()fx是奇函数且周期为4,从而可得224(log20)(log)5ff=−,即可进行求解.【详解】解:()()0fxfx−+=在xR上恒

成立,()fx为奇函数(4)()fxfx+=()fx的周期为422222544(log20)(log204)(log)(log)(log)455fffff=−==−=−14145()24log2,05−即24log524141log2

15555f=+=+=224(log20)(log)15ff=−=−故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的周期性,考查了对数的运算性质.本题的难点在于根据奇偶性和周期性将所求自变量的值,转化为()2,

0−.一般地,若已知()()fxafx+=,-3-则周期Ta=;若已知()()fxafxb+=+,则Tba=−;若已知()()fxafbx−=−,则说明函数的对称轴为2bax−=.5.若，均为锐角，2

5sin5=，()3sin5+=，则cos=（）A.255B.2525C.255或2525D.255−【答案】B【解析】【分析】首先判断+的范围，再表示为()coscos=+−，利用两角差的余弦公式求解.【详解】因为，均为锐角，

若+是锐角，那么+，则()sinsin+，这与已知矛盾，所以+是钝角，则()()24cos1sin5+=−−+=−25cos1sin5=−=，()()()coscoscoscossinsin

=+−=+++4532525555525=−+=.故选：B【点睛】本题考查已知三角函数求值，重点考查角的转化，属于基础题型，本题的易错点是忽略判断+的范围，而造成增根情况.6.数列{}na中.若11a=.1111nnaa+=−+.则2016a=（

）A.-1B.12−C.12D.1【答案】B【解析】【分析】首先判断数列的周期，再求2016a.-4-【详解】1111,11nnaaa+==−+，2111112a=−=−+，321111aa=−=+，数列na是周期2T=的数列，2016

212aa==−.故选：B7.若实数x，y，z满足23loglog2zxy==，则x，y，z的大小关系是()A.x<y<zB.x<z<yC.z<x<yD.z<y<x【答案】C【解析】【分析】令23loglog2(0)zxykk===>，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【

详解】令23loglog2(0)zxykk===>，则2,3kkxy==，因为0k，由2,3xxyy==的图象可得：32kk，所以yx；因为2logyx=与2xy=互为反函数，图象关于yx=对称，因为2

log2(0)zxkk==>，所以zx<，综上所述：zxy.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.8.知函数()()2sinfxx=+（0，0）满

足()()fxfx−=，其图象与直线2y=的某两个交点横坐标为1x，2x，且12xx−的最小值为．现给出了以下结论．①2=且2=②在0,4上()fx单调递减且02f=-5-③在

,02−上()fx单调递增且16f=④,04是()fx的对称中心则以上正确的结论编号为（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C【解析】【分析】根据正弦型函数的周期公式、奇偶性、单调性、对称性逐一判断即可.【详解

】根据()()2sinfxx=+及条件12xx−的最小值为，可知函数()fx的最大值为2，()fx的最小正周期为，∴2T==，因为0，所以2=，因为()()fxfx−=，所以函数()fx是偶函数，而0

，所以2=．于是序号①正确，进而知()2sin22cos22fxxx=+=；对于序号②：∵2202fcos==−，于是序号②错误；对于序号③，当且仅当取222()kxkkZ−+时，解得()2kxkK

Z−+，即,()2kkkZ−+为()fx的单调增区间，显然)2,02(,kkkZ−+−，又2cos163f==，故序号③正确；对于序号④，

令cos20x=，解得()24mxmZ=+，即,0()24mmZ+为函数2cos2yx=的对称中心，显然,04是()fx的其中一个对称中心，故④序号正确，综上知正确的序号为①③④．故

选：C【点睛】本题以三角函数函数为载体，主要考查三角函数图象及性质概念理解，同时考查了-6-逻辑推理、直观想象转化能力，试题体现了理性思维、由具体到抽象转化，追寻知识背后的延伸结论，这是解题的基本功展现，试题

难度：中．二．多选题：本题共4小题.每小题5分；共20分．在每个小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得3分.有选错的得0分．9.在ABC中，D在线段AB上，且5,3ADBD==若52,cos5CBCDCDB==−，则（）A.3sin10

CDB=B.ABC的面积为8C.ABC的周长为845+D.ABC为钝角三角形【答案】BCD【解析】【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A；设CDa=,则2BCa=,在BCD△中,利用余弦定理求得a,即可求得DBCS△,进而求得ABCS,即可判断选项B；在ADC中,利用余弦

定理求得AC,进而判断选项C；由BC为最大边,利用余弦定理求得cosC,即可判断选项D.【详解】因为5cos5CDB=−,所以225sin1cos5CDBCDB=−=,故A错误；设CDa=,则2BCa=,在BCD△中,2222cosBCCDBDBDCDCDB=+−,解得5a=,所以1

