河北省冀州中学2021届高三上学期第二次月考数学试题 【精准解析】

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【文档说明】河北省冀州中学2021届高三上学期第二次月考数学试题 【精准解析】.doc,共(20)页,1.708 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

-1-2020-2021学年冀州中学上学期第二次月考高三年级数学试题考试时间:115分钟考试分数:150分一.单项选择题:本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|log1}Axx=.集合{|||2}BxNx=.

则AB=()A.{|01}xxB.{|02}xxC.{|02}xxD.{0,1}【答案】B【解析】【分析】分别求解集合,AB,再求AB.【详解】2log102xx,02Axx=,0,1B=,02ABxx=.故选

:B2.设()fx是可导函数,且000(2)()lim2xfxxfxx→−−=−,则'0()fx=()A.2B.1−C.1D.2−【答案】C【解析】【分析】由导数的定义计算.【详解】000000(2)()(2)(

)lim2lim22xxfxxfxfxxfxxx→→−−−−=−=−−,∴000(2)()lim12xfxxfxx→−−=−,∴0000000()()(2)()limli()m12xxfxxfxfxxfxxxxf→→+−−

−==−=.故选:C.【点睛】本题考查导数的定义,注意定义中0000()()()limxfxxfxfxx→+−=,分子分母都是x的增量x,两者一样.根据极限的性质000000()()(

)()limlimxxfxxfxfxmxfxxmx→→+−+−=,(m是常数且0m).-2-3.函数sin2yx=在,33f处的切线斜率为()A.1B.1−C.3−D.3【

答案】B【解析】【分析】先对函数求导,然后代入切点的横坐标,即可求得本题答案.【详解】由sin2yx=,得2cos2yx=,所以切线斜率2cos213k==−.故选:B【点睛】本题主

要考查在曲线上一点的切线斜率,属基础题.4.定义在R上的函数()fx满足()()0fxfx-+=,(4)()fxfx+=且()2,0x−时,1()25xfx=+,则2(log20)f=()A.1−B.45−C.1D.45【答案】A【解析】【分析】由题意知,()f

x是奇函数且周期为4,从而可得224(log20)(log)5ff=−,即可进行求解.【详解】解:()()0fxfx−+=在xR上恒成立,()fx为奇函数(4)()fxfx+=()fx的周期为4

22222544(log20)(log204)(log)(log)(log)455fffff=−==−=−14145()24log2,05−即24log524141log215555f=+=+=224(log

20)(log)15ff=−=−故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的周期性,考查了对数的运算性质.本题的难点在于根据奇偶性和周期性将所求自变量的值,转化为()2,0−.一般地,若已知()()fxafx+=,-3-则周期Ta=;若已知()()fxa

fxb+=+,则Tba=−;若已知()()fxafbx−=−,则说明函数的对称轴为2bax−=.5.若,均为锐角,25sin5=,()3sin5+=,则cos=()A.255B.2525C.255或2525D.255−【答案】B【解析】【分析

】首先判断+的范围,再表示为()coscos=+−,利用两角差的余弦公式求解.【详解】因为,均为锐角,若+是锐角,那么+,则()sinsin+,这与已知矛盾,所以+是钝角,则()()24cos1sin5+=−−+=−25cos1sin5

=−=,()()()coscoscoscossinsin=+−=+++4532525555525=−+=.故选:B【点睛】本题考查已知三角函数求值,重点考查角的转化,属于基础题型,本题的易错点是忽略判断+的范围,

而造成增根情况.6.数列{}na中.若11a=.1111nnaa+=−+.则2016a=()A.-1B.12−C.12D.1【答案】B【解析】【分析】首先判断数列的周期,再求2016a.-4-【详解】1111,11nnaaa+==−+,2111112a=−=−+,321111aa=−=+,

数列na是周期2T=的数列,2016212aa==−.故选:B7.若实数x,y,z满足23loglog2zxy==,则x,y,z的大小关系是()A.x<y<zB.x<z<yC.z<x<yD.z<y<x【答案】C【解析】【分析】令23loglog2(0)zxy

kk===>,再利用对数函数与指数函数的图象,可得答案.【详解】令23loglog2(0)zxykk===>,则2,3kkxy==,因为0k,由2,3xxyy==的图象可得:32kk,所以yx;因为2logyx=与2xy=互为反函数,图象关于yx=对称,因

