【文档说明】2026届高二年级第一次月考数学试卷....doc，共(5)页，2.384 MB，由小赞的店铺上传

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2026届高二年级第一次月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．空间直角坐标系中，点(2,3,3)到坐标平面xOy的距离为（）A

．2B．3C．3D．42.若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．如果m，lm∥，则l∥B．如果m，n，m，n，则∥C．如果∥，l，则l∥D．如果∥，m，n，则mn∥3．设复数z满足2021(32)z

ii+=−，则复数z=（）A．2313i−+B．2313i+C．3213i−D．3213i+4．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A．318B．218C．312D．3245．在三棱锥OABC−中，已知23BEBC=，G

是线段AE的中点，则OG=（）A．111236OAOBOC++B．111623OAOBOC++C．111362OAOBOC++D．111263OAOBOC++6．大数学家欧拉发现了一个公式：ecossinixxix=+，i是虚数单位，

e为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，2022ππcossin44i+=（）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1B．1−C．iD．i−7．如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥底面AB

C，1ABBCCAAA===，点D是棱1AA上的点，114ADAA=，若截面1BDC分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（）A．1:2B．4:5C．4:9D．5:78.已知ABC是面积为934的等边三角形，其顶点均在球O的表面上，当点P在球O的表面上运动时，三棱锥−

PABC的体积的最大值为934，则球O的表面积为（）A.16B.323C.274D.4二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分

；若只有3个正确选项，每选对一个得2分）9．已知向量()()1,2,2,25,,1ammbmm=−=−，则下列结论正确的是（）A．若a∥b，则3m=B．若ab⊥，则25m=−C．a的最小值为2305D．a的最大值为410．下列有关复数的说法正确

的是（）A.若iz23+−=是关于x的方程20(,)xpxqpqR++=的一个根，则19pq+=B.若12i2z−，则点Z的集合所构成的图形的面积为C.若z是复数，则一定有22zz=D.若12,Czz，则1212zzzz=11．如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为

a，则下列选项中正确的有（）A．异面直线1BD与1AA的夹角的正弦值为63B．二面角1ABDA−−的平面角的正切值为3C．四棱锥DDBBA111−的外接球体积为33π2aD．三棱锥DBCA1−与三棱锥111ABDD−体积相等三、填空

题（本题共3小题，每小题5分,共15分）12.在复数范围内，方程38x=的虚数根是(写出一个即可)13．已知点()4,1,3A、()2,5,1B−，C为线段AB上一点，若3ABAC=，则点C的坐标为．14.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:

2,其内切球的半径为1,则该正四棱台的侧面积为四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.本小题13分已知直三棱柱111ABCABC-中，ACBC=，点D是AB的中点．（1）求证：1BC∥平面1CAD；（2）若底面ABC边长为2的正三角形，13BB=，求三

棱锥11BADC−的体积．16.本小题15分已知复数()izmm=−R，且()13iz+为纯虚数（z是z的共轭复数）.(1)设复数14i1imz+=−，求1z；(2)复数20232iazz−=在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取

值范围.17.本小题15分如图，在正四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD的交于点O，2PO=，M是PC边上靠近P的三等分点．(1)设ABa=，ADb=，APc=，用a，b，c表示向量BM；(2)在如图的空间直角坐标系中，

求向量BM的坐标．18.(本小题17分)如图,ABCD为圆柱O0'的轴截面，FE是圆柱上异于AD,BC的母线.(1)证明:⊥BE平面DEF:(2)若6=BC=AB，当三棱锥DEFB−的体积最大时，求二面角E-DF-B的

正弦值.19.(本小题17分)图1所示，在矩形ABCD中，4AB=，62BC=，点E为AB上一点，1AE=，现将BCE沿CE折起，将点B折到点B位置，使得点B在平面AECD的投影落在线段AD上，得到如图2所示的空间

几何体BAECD−．（1）在线段BC上是否存在点F，使得EF平面BAD？若存在，求BFBC的值；若不存在，请说明理由.（2）求二面角BECD−−的大小．2026届高二年级第一次月考数学试卷答案题号12345678答案CCABDDDA题号91011答案ACABDACD1

