【文档说明】2024届新高三开学摸底数学试卷二（新高考专用）+答案解析+含解析.docx，共(22)页，349.646 KB，由小赞的店铺上传

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2024届新高三开学摸底试卷二（新高考专用）数学(时间：120分钟满分：150分)注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本题共8小题，每小题

5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·邯郸模拟)若集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|log2x≥0}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x>0}

B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2}D．{x|0<x<1或x≥2}2．(2023·镇江模拟)命题：“∃x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是()A．∃x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∃x∈(－∞，0]，lnx＝x－1C．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．∀x∈(0，＋∞)，l

nx＝x－13．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是()A．22－1B．22＋1C.2D．224．2022年6月我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班50名同学捐款的频数分布表，若第40百分位数为m

，第80百分位数为n，则m＋n等于()捐款金额(元)305070100频数325157A.60B．70C．90D．1205．(2023·厦门模拟)已知函数f(x)＝xsinx，g(x)＝cosx，则图象为如图所示的函数可能是()A．y＝f(

x)g(x)－1B．y＝f(x)g(x)C．y＝f(x)＋g(x)－1D．y＝f(x)－g(x)＋16．(2023·汕头模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO→＝AB→＋AC→，|OA→|＝|AB→|，则向量BA→在向量BC→上的投影向量为()A.14BC→B

.34BC→C．－14BC→D．－34BC→7．已知F1，F2为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点，若OP⊥F1Q，其中O为坐标原点，则双曲线C

的离心率为()A.3＋12B.3C.32＋1D.3＋18．已知a＝log1213，b＝1312，c＝log1314，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c二、选

择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则()A．ab的最大值为8B．2a

＋b的最小值为8C．a＋b的最小值为62－3D.1a＋1＋1b＋2的最小值为2210．(2023·青岛模拟)已知圆C：x2＋y－122＝1上两点A，B满足|AB|≥2，点M(x0,0)满足|MA|＝|MB|，则下列结论中正确的是()A．当|AB|＝2时，x0＝12B．当x0

＝0时，过点M的圆C的最短弦长是23C．线段AB的中点纵坐标的最小值是1－22D．过点M作圆C的切线且切点为A，B，则x0的取值范围是－∞，－72∪72，＋∞11.如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球球心为O，E，F分别是棱AB，CC1的中点，点G在棱BC上移

动(含端点)，则()A．对于任意点G，OA∥平面EFGB．存在点G，使得OD⊥平面EFGC．直线EF被球O截得的弦长为3D．过直线EF的平面截球O所得截面圆的面积的最小值为π212．(2023·南京模拟)某企业于近期推出了一

款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款的成本为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为a元/件．现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20%的隐藏款．某产品经理现对这批盲盒进行检

验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回．若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次．记X为检验结束时所进行的检验次数，则()A．P(X＝4)＝0.1024B．E(X)<5C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到

隐藏款的概率为0.5094D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则a>18三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知sinα＋π6＝23，则cos2α＋π3＝________.14．已知P(x，y)是

函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为________．15．在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．16．已知数列{an}的通项公式an＝10n－2n，前n项和是Sn

，对于∀n∈N*，都有Sn≤Sk，则k＝________.四、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)已知数列{an}，Sn是an的前n项和，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}是等差数列，b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6.(1)求{an}，{bn}的通项

公式；(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，设cn＝(－1)n(Tn＋bn＋2)b3n＋4bn＋1bn＋2，求{cn}的前n项和Dn.18．(12分)在①b(1＋cosA)＝3asinB；②3bcosB＋C2＝asinB；③asinC＝ccosA－π6这三个

条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号)．(1)求A；(2)若a＝7，b＋c＝4，求△

ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．19．(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行

业的应用需求．某机构统计了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千万元)与收益y(千万元)的数据，如下表：投入x(千万元)578101113收益y(千万元)111516222531(1)若x与y之间线性相关，求y关于x的经验回归方程．并估计若投入15千万元，收益

大约为多少千万元？(精确到0.01)(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2,4的去乙城市．求：①A公司

