【文档说明】《中考数学二轮复习之重难热点提分专题》十四 二次函数与线段问题（解析版）.docx，共(19)页，184.992 KB，由管理员店铺上传

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1专题十四二次函数与线段问题1．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线

上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在

点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=𝐴𝐸𝐸𝐶=13，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重

合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（

3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK=95，MN＝KF，可求CF＝6

，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），2∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点

B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1

，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=𝐴𝐸𝐸𝐶=13，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=√9+9=3√2，CD=√1+1=√2，BD=√(4−2

)2+(3+1)2=2√5，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC=𝐶𝐷𝐵𝐶=√23√2=13=tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，3∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠

BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴点F与点Q重合，∴点P是直线CF与抛物线的交点，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延

长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵点B（4，3），点D（2，﹣1），∴直线BD解析式为：y

＝2x﹣5，∴点F（52，0），∴直线CH解析式为：y=−12x+12，∴{𝑦=−12𝑥+12𝑦=2𝑥−5，4解得{𝑥=115𝑦=−35，∴点H坐标为（115，−35），∵FH＝QH，∴点Q（1910，−65），∴直线CQ解析式为：y=−43x+4

3，联立方程组{𝑦=−43𝑥+43𝑦=𝑥2−4𝑥+3，解得：{𝑥1=1𝑦1=0或{𝑥2=53𝑦2=−89，∴点P（53，−89）；综上所述：点P的坐标为（3，0）或（53，−89）；（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，

过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，∵点A（0，3），点C（1，0），∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，∴{𝑦=−3𝑥+3𝑦=2𝑥−5，∴{𝑥=85𝑦=−95，5∴点N坐标为（85，−95），∵点H坐标为（115，−35），∴CH

2＝（115−1）2+（35）2=95，HN2＝（115−85）2+（−35+95）2=95，∴CH＝HN，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM

＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK=95，MN＝KF，∴点E的横坐标为−15，∴点E（−15，185），∴MN=275=KF，∴CF=85+275−1＝6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝

CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG=√12+(6−3)2=√10．2．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）

当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线1平行于x轴，E6是直线1上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2√2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m

为何值时，MN的最小值是22？【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；（Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，m），点E（m+1，m）

，过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；②得出CN=12EF=√2．求出MC=−√2m，当MC≥√2，即m≤﹣1时，当MC＜√2，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．【

解析】（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．∵抛物线经过点A（1，0），∴0＝1+b﹣3，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣

4）．（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．∴a＝1，b＝﹣m﹣1．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．根据题意得，点C（0，m），点E（m+

1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．7在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，∴AE=√𝐸𝐻2+𝐻𝐴2=−√2m，∵AE＝EF＝2√2，∴−√2m＝2√2，解得m＝﹣2

．此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=√𝐸𝐹2−𝐸𝐶2=√7．∴点F的坐标为（0，﹣2−√7）或（0，﹣2+√7）．②由N是EF的中点，得CN=12EF=√2．根据题意，点N在以点C为圆心、√2为半径的圆上，由点M（m，0）

，点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，∴在Rt△MCO中，MC=√𝑀𝑂2+𝐶𝑂2=−√2m．当MC≥√2，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．MN的最小值为MC﹣NC=−√2m−√2=√22，解得m=−32；当MC＜√2，即﹣1＜m＜0

时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC=√2−（−√2m）=√22，解得m=−12．∴当m的值为−32或−12时，MN的最小值是√22．83．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线

y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于

点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+41OQ的最小值．【分析】（1）抛物线的表达式

为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，即可求解；（2）①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，即可求解；②过点O作直线OK，使sin∠NOK=14，过点

D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，则DQ+14OQ＝DQ+QK＝DK为最小，即可求解．【解析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，

即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），则tan∠MAC=𝑀𝐶𝐴𝐶=2，则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，将点A的坐标代入

上式并解得：b＝6，故直线AM的表达式为：y＝2x+6，∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，9∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF=√55，设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），

则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×√55=√55（﹣x2﹣4x﹣3），∵−√55＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P

，则点P为所求点，PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，则BD=√(1+2)2+(0−2)2=√13；②过点O作直线OK，使sin∠NOK=14，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，DQ+14OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，

则直线OK的表达式为：y=√15x，∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y=−1√15x+b，将点D的坐标代入上式并解得：b＝2−2√15，则直线DK的表达式为：y=−1√15x+2−2√15，10故点Q（0，2−2√15），由直线KD的表达式知，QD与x负半

轴的夹角（设为α）的正切值为1√15，则cosα=√154，则DQ=𝑥𝑄−𝑥𝐷𝑐𝑜𝑠𝛼=2√154=8√15，而14OQ=14（2−2√15），则DQ+14OQ为最小值=8√15+14（2−2√15）=√15+12．4．（202

0•黔西南州）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取

最大值时，求点P的坐标；（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；（2）先求出OA＝OC＝6，进而得出∠OAC＝4

5°，进而判断出PD＝PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，即可得出结论；（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点

N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），11∴{𝑎−𝑏+6=036𝑎+6𝑏+6=0，∴{𝑎=−1𝑏=5，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x−5

2）2+494，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（52，494）；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，∴C（0，6），∴OC＝6，∵A（6，0），∴OA＝6，∴OA＝OC，

∴∠OAC＝45°，∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE，∴PD+PE＝2PE，∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，∵A（6

，0），C（0，6），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，∴P（3，12）；（3）如图

（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，12∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，∴NF∥x轴，由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，