125sin353225DBCSBDCDCDB===,所以3583ABCDBCSS+==,故B正确；因为ADCCDB=−,所以()5coscoscos5ADCCDBCDB=−=−=,在ADC中,2222co

sACADCDADDCADC=+−,解得25AC=,所以()352525845ABCCABACBC=++=+++=+,故C正确；因为8AB=为最大边,所以2223cos025BCACABCBCAC+−==−,即C为钝角,所以ABC为钝角三角形,故D正确.-7

-故选:BCD【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形状.10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则

yx=称为高斯函数，例如：3.54−=−，2.12=.已知函数21()122xxfx=−+，则关于函数()()gxfx=的叙述中正确的是（）A.()gx是偶函数B.()fx是奇函数C.()fx在R上是增函数D.()gx

的值域是1,0,1−【答案】BC【解析】【分析】由()()11gg−判断A；由奇函数的定义证明B；把()fx的解析式变形，由2xy=的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出()fx的范围，进一步求得()gx的值域判断D．【详解】()()21110122gf==

−=+，()()1121111122gf−−−=−=−=−+，()()11gg−，则()gx不是偶函数，故A错误；()21122xxfx=−+的定义域为R，()()

()2222212111012121212212xxxxxxxxxxxxfxfx−−−−+−+=+−=+−=−=+++++，()fx为奇函数，故B正确；()21121111122122212xxxxxfx+−=−=−=−++

+，又2xy=在R上单调递增，()11212xfx=−+在R上是增函数，故C正确；-8-20x，121x+，则10112x+，可得111122122x−−+，即()1122fx−．()()

1,0gxfx=−，故D错误．故选：BC．【点睛】关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数()()gxfx=，然后才会对函数()fx变形，并作出判断.11.已知数列na

的前n项和为nS，且1ap=，122nnSSp−−=（2n，p为非零常数），则下列结论正确的是（）A.na是等比数列B.当1p=时，4158S=C.当12p=时，mnmnaaa+=D.3856aaaa+=+【答案】ABC【解析】【分析】由122(2)nnSS

pn−−=和等比数列的定义，判断出A正确；利用等比数列的求和公式判断B正确；利用等比数列的通项公式计算得出C正确，D不正确．【详解】由122(2)nnSSpn−−=，得22pa=.3n时，1222nnSSp−−−=，相减可得120nnaa−−=，又2112aa=，数列

na为首项为p，公比为12的等比数列，故A正确；由A可得1p=时，44111521812S−==−，故B正确；由A可得mnmnaaa+=等价为2121122mnmnpp++=，可得12p=，故C正确；38271133||||2

2128aapp+=+=，56451112||||22128aapp+=+=，则3856aaaa++，即D不正确；-9-故选：ABC.【点睛】方法点睛：由数列前n项和求通项公式时，一般根据11,2,

1nnnSSnaan−−==求解，考查学生的计算能力.12.已知直线2yx=−+分别与函数xye=和lnyx=的图象交于点()()1122,,,AxyBxy，则下列结论正确的是()A.122xx+=B.122xxe

ee+C.1221lnln0xxxx+D.122exx【答案】ABC【解析】【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,AxyBxy的中点坐标为()1,1，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.【详解】函数xye=与lnyx

=互为反函数，则xye=与lnyx=的图象关于yx=对称，将2yx=−+与yx=联立，则1,1xy==，由直线2yx=−+分别与函数xye=和lnyx=的图象交于点()()1122,,,AxyBxy，作出函

数图像：-10-则()()1122,,,AxyBxy的中点坐标为()1,1，对于A，由1212xx+=，解得122xx+=，故A正确；对于B，12121222222xxxxxxeeeeeee+=+==，因为12x

x，即等号不成立，所以122xxeee+，故B正确；对于C，将2yx=−+与xye=联立可得2xxe−+=，即20xex+−=，设()2xfxex=+−，且函数为单调递增函数，()010210f=+−=−，112211320222fee=+

−=−，故函数的零点在10,2上，即1102x，由122xx+=，则212x，122112211lnlnlnlnxxxxxxxx+=−()1222122lnlnln0xxxxxxx−=−，故C正

确；对于D，由12122xxxx+，解得121xx，由于12xx，则121xx，故D错误；故选：ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.三．填空题：本题共4小题.每小题5分.共20分．13.已知

集合2,0Myyxx==，()2lg2Nxyxx==−，则MN=___________【答案】()0,2【解析】【分析】利用交集的定义和对数函数的性质求解．【详解】解：集合2,0Myyxx==-11-0Myy=，2

2|(2)|20|02Nxylgxxxxxxx==−=−=，(0,2)MN=．故答案为：(0,2)．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．14.已知ABC中的内角为,,ABC，重心为G，若2sin3sin3sin0AGABGBCGC

++=，则cosB=__________.【答案】112【解析】【详解】试题分析：设,,abc为角,,ABC所对的边，由正弦定理得2330aGAbGBcGC++=，则2333()aGAbGBcGCcGAGB+=−=−

−−即()()23330acGAbcGB−+−=，又因为,GAGB不共线，则23=0ac−,33=0bc−,即233,abc==所以33,23bbac==，2221cos212acbBac+−==.考点：向量及解三角形.

