【文档说明】山西省2023届高三适应性考试数学试题 含解析.docx，共(27)页，2.395 MB，由小赞的店铺上传

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数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|(1)4Axx=−，Z|22Byy=−，则AB=（）A.2,1,0,1,2−−B.2,1−−C.|22,3

xxx−D.|21xx−−【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合A，再根据交集定义求解.【详解】由2(1)4x−可得2230xx−−解得1x−或3x，所以|1Axx=−或3x，又因为2,1,0,1,2B=−

−，所以AB=2,1−−，故选:B.2.若复数z满足2zz+=，122z=，则z=（）A.1iB.13iC.1i+D.13i+【答案】A【解析】【分析】设i,,Rzabab=+，根据题意2zz+=可求得出a，根据122z=求得b，即得答案.【详解】设i,,Rzabab=+，由

2zz+=可得i+i2,1ababa+−==，由122z=得2z=，即212b+=，故1b=，所以1iz=，故选：A3.设向量a，b的夹角为60，且2a=，4b=，则ab−=rr（）A.32B.4C.23D.2【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出向量

的数量积ab，再计算向量模的平方，最后得出结果.【详解】因为cos6024cos604abab===，所以22224241612abaabb−=−+=−+=，所以23ab−=rr，故选：C.4.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”()R1,Q,0,Q,x

Dxx=ð它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数()()2fxxDx=−，则下列实数不属于函数()fx值域的是（）A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求出()

fx，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解.【详解】由题意可知()()222R1,Q,,Q.xxfxxDxxx−=−=ð所以()21110f=−=，()()2222f==，()()2333f==，而()1fx=无解.故选：C.5.2222除以5的余

数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理即可求解.【详解】由题意可知，()1122482521=−()()()()2101101111029101111111111111C485

C4851C4851C4851C1=+−+−++−+−，由此可知2222除以5的余数，即为()111111C11−=−除以5的余数，故所求余数为4.故选：D.6.已知函数()()3sincos0fxxx=−，集合()()0,π1

xfx=中恰有3个元素，则实数的取值范围是（）A.3,32B.3,32C.7,33D.7,33【答案】D【解析】【分析】利用三角变换将函数()sincosfxxx=−转化为π()2sin()6fxx

=−.集合()(0,π)1Axfx==只含有3个元素，表示()1fx=时在(0,π)上只有三解，求出π2sin()16x−=的根，从而得出的范围.【详解】因为函数()()sincos0fxxx=−，所以π()2sin()6fxx=−，因

为集合()(0,π)1Axfx==含有3个元素，所以()1fx=时在(0,π)上只有三解，即π2sin()16x−=，解得：ππ2π66xk−=+或π5π2π,Z66xkk−=+，故π2π3kx=+或π2π,Zkxk=+，要使其落在(0,π)上

，故只有πx=、π3、7π3，其他值均不在(0,π)内，故π0ππ0π37π0π33ππ，解得113733，故733，故选：D.7.一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比

为2:1，则其内切球的半径是（）A.22B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据圆锥体积与其内切球体积之比求得圆锥底面半径与内切球半径的关系，结合轴截面中三角形的相似，列出比例式，即可求得答案.【详解】设圆锥体积为1V，底面

半径为R，其内切球体积为2V，半径为r，由题意可得21321π231π344RVVr==,则232Rr=①，又POD∽PBC可得ODPOBCPB=，即2416rrRR−=+，两边平方得2222(4)16rrRR−=+②，将①代人②化简整理得2210rr−+=，则1r=，故选：B

8.已知函数()lnfxx=，()()0,0agxxxa=，若存在直线l，使l是曲线()yfx=的切线，也是曲线()ygx=的切线，则实数a的取值范围是（）A.()10,1,e+B.

1,e+C.()1,11,e+D.()1,+【答案】A【解析】【分析】分别设出直线l与两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到221lnln1aaxxa+−=−，记()ln(0ahxxxa=−且1)a，利

用导数与函数的单调性即可求解.【详解】设直线l为曲线()lnfxx=在点11(,())xfx处的切线，11()1fxx=，所以1111:ln()lyxxxx−=−，即111:ln1lyxxx=+−；设直线l为曲线()()0,0agxxxa=在点2

