【文档说明】四川省成都市新津中学2024-2025学年高三上学期数学周考（9.22） Word版含解析.docx，共(14)页，705.070 KB，由小赞的店铺上传

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新津中学高三数学周考（9月22日）一、单选题1．已知集合{1,0,1}A=−，{|21,}ByyxxA==−，则AB=（）A．{1,0,1}−B．{1,1}−C．{0}D．2．函数32()32fxxx=−+在区间[－1，1]上的最大值是A．4B．

2C．0D．－23．定义在R上的偶函数()fx在(0,)+上是减函数，则下列判断正确的是（）A．311224fff−B．113422fff−

C．311242fff−D．131224fff−−4．已知(3)4,1()log,1aaxaxfxxx−−=是(,)−+上的增函数，那么a的取值范围是（）A．(

1,)+B．(3),−C．3,35D．(1,3)5．“1a”是“函数()()2log11fxax=−−在区间()1,+上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知()f

x是偶函数，且当)0,x+时，()1fxx=−，则不等式()11fx−的解集是（）A．{|2xx−或3xB．23xx−C．13xx−D．{|1xx−或3x7．已知函数()ln,10,01,0xxfxxxx=，若()2110fa

−−，则实数a的取值范围是（）A．e1,2++B．1e1,0,22+−−C．e10,2+D．e1,2+−8．已知定义在R上的偶函数()fx，满足(4)()fxfx+=，且0,2x时，()sin2|sin|fxxx=+，

则方程()lg0fxx−=在区间0,10上根的个数是（）A．20B．19C．18D．17二、多选题9．下列各组函数是同一函数的是（）．A．()221fxxx=−−与()221gsss=−−B．()2fxx=与()()2gx

x=C．()xfxx=与()0gxx=D．()fxx=与()33fxx=10．已知函数()()cosxfxxexR=+，则下列判断正确的是：（）A．函数()fx的图象关于x轴对称B．函数()fx在(),

−上单调递增C．函数()fx的最小值为2，无最大值D．不等式()()120fxfx−−的解集为1,1311．下列说法正确的有（）A．函数1()1xfxx−=+关于点(1,1)P−对称B．函数()()log11(0,1)afxxaa=−+

的图象过定点(1,1)PC．方程212xx=在区间(0,1)上有且只有1个实数解D．若1x，则4()211fxxx=+−−的最小值为421+三、填空题12．设函数()212,1,log1,01.xxfxxx−=+则()21log32ff+

=.13．已知函数3()sin1()fxxxxR=++，若()1fa=−，则()fa−=.14．已知命题11:4pa＞，2:,10qxRaxax++＞，则p成立是q成立的.（选“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）.四、解

答题15．已知数列na的前n项和2nnSa=−，数列nb满足1371,18bbb=+=，且112nnnbbb−++=()2n．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)若nnnbca=，求数列nc的前n项和nT．16．如

图所示的圆柱中，AB是圆O的直径，1AA，1CC为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且11122CDBCABAA===，E，F分别为1AD，1CC的中点．(1)证明：EF∥平面ABCD；(2)求平面1

AAD与平面1CEB所成锐二面角的余弦值．17．已知函数()()1lnfxaxx=−+，()()212gxaxa=R．(1)讨论()fx的单调性；(2)当2a时，证明：函数()()()xgxfx=−有两个不同的零点．参考答案：题号12345678

910答案BBADCDDBACCD题号11答案ACD1．B【分析】用列举法表示集合B，然后用集合交集的定义求出AB.【详解】因为{|21,}ByyxxA==−，{1,0,1}A=−，所以3,1,1B=−−，因此有1,1AB=−，故本题选B.【点睛】本题考

查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合B是解题的关键.2．B【解析】先求得函数在区间1,1−上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间1,1−上的最大值.【详解】

令()'2360fxxx=−=，解得0x=或2x=.()()()()02,22,12,10ffff==−−=−=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算

，属于基础题.3．A【分析】根据偶函数定义，将自变量转化到区间(0,)+上，利用单调性比较大小即可.【详解】因为()fx为偶函数，所以11()()22ff−=，33()()22ff−=，又113422，且()fx在(0,)+上是减函数，所以311224fff

−.故选：A4．D【分析】根据分段函数为增函数列不等式组，即可解得.【详解】因为(3)4,1()log,1aaxaxfxxx−−=是(,)−+上的增函数，所以30134log1aaaaa−−−，解得：13a.故选：D

5．C【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.【详解】令()11uax=−−，2logyu=，若()()2log11fxax=−−在()1,+上单调递增，因为2logyu=是(

)1,+上的增函数，则需使()11uax=−−是()1,+上的增函数且0u，则10a−且110a−−，解得0a.因为(,0−⫋(),1−，故1a是0a的必要不充分条件，故选：C.6．D【分析】根据题意可得()1fx的解集为{|2x

x−或𝑥>2}，从而(1)1fx−可化为：12x−−或12x−，求解即可．【详解】当[0,)x+时，()1fxx=-，由()1fx，解得：2x又函数()fx是偶函数，()1fx的解集为{|2xx−或𝑥>2}(1)1fx−可化