15.若函数()3sin236fxx=−+，0,2x的图象与直线ym=恰有两个不同交点，则m的取值范围是______.【答案】9,62【解析】【分析】根据题意，画出()fx的图象，数形结合，即可求得参数的取值范围.【详解】因为0,2x

，所以52,666x−−，所以1sin2,162x−−，所以3(),62fx，且922f=，-12-作出函数的图象，如图：由题意结合函数图象可知9,62m

.故答案为：9,62.【点睛】本题考查利用数形结合由图象交点个数求参数范围，涉及正弦型函数图象的绘制，属综合基础题.16.各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，11a=，337Sa=，则使12764n

S成立的n的最小值为_____________.【答案】8【解析】【分析】由条件解出12q=，然后求出nS，然后解出不等式即可【详解】设等比数列na的公比为q因为11a=，337Sa=，所以2217qqq

++=解得12q=或13−（舍）所以11121211212nnnS−==−−所以由12764nS可得7n，所以使12764nS成立的n的最小值为8-13-故

答案为：8【点睛】本题考查的是等比数列基本量的计算，较简单.四．解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．17.已知等差数列na的公差0,d它的前n项和为nS，若57

0,S=且2722,,aaa成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列1nS的前n项和为nT，求证：38nT.【答案】（1）42nan=+；（2）见解析.【解析】【分析】（1）等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d和前n项和公式Sn＝＝na1＋中，共涉及

五个量a1，an，d，n，Sn，这五个量中知其中三个就能求另外两个，解题中要注意方程思想的运用．（2）利用，通过裂项相消法即可【详解】（1）由题意得116)21151070(()(21)adadadad++==++解

得11614{{(40aadd====或舍去）42nan=+（2）3111()8412nTnn=−+++38nT考点：数列通项及求和的简单应用18.已知函数2()sin(2)sin(2)2cos166fxxxxa=++−++−.（1）若()fx的最小值是2，求a；

（2）把函数()yfx=图像向右平移6个单位长度，得到函数()ygx=图像，若3a=−时，-14-求使()0gx…成立的x的取值集合.【答案】（1）4a=（2）5,412xkxkkZ++剟【解析】【分析】（1）化简()fx，求

出最小值，即可求解；（2）根据平移关系求出()ygx=，再解关于三角不等式，即可求解.【详解】（1）∵()3sin2cos22sin(2)6fxxxaxa=++=++∴min()22fxa=−+=，∴4a=（2）∵()()2sin(2)366gxf

xx=−=−−由()0gx…知3sin(2)62x−…，∴2222,363kxkk+−+Z剟解得，5,412kxkk++Z剟∴满足()0gx…的x取值的集合为5,412xk

xkk++Z剟.【点睛】本题考查三角函数的化简、性质；考查三角函数的平移关系以及解三角不等式，属于中档题.19.已知ABC中23ACB=，角,,ABC的对边分别为,,abc．（1）若,

,abc依次成等差数列，且公差为2，求c的值；（2）若ABC的外接圆面积为，求ABC周长的最大值．【答案】（1）7c=；（2）23+.【解析】【分析】（1）由,,abc成等差数列，且公差为2，可得2bacb−=−=，利用余弦定理可构造关于c的方程，解方程求得结果；（2）设B

=，利用外接圆面积为，求得外接圆的半径R．根据正弦定理，利用表示出三边，将周长表示为关于的函数()f，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.-15-【详解】（1）,,abc依次成等差数列，且公差为22bacb−=−=2bc=−，4ac=−23ACB=，由余弦定理

得：()()()()2222224221cos322242cccabcabcc−+−−+−===−−−整理得：29140cc−+=，解得：7c=或2c=又40ac=−，则4c7c=（2）设B=，外接圆的半径为R，则2R=，解得：1R=由正弦定理可得：

22sinsinsinabcRABC====22sinsinsin33bac===−可得：2sinb=，2sin3a=−，3c=ABC∴的周长()2sin2sin33fabc=++=+