2(,())xgx处的切线，1()agaax−=，所以1222:()aaalyxaxxx−−=−，即122:(1)aalyaxxax−=+−，由题意知121121ln1(1)aaaxxxax−=−=−，因为120,0xx，由1211aaxx−=可得12lnln(1)

lnxaax=−−−，将其代入12ln1(1)axax−=−可得：22ln(1)ln1(1)aaaxax−−−−=−，显然1a，整理得221lnln1aaxxa+−=−.记()ln(0ahxxxa=−且1)a，则111()aaaxhxaxxx−−=−=，当11(0,())axa

时，()0hx；当11((),)axa+时，()0hx，所以函数()hx在11(0,())aa上单调递增，在11((),)aa+上单调递减，所以1max11ln()(())aahxhaa+==−，则2max()()hxhx

，即1ln1ln1aaaa++−−，化简得1ln0(1)aaa+−，解得1(0,](1,)ea+，故选：A.【点睛】求曲线的切线问题主要分两大类：一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；另一类切点未知，那么先要设出

切点坐标00(,)xy，再考虑利用条件解出核心要素0x，进而转化成第一是类问题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）

A.sinsin()eexxfx=+是偶函数B.若命题“xR，2210xax++”是假命题，则11a−C.设x，yR，则“1x，且1y”是“222xy+”的必要不充分条件D.0ab，111abba−=−【答案】ABD【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项

A；根据特称命题的的真假判断选项B；根据必要不充分条件的判断即可判断选项C；根据等式的性质判断选项D.【详解】对于A，函数sinsin()eexxfx=+的定义域为R，且sinsinsinsin()eeee()xxxxfxfx−−−=+=+=，

所以函数为偶函数，故选项A正确；对于B，若命题“xR，2210xax++”是假命题，则2210xax++恒成立，所以2(2)40a=−，解得11a−，故选项B正确；对于C，若1x，且1y

，则222xy+成立，反之不一定成立，例如：2,3xy=−=−满足222xy+，但是0,0xy，故“1x，且1y”是“222xy+”充分不必要条件，故选C错误；对于D，若111abba−=−，则2230aabb−+=，当352ba=时方程有解，所以0ab，111abba−

=−，故选项D正确；故选：ABD.10.树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h）的数据如下：男生：6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、

9.2、9.3、9.8、10.1；女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4.以下判断中正确的是（）A.女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8B.男生每周锻炼身体平均时长的80%分位数是

9.2C.男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的概率的估计值为0.3125D.与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大【答案】BD【解析】【分析】根据平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用频率估计概率可判断C选项；利用极

差与男生、女生锻炼的平均时长的分布可判断D选项.【详解】对于A选项，由平均数公式可知，女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于5.15.666.36.56.87.27.37.57.78.18.28.48.69.29.416+++++++++++++++()

7.36875h=，A错；对于B选项，因为160.812.8=，因此，男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2h，B对；对于C选项，男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的有4周，所求概率为40.2516=，C错；对

于D选项，男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间()8,9内共有8个，女生有4个，男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间()7,10内的共14个，女生为10个，男生每周锻炼身体的平均时长的极差为10.16.33.8−=，女生为9.45.14.3−=，据此可知

与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，所以，与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，D对.故选：BD.11.已知数列na的前n项和为nS，1nnnSaS−=，下列结论正确的是（）A.()1122nnSnS−=−B.11nS−为等差

数列C.222132114nSSSn−D.1nnan=+的【答案】ABC【解析】【分析】根据数列递推式，令1n=，求得112a=，于是当2n时，可得11nnnnSSSS−−=−，平方后即可判断A

；结合以上分析可推出111111nnSS−−=−−−，判断B；由此可求得1nnSn=+，继而求得1(1)nann=+，判断D；设2221321()4nfnnSSS−=，判断其单调性，可推出()()1fnf，结合112a=，即可判断C.【详解】当1

n=时111111,,2aaaa−==，当2n时，11nnnnSSSS−−=−，平方可得112nnnnSSSS−+−=−，11112,(2)2nnnnSSnSS−−=−=−，选项A正确；则2n时，111

111122nnnnSSSS−−−−−=−=−−，所以1111211111,111111nnnnnnSSSSSS−−−−−==−−=−−−−−−,故1{1}nS−是首项为1121S=−−，公差为1−的等差数列，选项B正确；则12(1)(1)(1)1nnnS

=−+−−=−+−，,N1nnSnn=+，所以22111()1()(1)nnnnnaSnnnnS+=−−=++=，选项D错误；记2221321()4nfnnSSS−=，则22221(1)1121(21)1()11()224(1)4(1)nfnnnnnSfnnnnnnnn++++++=