为：12x−−或12x−，解得：1x−或3x故不等式()11fx−的解集是{|1xx−或3x．故选：D．7．D【分析】讨论21a−与0、1的大小关系，写出(21)fa−的解析式，解出不等式后，再求并集即为答案.【详解】因为(21)10(21

)1fafa−−−.①当211a−时，e1(21)ln(21)112faaa+−=−.②当0211a−时，1(21)0112faa−=.③当210a−时，1(21)2112faaa−=−.综上所述：e12a+.故选：D.8．B【分析】首先将()f

x在0,2上的解析式改写成分段函数，再根据奇偶性求出()fx在)2,0−上的解析式，最后根据函数的周期性画出()fx的图象，则问题转化为函数()yfx=与lgyx=在区间0,10上的交点个数，结合函数

图象即可判断.【详解】解：当0,2x时3sin,01()sin2sinsin,12xxfxxxxx=+=−，又()fx时定义在R上的偶函数，设)2,0x−，则(0,2x−，所以

()()sin2|sin|fxfxxx=−=−+，由(4)()fxfx+=，可知()fx是以4为周期的周期函数，方程()lg0fxx−=即()lgfxx=，方程的根即为两函数()yfx=与lgyx=图象交点的横坐标，作出函数图象如图：其中令()lggxx=，则(

)10lg101g==，()()39.51.5sin12ff==−=，()()9.5101gg=，即()()9.59.5gf，由图可知，方程()|lg|0fxx−=在区间0,10上根的个数是19个．故选：B．9．AC【分析】根据函数

的定义域、对应关系和值域等知识确定正确选项.【详解】A选项，()221fxxx=−−与()221gsss=−−定义域相同、对应关系相同、值域也相同，A选项是同一函数.B选项，()fx的定义域为R，()gx的定义域为)0,+，不是同一函数.C选项，()f

x和()gx的定义域都为|0xx，()()()()10,10fxxgxx==，对应关系相同，值域也相同，C选项是同一函数.D选项，()fx的值域为)0,+，()gx的值域为R，不是同一函数.故选：AC10．CD【分析】根据函数的特征，可判断A错；根据函数奇

偶性，可判断B错；根据导数的方法判定函数单调性，求出函数最值，可判断C正确；根据函数单调性得出12xx−，求解，即可判断D正确.【详解】因为函数只能一对一或多对一，因此不可能关于x轴对称，故A错；又()()()coscosxxfxxexefx−−=−+=+=，

所以()fx是偶函数，关于y轴对称，偶函数在对称轴两侧单调性相反，因此在(),0−和()0,上单调性不同，故B错；当0x时，()cosxfxxe=+，则()sinxfxxe=−+，因为0x时，e1x，sin1x，所以()sin0

xfxxe=−+恒成立，所以()fx在(0,+∞)上单调递增；又()fx是偶函数，所以()fx在(−∞,0)上单调递减，因此()()min0112fxf==+=，即函数()fx的最小值为2，无最大值；故C正确；由()()120f

xfx−−得()()12fxfx−，因为函数()fx是偶函数，且()fx在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，所以有12xx−，则()2212xx−，整理得23410xx−+，解得113

x，即不等式()()120fxfx−−的解集为1,13，故D正确.故选：CD.【点睛】本题主要考查函数概念的理解，考查根据函数奇偶性与单调性解不等式，考查导数的方法求函数的最值，涉及一元二次不等式的解法，属于常考题型.11．ACD【分析】对于A选项：分离常数，结合反

比例函数即可判断；对于B选项：由对数型函数的定点知识即可判断；对于C选项：结合零点存在定理即可判断；对于D选项：利用基本不等式计算即可.【详解】对于A选项：1122()1111xxfxxxx−+−===−+++，该函数可由反比例函数2yx−=先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，故1()1

xfxx−=+的图象关于(−1,1)对称，故选项A正确；对于B选项：由()log(1)1(0,1)afxxaa=−+，令11x−=，即2x=，则log(1(2)2)11af−+==，故函数()fx的图象过定点(2

,1)P，故选项B错误；对于C选项：由212xx=，得2102xx−=，令()212xfxx=−，易知()212xfxx=−在(0,1)上单调递增且图象连续不断，因为()0210010

2f=−=−，()121111022f=−=，所以()()010ff，所以方程212xx=在区间(0,1)上有且只有1个实数解，故选项C正确；对于D选项：因为1x，所以410,

01xx−−，所以()()444()212112211421111fxxxxxxx=+−=−++−+=+−−−，当且仅当()4211xx−=−时，即12x=+，4()211fxxx=+−−有最小值为421+.故选项D正确；故选：ACD.12．2−【分析】根据解析式分别求

