【文档说明】云贵川桂四省2021届高三上学期12月联合考试文科数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，1.467 MB，由小赞的店铺上传

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-1-高三数学试卷(文科)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{50}Pxx=−，{40}Qxx=−，则PQ=（）A.{5}xxB.{|45

}xxC.{|45}xxD.R【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的概念进行运算即可.【详解】由5Pxx=，{4}Qxx=∣，所以|45PQxx=.故选：B2.若(1)12zii+=−，则z=（）A.1322i

−−B.1322i−+C.3122i−−D.3122i−+【答案】B【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z，再求出复数z即可；【详解】解：由题意得12(12)(1)131(1)(1)22i

iiziiii−−−===−−++−.所以1322zi=−+故选：B3.从2，3，4，5，6，7，9，11，12这9个数中任意选取1个，则这个数是质数的概率为（）A.13B.49C.59D.23【答案】C【解析】【分析】-2-利用古典概型的概率公式求解即可.【详解

】这9个数中2，3，5，7，11是质数，故由古典概型的概率公式得所求概率为59.故选：C4.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a=，5b=，设命题*:pcN，C为钝角关于命题p有以下四个判断：①p为真命题；②p为*cN，C不是钝角；③p为假命题

：④p为*Nc，C不是钝角其中判断正确的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】A【解析】【分析】①③利用余弦定理判断；②④利用全称量词命题的否定判断.【详解】当6c=或7时，222cos02abcCab+−=，

则C为钝角，p为真命题，故①正确③错误；因为特称命题的否定是全称命题，所以p为*cN，C不是钝角，故②正确④错误；故选：A5.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（）A.从7月2日到7月5日白天的平均气温

呈下降趋势-3-B.这10天白天的平均气温的极差大于6℃C.这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大D.这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天【答案】D【解析】【分析】观察折线图可得选项A和选项B正确；选项C，这10天中白天的平均气温为26℃的频率比其他平均气温的频率都要大，

所以该选项正确；选项D，白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.【详解】选项A，从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势，所以该选项正确；.选项B，这10天白天的平均气温的极差大于6℃，所以该选项正确；选项C，这10天中白天的平均气温为26

℃的频率为0.3，比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；选项D，这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.故选：D.6.在平行四边形ABCD中，7CDED=，且BEADDE=+.则+

=（）A.5−B.6−C.5D.6【答案】A【解析】【分析】根据条件先将BE写成BCCE+，再根据,BCAD的关系、,CEDE的关系，将BE用AD、DE表示出来，然后即可求解出,的值，从而结果可求.【详解】因为7CDED=，所以6CEDE=

−，则6BEBCCEADDE=+=−，所以165+=−=−.故选：A.-4-【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据图形特点以及点的位置利用AD、DE表示出BE，从而完成求解.7.设双曲线222144y

xnn−=+的离心率为()*nanN，则数列na的前20项和为（）A.400B.410C.420D.440【答案】D【解析】【分析】根据题意及双曲线性质得离心率21nan=+，根据等差数列求和公式计算即可.【详解】解：因为214421nannn=++=+，所以数列na的前20项和为(

341)2035414402++++==.故答案为：440.【点睛】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：1a和d是等差数列的两个基本元素

；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.8.如图，某柱桩的底座由一个正六棱柱中间挖掉一个圆柱构成.已知该正六棱柱每个侧面是边长为30cm的正方形，所挖掉的圆柱的底面半径为10

cm.为了延长底座的使用时长，需将底座地面之上的部分（除与地面直接接触的底面之外的表面）涂上防氧化层，则涂层的总面积为（）-5-A.2(270035400500π)cm++B.2(270035400400π)cm++C.2(135035400500π)cm++D.2(1350354

00400π)cm++【答案】C【解析】【分析】由正六棱柱的侧面积加上上底面积加上圆柱的侧面积减支圆柱的上底面积即得．【详解】S涂层S=正六棱柱上底面S+正六棱柱侧面S+圆柱侧面S−圆柱上底面22223=6306302103010cm4++−2=(1350354

00500)cm++.故选：C．9.若抛物线28xy=上一点M到该抛物线焦点F的距离为6，过点M作x轴的垂线，垂足为N，设O为坐标原点，则四边形OFMN的面积为（）A.12B.122C.16D.162【答案】B【解析】【分析】延长