===++++，故()()1fnfn+，()fn为递增数列，所以()()21141ffan==，即222132114nSSSn−，选项C正确，故选：ABC【点睛】难点点睛：此题综合考查了数列的递推式、通项公式以及数列

的单调性等，综合新较强，难点在于选项C的判断，解答时要巧妙设出2221321()4nfnnSSS−=，进而利用(1)()fnfn+判断其单调性，由此即可判断结论正确与否.12.如图，双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点2

F且斜率为3的直线l交双曲线C的右支于A、B两点，且227AFFB=，则（）A.双曲线C的离心率为73B.12AFF△与12BFF△面积之比为7:1C.12AFF△与12BFF△周长之比为7:2D.12AFF△与12BFF△内

切圆半径之比为3:1【答案】BD【解析】【分析】设设2FBm=，则27AFm=，则172AFma=+，12FBma=+，在12AFF△和12BFF△中由余弦定理可得32ca=，即可得离心率可判断A；将32ca=代入可得57ma=，进而可得12AFF△与12BFF△周长可判断C；由227AFFB

=可得12AFF△与12BFF△面积之比可判断C；由三角形的面积等于12乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断D，进而可得正确选项.【详解】设2FBm=，()270AFmm=，由双曲线的定义可得：12

272AFAFama=+=+，1222FBFBama=+=+，在12AFF△中，由余弦定理可得：()()()2227272272cos120mamcmc+=+−，即22214270aamccm+−−=，所以2222714accmam

−=−，在12BFF△中，由余弦定理可得：()()2222222cos60mamcmc+=+−，即222220aamccm+−+=，所以22222accmam−=−−，所以，7142cmamcmam−=−−，整理可得32ca=，所以该双曲线的离心率为32e=，A错；对于B选项

，1212227AFFBFFSAFSBF==△△，B对；对于C选项，因为32ca=，代入222220aamccm+−+=可得2222527camaac−==+，所以，275AFma==，1527AFaaa=+=，

12AFF△的周长为121275215AFAFFFaaca++=++=，257BFma==，1519277aaBFa=+=，所以，12BFF△的周长为1212195452777aaaBFBFFFc++

=++=，所以，12AFF△和12BFF△的周长之比为45715:73aa=，C错；对于D选项，设12AFF△和12BFF△的内切圆半径分别为1r、2r，则1212121152714527AFFBFFarSaSr==△△，解得123rr=，D对.故选：BD.【点睛】方法点睛：求解椭

圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊

位置或特殊值，求得离心率.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个袋子里装有4个红球3个白球3个蓝球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.则第一次摸到红球的概率是_______，第一次没有摸到红球且第二次摸到红球的概

率是_______.【答案】①.0.4##25②.415【解析】【分析】第一空，根据古典概型的概率公式即可求得答案；第二空，根据全概率公式结合条件概率的计算即可求得答案.【详解】设iH表示“第i次摸到红球”，iB表示“第i次摸到白球”，iL表示“第i次摸到蓝球”，1,2i=，则第一次摸到红球概率

为140.44()33PH==++；第一次没有摸到红球第二次摸到红球包括第一次摸到白球第二次摸到红球，和第一次摸到蓝球第二次摸到红球，所以所求概率为21121211344(|)()(|)()(|)210

915PHHPBPHBPLPHL=+==，故答案为：40.4;15.14.(),Pxy为圆C：()()22215xy−+−=上任意一点，且点P到直线1l：240xy−+=和2l：20xym−+=的距离之和与点P的位置无关，则m的取值范围是_______.【答案】(,8]

−−【解析】【分析】作出图形，结合图形可知当圆C位于直线1l与2l之间时即为所求，根据直线与圆相切时是临界值即可求解.【详解】由图可知当圆C位于两直线1l与2l之间时，的点P到两直线1l和2l的距离之和即为1l与2

l两平行直线间的距离，即点P到直线1l和2l的距离之和与点P的位置无关，当直线2l与圆相切时，4155m−+=，解得8m=−或2m=（舍去），所以8m−，即m的取值范围是(,8]−−，故答案为：(,8]−−.15.如图，直三棱柱111ABCABC-中，122BCAA==

，3ABAC==，P为线段1AB上的一个动点，则PAPC+的最小值是_______.【答案】7【解析】【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解.【详解】将图1中的1AAB和1ABC放置于同一平面内，如图2所示，则PAPCAC+.因为直三棱柱111

