【文档说明】2024-2025学年精品同步讲义 数学（必修第二册 人教A版2019）第36讲 8.6.2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时） Word版无答案.docx，共(19)页，1.614 MB，由小赞的店铺上传

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第13讲8.6.2直线与平面垂直的性质定理（第2课时）课程标准学习目标①掌握直线与平面垂直的性质定理。②会用性质定理证明相关问题。本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观

感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容

所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题知识点01：直线与平面垂直的性质定理(定义)（1）定义转化性质：如果一条直线l与平面垂直，那么直线l垂直于平面内所有直线.（2）符合语言：l⊥，blb⊥.（3）图形语言：（4）定理应用：线面垂

直线线垂直.【即学即练1】（2024·全国·高二专题练习）如图，四棱锥-SABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EFSD⊥．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）四棱锥-SABCD的底面是矩形，

ABBC⊥，SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，SABC⊥，又SAABA＝，SA、AB平面SAB，BC⊥平面SAB；（2）由（1）知BC⊥平面SAB，同理可得，CD⊥平面SAD，E，F分别是SD，SC的中点，//EFCD，EF⊥平面SAD，又SD平面SAD，EFSD⊥.知识

点02：直线与平面垂直的性质定理（1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）符合语言：a⊥，b⊥ab（3）图形语言：（4）定理应用：垂直与平行的转换①线面垂直线线平行②作平行线【即学即练2】（2023上·上

海·高二专题练习）如图，平面平面l=，PA⊥，PB⊥，垂足分别为A，B，直线a平面，aAB⊥.求证：al.【答案】证明见解析【详解】如图：∵PA⊥，l，∴PAl⊥.同理PBl⊥.∵PAPBP=，PA，PB平面PAB，∴l⊥平面PAB.

又∵PA⊥，a，∴PAa⊥.∵aAB⊥，PAABA=，PA，AB平面PAB，∴a⊥平面PAB.∴al.知识点03：点面距、线面距、面面距（1）点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该

平面的距离.①图形语言：如图，线段AO的长度就是点A到平面的距离.②点面距AO的范围：0AO.③常用方法：等体积法【即学即练3】（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2,G为

线段11BD上的动点，则点B到平面GAD距离的最小值为（）A．1B．2C．3D．2【答案】B【详解】由题意得111142223323GABDABDVSBB−===，设点B到平面GAD的距离为h，则由等体积转化法为1433BAGDA

DGGABDVShV−−===，当G与1B重合时，ADGS最大，最大为1222222=，此时h最小，为4222=.故选：B.（2）直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直

线到这个平面的距离.①图形语言：线段AO的长度就是直线l到平面的距离.②当直线l与平面相交或l时，直线l到平面的距离为0.（3）平面到平面的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.①图形语言：

线段AO的长度就是平面到平面的距离(2)当平与平相交时，平面到平面的距离是0.题型01直线与平面垂直的定义转化为性质【典例1】（2024下·高一课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，ABBC⊥，D，E分别是AB，PB的中点．(1)求证：//D

E平面PAC；(2)求证：ABPB⊥【典例2】（2024·广东·高三学业考试）在三棱柱111ABCABC-中，BCAC⊥，1BCCC⊥，点D是AB的中点.（1）求证：1//AC平面1CDB；（2）若侧面11AACC为菱形，求证：11ACAB⊥.【典例

3】（2024上·广东·高三统考学业考试）如图，四棱锥SABCD−的底面为正方形，E为SD的中点.(1)证明：SB//平面ACE；(2)若SA⊥平面ABCD，证明：SCBD⊥.【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，ABBC=，11ABBC=．证明：1

ACBB⊥【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为梯形，//ABCD，ADAB⊥，24ABPADC===，242PBAD==，26PD=，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：直

线MN//平面ABCD；(2)求证：PAMN⊥．【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图；在直三棱柱111ABCABC-中，3AC=，14BCAA==，5AB=，点D为AB的中点．(1)求证1ACBC⊥；题型02直线与

平面垂直的性质定理的运用【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，正方体1111ABCDABCD－中，EF与异面直线AC、1AD都垂直相交．求证：1//EFBD.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2．M，N分别为11BD与1CD