MN交准线2y=−于点N，由||6=MF，则6MQ=,则可得||42ON=，从而可求得答案.【详解】如图，抛物线的准线方程为2y=−，焦点(0,2)F，延长MN交准线2y=−于点N，由||6=MF，则6MQ=-6-因此||624MN=−=，所以M点的纵坐标为4，则由2832MMxy==,

即2||8432ON==，||42ON=，由条件可得四边形OFMN为梯形，故四边形OFMN的面积为()422412222MNOFON++==.故选：B10.设ABC的内角A，B，C满足2ACB+=，则函

数()2sin()cossin2fxxBxx=+−图象的对称轴方程是（）A.ππ,32kxk=+ZB.ππ,122kxk=+ZC.5ππ,122kxk=+ZD.ππ,62kxk=+Z【答案】C【解析】【分析】先根据条件计算出B的值，然后根

据两角和的正弦公式以及辅助角公式化简()fx，最后采用整体替换的方法求解出对称轴方程.【详解】因为()ACB−+=，2A+C=B，所以3B=，()2sincossin23fxxxx=+−(sin3cos)cos

sin2xxxx=+−133sin2cos2222xx=−++-7-3sin232x=−−+.由232xkx−=+，kZ，得5122kx=+，kZ.故选：C.【点睛】思路点睛：（1）利用三角恒等变换的公式化简的思路：对于二次的正余弦形式，先采用降幂公式变形

，再利用辅助角公式进行整合；（2）求解形如()()sinfxAx=+的函数的对称轴方程的思路：令,2xkkZ+=+，由此求解出关于x的方程即为对称轴方程.11.某流行病调查中心的疾控人员针对该地

区某类只在人与人之向相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数()Ht与传染源感染后至隔离前时长t(单位：天)的模型：()ektHt+=.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天

，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关的确诊病例人数约为（）A.44B.48C.80D.125【答案】D

【解析】【分析】由已知数据求得5e8k+=和8e20k+=值，两式相除可得35e2k=，然后代入(14)H计算可得．【详解】依题意得5(5)e8kH+==，8(8)e20kH+==，835(8)e205e(5)e82kkkHH++====，所以()3314535(14

)eee81252kkkH++====.故若某传染源感染后全隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125.故选：D12.已知底面为矩形的四棱锥P-ABCD每个顶点都在球O的球面上，PAAD⊥，P

AAB=，-8-2PBAB=，且22BC=，若球O的体积为323，则棱PB的中点到平面PCD的距离为（）A.62B.63C.32D.223【答案】B【解析】【分析】首先证明PA⊥平面ABCD即可推出侧棱PC为球O的直径，根据球的体积求出A

B，过A作AGPD⊥于G，取棱PA的中点F，连接EF，利用等体积法求出AG，E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离.【详解】PAAB=，2PBAB=，222PBABPA=+，PAAB⊥，又PAAD⊥，ADABA=

，ABÌ平面ABCD，AD平面ABCD，PA⊥平面ABCD.底面ABCD为矩形，侧棱PC为球O的直径，设球O的半径为R，则343233R=，即2R=，又22228222ABADAPABR+++==，解得2AB=.过A作AGPD⊥于G，取棱PA的中点F，连接EF.易证CD⊥平面APD，

则CDAG⊥，AGPD⊥，CDAG⊥，CDPDD=，CD平面PCD，PD平面PCD，AG⊥平面PCD.PACDAPCDVV−−=，即11113232ABADPACDPDAG=，-9-可得22226323AG==，则F到

平面PCD的距离为1623AG=，//EFAB，//ABCD，//EFCD，则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，故棱PB的中点到平面PCD的距离为63.故选：B二､填空题本大题共4小题每小题5分共20分.把答案填在答

题卡的相应位置.13.若1tan2=，则sincossin2cos−=−________.【答案】13【解析】【分析】将分式sincossin2cos−−的分子、分母同除以cos，然后代入tan的值求解出结果.【详解】

因为sincos1sincostan11coscos2sin2cos3sin2costan23coscos2−−−−====−−−−，故答案为：13.【点睛】方法点睛：已知tan的值，求解形如sincossincosabcd（或sincoss

incosnnnnabcd）的式子的值的方法：分式的分子、分母同时除以cos（或cosn），将原式化简为关于tan的式子，再根据tan的值可求解出结果.14.若函数()9()log(2)25fxxx=+，则()fx