派出的代表去甲城市参加活动的概率；②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率．(用最简分数作答)参考数据及公式：i＝16xiyi＝1186，b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2＝i＝1n(xi－x)(y

i－y)i＝1n(xi－x)2，a^＝y－b^x.20．(12分)(2023·永州模拟)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PB＝BD＝PD＝42，PA＝43.(1)证明：PC⊥平

面ABCD；(2)如图，取BC的中点E，在线段DE上取一点F使得DFFE＝23，求平面PAF与平面PAC夹角的大小．21．(12分)已知A′，A分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，B，F分别

是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－2.(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．

22．(12分)(2023·承德模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2－2.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)＋e－x≥0恒成立，求实数a

的取值范围．答案及解析1．(2023·邯郸模拟)若集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|log2x≥0}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x>0}B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2}D．{x|0<

x<1或x≥2}答案C解析由题意知A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则图中阴影部分为A∩B＝{x|1≤x<2}．2．(2023·镇江模拟)命题：“∃x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是()A．∃x∈(0，＋∞)，lnx

≠x－1B．∃x∈(－∞，0]，lnx＝x－1C．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．∀x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1答案C解析“∃x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”．3．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|

(i为虚数单位)的最小值是()A．22－1B．22＋1C.2D．22答案A解析∵|z|＝1且z∈C，则|z|表示复平面内的单位圆O，如图，∵|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，∴|z－2－2i|的最小

值为|OP|－1＝22－1.4．2022年6月我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班50名同学捐款的频数分布表，若第40百分位数为m，第80百分位数为n，则m＋n等于()捐款金额(元)305070100频数325157A.60B

．70C．90D．120答案D解析因为50×40%＝20，所以按从小到大排列取第20,21项数据的平均数，其平均数为50，所以m＝50.因为50×80%＝40，所以按从小到大排列取第40,41项数据的平均数，其平均数为70，所以n＝70，所以m＋n＝120.5．(2023·厦门模拟

)已知函数f(x)＝xsinx，g(x)＝cosx，则图象为如图所示的函数可能是()A．y＝f(x)g(x)－1B．y＝f(x)g(x)C．y＝f(x)＋g(x)－1D．y＝f(x)－g(x)＋1答案C解析f(π)＝0，g(π)＝－1，由图得，

当x＝π时，y<0，排除BD；f(0)＝0，g(0)＝1，由图得，当x＝0时，y＝0，排除A.6．(2023·汕头模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO→＝AB→＋AC→，|OA→|＝|AB→|，则向量BA→在向量BC→上的投影向量为()A.14

BC→B.34BC→C．－14BC→D．－34BC→答案A解析如图，由2AO→＝AB→＋AC→知O为BC的中点，∵O为△ABC的外接圆圆心，∴OA＝OB＝OC，又∵|OA→|＝|AB→|，∴AB＝OB＝

OA＝OC，∴△ABO为正三角形，∠ABO＝60°，∴BA→在BC→上的投影向量为12BO→＝14BC→.7．已知F1，F2为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点，若OP⊥F1

Q，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为()A.3＋12B.3C.32＋1D.3＋1答案D解析依题意由双曲线的对称性可知∠OF1Q＝∠OF1P＝∠F1PO，又OP⊥F1Q，所以∠OF1Q＋∠OF1P＋∠F1PO＝π2，所以∠OF1P＝π6，在△F2F1P中，∠F1PF2＝π2，设双曲线的半焦距为

c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝3c，则其离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝23－1＝3＋1.8．已知a＝log1213，b＝1312，c＝log1314，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD

．b>a>c答案D解析构造函数f(x)＝lnxx，x>e，则f′(x)＝1－lnxx2<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，所以f(12)>f(13)，即ln1212>ln1313，则a＝log1213＝ln13ln12<1312＝b，a－c＝ln13ln12－ln14

ln13＝(ln13)2－ln12×ln14ln12×ln13>(ln13)2－ln12＋ln1422ln12×ln13＝(ln13)2－(ln168)2ln12×ln13＝(ln169)2－(ln168)2ln1