得12f和()2log3f，进而得到结果.【详解】211log111022f=+=−+=，()2log32log312132f=−=−=−，()21log322ff+=−.故答案为：2−.13．3【分析】把

a和a−分别代入函数式，根据函数的奇偶性，可得出答案．【详解】解：()1fa=−．()3sin11faaa=++=−，3sin2aa+=−，则33()()sin()1(sin)13faaaaa−=−+−+=−++=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的运用

．属于基础题．14．充分不必要【详解】由1a＞14,044aa−，解得：04a，故命题:04pa；2,10xRaxax++，若0,10a=恒成立，若0a，则2040aaa=−，解得：04a，故:04qa；

故命题p是命题q的充分不必要条件.故答案为：充分不必要．15．(1)112nna−=；21nbn=−(2)23(23)nnTn−=+【分析】（1）利用,nnaS关系，结合等比数列的通项公式求得na；

根据等差数列的基本量即可求得nb；（2）先求得数列nc的通项公式，再由错位相减法即可求得前n项和nT．【详解】（1）当2n时，1nnnaSS−−=122nnaa−=−−+，即12nnaa−=又111aS==，故na是首项为1，公比为12的等比数列，则112nna−=；由

112nnnbbb−++=可得nb为等差数列，设其公差为d，根据题意可得：112618bdbd+++=，即2818d+=，解得2=d，11b=，则21nbn=−.（2）根据（1）中所求，可得12112nnnc−−=()1

212nn−=−，0121123252(21)2nnTn−=++++−12121232(23)2(21)2nnnTnn−=+++−+−两式相减得，()211222222(21)2nnnTn−−=++++−−231222(21)2nnn=++++−−()1

4121(21)212nnn−−=+−−−1142(21)2nnn+=−+−−3(32)2nn=−+−，3(23)2nnTn=+−16．(1)证明见解析(2)21919【分析】(1)取1AA的中点G，连接EG，FG，AC，可证明四

边形AGFC是平行四边形，从而证明平面EFG∥平面ABCD，从而得证.（2）题意知CA，CB，1CC两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，1CC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）取1AA的中点G，连接EG，FG，AC，因为EGAD∥，EG平面AB

CD，AD平面ABCD，所以EG∥平面ABCD，因为AGCF∥，AGCF=，所以四边形AGFC是平行四边形，FGAC∥，又FG平面ABCD，AD平面ABCD，所以FG∥平面ABCD，因为FGEGG=，所以平面EFG∥平面ABCD，因为EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．（2）设1

11222CDBCAAAB====，由ADCDBC==，得60DABABC==，因为ACBC⊥，所以224223AC=−=，由题意知CA，CB，1CC两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，1CC所在直线为x

，y，z轴建立空间直角坐标系，则()23,0,0A，()123,0,4A，()0,2,0B，()10,0,4C，()3,1,0D−，313,,222E−，所以1313,,222EC=−uuur，()10,2,4BC=−uuur，设平面1CEB的一个法向量为(),,n

xyz=r，由1100nECnBC==得334020xyzyz−++=−=，取1z=，得23,2,13n=r，连接BD，因为BDAD⊥，1BDAA⊥，1ADAAA=，所以BD⊥平面1AAD，所以平面1AAD的

一个法向量为()3,3,0DB=−uuur，所以26219cos,1919233DBn−+==uuurr，所以平面1AAD与平面1CEB所成锐二面角的余弦值为21919．17．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数()fx，分类

讨论确定()fx的正负得单调性；（2）求出()x，确定()x的最小值是1(1)102a=−+，然后由零点存在定理证明函数在(0,1)和(1,)+上各有一个零点．【详解】（1）由()()1lnfxaxx=−+，得()()1111axfxaxx−+=−+

=．当1a时，()0fx，函数()fx单调递增．当1a时，()()111axafxx−−−=，所以当10,1xa−时，()0fx，函数()fx单调递增；当1,1xa+−时，()0fx，

函数()fx单调递减．综上，当1a时，函数()fx在区间()0,+上单调递增；当1a时，函数()fx在区间10,1a−上单调递增，在区间1,1a+−上单调递减．（2）证明：由()()()xgxfx=−得()()211ln2xaxaxx=−−−，所以()()

()()()2111111axaxaxxxaxaxxx−−−+−=−−−==，因为2a，所以10axx+，所以当()0,1x时，()0x，()x单调递减；当()1,x+时，()0x，()x单调递增，所以当1x=时，()()min1112xa==−

+，因为2a，所以()10，下面证明()x在区间()0,1上与()1,+上分别存在一个零点，因为()()2221ln22ln20aa=−−−=−，所以在区间()1,+上存在唯一零点1x，且()10x=．因为()()2

12ln2xaxxxx=−+−，当()0,1x时，2120xx−−，所以()1ln2xaxx−+−，所以111122221eelnee02aaaaa−−−−−+−=，所以()x在区间()0,1上存在唯一零点2x，且()20

x=，所以当2a时，函数()()()xgxfx=−有两个不同的零点．【点睛】函数零点问题，主要方法是由零点存在定理进行证明存在零点，一般需由导数确定函数的单调性，在单调区间内找到两个符号相反的函数值，得出此区间内存在一个零点．