的值域为________.【答案】3,2+【解析】-10-【分析】根据对数函数的单调性即可求出.【详解】因为()fx在()25,+上单调递减，所以93()(25)log272fxf==，所以()fx的值域为3,2+.故答案为：3,2+

.15.若直线l过点(2,0)−，且倾斜角为4，则l被圆22:(3)(3)10Cxy++−=所截得的弦长为________.【答案】22【解析】【分析】先写出直线l的方程，求出圆心C到直线l的距离为d，由垂径定理有222Rd−，可得答案.【详解】直线l的倾斜角

为4，则斜率为1.由题意，可得l的方程为20xy−+=，易知点圆心C的坐标为()3,3−.设点C到直线l的距离为d，则|332|222d−−+==，则所求弦长为222210822Rd−=−=.故答案为：2216.函数()fx为定义在R上的偶函数且在[0,)+上单

调递增，现有下列四个命题：①函数()()cosgxfxx=为奇函数；②函数()[()(2)]hxxfxf=−有且只有3个零点；-11-③不等式[()(2)]0xfxf−的解集为(,2][0,2]−−；④()fx的解析式可能为2()−=+−xxfxeex.其中所有真命

题的序号是________.【答案】②③④【解析】【分析】①根据()fx是偶函数利用定义得出()()gxgx−=可判断；②根据()fx的性质可得(2)(2)(0)0hhh=−==；③讨论0x和0x再利用()fx的单调性可求解；④先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在[0,)

+的单调性即可判断.【详解】对①，()fx是偶函数，()()fxfx−=，若()()cosgxfxx=，则()()cos()()cos()gxfxxfxxgx−=−−==，则()()cosgxfxx=为偶函数，故①是假命题.对于②，设函数()()(2)Fxfxf=−，(2)(2)(

2)0(2)=−==−FffF，()fx在[0,)+上单调递增，()Fx在R上有且只有2个零点，所以(2)(2)(0)0hhh=−==，故()hx在R上有且只有3个零点，故②是真命题.对③，因为[()(2)]0xfxf−，所以

当0x时，()(2)0fxf−，即()()2fxf−，则2x−，即2x−≤；当0x时，()(2)0fxf−，即()(2)fxf，即2x，则02x，故[()(2)]0xfxf−的解集

为(,2][0,2]−−，故③是真命题.对④，若2()−=+−xxfxeex，则()2()xxfxefxex−−=+=−则此函数满足()fx为偶函数，又()2−=−−xxfxeex，设()()pxfx=，()2220xxpxee−−

=+−=.-12-则()px为R上的增函数，在[0,)+上，()(0)0fxf=，所以此函数还满足在[0,)+上单调递增，④是真命题.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是正确利用偶函数的性质以及单调性的判断和利用单调性解不等式.三､解答题17

.在直三棱柱111ABCABC−中，ABAC⊥，1AB=，12ACAA==.（1）证明：11//BC平面1ABC.（2）求点面A到平面1ABC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】（1）由11//BCBC即可证明；（2）利用等体积法，根据11AABCAABC

VV−−=可求.【详解】（1）证明：在直三棱柱111ABCABC−，中，11//BCBC，因为BC平面1ABC，11BC平面1ABC.所以11//BC平面1ABC.（2）解：在直三棱柱111ABCA

BC−中，1AA⊥平面ABC，因为ABÌ平面ABC，所以1AAAB⊥.-13-又1AB=，12AA=，所以15AB=，同理可得122AC=.因为ABAC⊥，1AB=，2AC=，所以5BC=.所以1ABC的面积为1225262−=.设点A到平面1ABC的距离为h，由11AABCAABC

VV−−=，得1116122332h=，解得63h=.18.为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系农业农村部对160城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研得到如下表格：猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)(0,40](40,50](50,60]

(0,3000]6150(3000,4000]2275(4000,5000]94516(5000,6000]01619（1）估计全国各地猪肉价格在(50,60](元/千克)内的概率；（2）估计这160个城镇的居民人均收人(元/月)的中位数(计算结果保留整数

)；（3）根据所给数据完成下面的列联表并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.-14-()2PKk0.050.0100.005k3.8416.