2×ln13>0，则a>c，因此b>a>c.二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则()A．a

b的最大值为8B．2a＋b的最小值为8C．a＋b的最小值为62－3D.1a＋1＋1b＋2的最小值为22答案ABC解析因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋22ab，当且仅当2a＝b时取等号，解不等式得－42≤ab≤22，即0<ab≤22，所以0

<ab≤8，故ab的最大值为8，A正确；由16＝ab＋2a＋b，得b＝16－2aa＋1＝18a＋1－2，所以2a＋b＝2a＋16－2aa＋1＝2(a＋1)＋18a＋1－4≥22(a＋1)·18a＋1－4＝8，当且仅当2(a＋1)＝18a＋1，即a＝

2时取等号，所以2a＋b的最小值为8，B正确；a＋b＝a＋18a＋1－2＝a＋1＋18a＋1－3≥62－3，当且仅当a＋1＝18a＋1，即a＝32－1时取等号，所以a＋b的最小值为62－3，C正确；1a＋

1＋1b＋2≥21a＋1·1b＋2＝21ab＋2a＋b＋2＝23，当且仅当a＋1＝b＋2时取等号，所以1a＋1＋1b＋2的最小值为23，D错误．10．(2023·青岛模拟)已知圆C：x2＋y－122＝1上两点A，B满足|AB|≥2，点M(x0,0)满足|MA|＝|

MB|，则下列结论中正确的是()A．当|AB|＝2时，x0＝12B．当x0＝0时，过点M的圆C的最短弦长是23C．线段AB的中点纵坐标的最小值是1－22D．过点M作圆C的切线且切点为A，B，则x0的取值范围是－∞，－72∪72，＋∞答案CD解析圆C：x2＋

y－122＝1的圆心C0，12，半径r＝1，令圆心C到直线AB的距离为d.对于A，令直线AB：x＝22，即d＝22，显然有|AB|＝2r2－d2＝2，线段AB的垂直平分线为y＝12，此时点M不存在，即x0不存在，A不正确；对于B，当x0＝0时，点M(0,0)在圆C内，而圆C的直

径长为2，则过点M的圆C的最短弦长小于2，而23>2，B不正确；对于C，令线段AB的中点P(t，s)，则|PC|＝d＝r2－12|AB|2≤1－222＝22，则t2＋s－122≤12，即

s－122≤12，解得1－22≤s≤1＋22，当且仅当t＝0时取等号，所以smin＝1－22，C正确；对于D，依题意知MA⊥AC，MC⊥AB，12|AB|·|MC|＝|MA|·|AC|，因为|MA|＝|MC|2－1，所以2|M

C|2－1|MC|＝|AB|≥2，解得x0≤－72或x0≥72，所以x0的取值范围是－∞，－72∪72，＋∞，D正确．11.如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球球心为O，E，F分别是棱AB，CC1的中点，点G在棱BC上移动(含端点)，则()A．对于任意点G，OA

∥平面EFGB．存在点G，使得OD⊥平面EFGC．直线EF被球O截得的弦长为3D．过直线EF的平面截球O所得截面圆的面积的最小值为π2答案BD解析正方体内切球的球心O即为正方体的中心，且球的半径R＝1，如图．当点G与点B重合时，A∈平面EFB，O∉平面EFB，此时直线OA与平

面EFG相交，A错误；连接BD，当G为BC的中点时，EG⊥BD，EG⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，则EG⊥平面BB1D1D，因为B1D⊂平面BB1D1D，所以EG⊥B1D；同理，FG⊥B1D，因为EG∩FG＝G，EG，FG⊂平

面EFG，所以B1D⊥平面EFG，即OD⊥平面EFG，B正确；取EF的中点M，连接OM，EC，由对称性可知，OE＝OF，则OM⊥EF.因为OE＝2，EM＝12EF＝12EC2＋FC2＝62，则OM＝OE2－EM2＝22，所以直