2.i31−13.107,1,33−14.181．C【分析】由空间直角坐标系中点的坐标的定义即可求解.【详解】空间直角坐标系中，点(2,3,3)到坐标平面xOy的距离即为竖坐标3.故选：C2【答案】C【详解】A：当l时，才能由m，lm∥，得到l∥

，所以本选项命题是假命题；B：只有当,//,//mnOmn=，时才能由m，n，得到∥，所以本选项命题是假命题；C：根据面面平行的性质可知本选项命题是真命题；D：因为∥，m，n，所以直线m，n没有交点，因此m，n可以平行也可以异面，所以本选项命题是假命题，故选：C3．

A【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的概念求得复数.【详解】20212(32)322332(32)(32)1313iiiiiiziii−−−−+−−====++−，∴2313iz−+=，故选：A.4．B【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则

πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•23，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h22lr=−=62.该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh＝3×62=182.故选：B.5．D【详解】连接OE，因为G是线段AE的中点，所以112

2OGOAOE=+因为23BEBC=，所以2212()3333OEOBBEOBBCOBOCOBOBOC=+=+=+−=+所以111112111222233263OGOAOEOAOBOCOAOBOC=+=++=++

故选：D6．D【详解】因为20222022101142ππ10111011cossincossin4422iiieei+===+，所以20223333cos504sin504cossin2π

πcossin42224iiii=+++=+=−+，故选：D.7．D【详解】不妨令14ABBCCAAA====，且上下底面等边三角形，又1AA⊥底面ABC，

易知111ABCABC-为直三棱柱，即侧面为矩形，所以三棱柱111ABCABC-体积21134416322ABCVAAS===，而11,4ADCC==，故111()102ACCDSACADCC=+=，

所以11203231033BACCDV−==，故11112833CABBDBACCDVVV−−=−=，所以111157BACCDCABBDVV−−=.故选：D8【答案】A【解析】【分析】作出图形，结合图形知，当点P与球心O以及△ABC外接圆圆

心M三点共线且P与△ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥−PABC的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥−PABC的高h，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用RtOAM,求出球O的半径R，最后利用球体的表面积公式可求出答案．【详解】如

图所示，设点M为ABC外接圆的圆心，当点POM、、三点共线时，且PM、分别位于点O的异侧时，三棱锥−PABC的体积取得最大值.因为ABC的面积为934，所以边长为3，由于三棱锥−PABC的体积的最大值为41939334PM=，得3PM=，易知SM⊥

平面ABC，则三棱锥−PABC为正三棱锥，ABC的外接圆直径为3223sin3AM==，所以3AM=,设球O的半径为R，则22222()3(3)ROAAMPMPOR==+−=+−,解得2R=,所以球的表面积为2416SR==.故选：A9．AC【详解】对于A，若a∥b

，且()()1,2,2,25,,1ammbmm=−=−，则存在唯一实数使得ab=，即()()()1,2,225,,mmmm−=−，则1(25)22mmmm−=−==，解得32m==，

故A正确；对于B，若ab⊥，则0ab=，即()()2125220mmm−−++=，化简得24770mm−+=，因为491670=−，所以无实数解，故B错误；对于CD，222(1)44525ammmm=−++=−+，故当15m=时，a取得最小值为2305，无最大值，故C正

确，D错误.故选：AC.10在A中，若点Z的坐标为()3,2−，则32iz=−+，所以2(32i)(32i)0pq−++−++=，整理得53(212)i0qpp+−+−=，所以530212=0qpp+−=−，解得613pq==，所以19pq+=，故A

正确；B中，记izxy=+，则222i(2)i(2)zxyxy−=+−=+−所以2221(2)xy−+，圆22(2)2xy+−=的面积为2，圆22(2)1xy+−=的面积为，所以点Z的集合所构成的

图形的面积为2−=，故B正确.C：当1iz=+，则22z=，而22iz=，显然22zz=不成立，错误；D：令1i(,R)zabab=+，2i(,R)zmnmn=+，则12()izzmanbmbna

=−++，故12()izzmanbmbna=−−+，又1izab=−，2izmn=−，则12()izzmanbmbna=−−+，所以1212zzzz=，正确.11ACD【详解】对于A，∵11AABB，1