6357.879猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)(0,50](50,60]合计(0,4000](4000,6000]合计【答案】（1）14；（2）中位数约为4357；（3）列联表见解析，有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【解

析】【分析】（1）根据频率的定义即可求出样本的频率，即可估计全国各地猪肉价格在（50，60]（元/千克）内的概率；（2）根据中位数的定义即可求出；（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，

对照题目中的表格，得出统计结论．【详解】（1）因为这160个城镇的猪肉价格在(50.60](元/千克)内的频率为5161911604++=，所以据此得全国各地猪肉价格在(50.60](元/千克)内的概率约为14；（2）因为居民人均收

入(元/月)在(0,4000的频率为6152275111160322++++−，居民人均收入(元/月)在(0,5000]内的频率为5594516251160322+++=，所以居民人均收入(元/月)的中位数在(4000,5000]之间，因为1113050023240001000

4357251173232−+=−.-15-所以中位数约为4357；（3）列联表如下：猪肉价格(元/千克)人均收人(元/月)(0,50](5060，合计(0,400050555(4000,6000

]7035105合计12040160因为22160(5035705)112011.3137.879551051204099K−==，所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【

点睛】方法点睛：在频率分布中中位数的求法是：中位数的两边频率和都为0.5.19.已知等比数列na的公比为q.（1）试问数列1nnaa++一定是等比数列吗？说明你的理由.（2）若4569aaa=，12327aaa=，求na的通项公式及数列

(1)4nnna−+的前n项和.nS【答案】（1）数列1nnaa++不一定是等比数列，理由见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）可得当1q=−时，10nnaa++=，此时不是等比数列；（2）根据题意可求出数列通项公式13−=nna，再分n

为奇数和偶数时两种情况可求和.【详解】解：（1）数列1nnaa++不一定是等比数列.理由如下：若1q=−，则1(1)0++=+=nnnaaaq，此时数列1nnaa++不是等比数列；若1q−，111(1)nnnaaaqq−++=+-16-则数列1nna

a++一定是公比为q的等比数列，故数列1nnaa++不一定是等比数列.（2）由4569aaa=，且4536aaaa=；得39a=.因为12327aaa=，所以3227a=，则23a=，所以933q==，11a=，所以na的通项

公式为13−=nna，故131234(1)413nnnSn−=−+−+−+−+−，当n为偶数时，()12312nnSn=+−；当n为奇数时，()11(1)(1)231(5)2322nnnSnnn=+−++−=

−++.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nnab结构，其中na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于+nnab结构，利用分组求和法；（4）对于11n

naa+结构，其中na是等差数列，公差为d，则111111nnnnaadaa++=−，利用裂项相消法求和.20.已知函数()lnxfxxe=−.（1）若曲线()yfx=存在一条切线

与直线1eyxe=−垂直，求这条切线的方程.（2）证明：()23ln4fxxx−−.【答案】（1）()10exeye−−−=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由()1efxe−=可求得切点坐标，再利用点斜式可求得所求切线的方程；-17-（2）设()23ln4gxxx=−−，

利用导数得出()max0fx=，以及()min0gx，进而可得出()()()()maxminfxfxgxgx，即可证得所求不等式成立.【详解】（1）()lnxfxxe=−，()11fxxe=−，因为曲线()yfx=的一条切线与直线1ey

xe=−垂直，所以这条切线的斜率为1ee−，令111exee−−=，得1x=，所以切点为11,e−，所求切线的方程为()111eyxee−+=−，即()10exeye−−−=；（2）证明：()11exfxxexe−=−=.当()

0,xe时，()0fx；当(),xe+时，()0fx.所以，函数()fx的单调递增区间为()0,e，单调递减区间为(),e+，所以()()maxln0efxfeee==−=.设函数()23ln4gxxx=−−，则()21212xgxxxx−=−=.当20,2x

时，()0gx；当2,2x+时，()0gx.所以，函数()gx的单调递减区间为20,2，单调递增区间为2,2+.所以()min211131111lnln2ln2222244222gxg==−−=−+=−

.因为1ln2ln2e=，所以()min0gx.又()()max0fxfx=≤，所以()23ln4fxxx−−.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（

或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；-18-（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同

解变形，根据相似结构构造辅助函数.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，左､右焦点分别为1F，2F，Q为C的上顶点，且满足128FQFQ→→=−.（1）求C的方程.（2）若P为直线8x=上的动点，A，

