【文档说明】天津市滨海新区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(23)页，1.972 MB，由小赞的店铺上传

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滨海新区2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上.答卷时，考生

务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I卷选择题（60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号.2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线320xy−−=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】A【解析】【分析】先求出直线的斜率

，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由320xy−−=可得：323yx33=−，所以斜率为33k=，设倾斜角为，则3tan3=，因为0180，所以30=，故选：A2.经过()0,2A，()10B,

两点的直线的方向向量为()1.k，则k的值是（）A.1B.－1C.2D.-2【答案】D【解析】【分析】由两点的斜率公式计算即可.【详解】解：由已知得20201k−==−−.故选：D【点睛】本题考查两点的斜率公式及直线方向向量的概念，是基础题.3.抛物线22xy=的焦点坐标为

（）A.()1,0B.()0,1C.1,02D.10,2【答案】D【解析】【分析】根据抛物线焦点在y轴上，焦点坐标为0,2p即可求解.【详解】由22xy=可知抛物线焦点在y轴上，且1p=，所以122p=，故焦点坐标为：10,2，故选：D4.等差数列

na的前n项和为nS，已知58a=，36S=，则107SS−的值是（）A.48B.60C.72D.24【答案】A【解析】【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093SSaaaa−=++=，代入求值.【详解】由条件可知11

4832362adad+=+=，解得：102ad==，()10789109133848SSaaaaad−=++==+=.故选：A5.已知等比数列{an}中，a1＝7，a4＝a3a5，则a7＝（

）A.19B.17C.13D.7【答案】B【解析】【分析】先根据等比数列的性质求出a4，再根据通项公式求出首项，即可求出a7的值．【详解】解：等比数列{an}中，a1＝7，由a4＝a3a5＝a42，解得a4＝1，a4＝0（舍去）

，∴a4＝a1q3，∴q3＝17，∴a7＝a1q6＝7×（17）2＝17，故选：B．6.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取

了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）A.15天B.16天C.17天D.18天【答案】A【解析】【分析】由题可得每天收到的捐款形成等差数列，利用等差数列的前n项和即可求出.【详

解】设他们每天收到的捐款形成数列na，则由题可得na是首项为10，公差为10的等差数列，()1101012002nnnSn−=+=，解得16n=−（舍去）或15n=，所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.7.圆221

:9Cxy+=与圆222:(1)(2)36Cxy−++=的位置关系是（）A.相交B.相离C.内切D.内含【答案】D【解析】【分析】根据两圆的方程，求得圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可求解.【详解】由圆221:9Cxy+=与圆222:(1)(2)3

6Cxy−++=，可得1122(0,0),3,(1,2),6CrCr=−=，则2212(10)(20)5CC=−+−−=，又由213rr−=，所以1221CCrr−，所以圆1C和圆2C的位置关系式内含.故选：D.8.已知A为抛物线2:2(0)Cypxp=上一点，点A到C的焦点的距离为1

5，到y轴的距离为12，则p的值为（）A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】【分析】首先设点()00,Axy，然后根据条件列式，求p的值.【详解】设()00,Axy，则0015212pxx+==，解得：6p=.故选：B9.已知等差数列{}na的前n项和为nS，110,

a=公差3.5,d=−nS取得最大值时n的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】求出等差数列的前n项和，利用二次函数的性质即可求出.【详解】110,a=3.5,d=−()()2174710+3.5+244nnnSnnn−=−=−，可得对

称轴为4714n=，开口向下，nN，当3n=时，nS取得最大值为392.故选：A.【点睛】求等差数列前n项和最值：方法点睛：由于等差数列()2111+222nnnddSnadnan−==+−是关于n的二次函数，当1a与d异号时，nS在对称轴或离对称轴最

近的正整数时取最值；当1a与d同号时，nS在1n=取最值.10.如图,在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点,则OG等于（）A.111333OAOBOC++B.111234OAOBOC++C.111244OAOBOC++D.111446OAOBOC++【答案】C

