【文档说明】吉林省东北师大附中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷含答案.docx，共(14)页，724.512 KB，由小赞的店铺上传

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东北师大附中2020-2021学年高一年级数学学科试卷上学期期中试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，再每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{15}Axx=−，{0}Bxx=，则AB=（

）A．{5}xxB．{05}xxC．{05}xxD．{1}xx−2．已知集合{1,2,3,4}P=，则满足的集合的个数是（）A．1B．2C．3D．43．设xR，则“03x”是|1|1x−的（）A．充分而不必要条

件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列各组函数表示同一函数的是（）A．2(),()()fxxgxx==B．22()1,()1fxxgxt=+=+C．()1,()xfxgxx==D．2(),

()fxxgxx==5．命题“10,13xx”的否定是（）A．10,13xxB．10,13xxC．10,13xxD．10,13xx6．设0.71.6

0.70.7,0.7,1.6abc===，则的大小关系是（）A．abcB．acbC．bcaD．bac7．若0x，使得40xmx+−，则实数m的取值范围是（）A．4mB．4mC．4mD．4m8．若函数2()2fxxax=−+与()(1)xgxa−=+在区

间上都是减函数，则的取值范围是（）A．(1,0)−B．(0,1)C．(0,1]D．(1,0)(0,1)−二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，再每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4

分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中为真命题的是（）A．若ab，则1abB．若22abcc，则abC．若0cab，则abcacb−−D．若ab，则33ab10．下列函数中，在各自定义域内既为增函数又为奇函数的是（）A．

yx=B．1yx=−C．||yxx=D．xxxxaayaa−−−=+11．设函数()21,,,xfxabcR=−，且abc，下列说法正确的是（）A．函数()yfx=有最小值0，无最大值B．函数()yfx=与直线1y=的图像有两个不同的公共点C．若()()()fa

fcfb，则222ac+D．若()()fafb=，则222ab+的取值范围是7,2412．已知函数||2,1()21xxfxxxx+=+，下列说法正确的是（）A．((0))3ff=B．函数()yfx=的值域为[

2,)+C．函数()yfx=的单调递增区间为[0,)+D．设aR，若关于x的不等式()2xfxa+在R上恒成立，则a的取值范围是[2,2]−三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．不等式121x−的解集是__________．14．如图，一

个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为x的正方形，则阴影部分面积的最小值为______________．15．已知关于x的不等式为(1)(1)0()axxa−+R．若1a=

，则该不等式的解集是_______；若该不等式对任意的[1,1]x−均成立，则a的取值范围是_________．16．古希腊数学家希波拉克底研究过右侧的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为RtABC的斜边BC，直角边AB，AC，若以AB，AC为直

径的两个半圆的弧长总长度为2，则以斜边BC为直径的半圆面积最小值为________．四、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）17．（本小题满分8分）已知集合2230Axxx=+−，{1}Bxxa=+．（1）当3a=时，求AB；（2）设命题:

pxA．命题:qxB．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（本小题满分8分）（1）已知2x，求函数9()2fxxx=+−的最大值；（2）已知x，y是正实数，且9xy+=，求13xy+的最小值．19．（本小题满分10分）已知函数2()

4axbfxx−=−是定义在(2,2)−上的单调函数，且是奇函数．1(1)3f=．（1）求()fx的解析式并判断()fx在(2,2)−上的单调性（不需证明）；（2）解关于t的不等式(1)()0ftft−+．20．（本小题满分10分）心理学研究表明，学生在课堂上个时间段的接受能力不同．上课开始

时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定．设课上开始x分钟时，学生的接受能力为()fx（()fx值越大，表示接受能力越强）

，()fx与x的函数关系为：20.12.644,(010)60,(1015)()3105,(1525)30.(2540)xxxxfxxxx−++=−+（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学

生的接受能力的大小；（3）若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即()56fx）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直打达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由．21．（本小题满分10分）已知二次函数()fx满足(1)()2fxfxx

+−=，且(0)1f=．（1）求()fx的解析式；（2）设函数()(2)(R)gxfxaa=−，[1,1]x−，求()gx的最大值()ha，并求()ha的最小值．22．（本小题10分）若定义在R上的函数()fx满足：1x，2xR，都有()()()12121fxxfxfx+=++成

立，且当0x时，()1fx−．（1）求证：()1fx+为奇函数；（2）求证：()fx为R上的增函数；（3）若(1)1f=，且0x，0y，()22222447fxmxyymy−+++恒成立，求实数m的取值范围

．师大高一上期中考试1．C解析：{15}Axx=−，{0}Bxx=作交集可得{05}ABxx=2．D解析：由题题意可知，满足条件的集合Q有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．3．B解析：解不等式|1|1x−，可得02x，由题意可知“0

3x”是“|1|1x−”的不要不充分条仵．4．B解析：A项，()fxx=，xR；2()()gxx=，[0,)x+，定义域不同B项，2()1fxx=+，xR，2()1gtt=+，tR，正确C项()1fx=；()1{0}xgxxxx==定义域

不同D项，()fxx=；2()||gxxx==，函数不同5．A解析：根据题意可画出指数函数图像，易知aab．7．B解析：40xmx+−4xmx+其中424xx+44xx+若0x，使4xmx+，4m8．C解析：

2()2fxxax=−+的对称轴为xa=，抛物线开口向下，则有1a()(1)xgxa−=+=11xa+，次指数函数在[1,2]上为减函数，1011a+，可得0a综上(0,1]a9．BCD解析：A项，若0b时，1ab显然不成立B项，22abcc，则ab

