【文档说明】第01讲 有理数及其运算（原卷版）-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（苏科版）.docx，共(12)页，271.609 KB，由管理员店铺上传

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第01讲有理数及其运算【学习目标】1.掌握有理数的概念及其分类,会用正数、负数表示相反意义的量，能把有理数按要求进行分类；2.了解数轴、相反数、绝对值等概念及其求法，掌握数轴的三要素及数轴的画法，会利用数轴

比较有理数的大小．3.会运用有理数的运算法则、运算律,熟练进行有理数的运算；【基础知识】正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可

以表示具有与该正数相反意义的量有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数.(4)无限不循环小数叫做无理数.2

.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴

。2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是

有理数）3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做

互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。2.相反数的求法⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号

括起来再添“-”，然后化简绝对值⒈绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，

a取任何有理数，都有|a|≥0。4.有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。有理数的加减法1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相

加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与零相加，仍得这个数。2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合

律：(a+b)+c=a+(b+c)3.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；法则二：任何数同0相

乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·a1=

1（a≠0），就是说a和a1互为倒数，即a是a1的倒数，a1是a的倒数。注意：①0没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒

数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。3.有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，

或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac4.有理数的除法法则（1）除以一个

不等0的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0有理数的乘方1.乘方的概念求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在na中，a叫做底数，n叫做指数

。2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。科学记数法把一个大于10的数表示成na10的形式（其中101a，n是正整数），这

种记数法是科学记数法。有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。【考点剖析】考点一：有理数的相关概念及分

类例1．﹣2的相反数是（）A．﹣12B．12C．2D．﹣2例2．﹣2021的倒数是（）A．﹣2021B．2021C．12021D．﹣12021例3．在－4，227，0，2−，3.14159，1.3•

，0.121121112…中，有理数的个数有________个．例4．如果向北行走8km记作8km+，那么向南行走6km，可以记作____km．例5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立

的是（）A．a=bB．a<bC．a-b>0D．a+b<0例6．在数轴上的点A表示的数是2−，则与点A相距5个单位长度的点表示的数是______．例7．已知a，b−互为相反数，c，d互为倒数，5m=，则2abcdmm−

−+的值为_________．考点二：有理数的大小比较例8．比较大小：13−______14−，()1.5−−______3+2−．考点三：有理数的运算例9．计算：（1）﹣14﹣（﹣5）＋（﹣2）．（2）﹣125÷（﹣2

5）﹣64÷（﹣8）．（3）（﹣5）2＋157()2612+−（﹣24）．（4）（﹣2）3×（﹣12）÷[（﹣4）2＋4×（﹣5）]．（5）202232512(2)52−−−−−．考点四：

有理数的运用例10．邮递员小王骑自行车车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到邮局，规定：向东为正方向．（1）以邮局为原点，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示,,ABC三个村庄的位置；（2）一天，小王的自行车坏了，有几

封挂号信需要紧急送出，乘坐出租车先去A村，再去B村，接着去C村，最后回到邮局．已知出租车的起步价是8元，每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价，3千米后每千米收2元，问：小王要付出多少车费？（友情提醒：到A村停车再起步，不算第二次坐出

租车，以此类推，即计算全路程一次付费）考点五：科学记数法例11．一个数用科学记数法表示为52.1810，则这个数是______．【真题演练】1．在有理数2，﹣3，13，0中，最小的数是（）A．2B．﹣3C．13D．02．-2021的绝对值是（）A．2021−B．12021−C．2021D．

120203．2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万＝55750000，用科学记数法将55750000表示为（）A．4557510B．555.7510C．75.57510D．80.55

75104．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（）A．()()36+++B．()()3

6++−C．()()36−++D．()(36)−+−5．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升1m记作1m+，则下降2m记作______m．6．计算：3121(13)2−+−．7．小华

输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小

华从输液开始到结束所需的时间．【过关检测】1．下列有理数中，最小的是（）A．0B．32−C．|﹣5|D．﹣12．绍兴是一个充满生机和活力的地域，它古老而又年轻，区域内人口约为501万人．则501万用科学记数法可表示为（）人．A．501×104B．50

.1×105C．5.01×106D．0.501×1073．下列计算正确的是（）．A．32231=B．()()4936−−=−C．()3224−−=D．()3390−+=4．已知下列数：-12021、-（-2）、|3|、+（-π）、0，其中负数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3

个5．有一种记分方法：以160分记为+10分，某同学得143分，则应记为（）A．+7分B．﹣7分C．+3分D．﹣3分6．下列说法错误的是()A．负数的绝对值都是正数B．除以一个数，等于乘这个数的倒数C．有理数包括整数和分数D．倒数等于它本身的数只有.7．如图，数轴上点C对应

的数为c，则数轴上与数2c−对应的点可能是（）A．点AB．点BC．点ED．点D8．若|a|＝2，|b﹣2|＝5，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值是（）A．5B．5或9C．﹣5D．﹣5或﹣99．已知,,abc是有理

数，0abc++=，0abc，则bcacababc+++++的值为()A．3−B．1C．1−或2D．1或3−10．今年一月一日，天津市早上八点的气温为－3℃，中午十二点气温升高了7℃，下午六点气温又下降了5℃，则六点的气温为__________℃11．比大小：﹣17___﹣

0.14，|5|−−_______(4)−−．12.如图是一个简单的运算程序，当输入n的值为3时，则输出的结果为___．13．如图，在数轴上点A表示数1，现将A沿x轴作如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到点1A，第二次将点1A向右移动6个单位长度到达

点2A，第三次将点2A向左移动9个单位长度到达点3A，按照这种规律移动下去，则点13A，点14A之间的长度是_______.14．把下列各数分别表示在数轴上，并用“>”号把它们连接起来．22−，()5−−，112−−，0，3−−15．有理数a、b、c在数轴上的位置如图

：（1）用“＞”或“＜”填空a0，b0，c﹣b0．（2）化简：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|．16．计算：（1）1134.42.4322−+−+（2）()11544−+−−（3）121123436−+−−

（4）()()32116822−+−−−−17．七年级小莉同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：ababab=+−．（1）分别求(2)3−，3(2)−的值；（2）求1(3)42−

的值．18．如图，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，列式计算．（1）若从中抽取两张卡片，使这两张卡片上数字的差结果最小，则应抽取哪两张卡片，结果最小值是多少？（2）若从中抽取三张卡片，这三张卡片上的数字先让两个数相乘再与第三个数相除的结果最大，则应抽取哪三张卡片，

结果最大值是多少？19．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；数轴上表示﹣2和﹣5

的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x为；（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．获得更多资源请扫

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