ABCABC-中，122BCAA==，3ABAC==，所以1RtAAB△中，1130,2ABAAB==.同理，在1AAC△中，12AC=,所以160,ABC=所以在图2中，1190ABCABAABC=+=,所以2227ACABBC=+=,即7AC

=.所以PAPC+的最小值是7.故答案为：7.16.已知函数()fx，()gx定义域均为R，且()()()13122fxfxgx+=−+，()()()13122gxgxfx+=−−，()()5fxfx=−，()3653g=−，则()20231kfk==___

____.【答案】2【解析】【分析】根据已知条件及函数值的定义，结合函数的周期性即可求解.【详解】由()()()13122fxfxgx+=−+，得()()()233133gxfxfx=++①，所以()()()23312133gxfxfx+=+++②.将

①②代入()()()13122gxgxfx+=−−，并整理得()()()21fxfxfx+=−+−，所以()()()()321fxfxfxfx+=−+−+=，所以()fx是以3为周期的周期函数.由①可知，()gx也是以3为周期的

周期函数，所以()()23653gg==−.由①得()()()233322333ffg+==−，又因为()()5fxfx=−，所以()()()3532fff=−=，解得()()321ff==−，所以()()()()14322ffff==−−=.所以()()()()()(

)()()20231674123167421122kfkffff==+++=+−+−+=.故答案为：2.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件求出函数()fx，()gx的周期，利用函数的周期性即可.四、解答题：本题共6小题，

共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.17.已知数列na是正项等比数列，且417aa−=，238aa=.（1）求na的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列nb的前n项和nS.①()21nnbna=−；②()22121lognnbna=+.【答案】

（1）12nna−=（2）选①，()2323nnSn=−+；选②，21nnSn=+.【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质可得出关于1a、4a的方程组，解出这两个量的值，可求得数列na的公比，进而可求得数列na的通项公式；（2）选①，利用错位相减

法可求得nS；选②，利用裂项相消法求得nS.【小问1详解】解：由等比数列的性质可得14238aaaa==，由题意可得411414780,0aaaaaa−==，解得1418aa==，所以，等

比数列na的公比为4312aqa==，所以，1112nnnaaq−−==.【小问2详解】解：若选①，()()121212nnnbnan−=−=−.所以，()0121123252212nnSn−=++++−，①

则()()12121232232212nnnSnn−=+++−+−，②①−②得()()()()2112121212222212121212nnnnnSnn−−−−=++++−−=+−−−()()11242123223nnnnn+=+−

−−=−−，因此，()2323nnSn=−+；若选②，()()()221111121log212122121nnbnannnn===−++−−+，所以，11111112335212121nnSnnn

=−+−++−=−++L.18.如图，四边形ABCD中，24ABAD==，BDBC=，π2DBC=，DAB=，7sincos4+=.（1）求ABD△的面积；（2）求线段AC长度.【答案】（1）752+（2）214【解析】【分析】（1）根据已知条件及

同角三角函数的平方关系，利用三角形的内角的范围及三角形的面积公式即可的求解；（2）根据（1）的结论及余弦定理，利用正弦定理及三角函数的诱导公式即可求解.【小问1详解】因为7sincos4+=①，所以()27sincos1

6+=，即92sincos016=−.因为为ABD△的内角，所以sin0,cos0.又()225sincos12sincos16−=−=，所以5sincos4−=②，联立①②，得75sin8+=，75cos8−=，所以ABD△的面积

为17521sin4227528ABDSABAD+=+==.【小问2详解】由（1）知75cos8−=,75sin8+=，由余弦定理，得22222cosBCBDADABADAB==+−22724242753028=−=+−−.设ABD=,由正弦定

理,得sinsinADBD=，即2sinsinBD=，所以π2sincoscossin2ABCBD=+=−=−.在ABC中，由余弦定理,得2222cosACABBCABBCABC=+−()2sin16302724BDBD=+−−−

462716sin46617558276=−−++==+，所以214AC=.19.某农科所对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新品种发芽率之间的关系进行分析研究，记录了2023年1月1日至1月12日大棚内的昼夜温差与每天每100颗

种子的发芽数，得到如下资料：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日温差x/℃101113128109111310129发芽数y/颗212428281522172230182718121128iix==；121270iiy==；1212965iiixy==

；12211394iix==已知发芽数y与温差x之间线性相关，该农科所确定的研究方案是：先从这12组数据中选取2组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻

