【文档说明】陕西省西安中学2021届高三下学期6月第二次仿真考试数学（理）试题 版含答案.docx，共(10)页，163.060 KB，由小赞的店铺上传

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西安中学高2021届高三第二次仿真考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合𝑀={𝑥∈𝑍|𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥)=

0}，𝑁={𝑥∈𝑍|𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥2=0}，则().A.MN=B.NMCMND.=NM2.等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞=𝑖,其中为虚数单位，若𝑎1=1+𝑖,则𝑎8=().A.−1+iB.−1−iC.1+

iD.1−i3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是().A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4.函数f(x)=(2x+2−x)ln|x|的图像大致为().5.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y

2=2有公共点，则实数a的取值范围是().A.[−3,−1]B.[−1,3]C.[−3,1]D.(−∞,−3]∪[1,+∞)6.函数y=x3和y=(12)𝑥−2存在公共点P(x0,y0),则x0的范围为().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7.某算法框图如图1所示，若该

程序运行后输出的值是137，则整数a的值为().A．6B．7C．8D．98.已知α是第二象限角，且tanα=−13，则sin2α等于().A.－31010B.31010C.－35D.359.等比数列{an}中，a1=1,a5=4a3.设Sn为{an}的前n项和，

若Sm=63，则m的值为().A．5B．6C．7D．8.10.已知向量AB⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2),AC⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4),则ΔABC的面积为().A．1B．2C．3D．411.甲乙两人相约10天内在某地会

面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开.若他们在图2期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是().A．0.5B．0.51C．0.75D．0.412.双曲线C1:x2−y2=1和抛物线C2:y2=2px相交于点M,N,若ΔOMN的外接圆经过点A(72,0),则抛

物线C2的方程为().A.y2=32𝑥B.y2=3𝑥C.y2=xD.y2=4x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量𝑎=(1,𝑘),𝑏⃗=(9,𝑘−6).若𝑎∥𝑏⃗,则实数k=_______.14.若x，y满足约束条件x＋y≥

1，x－y≥－1，2x－y≤2.若函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围为_______.15.据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B

A>0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为_______.16.如图2，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的

底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为42，则圆锥底面圆的半径等于_______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据

要求作答．17.（本小题满分12分）设向量𝑎=(√3𝑠𝑖𝑛𝑥,𝑠𝑖𝑛𝑥),𝑏⃗=(𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑠𝑖𝑛𝑥),𝑥∈[0,𝜋2].(I)若|𝑎|=|𝑏⃗|,求实数x的值;(II)设函数𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏⃗,求𝑓(𝑥)的最大值.18

.（本小题满分12分）据悉，我省将从2022年开始进入“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选

两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如下表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30图5(Ⅰ)补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95％的把握认为“选考物理与性别有关”；(Ⅱ)将此

样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．参

考数据：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小题满分12分）如图3，在直角梯形ABCD中，AB//C

D,AB⊥AD，且𝐴𝐵=𝐴𝐷=12𝐶𝐷=1.现以AD为一边向外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图4．(Ⅰ)求证：AM//平面BEC；(II)求证：BC⊥平面

BDE；(III)求CD与平面BEC所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）如图5,椭圆C1:x2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的一个顶点为P(0,−1),离心率为√32.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其

中,1l交圆C2:𝑥2+𝑦2=4于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(Ⅰ)求椭圆C1的方程;(II)求ΔABD面积取最大值时直线l1的方程.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(x+1)ax+1．(Ⅰ

)当a=1，求函数y=f(x)的图象在x=0处的切线方程；(II)若函数f(x)在(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围；(III)已知a,b,c均为正实数，且a+b+c=1，求证(3a−1)ln(a+1)a−1+(3b−1)ln(b+1)b−1+(3c−1)ln(c+1)

c−1≤0．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为{x=√10⬚cosα,y=√10⬚sinα+4(α为参数)，直线l的参数方程为{x=tcosβy=tsinβ(t为参数，0≤β<𝜋).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线E

的极坐标方程；(II)直线l与曲线E交于M，N两点，若ON⃗⃗⃗⃗⃗=3OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求直线l的斜率．23.（本小题满分10分）已知a,b,c为正数，𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+|𝑥+𝑏|+

|𝑥−𝑐|．(Ⅰ)若𝑎=𝑏=𝑐=1，求函数f(x)的最小值；(II)若𝑓(0)=1且a,b,c不全相等，求证：𝑏3𝑐+𝑐3𝑎+𝑎3𝑏>𝑎𝑏𝑐．西安中学高2021届高三第二次仿真考试理科数学答案一

、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案CDBBCBACBABA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.−3414.(－4,2)15.60

0016.1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17..18.（Ⅰ）解析(I)根据题意

补全2×2列联表,如下:选考物理选考历史总计男生401050女生302050总计7030100根据表中数据,可得𝐾2=100×(40×20−10×30)250×50×70×30≈4.762>3.841,故