【解析】【分析】因为在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点,12OEOAAD=+,即可求得答案.【详解】在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点12OGOAAD=+11()22OAABAC=++1

()4OAOBOAOCOA=+−+−111244OAOBOC=++故选:C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.11.已知2222:02xyCxy−+−−=，直线:220l

xy++=，M为直线l上的动点，过点M作C的切线,MAMB，切点为,AB，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为（）A.210xy+−=B.210xy++=C.210xy−−=D.2+10xy−=【答案】B【解析】【分析

】将面积化为224MACBSMC=−，即可得点C到直线的距离即为MC最小，由此求出M坐标，由,,,MACB四点共圆，求出该圆方程，和圆C方程相减可得直线AB方程.【详解】将222220xyxy+−−−=化为标

准方程为()()22114xy−+−=，故圆心()1,1C，半径为2，可得MAAC⊥，则222MAACMC+=，2122242MACBMACSSMAACMC===−，M为直线l上的动点，则可得min12255MC++==，此时MACS取得最小值为2，此时MCl⊥，2MCk=，则直

线MC方程为()121yx−=−，即21yx=−，联立MC和l可得()0,1M−，可得,,,MACB四点共圆，且圆心为MC中点1,02，半径为1522MC=，则该圆方程为221524xy−+=，将两圆联立相减可得直

线AB方程为210xy++=.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是得出当MCl⊥，面积最大，求出点M坐标，且,,,MACB共圆，求出该圆方程，即可求出公共弦AB方程.1

2.已知1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，且2122bFFa=，点P为双曲线右支一点，I为12PFF△的内心，若1212IPFIPFIFFSSSl=+△△△成立，给出下列结论：①当

2PFx⊥轴时，1230PFF=②离心率152e+=③512−=④点I的横坐标为定值a上述结论正确的是（）A.①②B.②③C.①③④D.②③④【答案】D【解析】【分析】当2PFx⊥轴时，求出121tan2PFF=，判定①不正确；通过求解离心率

，可判定②正确；设12PFF△的内切圆半径为r，利用面积公式求得，可判定③正确；设内切圆与12,PFPF,12FF的切点分别为,,MNT，结合双曲线的定义，求得I的横坐标，可判定④正确.【详解】当2PFx⊥轴时，可得221212bPFcFFa===，此时121tan2PFF=，所以①不正

确；因为2122bFFa=，所以2222222bcacaa−==，整理得220caca−−=，可得210ee−−=（其中e为双曲线的离心率，1e），所以152e+=，所以②正确；设12PFF△的内切圆半径为r，由双曲线的定义可得12122,2

PFPFaFFc−==，其中121212111,,2222IPFIPFIFFSPFrSPFrScr===，因为1212IPFIPFIFFSSSl=+△△△，所以121122PFrPFrcr=+，解得12

15122PFPFacce−−====，所以③正确；设内切圆与12,PFPF,12FF的切点分别为,,MNT，可得1122,,PMPNFMFTFNFT===，因为12121212122,2PFPFFMFNFTFTaFFFTFTc−=−=−==+=

，可得2FTca=−，则点T的坐标为(,0)a，所以I点横坐标为a，所以④正确.故选：D【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,ac得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于,ac的二元齐次方程，然后转化为

关于e的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.第II卷（90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.已知直线l与平面平行，直线l的一个方向向量为(

)1,3,uz=r，向量()4,2,1v=−r与平面垂直，则z=_______.【答案】2【解析】【分析】根据向量的垂直关系计算即可.【详解】由题可知uv⊥，()14+32+10uvz=−=rr，解得2z=.故答案为：2.14.若直线3

x=与圆2220xyxa+−−=相切，则a=_________．【答案】3【解析】【分析】由题意结合圆的方程可得该圆圆心为()1,0，半径为1a+，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.【详解】由题意圆的方程2220

xyxa+−−=可转化为()2211xya−+=+，所以该圆圆心为()1,0，半径为1a+，所以圆心到直线3x=的距离311da=−=+，解得3a=.故答案为：3.【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关