2天的数据的概率；（2）若选取的是1日与6日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出y关于x的线性回归方程ybxa=+$$$；（精确到1）（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问：（2）中所得的线性回归方程是否

可靠.参考公式：回归方程ybxa=+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−$$.【答案】（1）16（2）310yx=−$（3）是可靠的【解析

】【分析】（1）利用组合及组合数公式，结合古典概型的概率的计算公式即可求解；（2）根据已知条件及参考数据，求出,ba，进而即可求出回归方程；（3）利用（2）的回归方程求出10x=时的预报值，结合已知条件即可求解.【小问1详解】从12组数据中任选2组，选法数为212C;选取的2组

数据恰好是相邻的2天，选法数为11；所以所求概率为21211111C666P===.【小问2详解】设剩下的10组数据分别为()()()11221010,,,,,,uvuvuv.1012111021102229654302535iiiiiiuvxy===−−=−

=;1212111110.8,22.710102043iiiivyux======−−，101010.822.72451.6uv==；1012222112101394200

1194iiiiux===−=−=，22101010.81166.4u==；所以110122101025352451.63.0.11941166.4iiiiiuvuvbunu==−−==−−所以22.7310.89.710avbu=−=−=−−$$.所以所求回归方程为310

yx=−$.【小问3详解】当10x=时，3101020y=−=$.因为212012;22202−=−=，所以根据所给的研究方案，可以判断（2）中所得的线性回归方程是可靠的.20.如图①，在矩形ABCD中，222==ADAB，E为AD的中点，如图②，沿BE

将ABE折起，点P在线段AD上.（1）若2APPD=，求证：ABP平面PEC；（2）若平面ABE⊥平面BCDE，是否存在点P，使得平面AEC与平面PEC的夹角为90°？若存在，求此时三棱锥CAPE−的体积；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解

析（2）存在点P，三棱锥CAPE−的体积为29.【解析】【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，

再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】连接BD与CE交于点Q，连接PQ,如图所示由题意可得1,2DEBCDEBC=∥,所以12DQDEBQBC==.又因为2APPD=,所以12DPDQPABQ==,所以ABPQ∥.因为PQ平面,PECAB平面PEC,所以ABP平面PE

C.【小问2详解】由（1）知，当2APPD=时，PQAB∥.因为ABAE⊥,所以AEPQ⊥.取BE的中点为O,连接AO,如图所示由已知得，在矩形ABCD中，E为AD的中点，ABAE=，O是BE的中点，所以AOBE⊥,因为

平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE平面BCDEBE=,AO平面ABE,所以AO⊥平面BCDE.由已知得，在矩形ABCD中,O是BE的中点，所以222BEABAE=+=，所以112AOBE==.由已知得，在矩形ABCD中，E为AD的

中点，12ABAEAD==.所以12DEDCAD==,所以45AEBDEC==,所以90BEC=o,即CEBE⊥.因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE平面BCDEBE=,CE平面BCDE,所以CE⊥平面ABE.因为AE平面ABE,所以CEAE⊥.又

因为CEPQQ=,CE平面PEC,PQ平面PEC,所以⊥AE平面PEC.因为AE平面AEC,所以平面AEC⊥平面PEC，即当2APPD=时，平面AEC与平面PEC的夹角为90°.此时，22213333CAPECADEACDECDEV

VVSOA−−−===212221929==.21.已知函数()()2lnln12xfxxx=−++−，()()221e2xaxgxxa=−−+，1a.（1）判断()fx的单调性；（2）若()gx有唯一零点，求a取值范围.【答案】（1）

()fx在(0,)+上单调递增．（2）)11[0−,.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，判断其正负，即可确定函数单调性.（2）求出函数()gx的导数()()exgxxa=−，对a分类讨论，判断函数单调性，结合函数最值以及零点存在定理判断函

数零点个数，综合即可求得答案.【小问1详解】()fx定义域为(0,)+ln1ln1()1xxxfxxxx−+=−++=,记11()ln1,()1xhxxxhxxx−=−+=−=,当(0,1)x时，()0hx；当(1,)x+时，()0hx，∴()h

x在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，故()()()120,0hxhfx=，∴()fx在(0,)+上单调递增．【小问2详解】()gx定义域为R，()()eexxgxxaxxa