为2log2(0)zxkk==>,所以zx<,综上所述:zxy.故选:C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小,考查数形结合思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,求解时注意借助函数的图象进行研究.8.知函数()()2sinfxx=+(0,0)满足()()fxfx

−=,其图象与直线2y=的某两个交点横坐标为1x,2x,且12xx−的最小值为.现给出了以下结论.①2=且2=②在0,4上()fx单调递减且02f=-5-③在,02

−上()fx单调递增且16f=④,04是()fx的对称中心则以上正确的结论编号为()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C【解析】【分析】根据正弦型函数的周期公式、奇偶性、单调性、对称性逐

一判断即可.【详解】根据()()2sinfxx=+及条件12xx−的最小值为,可知函数()fx的最大值为2,()fx的最小正周期为,∴2T==,因为0,所以2=,因为()()fxfx−=,所以函数()fx是偶函数,而0,所以2

=.于是序号①正确,进而知()2sin22cos22fxxx=+=;对于序号②:∵2202fcos==−,于是序号②错误;对于序号③,当且仅当取222()kxkkZ−+时,解得()2kxkKZ−+

,即,()2kkkZ−+为()fx的单调增区间,显然)2,02(,kkkZ−+−,又2cos163f==,故序号③正确;对于序号④,令cos2

0x=,解得()24mxmZ=+,即,0()24mmZ+为函数2cos2yx=的对称中心,显然,04是()fx的其中一个对称中心,故④序号正确,综上知正确的序号为①③④.故选:C【点睛】本题以三角函数函数为载体,主要考查三角函数图象及性质概念理解,同

时考查了-6-逻辑推理、直观想象转化能力,试题体现了理性思维、由具体到抽象转化,追寻知识背后的延伸结论,这是解题的基本功展现,试题难度:中.二.多选题:本题共4小题.每小题5分;共20分.在每个小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得3分

.有选错的得0分.9.在ABC中,D在线段AB上,且5,3ADBD==若52,cos5CBCDCDB==−,则()A.3sin10CDB=B.ABC的面积为8C.ABC的周长为845+D.ABC为

钝角三角形【答案】BCD【解析】【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A;设CDa=,则2BCa=,在BCD△中,利用余弦定理求得a,即可求得DBCS△,进而求得ABCS,即可判断选项B;在ADC中,利用余弦定理求得AC,进而判断选项C;由BC为最大边

,利用余弦定理求得cosC,即可判断选项D.【详解】因为5cos5CDB=−,所以225sin1cos5CDBCDB=−=,故A错误;设CDa=,则2BCa=,在BCD△中,2222cosBCCDBDB

DCDCDB=+−,解得5a=,所以1125sin353225DBCSBDCDCDB===,所以3583ABCDBCSS+==,故B正确;因为ADCCDB=−,所以()5coscoscos5ADCCDBCDB=−=−=,在ADC中,2222c

osACADCDADDCADC=+−,解得25AC=,所以()352525845ABCCABACBC=++=+++=+,故C正确;因为8AB=为最大边,所以2223cos025BCACABCBCAC+−==−,即C为钝角,所以ABC为钝角三角形,故D正确.-7-故选:BCD【点睛

】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形状.10.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设xR,用x表示不超过x的最大整数,则

yx=称为高斯函数,例如:3.54−=−,2.12=.已知函数21()122xxfx=−+,则关于函数()()gxfx=的叙述中正确的是()A.()gx是偶函数B.()fx是奇函数C.()fx在R上是增函数D.()gx的值域是1,0,1−【答案】BC【解析】【分析】由()()

11gg−判断A;由奇函数的定义证明B;把()fx的解析式变形,由2xy=的单调性结合复合函数的单调性判断C正确;求出()fx的范围,进一步求得()gx的值域判断D.【详解】()()21110122gf

==−=+,()()1121111122gf−−−=−=−=−+,()()11gg−,则()gx不是偶函数,故A错误;()21122xxfx=−+的定义域为R,()()()2222212111012121212212xxxxxxxxxxxxfxfx−−−

−+−+=+−=+−=−=+++++,()fx为奇函数,故B正确;()21121111122122212xxxxxfx+−=−=−=−+++,又2xy=在R上单调递增,()11212xfx=−+在R上是增函数,

