【文档说明】黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期第二次阶段性考试 数学答案和解析.pdf，共(19)页，677.519 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-173041ee537cfb38148739bcf19d258b.html

以下为本文档部分文字说明：

第1页/共19页学科网（北京）股份有限公司牡丹江二中2023-2024学年度第一学期高三第二次阶段性考试数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在

答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合与逻辑､不等式､函数与导数

､三角函数､数列､统计.一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合260Axxx，10Bxx，则AB

（）A.3,B.,2C.3,1D.1,2【答案】C【解析】【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合的交集【详解】由260xx，得(2)(3)0xx，解得32x，所以32Axx，由1

0x，得1x，所以1Bxx，所以31ABxx，故选：C2.函数11fxxx的定义域是（）A.1,00,B.1,C.RD.,00,U【答案】A【解析】【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零，分

母不等于零，即可得解.【详解】解：由函数11fxxx，第2页/共19页学科网（北京）股份有限公司得100xx，解得1x且0x，所以函数11fxxx的定义域是

1,00,.故选：A.3.冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬奥综合性运动会，自1924年起，每四年举办一届．第24届由中国2022年2月在北京举办，分北京赛区、延庆赛区、张家口赛区三个赛区共15个比赛项目．

为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下不正确的为（）A.甲社团众数小于乙社团众数B.甲社团的极差大于乙社团的极差C.甲社团的平均数大于乙社团的平

均数D.甲社团的方差大于乙社团的方差【答案】C【解析】【分析】分析两社团的众数得大小，判断A;计算出两社团的极差，判断B；算出两社团的平均数，判断C，分析两社团频数的波动性，判断D.【详解】A选项，甲社团众数为2，乙社团众数为3，所以A正确；B选项，甲社团极差为3，乙社团的极差

为2，所以B正确；C选项，甲社团平均数为223254337，乙社团的平均数为223433437，故两社团平均数相等，所以错误；D选项，由图可知，甲社团的频数的波动性较大，故其方

差大于乙社团方差，D正确，故选：C．第3页/共19页学科网（北京）股份有限公司4.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，

则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A.21600cmB.23200cmC.23350cmD.24800cm【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为1r，2r，相同的

圆心角为，则1216080rr，得122rr，又因为1240rr，所以180r，240r，该扇形玉雕壁画面积1211111608016080804048002222Srr（2cm）．故选：D．5.下图是根据某班学生在一次数学

考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为（）A.66.5B.67C.67.5D.68【答案】C【解析】【分析】直接按照频率分布直方图的百分位数求解即可.第4页/共19页学科网（北

京）股份有限公司【详解】第一组的频率为0.010100.1，前两组的频率之和为0.0100.020100.3，知25%分位数在第二组60,70内，故25%分位数为0.250.1601067.50.2.故

选：C.6.若0x，0y，则“4xy”的一个必要不充分条件是（）A.228xyB.4xyC.4xyD.111xy【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和充分条件，必要条件的判断逐项进行检验即可求解.【详解】对于选项A：若228xy，则2222282822xyxy

xyxyxy，所以216xy，又0x，0y，所以04xy，所以“228xy”是“4xy”的充分条件，故选项A错误；对于选项B：若4xy，则224xy，所以4xy，即4xy，所以“4xy”是“4xy”的充要条

件，故选项B错误；对于选项C：由4xy得242xyxy，另一方面取14x，8y，满足4xy，但4xy，所以“4xy”是“4xy”的一个必要不充分条件，故选项C正确；对于选项D：取15x，3y，满足4xy，但1

11xy，所以“111xy”不是“4xy”的必要条件，故选项D错误.故选：C.7.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以

各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.第5页/共19页学科网（北京）股份有限公司不妨记第(1,2,3,)nn个图中的图形的周长为na，则5a（）A.2569B.25627C.51227D.51281【答案】

C【解析】【分析】根据题图规律确定第n个图边的条数及其边长，并写出其通项公式，再求第5个图的周长.【详解】由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长132a；第二个图有12条边，各边长为23，故周长22123a；第三个图有48条边，各边长为29，故周长32489a；……所以边的条数

