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第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√13,b=3,A=60°,则c=()A.1B.2C.4D.

6答案C解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sinC的值为()A.12B.√22C.√32D.√3

3答案C解析由余弦定理的推论,得cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=12.因为C∈(0,π),所以C=π3,sinC=√32.故选C.3.(多选题)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是()A.1B.2C.3D.4答案ACD解析若a为最大边,

则b2+c2-a2>0,即a2<5,∴a<√5,若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3,∴a>√3,故√3<a<√5.4.(2021四川模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,已知2acosC=2b+√3c,则角A等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案D解析∵2

acosC=2b+√3c,∴由余弦定理的推论,得2a·𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=2b+√3c,化简可得b2+c2-a2=-√3bc,∴cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=-√32.又A∈(0,π),∴A=5π6.故选D.5.在△ABC中,AB=3,

BC=√13,AC=4,则边AC上的高为()A.3√22B.3√32C.32D.3√3答案B解析在△ABC中,AB=3,BC=√13,AC=4,由余弦定理的推论,得cosA=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2-𝐵𝐶22𝐴𝐵·𝐴𝐶=32

+42-132×3×4=12,∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sinA=3sin60°=3√32.故选B.6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为.答案2π3解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵

cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=32+52-722×3×5=-12,且0<C<π,∴C=2π3.7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=√3a,则cosA=.答案13解析由B=C,得b=c=√32a.

由余弦定理的推论,得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=(√32𝑎)2+(√32𝑎)2-𝑎22·√32𝑎·√32𝑎=13.8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为;最小角的余弦值为.答案301314解析

由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理的推论,得cos120°=(𝑎-4)2+(𝑎-8)2-𝑎22(𝑎-4)(𝑎-8),解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故

△ABC的周长为30.最小内角为C,cosC=142+102-622×14×10=2602×14×10=1314.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=√3ac,则角B的度数为.答案60°或120°解析由余弦定

理,得2accosB·tanB=√3ac,整理,得sinB=√32,所以B=60°或120°.10.在△ABC中,cosC=17,c=8,a=7,求:(1)b的值;(2)角A的大小.解(1)a=7,cosC=17,c=8,利用c2=a2+b2-2abcosC,整理得b2

-2b-15=0,解得b=5或-3(负值舍去),故b=5.(2)因为cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12,且A∈(0,π),所以A=π3.关键能力提升练11.在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=1314,则最大角的余弦值是()A.-15B.-16C.-17D.-18答案C解析由

余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=82+72-2×8×7×1314=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=72+32-822×7×3=-17.12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a

,b,c.若𝑐2-𝑎2-𝑏22𝑎𝑏>0,则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形答案C解析由𝑐2-𝑎2-𝑏22𝑎𝑏>0得-cosC>0,所以cosC<0,从而C为钝

角,因此△ABC一定是钝角三角形.13.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是()A.(0,π3]B.[π3,π)C.(0,π6]D.[π6,π)答案A解析cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎�

�=(𝑎-𝑐)2+𝑎𝑐2𝑎𝑐=(𝑎-𝑐)22𝑎𝑐+12≥12,∵0<B<π,∴B∈(0,π3].14.在△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C等于()A.60°B.45°或135°C.120°D.30°答案B解析∵a4+b4+c

4=2c2(a2+b2),∴(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-2a2b2=0,∴(a2+b2-c2)2-2a2b2=0,∴(a2+b2-c2+√2ab)(a2+b2-c2-√2ab)=0,∴a2+b2-c2+√2ab=0或a2+

b2-c2-√2ab=0.∵cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏,∴cosC=-√22或√22.∵0°<C<180°,∴C=135°或45°.故选B.15.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC

=2,AC=√7,则sin∠ABD=.答案12解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=12∠ABC.由余弦定理的推论,得cos∠ABC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2-𝐴𝐶22𝐴𝐵·𝐵𝐶=32+22-(√7)22×3×2=12,所以co

s∠ABC=1-2sin2∠ABD=12,所以sin∠ABD=12.16.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为.答案√3解析因为sin∠BAC=2√23,且AD⊥

AC,所以sin(π2+∠𝐵𝐴𝐷)=2√23,所以cos∠BAD=2√23.在△BAD中,由余弦定理,得BD=√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2-2𝐴𝐵·𝐴𝐷cos∠𝐵𝐴𝐷=√(3√2)2+32-2

×3√2×3×2√23=√3.17.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,所以{2𝑎+1>0,𝑎>0,2𝑎-1>0,解得a>12,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a

-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cosθ=𝑎2+(2𝑎-1)2-(2𝑎+1)22𝑎(2𝑎-1)=𝑎(𝑎-8)2𝑎(2𝑎-1)<0,解得12<a<8.综上可知实数a的取值范围是(2,8).学科素养创新练18.在△ABC

中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2√3x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的大小;(2)求AB的长.解(1)∵cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-12,且C∈(0,π

),∴C=2π3.(2)∵a,b是方程x2-2√3x+2=0的两根,∴{𝑎+𝑏=2√3,𝑎𝑏=2,∴AB2=b2+a2-2abcosC=(a+b)2-ab=10,