【文档说明】重庆市第八中学2023-2024学年高三上学期高考适应性月考（三）（11月）数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.418 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市第八中学2024届高考适应性月考卷（三）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面

内，13i1i+−对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算得到复数，然后得到对应的点的象限即可.【详解】()()()()13i1i13i24i12i1i1i1i2+++−+===−+−−+，所以该复数

在复平面内对应的点为()1,2-，位于第二象限，故选：B2.已知()()2222{,|2}{,|0}AxyxyBxyxyxZyZ=+=−=，，，，则AB中的元素个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个【答案

】C【解析】【分析】通过列举,找到满足的AB的所有元素即可.【详解】结合题意：满足AB的元素有：()()()()(0,0),1,1,1,1,1,1,1,1−−−−.故选：C.3.在△ABC中，角A，

B，C所对的边分别为a，b，c，已知232ABab===，，，则cosB=（）A.14B.13C.23D.34【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和二倍角公式计算即可.【详解】结合题意：利用正弦定理sinsinabAB=得：32sin2sinBB=,即322sincossinBB

B=,解得：3cos4B=.故选：D.4.设O为坐标原点，12,FF分别为双曲线22:13yCx−=的左、右焦点，点P在C的一条渐近线上，且2OPPF=，则12PFF△的面积为（）A.3B.2C.23D.4【答案】C【解析】【分析】先根据双曲线方程得到,,abc和焦点坐标，再根据2

OPPF=结合三线合一得到2PMOF⊥，最后根据面积公式计算即可.【详解】如图所示，，作2OF中点M，由22:13yCx−=可知222221,3,4abcab===+=所以()()22,0,1,0FM，且双曲线

渐近线方程为3yx=，因为双曲线渐近线具有对称性，取3yx=，又因为2OPPF=，所以2PMOF⊥，所以()1,3P，所以12121232PFFSFFPM==△，故选：C5.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状

是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB=，112AB=，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg，则该“方斗”可盛米的总质量为（）A.74kgB.114kgC.76kgD.112kg【

答案】D【解析】【分析】设线段1AA、1BB、1CC、1DD的中点分别为2A、2B、2C、2D，利用台体的体积公式计算出棱台1111ABCDABCD−与棱台11112222ABCDABCD−的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量.【详解】设线

段1AA、1BB、1CC、1DD的中点分别为2A、2B、2C、2D，如下图所示：易知四边形11AABB为等腰梯形，因为线段1AA、1BB的中点分别为2A、2B，则112242322ABABAB++===，设棱台11112222

ABCDABCD−的高为h，体积为1V，则棱台1111ABCDABCD−的高为2h，设其体积为V，则()221119232333Vhh=++=，则()221564224233Vhh=++=，所以，

15256319193hVhV==，所以，该“方斗”可盛米的总质量为5638112kg19=.故选：D.6.重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明，小唐同学周一去味园的概率为35，周二去味园的概率为310，且小唐周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二

去味园的概率的2倍，则小唐同学周一、周二都去味园的概率为（）A.970B.950C.340D.314【答案】A【解析】【分析】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，根据题意利用全概率公式可得3(|)14=PBA，进而结合条件概率

公式分析求解.【详解】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，则“小唐同学周一、周二都去味园”为事件AB，由题意可知：33(),()510==PAPB，且(|)2(|)=PBAPBA，由全概

率公式可知：()()()(|)(|)=+PBPBAPAPBAPA，即343(|)(|)1055=+PBAPBA，解得3(|)14=PBA，所以()()339()|14570===PABPBAPA.故选：A7.在平面直角坐标系中，已知

圆22:1Oxy+=，点P是直线:25lyx=+上的一个动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,AB，已知直线,PAPB关于直线l对称，则tanAPB=（）A.12B.43C.2D.5【答案】B【解析】【分析】先根据题目意思画出图像，结合图像和条件,PAPB关于直线l对称得到O

PMN⊥，再求出tanAPO，最后根据二倍角公式求解即可.【详解】如图所示，，设直线l分别交,xy轴于,NM点，连接,AOBO，因为,PAPB是圆22:1Oxy+=的两条切线，所以PAO≌PBO，所以APOBPO=，又因为直线,PAP

B关于直线l对称，所以APMCPMBPN==，所以90OPNOPM==，即OPMN⊥，所以OP为点O到直线l的距离，即()225521OP==+−，又OAAP⊥且1OAr==，所以()22512AP=−=，所以1ta

n2AOAPOAP==，所以21242tantan23112APBAPO===−，故选：B8.已知函数()()()log1,12,1axxfxaxx−=−（0a且1a），若函数()()gxfxx=−有且仅有一个零点，则

实数a的取值范围是（）A.1,1eB.0,1eC.)e,+D.(1,e【答案】A【解析】【分析】先得到()00g=，故函数()yfx=与yx=除了0外，没有其他交点，分1a和01a两种情况，结合特殊点的函数值和切线方程，得到答案.【详解】当

0x=时，()()000log100agf=−=−=，故()()gxfxx=−除0外没有其他零点，即函数()yfx=与yx=除了0外，没有其他交点，若1a，画出()yfx=与yx=的图象，如下：因为()11fa=，故y

x=与()yfx=在()1,2内有交点，不合要求，舍去；若01a时，画出()yfx=与yx=的图象如下：假设yx=为()log1ayx=-在0x=的切线方程，()11lnyxa=−，当0x=时，1lnya=−，故()log1ayx=-在0x=的切线方程为1lnyxa=−，令11lna

=−，解得1ea=，结合函数图象，要想函数()yfx=与yx=除了0外，没有其他交点，则1,1ea故选：A二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知()fx，(