系的应用以及运算求解能力，属于基础题.15.已知数列na满足11a=，111+)nnanNa−=(，则4a=_______.【答案】53【解析】【分析】根据递推关系依次求出234,,aaa即可.【详解】11a=，111+)nnanNa−=(，2111+2a

a==，32131+2aa==，43151+3aa==.故答案为：53.16.已知方程22121xymm−=++表示双曲线，则实数m的取值范围为________.【答案】2m−或1m−【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得()()210mm++，解不等式即可求解

.【详解】若方程22121xymm−=++表示双曲线，则()()210mm++，解得：2m−或1m−，故答案为：2m−或1m−.17.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，求点B到直线1AC的距离______.【答案】63【解析】【分析】以1D为坐标原点

，分别以11DA，11DC，1DD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取(0,1,0)aAB==，113(1,1,1)3||ACuAC==，从而可得点B到直线1AC的距离.【详解】以1D为坐标原点，分别以11DA，1

1DC，1DD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则(1A，0，1)，(1B，1，1)，1(0C，1，0)，(0,1,0)AB=，1(1,1,1)AC=−−，取(0,1,0)aAB==，113(1,1,1)3||ACuA

C==，21a=，33au=，则点B到直线1AC的距离为2216()133aau−=−=.故答案为：63.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量

，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，并且经过点()2,22M−，经过焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C交于,AB两点，则p=_______，线段AB的

长为_______.【答案】(1).2(2).8【解析】【分析】将点()2,22M−代入抛物线2:2(0)Cypxp=可得p的值，求出直线l的方程与抛物线方程联立可得12xx+的值，利用过焦点的弦长公式12ABA

FBFxxp=+=++即可求得线段AB的长.【详解】因为抛物线2:2(0)Cypxp=经过点()2,22M−,所以()22222p−=,解得2p=，所以抛物线2:4Cyx=，焦点()1,0F，所以直线l的方程为：1yx=−，设()1

1,Axy，()22,Bxy，由241yxyx==−可得2610xx−+=，可得126xx+=，由抛物线的定义可得：所以121262822ppABAFBFxxxxp=+=+++=++=+=，故答案为：2；8【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线2

2ypx=()0p的焦点F的弦，若()11,Axy，()22,Bxy，则：（1）2124pxx=，212yyp=−；（2）若点A在第一象限，点B在第四象限，则1cospAF=−，1cospBF=+，弦长1222sinpABxxp=++

=，（为直线AB的倾斜角）；（3）112||||FAFBp+=；（4）以AB为直径的圆与准线相切；（5）以AF或BF为直径的圆与y轴相切.19.已知数列na为等比数列，132a=，公比12q=，若nT是数列

na的前n项积，则当n=_______时，nT有最大值为_______.【答案】(1).5或6(2).32768【解析】【分析】先求出na的通项公式，再将其前n项积nT表示出来，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时n的值.【详解】因为数列

na为等比数列，132a=，公比12q=，所以1661132222nnnna−−−===，所以5436543612322222nnnnTaaaa−++++−===()25611543622222nnnnn+−−+++++−===，令()2112n

nfn−+=，对称轴为5.5n=，因为n是正整数，所以5n=或6时()2112nnfn−+=最大，此时nT最大，nT最大值为2511515252232768T−+===，故答案为：5或6；32768.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将

na前n项积nT表示出来，21122nnnT−+=，结合对应的二次函数的性质可求最值.20.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的右焦点(c,0)F，点P在椭圆C上，线段PF与圆22239cbxy−+=