RtBBD中，1BBD就是异面直线所成的角，12,3BDaBDa==，则126sin33aBBDa==，A正确；对于B，连接AC交BD于点O，连接1AO，∵1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴1AA⊥BD，又BD⊥AO，1AAAOA=，1,AAAO平面1AOA，∴BD⊥平面1A

OA∵1AO平面1AOA，∴BD⊥1AO，∴1AOA为二面角1ABDA−−的平面角，在1RtAAO△中，1tan222aAOAa==，B不正确；对于C，∵正方体外接球的半径32Ra=，∴正方体的外接球体积为3343ππ32VRa

==，C正确；对于D，∵111111ABDDDABDVV−−=，三棱锥1AABD−的高1AA与三棱锥111DABD−的高1DD相等，底面积111ABDABDSS=△△，故三棱锥1AABD−与三棱锥111ABDD−体积相等，D正确.故选：ACD.12.212i13i2x−==−1

3．107,1,33−【详解】3ABAC=，()3OBOAOCOA−=−，得2133OCOAOB=+，21107(4,1,3)(2,5,1),1,3333OC=+−=−，即

点C的坐标为107,1,33−.故答案为：107,1,33−.14.1815.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】（1）连接1AC交1AC于点E，连接DE∵四边形11AACC是矩形，∴E为1AC的

中点，又∵D是AB的中点，∴1DEBC∥，又∵DE平面1CAD，1BC平面1CAD，∴1BC∥面1CAD．（2）∵ACBC=，D是AB的中点，∴ABCD⊥，又∵1AA⊥面ABC，CD面ABC，∴1AAC

D⊥．又∵AB面11AABB，1AA面11AABB，1ABAAA=，∴CD⊥面11AABB，∴CD为三棱锥11CABD−的高，3CD=，又∵1BD=，13BB=，∴11112ADBDAB===，113ABDS

=△，∴三棱锥11BADC−的体积111113313BADCCABDVV−−===．16【答案】(1)3m=.1522z=(2)1,3+【详解】（1）解：因为()izmm=−R，则izm=+，所以，()()()()()13ii13i331izmmm+=++=−++为纯虚数，所

以，30310mm−=+，解得3m=.解：()()()()134i1i4i34i17i17i1i1i1i1i222mz++++−+=====−+−−−+，因此，2211752222z=−+=.（2）解：因为2023450

533iiii+===−，则()()()()20232i3iii313i3i3i3i1010aaaaazz++−+−+====+−−+，因为复数2z在复平面内对应的点位于第一象限，则31030aa−

+，解得13a.因此，实数a的取值范围是1,3+.17．(1)BM122333bca=+−；(2)BM2224(,,)333=−.【详解】（1）依题意，BMBCCM=+，BCAD=，23CMCP=，CPAPAC=−，ACABAD=+，)23(BMADAPAC=

+−)22(33ADAPABAD=+−+122333ADAPAB=+−122333bca=+−．（2）依题意，点22(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(,,2)22ABDP，(2,0,0)aAB==，(0,2,0)bAD==，22(,,2)22cAP==，1221

2222(0,2,0)(,,2)(2,0,0)33333223BMbca=+−=+−2224(,,)333=−．18.19解：（1）在边'BC上取点F，使得'14BFBC=，过F作CD的平行线交'BD于M点，连接EF，AM．MFCD∥且'1'4

MFBFCDBC==，又AECD∥且14AECD=，AEMF∥且=AEMF，故四边形AEFM为平行四边形，//EFAM，又EF平面'BAD，AM平面'BAD，，//EF平面'BAD；（2）如图，记点B在线段AD上射影为O，过点O作CE的垂线，垂

足为N，连接'BN，''CEONCEBOONBOO⊥⊥=，，，'CEBON⊥平面，'CEBN⊥，则'BNO为二面角'BCED−−的平面角．在矩形ABCD中，如图，3BE=，62BC=，9CE=，22=BN，1EN=，

又EBNOBA∽，BNBABEBO=，32BO=，2ON=，则1cos'2ONBNOBN==．二面角BECD−−的大小为60.