当x=52时，y=72，∴F（52，72），∴点N的纵坐标为72，设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），∴﹣m2+5m+6=72，解得，m=5+√352或m=5−√352，∴点N的坐标为（5+√352，72）或（5−√352，72）．5．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x

轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=34，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．13①过点

P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连结PB，求53PC+PB的最小值．【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），可得对称轴为直线x＝2，由锐角三角函数可求

点C坐标，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直线BC解析式，设P（2，t），可得点E（5−34t，t），点𝐹(5−34𝑡，2𝑡−14𝑡2)，可求EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；②根据图形的对称性可知∠A

CD＝∠BCD，AC＝BC＝5，过点P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35𝑃𝐶+𝑃𝐵=𝑃𝐺+𝑃𝐵，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，即BH是35PC+PB的最小值，由三角形面

积公式可求解．【解析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），又∵𝑡𝑎𝑛∠𝐶𝐵𝐷=43=𝐶𝐷𝐷𝐵，∴CD＝BD

•tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得𝑎=−49，∴二次函数的解析式为𝑦=−49(𝑥+1)(𝑥−5)=−49x2+169𝑥+209；（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，设直线BC的解析式为y＝kx+b，14∴{0=5𝑘

+𝑏，4=2𝑘+𝑏.，解得{𝑘=−43，𝑏=203.即直线BC的解析式为𝑦=−43𝑥+203，令y＝t，得：𝑥=5−34𝑡，∴点E（5−34t，t），把𝑥=5−34𝑡代入𝑦=−49(𝑥+1)(𝑥−5)，得𝑦=𝑡(2−𝑡4)

，即𝐹(5−34𝑡，2𝑡−14𝑡2)，∴𝐸𝐹=(2𝑡−14𝑡2)−𝑡=𝑡−𝑡24，∴△BCF的面积=12×EF×BD=32（t−𝑡24）=−38(𝑡2−4𝑡)=−38(𝑡−2)2+32，∴当t＝2时，△BCF

的面积最大，且最大值为32；②如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐶𝐷=𝐴𝐷𝐴𝐶=35，过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，𝑃𝐺=𝑃𝐶⋅𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐶𝐷=35𝑃𝐶，∴35𝑃�

�+𝑃𝐵=𝑃𝐺+𝑃𝐵，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，∴线段BH的长就是35𝑃𝐶+𝑃𝐵的最小值，∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=12×𝐴𝐵×𝐶𝐷=12×6×4=12，15又∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=12×𝐴𝐶×𝐵𝐻=52𝐵𝐻，∴52𝐵𝐻=1

2，即𝐵𝐻=245，∴35𝑃𝐶+𝑃𝐵的最小值为245．6．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直

线PA与C2在y轴左侧的交点为B．（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，𝑃

𝐴𝑃𝐵的值不变；（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．证明AM＝PM＝m，根据AM+MN＝AM+OP＝AN，构建关系式即可解

决问题．②如图2中，由题意AB⊥y中，求出PA，PB的长即可解决问题．（3））如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．设B（b，6ab2+n），由PA＝2PB，推出A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）

2+n]，由BE∥AK，推出𝐵𝐸𝐴𝐾=𝑃𝐵𝑃𝐴=12，推出AK＝2BE，由此构建关系式，证明m＝﹣2b即可解决问题．【解析】（1）由题意m＝2，n＝4，∴y1＝a（x﹣2）2+4，把（0，2）代入得到a=

−12．16（2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，∴P（0，am2+n），∵A（m，n），∴PM＝m，AN＝n，∵∠APM＝45°，∴AM＝PM＝m，∴m+am2

+n＝n，∵m＞0，∴am＝﹣1．②如图2中，由题意AB⊥y中，∵P（0，am2+n），当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，解得x＝±√66m，17∴B（−√66m，am2+n），∴PB=√66m，∵AP＝2m，∴𝑃𝐴𝑃𝐵=2𝑚√66𝑚=2√6．（3）如图3中，过点A作

AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．设B（b，6ab2+n），∵PA＝2PB，∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，∵BE∥AK，∴𝐵𝐸𝐴𝐾=𝑃𝐵𝑃�

�=12，∴AK＝2BE，∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），整理得：m2﹣2bm﹣8b2＝0，∴（m﹣4b）（m+2b）＝0，∵m﹣4b＞0，∴m+2b＝0，∴m＝﹣2b，∴A（m，n），∴点A是抛物线C1的顶点．7．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为

A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，−12），点F（2，1）为其对18称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐

标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，18m2−12m−12），

求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值=√22+22=2√2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ

的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线经过B（0，−12），∴−12=4a﹣1，∴a=18，∴抛物线的解析式为y=18（x﹣2）2﹣1．（2）证明：∵P（

m，n），∴n=18（m﹣2）2﹣1=18m2−12m−12，∴P（m，18m2−12m−12），19∴d=18m2−12m−12−（﹣3）=18m2−12m+52，∵F（2，1），∴PF=√(𝑚−2)2+(18𝑚2−12𝑚−12−1)2=√164𝑚4−18𝑚3+

78𝑚2−52𝑚+254，∵d2=164m4−18m3+78m2−52m+254，PF2=164m4−18m3+78m2−52m+254，∴d2＝PF2，∴PF＝d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点

D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值=√22+22=2√2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF＝QH，∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ

+QH的最小值为3，∴△DFQ的周长的最小值为2√2+3，此时Q（4，−12）