相切于点Q，且2PQQF=，则椭圆C的离心率为_______.【答案】53【解析】【分析】根据数形结合分析，可得'PFPF⊥，并根据勾股定理，可得()()22222244babcab+−==−，计算离心率.【详解】如图，首先画出函数图象，12

33EFOFOEccc=−=−=，2131'23cEFEFcc==+，又2PQQF=，'//PFQE，且1'3QEPF=，且'PFPF⊥，3bQE=，'PFb=，根据椭圆的定义可知2PFab=−，由勾股定理可知22212'PFP

FFF+=，即()()22222244babcab+−==−整理为222224444bababab++−=−，即23ba=，22513cbaa=−=.故答案为：53【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1

.根据,,abc直接求，2.根据条件建立关于,ac的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,abc的等量关系求解.三.解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知圆C的圆心在x轴上，且经过点()30A−,，()1,2B−．（Ⅰ）求圆C的

标准方程；（Ⅱ）过点()0,2P斜率为34的直线l与圆C相交于,MN两点，求弦MN的长．【答案】（Ⅰ）()2214xy++=；（Ⅱ）23.【解析】【分析】（Ⅰ）求出AB的垂直平分线，可求得圆心坐标，进而可求出半径，得出圆的方程；（Ⅱ）得出直线方程，求出圆心到

直线距离，由几何法即可得出.【详解】解：（Ⅰ）设AB的中点为D，则()2,1D−，0213+1ABk−==−，由圆的性质得CDAB⊥，所以1CDABkk=−，得1CDk=−，所以直线CD方程是1yx=−−，令0y=，可得1x=−，故圆

心()1,0C−，半径2rAC==，所以圆C的标准方程为()2214xy++=（Ⅱ）可得直线l的方程为324yx=+，圆心()1,0C−到直线l的距离为23241314d−==+所以，22224123MNrd=−=−=.22.如

图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PDDC=，F，G分别是PB，AD的中点．（Ⅰ）求证：GF⊥平面PCB；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCB的夹角的大小；（III）在线段AP上是否存在一点M，使得DM与平面ADF所成角为30？若存在

，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°；（III）存在，()1,0,1.【解析】【分析】（1）以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出G、P、A、B、C、

F的坐标，根据法向量的性质求得平面PCB的法向量n，证得//GFn即可；（2）由（1）知，平面PCB的法向量为(0n=，1，1)，同（1）可求得平面PAB的法向量m，由cosm，||||mnnmn=即可得解；（3）设AM

AP=，则(22M−，0，2)，故有,|cos60|cosDtM→=·=||·DMtDMt，解之得的值即可．【详解】（Ⅰ）证明：以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2

,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)ABCPGF(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GFPBPC==−=−设平面PCB的法向量为111(,,)mxyz=，则00mPBmPC

==，即111112220220xyzyz+−=−=令1=1z，则110,1xy==，(0,1,1)m=//GFm，故GF⊥平面PCB．(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB的法向量为(0,1,1)m=，(

2,2,2),(2,0,2)PBPA=−=−设平面PAB的法向量为222(,,)nxyz=，则2222222200,2200xyznPBxznPA+−==−==即，令21z=，则221,0,xy==，所以平面PAB的法向量(1,0,1)n=1

1cos,||||222mnmnmn===平面PAB与平面PCB的夹角大小为60．（III）假设线段AP上存在一点M，设AMAP=，01，，则(22,0,2)M−，(22,0,2)DM=−，设平面ADF的

法向量为333(,,)txyz=，(2,0,0),(1,1,1)DADF==，由0,0DAtDFt==得到(0,1,1)t=−，DM与平面ADF所成角为30，DM与t所成角为60，22|||2|cos60|cos

,|(22)42||||DMtDMtDMt→→===−+，解得12=，故在线段AP上存在一点M，使得DM与平面ADF所成角为30，点M的坐标为(1,0,1)．【点睛】关键点点睛：存在性问题，一般假设存在一点M，设AMAP=，利用向量的