是首项为3，公比为4的等比数列，则第n个图的边有134n条，边长是首项为2，公比为13的等比数列，则第n个图的边长为112()3n，故4451512342()327a.故选：C8.设函数()fx的定义域为[0,3)，满足1(1)2()4f

xfx，且当[0,1)x时，()(1)fxxx.则不等式5()8fx的解集是（）公众号：高中试卷君A.57,[2,3)44B.45,[2,3)33C.57,(2,3)44D.4

5,(2,3)33【答案】A【解析】【分析】分[0,1)x，[1,2)x和[2,3)x进行分类讨论，即可求解第6页/共19页学科网（北京）股份有限公司【详解】当[0,1)x，5()(1)8fxxx

，解得x无实数解；当[1,2)x，1[0,1)x，则由1(1)2()4fxfx可得11()2(1)2(1)(2)44fxfxxx，令152(1)(2)48xx，整理得21648350

xx，解得解得5744x，当[2,3)x，1[1,2)x，则由1(1)2()4fxfx可得2111357()2(1)22(2)(3)4(2)(3)4444424fxfxxxxxx

，因为[2,3)x，所以37(),44fx，所以5()8fx恒成立，综上所述，不等式5()8fx的解集是57,[2,3)44故选：

A二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是A.2,,2(1)0abRabB.aRx

R，，使得2axC.0ab是220ab的充要条件D.1ab≥，则11abab【答案】AD【解析】【分析】对A．当2,1ab时，可判断真假，对B.当0a时，0=02x，可判断真假，对C.当0,0ab时，可判断真假，对D可用作差法判断真假.【详解】A．当

2,1ab时，不等式成立，所以A正确.B.当0a时，0=02x，不等式不成立，所以B不正确.C.当0,0ab时，220ab成立，此时=0ab，推不出0ab.所以C不正确.D.由(1)(1)11(

1)(1)(1)(1)ababbaabababab，因为1ab≥，则11abab,所以D正确.故选：AD.第7页/共19页学科网（北京）股份有限公司本题考查命题真假的判

断，充要条件的判断，作差法比较大小，属于中档题.10.已知等差数列na的前n项和为nS，满足12321aaa，525S，下列说法正确的是（）A.23nanB.210nSnnC.nS的最大值为5SD.11nnaa

的前10项和为1099【答案】BCD【解析】公众号：高中试卷君【分析】先根据题干条件算出等差数列na的通项公式，然后逐一分析每个选项即可.【详解】根据等差中项，1232213aaaa，

解得27a，512345315243255Saaaaaaaaaaa，解得35a，设等差数列na的公差为d，则322daa，于是等差数列的通项公式为：2(2)112naandn，故A选项错误；根据等差数列前n项和公式

，21()(9112)1022nnnaannSnn，B选项正确；根据B选项可知，2210(5)2525nSnnn，最大值在5n取得，故C选项正确；1111111(112)(92)(211)(29)2211

29nnaannnnnn，故11nnaa的前10项和为：11111111111029775911291199

，D选项正确.故选：BCD11.已知函数fx的定义域为R，且00f．若21yfx为奇函数，4yfx为偶函数，则（）A.40fB.80fC.132ffD.17ff【答案】BD【解析】【分析】根据函

数的奇偶性得到2220fxfx，44fxfx，取2x，4x，1x，3x代入计算得到答案.第8页/共19页学科网（北京）股份有限公司【详解】21yfx

为奇函数，故2121fxfx，即2220fxfx，4yfx为偶函数，即44fxfx.取2x得到222220ff，故

42f，A错误；取4x得到444400fff，B正确；取1x得到121220ff，即312ff，C错误；取3x得到3434ff，即17ff，D正确.故选：BD12.对于三次函数320axbx

dafxcx，给出定义：fx是函数yfx的导数，fx是函数fx的导数，若方程0fx有实数解0x，则称00,xfx为函数yfx的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是