有95%的把提认为“选考物理与性别有关.”6分（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2,3,随机变量x服从二项分布,由题意,可得学生选考历史的概率为310,且X~B(3,310)，P(X=0)=𝐶30(710)3=3431000,P(x=1)=𝐶31(310)1(710)2=

4411000,P(X=2)=𝐶32(310)2(710)'=1891000,P(X=3)=𝐶33(310)3=271000.x的分布列为X0123P343100044110001891000271000期望E（x）=3×310=910.12分19.(Ⅰ)证明：取EC中点N，连接MN

，BN，在△𝐸𝐷𝐶中，M，N分别为ED，EC的中点，所以𝑀𝑁//𝐶𝐷，且𝑀𝑁=12𝐶𝐷.由已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=12𝐶𝐷，所以𝑀𝑁//𝐴𝐵，且𝑀𝑁=𝐴𝐵．所以四边形ABNM为平行四边形．所以𝐵𝑁//𝐴𝑀．又因为�

�𝑁⊂平面BEC，且𝐴𝑀⊄平面BEC，所以𝐴𝑀//平面BEC．3分(Ⅱ)证明：在正方形ADEF中，𝐸𝐷⊥𝐴𝐷.又因为平面𝐴𝐷𝐸𝐹⊥平面ABCD，且平面𝐴𝐷𝐸𝐹∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝐸𝐷⊂平面ADEF，所以𝐸𝐷⊥平面ABCD，又𝐵𝐶⊂平面

ABCD，所以𝐸𝐷⊥𝐵𝐶．在直角梯形ABCD中，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，𝐶𝐷=2，可得𝐵𝐶=√2.在△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷=𝐵𝐶=√2,𝐶𝐷=2，所以𝐵𝐷2+𝐵𝐶2=𝐶𝐷2.所以𝐵𝐶⊥𝐵𝐷．又𝐸𝐷∩𝐵𝐷=𝐷，ED，𝐵𝐷⊂平面B

DE．所以𝐵𝐶⊥平面BDE．7分(3)作𝐷𝐻⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠𝐷𝐶𝐻为所求的角由(2)知，𝐵𝐶⊥𝐵𝐷，又𝐵𝐶⊥平面BDE，且𝐵𝐸⊂平面BDE，可得𝐵𝐶⊥𝐵𝐸，所以𝑆△𝐵𝐶𝐷=12𝐵�

�·𝐵𝐶=12×√2×√2=1，又因为𝐸𝐷⊥平面ABCD，BD，𝐶𝐷⊂平面ABCD，则𝐸𝐷⊥𝐵𝐷，𝐸𝐷⊥𝐶𝐷，计算可得𝐵𝐸=√3，结合𝐵𝐶=√2，𝑆△𝐵𝐶𝐸=12×𝐵𝐸×𝐵

𝐶=12×√2×√3=√62，又𝑉𝐸−𝐵𝐶𝐷=𝑉𝐷−𝐵𝐶𝐸=13𝑆△𝐵𝐶𝐷·𝐷𝐸=13=13×√62×𝐷𝐻．所以𝐷𝐻=√63，所以sin∠𝐷𝐶𝐻=𝐷𝐻𝐶𝐷=√632=√66．12分20.(Ⅰ)由已知得到1b=,且ca=√32,结合c2=𝑎

2−𝑏2,有椭圆的方程是2214xy+=;5分(Ⅱ)因为直线12ll⊥,且都过点(0,1)P−,所以设直线1:110lykxkxy=−−−=,直线21:10lyxxkykk=−−++=,所以圆心(0,0)到直线1:1

10lykxkxy=−−−=的距离为211dk=+,所以直线1l被圆224xy+=所截的弦222234241kABdk+=−=+;由22222048014xkykkxxkxxy++=++=+=,所以2222222816481||(1)4(

4)4DPkkkxxDPkkkk++=−=+=+++,所以2222222211234818434843||||224443131ABDkkkkSABDPkkkk++++====+++++22

22232323216131313431321343434343kkkkk===+++++++,当22213510432243kkkk+===+时等号成立,此时直线110:12lyx=−12分21.(Ⅰ)：当𝑎=1时，𝑓(𝑥)

=ln(𝑥+1)𝑥+1，则𝑓(0)=0，𝑓′(𝑥)=1−ln(𝑥+1)(𝑥+1)2，∴𝑓′(0)=1，∴函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象在𝑥=0处的切线方程为𝑦=𝑥。3分(Ⅱ)：∵函数𝑓(𝑥)在(0,1)上单调递增，∴�

�𝑥+1=0在(0,1)上无解，当𝑎≥0时，𝑎𝑥+1=0在(0,1)上无解满足，当𝑎<0时，只需1+𝑎≥0，∴−1≤𝑎<0①𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥+1𝑥+1−𝑎𝑙𝑛(𝑥+1)(𝑎𝑥+1)2∵函数𝑓(𝑥)在(0

,1)上单调递增，∴𝑓′(𝑥)≥0在(0,1)上恒成立，即𝑎[(𝑥+1)ln(𝑥+1)−𝑥]≤1在(0,1)上恒成立，设ℎ(𝑥)=(𝑥+1)ln(𝑥+1)−𝑥，则ℎ′(𝑥)=ln(