−+2sin2sincos2cossin3sin3cos32sin3333=+−+=++=++又πθ0,3骣琪Î琪桫2333+当32+=，即：6=时，()f取得最大值23+【

点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.如图，在平面四边形ABCD，已知1BC=，3cos5BCD=−.-16-（1）若AC平分BCD

，且2AB=，求AC的长；（2）若45CBD=，求CD的长.【答案】（1）5（2）5【解析】【分析】（1）由AC平分BCD，得出3cos5BCD=−，进而得出5cos5ACB=，再由余弦定理，即可得出AC的长；（2）根据三角恒等变换

的公式，求得2sin10CDB=，再由正弦定理得出CD的长.【详解】（1）若AC平分BCD，则22BCDACBACD==23cos2cos15BCDACB=−=−5cos0,cos5ACBACB=由余弦定理2222cosABBCACBCACACB=+−得22530

5ACAC−−=解得5AC=或355AC=−（舍）5AC=（2）234cos,sin1cos55BCDBCDBCD=−=−=又45CBD=()()sinsin18045sin45CDBBCDBCD=−−=+22(sincos)2

10=+=BCDBCD-17-在BCD中，由正弦定理sinsinBCCDCDBCBD=可得sin5sinBCCBDCDCDB==即5CD=【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.21.已知数列{}na

中，*111,31()nnaaanN+==+.（1）证明数列1{}2na+是等比数列并求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}nb的通项公式*(31),2nnnnbnN−=，数列{}nc满足*()nnnbcnNa=，记数列

{}nc的前n项和为nT.若不等式1(1)2nnnnT−−+对任意*nN恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；*31,2nnanN−=；（2）(2,3)−.【解析】【分析】（1）推导出111113()22nnaa++=+，由此能证明数列112na+是以3

为公比，以32为首项的等比数列，从而112na+的通项，由此能求出{}na的通项公式．（2）由（1）可得12−=nnnc，利用错位相减法求和，再对n分奇、偶两种情况分别求出参数的取值范围；【详解】解：（1）因

为*111,31()nnaaanN+==+，所以1113()22nnaa++=+.所以112312nnaa++=+，且11322a+=.所以数列112na+是以32为首项，3为公比的等比数列.因此11333222nnna−+==，从而*

31,2nnanN−=.-18-（2）由（1）得*1(31)2()3122nnnnnnnnbncnNa−−===−，所以012111111232222nnTn−=++++……①，1231

111112322222nnTn=++++……②，由①-②得0211111112122222222nnnnnTn−+=++++−=−，所以1242nnnT−+=−.因为不等式1(1)2nnnnT−−+对任意*nN恒成立，所以当n为偶数时，1242n−−，因为

2n，所以3；当n为奇数时，1242n−−−，因为1n，所以2−；综上：实数的取值范围是(2,3)−.【点睛】本题考查待定系数法求数列的通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.22.已知函数()()sincosfxxxaxaR=+−.（Ⅰ）当1a=时，求()fx在,42

−上的最值；（Ⅱ）若对一切,0x−，不等式()1fx≤恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）最大值1，最小值12−；（Ⅱ）2(,]−.【解析】【分析】（Ⅰ）当1a=时，求

得函数的导数()2sin()14fxx=−−−，得到函数的单调性和最值，即可求解；（Ⅱ）由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值，结合导数对a分类讨论求，最后结合函数的单调性和性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）由函数()()sincosfxxxaxaR=+−，

则()cossinfxxxa=−−，当1a=时，可得()2sin()14fxx=−−−令()0fx，即2sin()42x−−，解得04x−；-19-令()0fx，即2sin()42x−−，解得02x；所以()fx在[,0)4−递增，在(0,]2x递减，

所以max()(0)1fxf==，又(),()144224ff−==−，所以min()()122fxf==−，所以()fx在,42−上的最大值为1，最小值为12−.（Ⅱ）由函数()()sincosfxxxax

aR=+−，则()11fa−=−+，解得2a，又由()2sin()4fxxa=−−−，因为0x−，则5444x−−−，可得21sin()42x−−，所以2sin()[1,2]4x−−−，（i）当1a−时，()2sin()04fxxa=−−−，所以(

)fx在[,0]−递增，所以()(0)1fxf=恒成立；（ii）当21a−时，当4x−−时，()fx单调递增；当04x−时，()fx单调递减，所以()10fa−=−−，()204fa

−=−，(0)10fa=−，所以(,)4−−，使得()0f=，所以当x−时，()0fx；当0x是，()0fx，所以()fx在[,)−单调递减，在(,0]单调递增，又

因为()11,(0)11faf−=−+=，所以()1fx，所以2a，即实数a的取值范围是2(,]−.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，以及三角函数的应用，着重考查了转化与化归

思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．-20-