故C正确;-8-20x,121x+,则10112x+,可得111122122x−−+,即()1122fx−.()()1,0gxfx=−,故D错误.故选:BC.【点睛】关键点点睛:本题是一道以数学文化为背景,判断函数性质的习题,属于中档

题型,本题的关键是理解函数()()gxfx=,然后才会对函数()fx变形,并作出判断.11.已知数列na的前n项和为nS,且1ap=,122nnSSp−−=(2n,p为非零常数),则下列结论正确的是()A.na是等比数列B.当

1p=时,4158S=C.当12p=时,mnmnaaa+=D.3856aaaa+=+【答案】ABC【解析】【分析】由122(2)nnSSpn−−=和等比数列的定义,判断出A正确;利用等比数列的求和公式判断B正确;利用等比数列的通项公式计算得出C

正确,D不正确.【详解】由122(2)nnSSpn−−=,得22pa=.3n时,1222nnSSp−−−=,相减可得120nnaa−−=,又2112aa=,数列na为首项为p,公比为12的等比数列,故A正确;由A可得1p=时,44111521812S−==

−,故B正确;由A可得mnmnaaa+=等价为2121122mnmnpp++=,可得12p=,故C正确;38271133||||22128aapp+=+=,56451112||||22128aapp+=+=,则3856aaaa++,

即D不正确;-9-故选:ABC.【点睛】方法点睛:由数列前n项和求通项公式时,一般根据11,2,1nnnSSnaan−−==求解,考查学生的计算能力.12.已知直线2yx=−+分别与函数xye=和lnyx=的图象交于点()()1122,,,AxyBxy,则下列结论正确的是()A.122x

x+=B.122xxeee+C.1221lnln0xxxx+D.122exx【答案】ABC【解析】【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,AxyBxy的中点坐标为()1,1,从而可判断A;利用基本不等式可判断B、D;利用零点存在性定理以及对数的

运算性质可判断C.【详解】函数xye=与lnyx=互为反函数,则xye=与lnyx=的图象关于yx=对称,将2yx=−+与yx=联立,则1,1xy==,由直线2yx=−+分别与函数xye=和lnyx=的图象交于点()()1122,,,AxyBxy,作出

函数图像:-10-则()()1122,,,AxyBxy的中点坐标为()1,1,对于A,由1212xx+=,解得122xx+=,故A正确;对于B,12121222222xxxxxxeeeeeee+=+==,因为12xx,即等号不成立,所以122xxeee+,故B正

确;对于C,将2yx=−+与xye=联立可得2xxe−+=,即20xex+−=,设()2xfxex=+−,且函数为单调递增函数,()010210f=+−=−,112211320222fee=+−=−,故函数

的零点在10,2上,即1102x,由122xx+=,则212x,122112211lnlnlnlnxxxxxxxx+=−()1222122lnlnln0xxxxxxx−=−,故C正确;

对于D,由12122xxxx+,解得121xx,由于12xx,则121xx,故D错误;故选:ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质,考查了数形

结合的思想,属于难题.三.填空题:本题共4小题.每小题5分.共20分.13.已知集合2,0Myyxx==,()2lg2Nxyxx==−,则MN=___________【答案】()0,2【解析】【分析】利用交集的定义和对数函数的性质求解.【详解】解:集合2,0Myyxx==-

11-0Myy=,22|(2)|20|02Nxylgxxxxxxx==−=−=,(0,2)MN=.故答案为:(0,2).【点睛】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的合理运用.14.已知ABC中的内角为,,A

BC,重心为G,若2sin3sin3sin0AGABGBCGC++=,则cosB=__________.【答案】112【解析】【详解】试题分析:设,,abc为角,,ABC所对的边,由正弦定理得2330aGAbGBcGC++=,则2333()aGAbGBcGCcGAGB+=−=−−−即()(

)23330acGAbcGB−+−=,又因为,GAGB不共线,则23=0ac−,33=0bc−,即233,abc==所以33,23bbac==,2221cos212acbBac+−==.考点:向量及解三角形.1

5.若函数()3sin236fxx=−+,0,2x的图象与直线ym=恰有两个不同交点,则m的取值范围是______.【答案】9,62【解析】【分析】根据题意,画出()fx的图象,数形结合,即可求得参数的取值范围.【详解】因为0,2x,