坐标运算，根据线面角公式求解，如能求出符合范围的，即存在，否则不存在.23.已知等差数列{}na的前n项和为nS，且4224,21,nnSSaanN==+.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若13nnb−=，令11=nnnnnc

abaa++，求数列{}nc的前n项和nT.【答案】（Ⅰ）21()nann=−N；（Ⅱ）()13121nnnTnn=−+++.【解析】【分析】(Ⅰ)根据条件列出方程组求出数列的首项和公差，即可得出通项公式；（Ⅱ）分组求和结合错位

相减法和裂项相消法可求出.【详解】解:(Ⅰ)设等差数列na的公差为d，则由4224,21,nnSSaanN==+可得11114684,(21)22(1)1.adadandand+=++−=+−+，解得11,2.ad==因此21()nann=−N(Ⅱ)由(Ⅰ

)及13nnb−=，111111(21)3(21)3(21)(21)2212+1nnncnnnnnn−−=−+=−+−−+−则令0121133353(21)3nAn−=++++

−，111111111+++12335212122121nBnnnn=−−−=−=−+++，则nTAB=+，0121133353(21)3,nAn−=++++−()12313133353233(21)3nnAnn−=++

++−+−，两式相减得1231212(3333)(21)3nnAn−−=+++++−−，2(33)21+(21)33(22)213nnnAnn−−=−−=−−−所以()131nAn=−+综合知()13121nnnTABnn=+=−+++.【点

睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nnab结构，其中na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于+nnab结构，利用分组求和法；（4

）对于11nnaa+结构，其中na是等差数列，公差为d，则111111nnnnaadaa++=−，利用裂项相消法求和.24.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：22221xyab+=(0)ab的离心率1,2e=左顶点为(2,0)A−

，过点A作斜率为(0)kk的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的(0)kk都有OPEQ⊥，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（III）若过O点作直线l的平

行线交椭圆C于点M，求ADAEOM+的最小值.【答案】（Ⅰ）22143xy+=；（Ⅱ）存在，3(,0)2−；（III）22.【解析】【分析】（Ⅰ）根据离心率和顶点求出,ac，再求出b即可得出方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程求出点D坐标，进而得出点P坐标，再利用1OPEQkk=−即

可求出定点；（III）设OM的方程为ykx=，与椭圆联立，得出M横坐标，利用DAEAMxxxxADAEOMx−+−+=表示出，即可求出最值.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C：22221xyab+=0ab（）的离心率1,2e=左顶点为(2,0)A−，所以2a=，又12e=，所以1c=，可得222

3bac=−=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=；(Ⅱ)直线l的方程为(2)ykx=+，由22143(2)xyykx+==+,可得：22(2)(43)860xkxk+++−=，所以12x=−，2228643kxk−+=+

，当228643kxk−+=+时，2228612(2)4343kkykkk−+=+=++，所以2228612(,)4343kkDkk−+++，因为点P为AD的中点，所以P点坐标为22286(,)4343kkkk−++，则3(0)4OPkkk−=，直线l的方程为(2)ykx=+，令0x=，得E点

坐标为(0,2)k，假设存在定点(,)(0)Qmnm使得OPEQ⊥，则1OPEQkk=−，即3214nkkm−−=−恒成立，所以(46)30mkn+−=，所以46030mn+=−=，即320mn=−=，所以定点Q的坐标为3(,0)

2−.（III）因为//OMl，所以OM的方程可设为ykx=，和22143xy+=联立可得M点的横坐标为22343xk=+，由//OMl可得：22249343DAEADAMMxxxxxxADAEkOMxxk−+−−++===+2216)2(243343kk+=++≥，当且仅当226434

3kk+=+，即32k=时取等号，所以当32k=时，ADAEOM+的最小值为22.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11Axy，，()22Bxy，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出韦达定理

；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,xxxx+形式；（5）代入韦达定理求解.