线EF被球O截得的弦长为2R2－OM2＝21－222＝2，C错误；设截面圆的半径为r，球心O到截面的距离为d，则r2＋d2＝R2＝1，因为d≤OM＝22，则r2＝1－d2≥12，所以截面圆的面积S＝πr2≥π2，D正确．12．(2023·南京模拟)某企业

于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款的成本为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为a元/件．现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20%的隐藏款．某产品经理现对这批盲盒进行检验

，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回．若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次．记X为检验结束时所进行的检验次数，则()A．P(X＝4)＝0.1024B．E(X)<5C．

若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则a>18答案ABD解析对于A，记检测到隐藏款的概率为p＝0.2，则P(X＝4)＝(1－p)3·p＝0.1024，故A正确；对于B，由题意得X

的分布列为P(X＝i)＝(1－p)i－1·p，1≤i<20，(1－p)19，i＝20，且E(X)＝1·p＋2(1－p)·p＋…＋19(1－p)18·p＋20(1－p)19；记S＝1＋2(1－p)＋…＋19(1－p)18，则(1－p)S＝(1－p)＋2(1－p)2＋…＋18(1－p)18

＋19(1－p)19，两式相减得pS＝1＋(1－p)＋(1－p)2＋…＋(1－p)18－19(1－p)19＝1－(1－p)191－(1－p)－19(1－p)19＝1－(1－p)19p－19(1－p)19，所以E(X)＝pS＋20(1－p)19＝1－(1－p)19p－19(1－p

)19＋20(1－p)19＝1－(1－p)20p＝5[1－(1－p)20]<5，故B正确；对于C，没有抽到隐藏款的概率为(1－0.2)5，抽到隐藏款的概率为1－(1－0.2)5＝0.67232，故C错误；对于D，设总共有n件盲盒，则利润为na－20%×50n－80%×10n>0，解得

a>18，则定价a>18才能保证获利，故D正确．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知sinα＋π6＝23，则cos2α＋π3＝________.答案59解析cos2α

＋π3＝1－2sin2α＋π6＝1－2×29＝59.14．已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为________．答案455解析当点P到直线2x－y－3＝0的距离最小时，曲线y＝ex＋x在点P处的切线与直线2x－y－3

＝0平行，对函数y＝ex＋x求导得y′＝ex＋1，令y′＝2，可得x＝0，则y＝e0＋0＝1，此时，点P的坐标为(0,1)，因此，点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为|－1－3|5＝455.15．在(3＋y)

(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．答案6解析∵(3＋y)(x－y)4＝(3＋y)·(C04x4－C14x3y＋C24x2y2－C34xy3＋C44y4)，∴展开式中含x2y3的项为y·C24x2y2＝C24x2y3＝6x2y3，故

它的展开式中x2y3的系数为6.16．已知数列{an}的通项公式an＝10n－2n，前n项和是Sn，对于∀n∈N*，都有Sn≤Sk，则k＝________.答案5解析如图，为y＝10x和y＝2x的图象，设两个交点为A，B，因为a1＝10－2＝8>0，所以

0<xA<1，因为a5＝50－32＝18>0，a6＝60－64＝－4<0，所以5<xB<6，结合图象得，当n∈[1,5]时，10n>2n，即an>0，当n∈[6，＋∞)时，10n<2n，即an<0，所以当n＝5时，Sn取得最大值，即k＝5.

四、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)已知数列{an}，Sn是an的前n项和，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}是等差数列，b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，设cn＝(－

1)n(Tn＋bn＋2)b3n＋4bn＋1bn＋2，求{cn}的前n项和Dn.解(1)在数列{an}中，满足Sn＝2an－1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减，可得an＝2an－1，即anan－1＝2

，当n＝1时，S1＝2a1－1，解得a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1.由{bn}是等差数列，设等差数列{bn}的公差为d，因为b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6，可得2b1＋6d＝8，16－(b1＋3d

)＝2(b1＋5d)，解得b1＝1，d＝1，所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.(2)由(1)可得Sn＝2n－1，则Tn＝2(1－2n)1－2－n＝2n＋1－n－2，所以cn＝(－1)n(Tn＋bn＋2)b