所以52,666x−−,所以1sin2,162x−−,所以3(),62fx,且922f=,-12-作出函数的图象,如图:由题意结合函数图象可知9,62m

.故答案为:9,62.【点睛】本题考查利用数形结合由图象交点个数求参数范围,涉及正弦型函数图象的绘制,属综合基础题.16.各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS,11a=,337Sa=,则使12764nS成立的n的最小值为_____

________.【答案】8【解析】【分析】由条件解出12q=,然后求出nS,然后解出不等式即可【详解】设等比数列na的公比为q因为11a=,337Sa=,所以2217qqq++=解得12q=或13−(舍)所以1112121

1212nnnS−==−−所以由12764nS可得7n,所以使12764nS成立的n的最小值为8-13-故答案为:8【点睛】本题考查的是等比数列基本量的计算,较简单.四.解答题:本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明.

证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na的公差0,d它的前n项和为nS,若570,S=且2722,,aaa成等比数列.(1)求数列na的通项公式;(2)设数列1nS的前n项和为nT,求证:38nT.【答案】(1)42nan=+;(2)见解析.【解析】【分析】(1

)等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d和前n项和公式Sn==na1+中,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,这五个量中知其中三个就能求另外两个,解题中要注意方程思想的运用.(2)利用,通过裂项相消法即可【详

解】(1)由题意得116)21151070(()(21)adadadad++==++解得11614{{(40aadd====或舍去)42nan=+(2)3111()8412nTnn=−+++38nT考点:数列通项及求和的简单应用1

8.已知函数2()sin(2)sin(2)2cos166fxxxxa=++−++−.(1)若()fx的最小值是2,求a;(2)把函数()yfx=图像向右平移6个单位长度,得到函数()ygx=图像,若3a=−

时,-14-求使()0gx…成立的x的取值集合.【答案】(1)4a=(2)5,412xkxkkZ++剟【解析】【分析】(1)化简()fx,求出最小值,即可求解;(2)根据平移关系求出

()ygx=,再解关于三角不等式,即可求解.【详解】(1)∵()3sin2cos22sin(2)6fxxxaxa=++=++∴min()22fxa=−+=,∴4a=(2)∵()()2sin(2)366gxfxx=−=−−由()0gx…知3sin(2)62x−…,∴2

222,363kxkk+−+Z剟解得,5,412kxkk++Z剟∴满足()0gx…的x取值的集合为5,412xkxkk++Z剟.【点睛】本题考查三角函数的化简、性质;考查三角函数的平移关系以及解三角不等式

,属于中档题.19.已知ABC中23ACB=,角,,ABC的对边分别为,,abc.(1)若,,abc依次成等差数列,且公差为2,求c的值;(2)若ABC的外接圆面积为,求ABC周长的最大值.【答案】(1)7c=;(2)23+.【解析】【分析】(1)由,,abc

成等差数列,且公差为2,可得2bacb−=−=,利用余弦定理可构造关于c的方程,解方程求得结果;(2)设B=,利用外接圆面积为,求得外接圆的半径R.根据正弦定理,利用表示出三边,将周长表示为关于的函数()f,利用三角函数的值域求解方法求

得最大值.-15-【详解】(1),,abc依次成等差数列,且公差为22bacb−=−=2bc=−,4ac=−23ACB=,由余弦定理得:()()()()2222224221cos322242cccabcabcc−+−−+−===−−−整理得:29

140cc−+=,解得:7c=或2c=又40ac=−,则4c7c=(2)设B=,外接圆的半径为R,则2R=,解得:1R=由正弦定理可得:22sinsinsinabcRABC====22sinsi

nsin33bac===−可得:2sinb=,2sin3a=−,3c=ABC∴的周长()2sin2sin33fabc=++=+−+2sin2sincos2cossin3sin3cos32

sin3333=+−+=++=++又πθ0,3骣琪Î琪桫2333+当32+=,即:6=时,()f取得最大值23+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的

求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数,从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.如图,在平面四边形ABCD,已知1BC=,3cos5BCD=−.-16-(1)若AC平分BCD,且2AB=,求AC的长;(2)若4

5CBD=,求CD的长.【答案】(1)5(2)5【解析】【分析】(1)由AC平分BCD,得出3cos5BCD=−,进而得出5cos5ACB=,再由余弦定理,即可得出AC的长;(2)根据三角恒等变换的