上的点，且11MNBD⊥，1MNCD⊥．求证：1//MNAC；【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形ABCD中，//ADBC且ADCD⊥，线段AD上有一点E，满足1CDDE==，2A

EBC==，现将ABE，CDE分别沿BE，CE折起，使5AD=，3BD=，得到如图（2）所示的几何体，求证：//ABCD【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形

，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点

E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【变式3】（2023·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：M

N∥A1C．题型03点到平面的距离【典例1】（2024·全国·高三专题练习）在正三棱柱111ABCABC-中，若2AB=，11AA=，则点A到平面1ABC的距离为（）A．34B．32C．334D．3【典例2】（2024上·全国·高三阶段练习）在直三棱柱111ABCABC-中

，所有棱长均为1，则点1A到平面1ABC的距离为（）A．217B．105C．216D．104【典例3】（2024上·上海·高二上海市建平中学校考期末）如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，则点A到平面BCD的距离为.【典例4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABCABC

-中，2CACB==，22AB=，13AA=，M为AB的中点.(1)证明：1//AC平面1BCM；(2)求点A到平面1BCM的距离.【变式1】（2024·上海·高二专题练习）在三棱锥VABC−中，,,VAVBVC两两垂直，1VAVBVC===，则点V到

平面ABC的距离等于（）A．1B．12C．3D．33【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为23，那么点P到平面ABC的距离

为.【变式3】（2024上·云南曲靖·高三校联考阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点C到平面1ADB的距离为.【变式4】（2024·全国·高三专题练习）如图,在四棱锥PABCD−中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,2

PAAB==,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．(1)证明:⊥AE平面PBC;(2)求点P到平面AEF的距离．题型04线面距，面面距【典例1】（2023上·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，则棱

1BB到面11AACC的距离为（）A．33aB．aC．22aD．2a【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥−PABC中，PAB，ABC均为等边三角形，4PA=，O为AB中点，点D在AC上，满足1AD=，且面PAB⊥

面ABC．(1)证明：DC⊥面POD；(2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得EF∥面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．【典例3】（2023·全国·高一专题练习）在长方体1111ABCDABCD−中，有一过AD且与平面

11ADCB平行的平面，棱15AA=，12AB=，则平面与平面11ADCB的距离是．【典例4】（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱111111ABCDEFABCDEF−的底面边长为1，高为3.(1)证明：平面1ADF//平面1ABC；(2)求平面1ADF与平面1ABC间

的距离.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图，P为菱形ABCD外一点，PD⊥平面ABCD，60BAD=，E为棱BC的中点.若2PDAD==，求BC到平面PAD的距离.【变式2】（2023上·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期中）如图,P为菱形A

BCD外一点,PD⊥平面ABCD,60BAD=,E为棱BC的中点.(1)求证:ED⊥平面PAD;(2)若2PDAD==,求BC到平面PAD的距离.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别是

棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；(2)求平面与平面BDF的距离.【变式4】（2023下·全国·高一专题练习）如图在直三棱柱111ABCABC-中，90ABC=，2BC=，1

4CC=，E是1BB上的一点，且11EB=，D、F、G分别是1CC、11BC、11AC的中点，EF与1BD相交于H．(1)求证：1BD⊥平面ABD；(2)求平面EGF与平面ABD的距离．题型05距离最值问题【典例1】（2

023·河南·校联考二模）已知四棱锥PABCD−的底面ABCD是矩形，ABPD⊥，213AB=，PAPD=，120APD=．若四棱锥PABCD−的外接球的体积为5003，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【典例2】（2024·全国·高

三专题练习）已知三棱锥SABC−，满足SA，SB，SC两两垂直，且2SASBSC===，Q是三棱锥SABC−外接球上一动点，求点Q到平面ABC的距离的最大值.【变式1】（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）已知正六棱锥PABCDEF−的侧棱长为22，底

面边长为2，点Q为正六棱锥PABCDEF−外接球上一点，则三棱锥QPAB−体积的最大值为（）A．27233−B．27233+C．233D．273【变式2】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知OABCD,,,,为空间五个点，若,,OA