𝑥+1)，∵𝑥∈(0,1)，∴ℎ′(𝑥)>0，∴ℎ(𝑥)在(0,1)上单调递增，∴ℎ(𝑥)在(0,1)上的值域为(0,2𝑙𝑛2−1)，∴𝑎≤1(𝑥+1)ln(𝑥+1)−𝑥在(0,1)上恒成立，∴𝑎≤12𝑙𝑛2−1②综合①②得实数a的取值范围为[−

1,12𝑙𝑛2−1]；7分(3)证明：由(2)知，当𝑎=−1时，𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1)1−𝑥在(0,1)上单调递增，于是当0<𝑥≤13时，𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1)1−𝑥≤𝑓(13)=32ln43，当13≤𝑥<1时，𝑓

(𝑥)=ln(𝑥+1)1−𝑥≥𝑓(13)=32ln43，∴(3𝑥−1)𝑓(𝑥)≥(3𝑥−1)⋅32ln43，即(3𝑥−1)ln(𝑥+1)𝑥−1≤(3𝑥−1)⋅32ln43。分别令x=a,b,c,可得三式。三

式相加得：(3𝑎−1)ln(𝑎+1)𝑎−1+(3𝑏−1)ln(𝑏+1)𝑏−1+(3𝑐−1)ln(𝑐+1)𝑐−1≤012分22.(Ⅰ)∵曲线E的参数方程为{𝑥=√10⬚cos𝛼,𝑦=√10⬚sin𝛼+4,∴曲线E的直角坐标方程为𝑥2+(

𝑦−4)2=10．由{𝑦=𝜌sin𝜃,𝑥=𝜌cos𝜃,得曲线E的极坐标方程为𝜌2−8𝜌sin𝜃+6=0．5分(Ⅱ)将直线𝑙:𝜃=𝛽(𝜌∈𝑅,0≤𝛽<𝜋)，代入曲线E的方程得𝜌2−8𝜌sin𝛽+6=0．由𝛥

=64sin2𝛽−24>0，解得sin2𝛽>38．设𝑁(𝜌2,𝛽)，𝑀(𝜌1,𝛽)，由韦达定理得𝜌1+𝜌2=8sin𝛽，𝜌1𝜌2=6．𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝜌2=3𝜌1，所以

𝜌1=√2⬚,𝜌2=3𝜌1=3√2⬚，所以sin𝛽=√2⬚2，满足𝛥>0．∵0≤𝛽<𝜋，∴𝛽=𝜋4或3𝜋4，∴𝑘=tan𝛽=±1，∴直线l的斜率为±1．10分23.(Ⅰ)因为𝑎=𝑏=�

�=1，所以𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+|𝑥+𝑏|+|𝑥−𝑐|=2|𝑥+1|+|𝑥−1|，法1：由上可得：𝑓(𝑥)={−3𝑥−1,𝑥≤−1,𝑥+3,−1<𝑥<1,3𝑥+1,𝑥≥1.所以，当𝑥=−1时，函数𝑓(�

�)的最小值为2；法2：𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+|𝑥+𝑏|+|𝑥−𝑐|=|𝑥+1|+|𝑥+1|+|𝑥−1|≥|𝑥+1|+|𝑥+1−𝑥+1|=2+|𝑥+1|≥2，当且仅当{(𝑥+1)(𝑥−1)≤0𝑥+1=0，即𝑥=−1时取得最小值2；

5分(Ⅱ)：因为a，b，c为正数，所以要证𝑏3𝑐+𝑐3𝑎+𝑎3𝑏>𝑎𝑏𝑐，即证明𝑏2𝑎+𝑐2𝑏+𝑎2𝑐>1就行了，法1：因为𝑏2𝑎+𝑐2𝑏+𝑎2𝑐+𝑎+𝑏+𝑐=𝑏2𝑎+𝑎+𝑐2

𝑏+𝑏+𝑎2𝑐+𝑐≥2√𝑏2+2√𝑐2+2√𝑎2=2(𝑎+𝑏+𝑐)，当且仅当𝑎=𝑏=𝑐时取等号．又因为𝑓(0)=1即𝑎+𝑏+𝑐=1且a，b，c不全相等，所以𝑏2𝑎+𝑐2𝑏+𝑎2𝑐>1，即𝑏3�

�+𝑐3𝑎+𝑎3𝑏>𝑎𝑏𝑐，法2：因为(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑏2𝑎+𝑐2𝑏+𝑎2𝑐)≥1，当且仅当𝑎𝑏=𝑏𝑐=𝑐𝑎取等号，又因为𝑓(0)=1即𝑎+𝑏+𝑐=1且a，b，c不全相等，所以𝑏2𝑎+𝑐2𝑏+𝑎2𝑐>1，即𝑏3𝑐+𝑐3𝑎

+𝑎3𝑏>𝑎𝑏𝑐．10分