对称中心.若函数322491236fxxxx，则下列说法正确的是（）A.fx的极大值为1376B.fx有且仅有2个零点C.点1,22是fx的对称中心D.123202340462

024202420242024ffff【答案】ACD【解析】【分析】求得2(3)(2)fxxx，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为20f，极小值30f，进

而得到函数fx有3个零点，可判定B错误；求得42fxx，令0fx，求得12x，得出1()22f，可判定C正确；根据对称性，得到(1)4fxfx，结合倒序相加法，可判定D正确.【详解】由函数322491236fxxxx，可得222122(

3)(2)fxxxxx，第9页/共19页学科网（北京）股份有限公司令()0fx¢>，解得<2x或3x；令0fx，解得23x，所以函数fx在(,2)上单调递增，

在(2,3)上单调递减，在(3,)单调递增，当2x时，fx取得极大值，极大值为13726f，所以A正确；又由极小值113306f，且当x时，fx，当x时，fx

，所以函数fx有3个零点，所以B错误；由22212fxxx，可得42fxx，令0fx，可得12x，又由321211149()()()122232226f，所以点1,22是函数fx的对称中心，所以C正确；因为1,22

是函数fx的对称中心，所以(1)4fxfx，令12320232024202420242024Sffff，可得20232022202112024202420242

024Sffff，所以1202322022320212[][][]202420242024202420242024Sffffff

2023[]202420241ff42023，所以4046S，即123202340462024202420242024ffff

，所以D正确.故选：ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1sin3x，则cos()2x___________.【答案】13第10页/共19页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】由题意利用利

用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【详解】由诱导公式可得1cos()sin23xx故答案为：1314.将某射击运动员的十次射击成绩（环数）按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：8.1，8.4，8.4，8.7，x，y，9.3

，9.4，9.8，9.9，已知总体的中位数为9，则11xy的最小值为__________．【答案】29【解析】【分析】由中位数的概念结合基本不等式可得.【详解】因为总体的中位数为9．所以18xy，则11111121818xyxyxyxyyx

≥1222189xyyx，当且仅当9xy时等号成立．故答案为：2915.已知123ffxxx，0x，则fx的解析式为________．【答案

】12xx【解析】【分析】将1x代入条件中，得到132fxfxx，根据两式消元，求得函数fx的解析式.【详解】由题知，132fxfxx，①；又123f

fxxx，②；由①2②得，1()2fxxx，则12fxxx，故答案为：12xx16.若曲线ln()yxa的一条切线为eyxb（e为自然对数的底数），其中,ab为正实数，则11eab的第11页/共19页学科网（北京）股份

有限公司取值范围是_________【答案】[2,)【解析】【分析】根据导数的几何意义及切线方程可得e2ab，由“1”的技巧及均值不等式求解即可.【详解】∵ln()yxa，∴1yxa，设切点为

00,xy，则000ln+=e1=e+xaxbxa，∴e2ab，∴111111e(e)2e2e2ebaabababab．∵,,e0ab，∴原式1e222ebaab

，当且仅当eebaab，即1,1eab时等号成立，即112eab．故答案为：[2,)四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.已知在递增的等差数列na中，7355aa，4616aa．（1）求3a和

7a；（2）求na的通项公式．【答案】（1）7315,1aa（2）3122nan【解析】【分析】（1）由463716aaaa，结合题意得到方程组37375516aaaa，即可求解；（2）设数列

na的公差为d，由（1）列出方程组，求得1,ad的值，即可求解.【小问1详解】第12页/共19页学科网（北京）股份有限公司解：因为463716aaaa，所以37375516aaaa，解得73

15,1aa或3711,5aa，又因为数列na递增数列，所以7315,1aa.【小问2详解】解：设数列na的公差为d（0d），由7315,1aa，可得1125611adad，解得12a，32d，所以数列na的

通项公式为131122naandn．18.2021年，为降低疫情传播风险，保障经济社会良好运行，各地区鼓励外来务工人员就地过节、过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人员数与就地过年的人员