正确C项，若0cab，abcacb−−可变形为acabbcab−−，ab正确D项，3()fxx=为单调增函数，若ab，则33ab正确10．ACD解析：A项，yx=是奇函数，满足()()fxfx=−−，且为增函数B项，1yx=−图像关于原点对称，是奇函数，单子啊定义域内不是单

调增函数C项，22,0||,0xxyxxxx==−，在定义域内为增函数，且关于原点对称D项，221()1xxxxxxaaafxaaa−−−−==++，221()1xxxxxxaaafxaaa−−

−−−==++()()fxfx=−−成立，为奇函数．设12xx()()()()()()()1212121212222222122222111111()1111xxxxxxxxxxaaaaaafxfxaaaa−+−+−−−−=−=++++分子()()()12122121

22222211xxxxxxxxaaaaaa++=−+−−+−−()12222xxaa=−，当1a时，分子大于0分母明显大于0，故()()120fxfx−得证，()fx为增函数．11．AC解析：由题意画出()fx图像．A项，当0

x=时，()0fx=，无最大值B项，与1y=只有一个公共点C项，且abc，且()()()fafcfb可知，,,abc在图像中如图()1fa，且0a，()1fc，且0c，则01c，则0()()1fcfa，211a+，211c+，222ac+易和(

)1fa，()1fb且0a0b则()()fafb=可写为2121ab−=−1221ab−=−222ab+=2222ab+∵0a，2aa∴222aa12．ABD解析：画出函数图像．A项，(0)2f=，((0))(2)3fff==B项，由图像易知，值域为[2,)+C项

，有图像易知，[0,)+区间内函数不单调D项，2xa+的斜率为12k=则增长速度小于||2x+，即||2a时雨左支无交点成立，右支最低点为2x=，代入应使2222a+，可得532222a−综上||2a[2,2]a−13．3(,1),2−+解析：当10

x−即1x时，121x−22x−32x当10x−即1x时121x−122x−32x综上3(,1),2−+14．7解析：2(5)(3)Sxxx=+−−阴22815Sxx=−+阴当2x=时

，S阴有最小值min7S=阴．15．[1,1]−[1,1]−解析：当1a=时，(1)(1)0xx−+11x−令(1)(1)yaxx=−−，[1,1]x−当0a=时，1yx=−−，减函数，[1,1]x−上恒成立当0a时，11a即可，

即01a当0a时，11a−即可，即10a−综上[1,1]a−16．解析：设ABa=，ACb=由题意可列11222ab+=4ab+=22Cab=+所求半圆面积()2222211()22816abSabab+==++=1

7．（1）{41}ABxx=−（2）[0,2]a解析：（1）集合{31}Axx=−，当3a=时。{(3)1}Bxx=+{42}Bxx=−−{41}ABxx=−（2）p是q的必要不充分条件，则B为A的真子集(3,1)A=−，(1,1)Ba

a=−−−+1311aa−−−−+或1311aa−−−−+解得02a，[0,2]a18．（1）4−（2）4239+解析：（1）9()222fxxx=+−+−，2x，902x−，故对函数变形99()2(2)22(2)422fxxxxx=−+

−−−=−−−922xx−=−时等号成立．即1x=−时等号成立．()fx最大值为4−（2）9xy+=19xy+=13134234999xyyxxyxy+++=++当3yxxy=时取等号19．（1）2()4xfxx=−，增（2）11,2t

−解析：（1）()fx是奇函数，且0x=在定义域内则有(0)0f=，04b−=，0b=将1x=代入，1(1)3f=，133a=，1a=2()4xfxx=−，(1)(0)ff经判断，()fx为增函数．（2）(1)()ftft−−(1)

()ftft−−可列121222tttt−−−−−解得112t−20．（1）10分钟5分钟（2）5分钟>20分钟>35分钟（3）不能．解析：（1）由题意可知，当010x时，2

()0.1(13)60.9fxx=−−+则开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟．（2）(5)54.5f=，(20)45f=，(35)30f=则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟（3）当010x，()56fx解得610x当1525x时，310556x−+1151

63x故111661033−=分钟<12分钟老师不能再所需接受能力和状态下讲完这个难题．21．（1）2()1fxxx=−+（2）221372()133,2aaahaaaa++−=−+−最小值

为194解析：（1）设次为此函数为2()1fxaxbx=++由题意：22(1)(1)112axbxaxbxx++++−−−=2()2axabx++=01221abaab+====−，2()1fxxx=−+（2）2

()(2)|2|1gxxaxa=−−−+22()4(42)1gxxaxaa=−++++对称轴为214ax+=，抛物线开口向上当2104a+时，1x=−时，()gx有最大值2()57haaa=++即12a

−时，()ha最小值为min19()4ha=当2104a+时，1x=时，()gx有最大值，2()33haaa=−+即12a−时，()ha无最小值综上2max2157,2()()1332aaagxhaaaa++−==−+−22．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13m

或0m解析：（1）(10)(1)(0)1fff+=++(0)1f=−(()]()()1fxxfxfx+−=+−+1()()1fxfx−=+−+()1(()1)fxfx+=−−+可得()1fx+为奇函数（2）设12xx()()

()()12121fxxfxfx+−=+−+()()()()12121fxxfxfx−=−+()()()12121fxxfxfx−=−−()()()12121fxxfxfx−+=+∵12xx∴120xx−当0x时，()1fx−，则等式左边大于0故()()120

fxfx−，增函数得证．（3）(2)(11)(1)(1)13ffff=+=++=(4)(2)(2)17fff=++=．故()2222244(4)fxmxyymyf−+++()fx为增函数，可得(

)22222444xmxyymy−+++2222240xymxmymy−−+∵0x恒成立∴0()222224440mymymy−−+整理得22230mymy−+230mm−13m或0m