B分别为C的左､右顶点，PA与C的另一个交点为M，PB与C的另一个交点为N，是否存在定点G使得直线MN恒过该定点G？若存在，求G的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）221164xy+=；（2）存在定点G，且G的坐标为(2,

0).【解析】【分析】（1）由题得到关于,,abc的方程，解方程即得C的方程；（2）设动点P为(8,)m，联立直线和椭圆的方程求出222144424,3636mmMmm−++，2224168,44mmNmm−−++，再对直线MN

的斜率分两种情况讨论得解.【详解】解：（1）由题意，设1(,0)Fc−，2(,0)Fc，则(0,)Qb，222234ceaa==，222214baca=−=，22212182FQFQcba→→=−+=−=−，因此216a=，24b=，故C的方程为221164xy+=.（2）

由（1）可知(4,0)A−，(4,0)B，可设动点P为(8,)m，则AP所在直线的方程为(4)12myx=+，-19-BP所在直线的方程为(4)4myx=−.设()11,Mxy，()22,Nxy，联立221164(4)12xymyx+==+，得()2222368165760

mxmxm+++−=，21216576436mxm−−=+，212144436mxm−=+，122436mym=+，222144424,3636mmMmm−++，同理可得2224168,44mmNmm

−−++.根据椭圆的对称性，若存在定点G，则点G必在x轴上，当直线MN的斜率不存在时，22224161444436mmmm−−=++，解得212m=，此时直线MN的方程为2x=，得(2,0)G.当0m=时，直线MN的方程为0y=，直线MN过点(2

,0)G.当0m且直线MN的斜率存在时，222224436144412236GMmmmkmmm+==−−−+，22228444161224GNGMmmmkkmmm−+===−−−+，所以M，N，G三点共线，则直线MN过点(2,0)G.综上，存在定点G，且G的坐标为(2,0).【点

睛】方法点睛：定点问题常用的解题方法有：（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离

参数得到等式2123(,)(,)(,)0fxyfxyfxy++=，（一般地，(,)(1,2,3)ifxyi=为关于,xy的二元一次-20-关系式）由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0fxyfxyfxy===，从而求得该定点.

22.在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为4cos44sinxy==−+，(为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3cos4sinm+=.（1）求C的极坐标方程；（2）若l与C相交，求m的取值范围【答案】（1）8sin0+

=；（2）(36,4)−.【解析】【分析】（1）先把曲线C的参数方程化成直角坐标方程，再将直角坐标转化成极坐标；（2）先求出l的直角坐标方程，再根据直线和圆相交得到m的取值范围.【详解】解：（1）由4cos44sinxy=

=−+，得22(4)16xy++=，即2280xyy++=，则C的极坐标方程为28sin0+=，即8sin0+=(或8sin=−).（2）因为l的极坐标方程为3cos4sinm+

=，所以l的直角坐标方程为340xym+−=.由（1）知，曲线C表示圆心为(0,4)C−，半径为4的圆，则C到l的距离|16|45md+=，解得364m−，即m的取值范围为(36,4)−.【点睛】方法点睛：将参数方程转化为直角坐标方程，常用的方法有：（1）代入消参；（2）三角恒等式消参.

无论用哪一种方法，都要注意变量的范围.23.已知函数()|||3|fxxaxa=−+−.-21-（1）求不等式()1||fxxa+−的解集；（2）若()18fxa+对xR恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）(,31)(31,)

aa−−++；（2）9[18,2),4−−+.【解析】【分析】（1）等价于|3|1xa−，根据绝对值解法求解；（2）根据双绝对值解出()fx的最小值|2|a，原不等式等价于|2|18aa+，平方化简即可.【详解】解：（1）由()1||fxxa+−，得|3|1xa

−，则31xa−−或31xa−，即31xa−或31xa+，故不等式()1||fxxa+−的解集为(,31)(31,)aa−−++，（2）因为()|||3||(3)||2|fxxaxaxaxaa=−+−−−−=，所以()fx的最小值为|2|a.

因为()18fxa+对xR恒成立，所以18|2|aa+，又180a+，所以9[18,2),4a−−+.【点睛】含有绝对值的不等式的性质：（1）如果,ab是实数，则||||||||||||ababab−+；（2）如果,,abc是实数，那么||||||acabbc−

−+−，当且仅当()()0abbc−−时，等号成立.