数，得到如下的表格：A区B区C区D区外来务工人员数x/万人3456就地过年的人员数y/万人2.5344.5（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa．（2）假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的人每人发

放1000元补贴．若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区选择就地过年的人员发放的补贴总金额；参考公式：回归方程ˆˆˆybxa中斜率和截距的公式分别为1122211ˆnniiiiiinniiiixynxyxxyybxnxxx

，ˆˆaybx．【答案】（1）0.70.5ˆ3yx（2）1750（万元）【解析】【分析】（1）利用公式求出ˆ0.7b和ˆ0.35a，得到线性回归方程；第13页/共19页学科网（北京）股份有限公司（2）在第一问的基础上，

代入=2x求出ˆ1.75y，从而估计该市政府需给E区选择就地过年的人员发放补贴总金额.【小问1详解】34564.54x，2.5344.53.54y，4132.5435464.56

6.5iiixy，4222221345686iix，所以，266.544.53.5ˆ0.78644.5b，则ˆˆ3.50.74.50.35aybx，故y关于x的线性回归方程为0.70.5

ˆ3yx；【小问2详解】将=2x代入0.70.5ˆ3yx得：ˆ0.720.351.75y，估计该市政府需给E区选择就地过年的人员发放补贴总金额为1.7510001750（万元）.19

.已知27cos27，1sin22，2，02，求：（1）cos2的值；（2）tan的值.【答案】（1）2114（2）5311【解析】【分析】（1）先由已知条件判断,22的范围，再利用同角三角函数的关系求出s

in,cos22，则由coscos222利用两角差的余弦公式可求得cos2，（2）由同角三角函数的关系求出sin2，从而可求得tan2的值，再利用正切

的二倍角公式可求得tan的值.【小问1详解】第14页/共19页学科网（北京）股份有限公司因为2，02，所以42，422，所以221sin1cos227

，23cos1sin222，所以coscos222coscossin.sin2222

27321121727214.【小问2详解】因为3424，21cos214，所以257sin1cos2214，所以sin532tan23c

os2，所以225322tan3532tan()11531tan123.20.设函数lnfxaxx，其中Ra，曲线yfx在点1,1f处的切线经过点

3,2.（1）求函数fx的极值；（2）证明：2eexxfx.【答案】（1）极小值为1e，没有极大值（2）证明见解析第15页/共19页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）先解出a，代入函数解析

式，求导即可求解（2）由（1）可得1lnefxxx，可将所要证明的不等式转化为10eexx(需验证等号不同时成立)，构造函数，求导，研究其最值即可证明【小问1详解】lnfxaxa，则

10f，1fa，故yfx在1,1f处的切线方程1yax，把点3,2代入切线方程可得，1a，ln1fxx，0x，易得，当10ex时，0fx，函数单调递减，当1ex时，()0fx¢>，函数单调递增，

故当1ex时，函数取得极小值11eef，没有极大值.【小问2详解】证明：2eexxfx等价于2ln0eexxxx，由（1）可得1lnefxxx(当且仅当1ex时等号成立)①，所以21lneeeexxxxxx，故只要证明10eexx即可，

(需验证等号不同时成立)设1eexxgx，0x则1exxgx，当01x时，0gx，函数单调递减，当1x时，0gx，函数单调递增，所以10gxg，当且仅当1x时等号成立，②因为①②等号不同时成立

，所以当0x时，2eexxfx.21.已知数列na的前n项和为nS，满足22nnSna·（1）证明：数列2na是等比数列，并求数列na的通项公式；第16页/共19页学科网（北京）股份有限公司（2）若2log2nnb

a，设nT是数列2nnba的前n项和，求证：32nT.【答案】（1）证明见解析，122nna；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用na与nS关系可推导得到1222nnaa，由此可证得数列2na

为等比数列，结合等比数列通项公式求得2na后可推导得到na；（2）由（1）可得2nnba，采用错位相减法可求得13322nnnT，由1302nn可得结论.【小问1详解】由22nnSna得：22nnSan；当1n时，1122Sa，解得：12a；当2n且*n