3n＋4bn＋1bn＋2＝(－1)n(3n＋4)2n＋1(n＋1)(n＋2)＝(－1)n2n＋1n＋1＋2n＋2n＋2，则Dn＝－222－233＋233＋244－244－255＋…＋(－1)n

2n＋1n＋1＋2n＋2n＋2＝－2＋(－1)n2n＋2n＋2，即Dn＝－2＋(－1)n2n＋2n＋2.18．(12分)在①b(1＋cosA)＝3asinB；②3bcosB＋C2＝asinB；③asinC＝ccos

A－π6这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号)．(1)求A；(2)若a＝7，b＋c＝4，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解

(1)选①：由正弦定理得sinB(1＋cosA)＝3sinAsinB，又sinB≠0，∴1＋cosA＝3sinA，即3sinA－cosA＝1，所以2sinA－π6＝1，则sinA－π6＝12，又0<A<π，∴A＝π3.选②：由正弦定理得3sinBcosB＋C2＝

sinAsinB，又sinB≠0，∴3cosB＋C2＝sinA，由π－A＝B＋C，得3sinA2＝2sinA2cosA2，又sinA2≠0，∴cosA2＝32，又0<A<π，∴A＝π3.选③：由正弦定理得sinAsinC＝sinCcos

A－π6，又sinC≠0，∴sinA＝cosA－π6＝32cosA＋12sinA，∴12sinA＝32cosA，则tanA＝3，又0<A<π，∴A＝π3.(2)由(1)及余弦定理知，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，又a＝7，b＋c＝4，∴(b

＋c)2－a2－2bc2bc＝92bc－1＝12，即92bc＝32，可得bc＝3，∴S△ABC＝12bcsinA＝334.19．(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速

率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求．某机构统计了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千万元)与收益y(千万元)的数据，如下表：投入x(千万元)578101113收益y(千万元)111516

222531(1)若x与y之间线性相关，求y关于x的经验回归方程．并估计若投入15千万元，收益大约为多少千万元？(精确到0.01)(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛

掷一次，掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2,4的去乙城市．求：①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率．(用最简分数作答)参考数据及公式：i＝16xiyi＝1186，b^＝i＝1nx

iyi－nxyi＝1nx2i－nx2＝i＝1n(xi－x)(yi－y)i＝1n(xi－x)2，a^＝y－b^x.解(1)x＝5＋7＋8＋10＋11＋136＝9，y＝11＋15＋16＋22＋25＋

316＝20，b^＝i＝16xiyi－6xyi＝16x2i－6x2＝1186－1080528－486≈2.52，a^≈20－2.52×9＝－2.68，则y^＝2.52x－2.68，当x＝15时，y^＝35.12，所以当投入15千万元时

，收益大约为35.12千万元．(2)①设“某位代表去甲城市参加活动”为事件A，则P(A)＝23，所以A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率为23，②设“6位代表中去甲城市参加活动的人数少于去乙城市参加活动的人数”为事件B，P(B)＝C06230136＋C16

231135＋C26232134＝73729.20．(12分)(2023·永州模拟)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PB＝BD＝PD＝42，PA＝

43.(1)证明：PC⊥平面ABCD；(2)如图，取BC的中点E，在线段DE上取一点F使得DFFE＝23，求平面PAF与平面PAC夹角的大小．(1)证明因为AB＝AD＝4，BD＝42，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，又因为四边形ABCD为菱形

，所以四边形ABCD为正方形，因为AB＝4，PB＝42，PA＝43，所以AB2＋PB2＝PA2，所以AB⊥PB，因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面BPC，所以AB⊥平面BPC，又因为PC⊂平面BPC，所以AB⊥PC，因为AD＝4，PD＝42，PA＝43，所以A

D2＋PD2＝PA2，所以AD⊥PD，因为PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，又因为PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC，因为AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥平面ABCD.(2)解由(1)知，CD，CB，CP两两

垂直，所以以C为坐标原点，CD，CB，CP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在△PBC中，PC＝PB2－BC2＝4，则A(4,4,0)，B(0,4,0)，C(0,0,0)，D(4,0