=−=−，①当0a=时，()()1exgxx=−有唯一零点1x=，符合题意；②当0a时，e0xa−，当)0(x−,时，()()0,gxgx在(0)−,单调递减；当0()x+,时，()()0,gx

gx在(0),+单调递增，故()()2min01gxga==−，若1a−，则()()()00,gxggx无零点，不符题意；的若1a=−，()gx有唯一零点0x=，符合题意；若10a−，则()2010ga=−，又21(1)02gaa=−，1x−

时，()1e12xxxx−−，20a，∴2()2(4),22axxgxxax−=−4()0ga，故()gx在4(0,1),(,0)a内各有一个零点，函数有两个零点，不符题意；③当01a时，当)1n(,0xa时，()0

,gx当())0,(,lnxa−+U时，()0,gx则()gx在(),(),ln0a−+，上单调递增，在(1n0)a,上单调递减，又()()22(ln)lnln1()(1)02aagaaaaaf

aaf=−−+==，1x时，令2()e,()e2xxmxxmxx=−=−，令()e2,()e20xxnxxnx=−=−，即()2xmxex=−在(1,)+单调递增，故()(1)e20mxm=−，故2()xmxex=−在(1,

)+单调递增，则()(1)e10mxm=−，所以2exx，故222g()(1)(1)22axaxxxxx−−=−−，则g(1)02a+，故()gx此时在(ln,1)2aa+上有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为)11[0−,.【点睛】方法点睛：解答本题第二

问根据零点的个数求参数的范围时，综合性较强，计算量大，求出函数的导数后，对a分类讨论，判断函数的单调性，结合导数知识以及零点存在定理，判断零点个数，即可解决问题.22.已知椭圆C：()2221024xybb+=，设过点()1,0A的直

线l交椭圆C于M，N两点，交直线4x=于点P，点E为直线1x=上不同于点A的任意一点.（1）若1AM，求b的取值范围；（2）若1b=，记直线EM，EN，EP的斜率分别为1k，2k，3k，问是否存在1k，2k，3k的某种排列1ik，2ik，3ik（其中123,,1,2,3iii=，使得

1ik，2ik，3ik成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.【答案】（1）[2,2)（2）1k，3k，2k或231,,kkk成等差数列,证明见解析.【解析】【分析】（1）设点()11,Mxy，表示出AM，结合1AM

可得21224bxb−，结合122x−可得不等式，即可求得答案；（2）判断出结论，加以证明；考虑直线l的斜率为0和不为0两种情况；当直线l斜率不为0时，设直线1122:10),(,()),(lxmym

MxyNxy=+，联立方程，可得根与系数的关系，利用12121211ytytkkxx−−+=+−−结合根与系数关系式化简，即可证明结论.【小问1详解】设点()11,Mxy，其中2211121,224xyxb+=−且11x，则2211||(1)AMxy=−+22211(1)

(1)4xxb=−+−22211(1)214bxxb=−−++，由1AM，得222221111(1)2(2)(1)0442bbbxxbxx−−+=−−−，12,02xb，22221112220,10,(1)0,4424bbbbxxxb−−−

−−，只需22224bb−，又02b，故22b,所以b的取值范围是[2,2).【小问2详解】1k，3k，2k或231,,kkk成等差数列,证明如下：若1b=，则22:14xCy+=，设点(),1,0Ett.①若直线l斜率为0，则点()4,0P，不妨令点()()2,0,2,0MN−

，则123,,33ttktkk=−==−，此时123,,kkk的任意排列1ik，2ik，3ik均不成等比数列，1k，3k，2k或231,,kkk成等差数列.②直线l斜率不为0，设直线1122:10),(,()),(lxmymMxyNxy=+,则点3(4,)Pm，由2

2114xmyxy=++=得22(4)230mymy++−=，216(3)0m=+，故12122223,44myyyymm−−+==++，因为121231233,,1133tytytmtmkkkxxm−−−−====−−，所以121212121211ytytytytkkxxmymy

−−−−+=+=+−−211212121212()()2()yytyytyytyymyymyy−+−−+==22326262442334mtmtmmkmmm−+−++===−+，所以1k，3k，2k或231,,kkk成等差数列，综合上述，1k，3k

，2k或231,,kkk成等差数列.【点睛】难点点睛：本题第二问与数列进行了综合，形式比较新颖，有一定难度，难点在于判断出结论，进而证明，证明时结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合12121211ytytkkx

x−−+=+−−进行化简，计算量较大，因而要注意计算的准确性.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com