N时，11221nnSan，1122221nnnnnaSSaann，即122nnaa，1222nnaa，数列2na是以124a为首项，2为公比的等比数列

；112422nnna，122nna.【小问2详解】由（1）得：12log21nnbn，1122nnnbna，2341234122222nnnnnT，3451212341222222nnnnnT，两式作

差得：3123412111111111112212222222212nnnnnnnT122211111222nnn21211113322

4242nnnnn，13322nnnT，又1302nn，32nT.第17页/共19页学科网（北京）股份有限公司22.已知21()(1)2xfxeaxbx.其中常数2.71828e.（1）当2,4ab时，求()

fx在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()afx均有两个极值点1212,xxxx，（ⅰ）求实数b的取值范围；（ⅱ）当ae时，证明：12fxfxe.【答案】（1）max()1fxe；（2）（ⅰ）1b；（ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题得2()4(1)

xfxexx，()24xfxex，()2xfxe，由[1,2]x，可得()0fx，即()fx在[1,2]上单增，且2(2)80fe，即()0fx，可知()fx在[1,2]上单减，求得max()(1)1fxfe.（2）（ⅰ）利用

两次求导可得(,ln)xa时，()fx单减；(ln,)xa时，()fx单增，再由()fx有两个极值点，知(ln)ln0faaaab，即lnbaaa恒成立，构造函数()lngaaaa，利用导数求其最大值，可得实数b的取值范围；（ⅱ）

设()()(2),(1)hxfxfxx，求导可得()hx在(,1)单增，得到()(2)fxfx，可得112fxfx，122fxfx，结合()fx在(1,)上单增，可得

122fxfx，得到2222122222222xxfxfxfxfxeeexexe，构造22()22xxMxeeexexe，(1)x，再利用导数证明2

(1)MxMe，即可得到12fxfxe【详解】（1）由2,4ab得，2()4(1)xfxexx，求导()24xfxex，()2xfxe，[1,2]x，2[,]xeee，20xe，即()0fx()fx在[1,2]

上单增，且2(2)80fe，第18页/共19页学科网（北京）股份有限公司即[1,2]x，()0fx，()fx在[1,2]上单减，max()(1)1fxfe.（2）（ⅰ）求导()xfxeaxb，因为对任意0,()afx均有两个极值点12,xx，

所以()0fx有两个根，求二阶导()xfxea，令()0fx，得lnxa当(,ln)xa时，()0fx，()fx单减；当(ln,)xa时，()0fx，()fx单增，由()0fx有两个根

12,xx，知(ln)ln0faaaab，即lnbaaa对任意0a都成立，设()lngaaaa，求导()lngaa，令()0ga，得1a，当(0,1)x时，()0ga，()ga单增；当(1,)x时，()0ga，()ga单减，m

ax(()1)1gga，1b又0,,()babfexfxaQ，所以实数b的取值范围是：1b.（ⅱ）当ae时，()xfxeexb，()xfxee，令

()0fx，得1x当(,1)x时，()0fx，()fx单减；当(1,)x时，()0fx，()fx单增，又12,xx是()0fx的两根，且12xx，121,1xx，121x设()()(2),(1)hxfxfxx，即22(2)2

()2,(1)xxxxeexbeexbeeexexhx，则2()2220xxhxeeeee()hx在(,1)单增，()(1)0hxh，即()(2)fxfx

又11,x，112fxfx，122fxfx第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司又()fx在(1,)上单增，122xx，即1222xxx，又()fx在12,xx上单减，122fxfx

2222122222222xxfxfxfxfxeeexexe令22()22xxMxeeexexe，(1)x则2()22xxMxeeexe，2()20xxMxeee()Mx

在(1,)单增，且(1)0M，()0Mx，故()Mx在(1,)单增又21x，2(1)MxMe，即12fxfxe【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，

最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明fxgx，(,)xab，可以构造函数Fxfxgx－，如果0Fx，则Fx在(,)ab上是减函数，同时若0Fa，由减函数

的定义可知(,)xab时，有0Fx，即证明了fxgx，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.