公式,求得2sin10CDB=,再由正弦定理得出CD的长.【详解】(1)若AC平分BCD,则22BCDACBACD==23cos2cos15BCDACB=−=−5cos0,cos5ACBACB=由余弦定理2222cos

ABBCACBCACACB=+−得225305ACAC−−=解得5AC=或355AC=−(舍)5AC=(2)234cos,sin1cos55BCDBCDBCD=−=−=又45CBD=()()sinsin18045

sin45CDBBCDBCD=−−=+22(sincos)210=+=BCDBCD-17-在BCD中,由正弦定理sinsinBCCDCDBCBD=可得sin5sinBCCBDCDCDB==即5CD=【点睛】本题主要考查

了正弦定理以及余弦定理的应用,属于中档题.21.已知数列{}na中,*111,31()nnaaanN+==+.(1)证明数列1{}2na+是等比数列并求数列{}na的通项公式;(2)若数列{}nb的通项公式*(31),2nnnnbnN−=,数列{}nc满足*()nn

nbcnNa=,记数列{}nc的前n项和为nT.若不等式1(1)2nnnnT−−+对任意*nN恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析;*31,2nnanN−=;(2)(2,3)−.【解析】【分析】(1)推导出111113()22nnaa++=+,由此能证明数列1

12na+是以3为公比,以32为首项的等比数列,从而112na+的通项,由此能求出{}na的通项公式.(2)由(1)可得12−=nnnc,利用错位相减法求和,再对n分奇、偶两种情况分别求出参数的取值范围;【详解】解:(1)因为*111,3

1()nnaaanN+==+,所以1113()22nnaa++=+.所以112312nnaa++=+,且11322a+=.所以数列112na+是以32为首项,3为公比的等比数列.因此11333222nnna−+==,从而*31,2nnanN−=.

-18-(2)由(1)得*1(31)2()3122nnnnnnnnbncnNa−−===−,所以012111111232222nnTn−=++++……①,1231111112322222nnTn=

++++……②,由①-②得0211111112122222222nnnnnTn−+=++++−=−,所以1242nnnT−+=−.因为不等式1(1)2nnnnT−−+对任意*nN恒成立,所以当n为偶数时,1242n−−,因为2n,所以3;当n为奇数时,

1242n−−−,因为1n,所以2−;综上:实数的取值范围是(2,3)−.【点睛】本题考查待定系数法求数列的通项公式以及错位相减法求和,属于中档题.22.已知函数()()sincosfxxxaxaR=+−.(Ⅰ)当1a=时,求()fx在,4

2−上的最值;(Ⅱ)若对一切,0x−,不等式()1fx≤恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ)最大值1,最小值12−;(Ⅱ)2(,]−.【解析】【分析】(Ⅰ)当1a=时,求得函数的导数()2sin()14fxx=−−−,得到函数的单

调性和最值,即可求解;(Ⅱ)由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值,结合导数对a分类讨论求,最后结合函数的单调性和性质,即可求解.【详解】(Ⅰ)由函数()()sincosfxxxaxaR=+−,则()cossi

nfxxxa=−−,当1a=时,可得()2sin()14fxx=−−−令()0fx,即2sin()42x−−,解得04x−;-19-令()0fx,即2sin()42x−−,解得02x;所以()fx在[,0)4

−递增,在(0,]2x递减,所以max()(0)1fxf==,又(),()144224ff−==−,所以min()()122fxf==−,所以()fx在,42−上的最大值为1,最小值为12−.(

Ⅱ)由函数()()sincosfxxxaxaR=+−,则()11fa−=−+,解得2a,又由()2sin()4fxxa=−−−,因为0x−,则5444x−−−,可得21sin()42x−−,所以2

sin()[1,2]4x−−−,(i)当1a−时,()2sin()04fxxa=−−−,所以()fx在[,0]−递增,所以()(0)1fxf=恒成立;(ii)当21a−时,当4x−−时,()fx单调递增;当04x−时,()fx单调

递减,所以()10fa−=−−,()204fa−=−,(0)10fa=−,所以(,)4−−,使得()0f=,所以当x−时,()0fx;当0x是,()0fx,所以()fx在[,)−单调递减,在(,0]单调递增,又因

为()11,(0)11faf−=−+=,所以()1fx,所以2a,即实数a的取值范围是2(,]−.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,恒成立问题的求解,以及三角函数的应用,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,通常要

构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.-20-

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