,0)，E(0,2,0)，P(0,0,4)，所以DE→＝(－4,2,0)，AD→＝(0，－4,0)，PA→＝(4,4，－4)，因为DFFE＝23，则DF→＝25DE→＝－85，45，0，AF→＝AD→＋DF→＝－85，－165，0，设平面

PAF的法向量为m＝(x，y，z)，则m·AF→＝0，m·PA→＝0，即－85x－165y＝0，4x＋4y－4z＝0，令y＝1，得x＝－2，z＝－1，得m＝(－2,1，－1)，又由(1)知，底面A

BCD为正方形，所以AC⊥BD，因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BD，因为AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，所以BD→＝(4，－4,0)是平面PAC的一个法向量，设平面PAF与平面PAC的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈m，BD→〉|＝|m·BD→||m||

BD→|＝126×32＝32，所以平面PAF与平面PAC夹角的大小为π6.21．(12分)已知A′，A分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|F

A′|＝2－2.(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．(1)解因为PF⊥A′A，故可设P(－c，y0)，因为AB∥OP，故kAB＝kOP，即－ba＝－y0c，解得y

0＝bca.又点P－c，bca在椭圆C上，故c2a2＋b2c2a2b2＝1，解得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a＝2b＝2c.又|FA′|＝2－2，故|FA′|＝a－c＝(2－1)c＝2－2，故c＝2，a＝2，b＝2.故C

的方程为x24＋y22＝1.(2)证明因为椭圆C的方程为x24＋y22＝1，故F(－2，0)，A(2,0)，由题意知，直线l的斜率不为0，故可设l：x＝ty－2.联立x24＋y22＝1，x＝ty－2，可

得(t2＋2)y2－22ty－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝22tt2＋2，y1y2＝－2t2＋2.故k1k2＝y1x1－2·y2x2－2＝y1y2(ty1－2－2)(ty2－2－2)＝y1y2t2y1y2－(2＋2)t(y

1＋y2)＋(2＋2)2＝1t2－(2＋2)t·y1＋y2y1y2＋(2＋2)2y1y2＝1t2＋2(2＋2)t2－(2＋2)2×t2＋22＝1－2×(3＋22)＝2－32，所以k1k2为定值2－32.22．(12分)(2023·承德模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2－2.(

1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)＋e－x≥0恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝e时，f(x)＝ex－ex2－2，所以f′(x)＝ex－2ex，故k＝f′(1)＝－e.又f(1)＝－2，所以切点坐标为(1

，－2)，故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝－e(x－1)，即y＝－ex＋e－2，所以切线与坐标轴的交点坐标分别为(0，e－2)，e－2e，0，故所求三角形的面积为12×(e－2)×e－2e＝(e－2

)22e＝e2－4e＋42e＝e2＋2e－2.(2)由f(x)＋e－x≥0，得ex＋e－x－ax2－2≥0恒成立，令g(x)＝ex＋e－x－ax2－2，则g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数．故只要求当x≥0时，g(x)≥

0恒成立即可．g′(x)＝ex－e－x－2ax，设h(x)＝ex－e－x－2ax(x≥0)，故h′(x)＝ex＋e－x－2a(x≥0)，设H(x)＝ex＋e－x－2a(x≥0)，则H′(x)＝ex－e－x(x≥

0)，显然H′(x)在[0，＋∞)上单调递增，故H′(x)≥H′(0)＝0，即H(x)在[0，＋∞)上单调递增，H(0)＝2－2a.当a≤1时，H(0)＝2－2a≥0，则有h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，则g(x

)在[0，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(0)＝0，符合题意；当a>1时，H(0)＝2－2a<0，又H(ln2a)＝12a>0，故存在x0∈(0，ln2a)，使得H(x0)＝0，故h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．当x∈(0，x0)时，h(x)

<h(0)＝0，故g(x)在(0，x0)上单调递减，故g(x)<g(0)＝0，与g(x)≥0矛盾．综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

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