OBOC两两垂直，且1OAOBOD===，2OC=，则点D到平面ABC的距离的最大值为．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023下·海南海口·高一海南中学校考期末）已知m，n是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（）A．若//mn，//

n，则//mB．若//mn，n，则//mC．若//m，n，则//mnD．若//mn，m⊥，则n⊥2．（2023下·高一课时练习）若直线l⊥平面，直线m，则（）A．lm⊥B．l可能和m平行C．l和m相交D．l和m不相交3．（2023下·江苏盐城·

高一校联考期中）在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）A．23B．27C．43D．474．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂

直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（2023上·辽宁·高二本溪高中校联考期中）已知直四棱柱1111ABCDABCD−，π4BAD=，2ABAD=，侧棱16AA=

，M，N分别是1DD与1AB的中点，点N在平面ABM上的射影是ABM的重心G，则点N到平面ABM的距离为（）A．2B．52C．5D．66．（2023·全国·高一专题练习）三棱锥−PABC的侧棱,,PAPBPC上分别有E，F，G，且1

11,,324PEPFPGPAPBPC===，则三棱锥PEFG−的体积与三棱锥−PABC的体积之比是（）A．124B．112C．16D．187．（2023上·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）若正三棱台的侧面与底面所成的锐二面角的大小为π4，则

侧棱与底面所成角的正弦值是（）A．55B．255C．33D．638．（2023上·湖北宜昌·高二校联考阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱1AA，1BB的中点，则1B点到平面1DEF的距离为（）A．3B．22C．23D．55二、多选题9．（2023·全

国·高三专题练习）已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若⊥，m，n，则mn⊥B．若m⊥，n⊥，则mn∥C．若l=，m∥，m∥，则ml∥D．若l=，m，ml⊥，

则m⊥10．（2024上·江西宜春·高三江西省铜鼓中学校考阶段练习）如图，在边长为2的正方体ABCDABCD−中，M为BC边的中点，下列结论正确的有（）A．AM与DB所成角的余弦值为1010B．过A，M，D¢三点的正方体ABCDABCD−的截面面积为9C

．当P在线段BD上运动时，三棱锥DABP−的体积恒为定值43D．若Q为正方体表面BCCB上的一个动点，E，F分别为AC的三等分点，则QEQF+的最小值为113三、填空题11．（2024上·天津宁河·高二统考期末）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD

−中，E为线段1DD的中点，则点1A到直线1BE的距离．12．（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图，在圆台1OO中，13OO=，点C是底面圆周上异于A、B的一点，2AC=,点D是BC的中点，l为平面1OAC与平面1OOD的交线，

则交线l与平面1OBC所成角的大小为．13．（2024上·广东·高二学业考试）如图，四棱锥PABCD−的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且2PA=，E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥PABCD−的体积;(2)如果E是PA的

中点，求证://PC平面BDE;(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE⊥?证明你的结论.14．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体1111ABCDABCD−，点E为棱1CC的中点.(1)证明：1//AC平面BDE.(2)证明：1ACBD⊥.(3)在图中作出平面1BED

截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位置)，并说明理由.B能力提升1．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末）l是平面内的一条直线，m是平面的一条斜线，且m在平面内的射影为m.若l与m的夹角为60，l与m的夹角为45，则m与平面

所成角的大小为（）A．135B．30C．45D．1502．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥PABCD−的高PH的中点作平行于底面ABCD的截面1111DCBA，若四棱锥PABCD−与四棱台1111ABCD

ABCD−的表面积之比为1211，则直线PA与底面ABCD所成角的余弦值为（）A．105B．155C．63D．333．（2024上·广东深圳·高三统考期末）如图，在三棱台111ABCABC-中，平面11AACC⊥平面ABC，且143ABAC=，130,60CACCA

B==.(1)证明：111ABBC⊥；(2)求直线11AC与平面1ABC所成角的正弦值.4．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面,ABCDM是PA

中点．(1)求证：DM⊥平面PAB；(2)求直线BD与平面PBC所成角的正弦值．