)gx分别是R上的奇函数和偶函数，且当)0,x+时，()fx单调递增，()gx单调递减，()00g=．则当(,0)x−时（）A.()()fxgx+单调递增B.()()fxgx−单调递增C.()(

)0fxgxD.()0fgx【答案】AC【解析】【分析】根据奇偶函数的性质判断即可.【详解】因为()fx，()gx分别是R上的奇函数和偶函数，且当)0,x+时，()fx单调递增，()gx单调递减，所以()fx在(,0

)x−上单调递增，()gx在(,0)x−上单调递增，所以()()fxgx+在(,0)x−上单调递增，()()fxgx−在(,0)x−上单调不确定，故A正确，B错误；又()00g=，()00f=，所以当(,0)x−时()0fx，()

0gx，所以()()0fxgx，()()00fxfg=，故C正确，D错误；故选：AC10.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为1rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交

点；Q的角速度大小为3rad/s，起点为射线()0yxx=−与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）A.ππcos,sin88B.3π3πcos,sin88−C.5π5πc

os,sin88D.7π7πcos,sin88【答案】BC【解析】【分析】先求出点Q的初始位置的坐标，设经过ts后，Q与P重合，得到方程，求出5ππ,N8tkk=+，从而分k为

偶数和奇数两种情况，得到答案.【详解】点Q的初始位置1Q的坐标为22,22−，且钝角3π4POQ=设经过ts后，Q与P重合，坐标均为()cos,sintt，则5π32π,Z4ttkk=++，解得5ππ,N8tkk=+，当k为偶数时，Q的坐标为5π5π

cos,sin88，C正确；当k为奇数时，Q的坐标为13π13πcos,sin88，即3π3πcos,sin88−，B正确；AD均不对，故选：BC11.已知等差数列na的首项为1a，公差为d

，前n项和为nS，若1089SSS，则下列说法正确的是（）A.10adB.使得0nS成立的最大自然数18n=C.891011aaaa++D.nnSa中最小项为1100Sa【答案】ACD【解析】【分析】结合题意：利用等差数

列及1089SSS，判断出10ad，并可以分析出91090aaa+，再利用数列的相关知识即可判断.【详解】根据题意：89989109109100,,0SSSSaSSSSa−=−=即9110180,

90aadaad−=−−=+两式相加，解得：100ad，故A正确由108SS，可得到91090aaa+，所以8110aa+，()10118940aaaad+−+=，1011890aaaa+++，所以891011aaaa++，故C正确；由以上可得：1

23910110aaaaaa，()117179171702aaSa+==，而()()1181891018902aaSaa+==+，.当17n时，0nS；当18n时，0nS；要使得0nS成立的最大自然数17n=，故B错误.当9n，或18

n时，0nnSa；当918n时，0nnSa；由1011170aaa，10111217S0SSS,所以nnSa中最小项为1100Sa，故D正确.故选：ACD.12.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发

的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆2221(02)4xybb+=：，其左、右焦点分别是1F，2F，P为椭圆C上任意一点，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，点(0,6)Q，若|2PQPF+的最大值为7，则（）A.椭圆C的离

心率为12B.若12PFF△的内切圆半径为23−，则12PFPF⊥C.若2PMMF=，则213PFPF=D.若FRl⊥2，垂足为()00,Rxy，则22004xy+=【答案】BD【解析】【分析】对A，结合椭圆定义及三角形不

等式即可求解；对B，应用等积法及向量数量积即可求解；对C，应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对D，延长,FRFP21交于点G，应用对称性及圆的定义即可求解.【详解】由221122||467PQPFaPQPFaFQc+=+−+=++=，当且仅当1,,PQF三点共

线时取得等号，解得3c=，则椭圆方程为2214xy+=，则32e=，A错误；对B，12PFF△的内切圆半径为23−，则(||||||)PSFFPcyPFPFFFr==++12122112122，解得33Py=，根据对称性不

妨设P在第一象限，由21143x+=，解得(,)P26333，则(,),(,)PFPF=−−−=−−12263263333333，则PFPF=−++=122413093，即12PFPF⊥，B正确；由椭圆的光学性质，得点P与l垂

直的直线为角12FPF的角平分线，则121122||||||||PFMPFMSFMFPSFMFP==，则||||||||PFPFkFMFM==1212，则||||,||||PFkPFFMkFM==1212，则|

|,||||||kkMFMFFPFPkkkk====++++2112232344，，1111，则coscosFPMMPF=12，则()()()()()()kkkkkkkkkkkkk+−+−+++++

+=++++222222442344231111114444221111,kk+=241620,解得1k=或4k=，C错误；对D，如图，延长,FRFP21交于点G，则在GPF2中，,PRGFFPRGPR⊥=22，则PFPG=2且R为2FG中点，

在12ΔFFG中，()()OHFPFPPGGFPFa==+=+==11121112222，则点H在以原点为圆心，2为半径的圆上，即22004xy+=，D正确.故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一批产品的次品率为0.05，从这批产品中每次随机取一

件，有放回地抽取20次．X表示抽到的次品的件数，则()DX=___________．【答案】0.95##1920【解析】【分析】根据题意，由条件可得X服从二项分布，结合二项分布的方差公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，X服从二项分布，即()

20,0.05XB，则()()1200.050.950.95DXnpp=−==.故答案为：0.9514.已知向量1==abrr，3c=且0abc++=，则cos,ac=____________．【答案】32−##13

2−【解析】【分析】依题意可得bac=−−，将上式两边平方，根据数量积的运算律求出ac，再根据夹角公式计算可得.【详解】因为1==abrr，3c=且0abc++=，所以bac=−−，所以()22222bacaacc=−−=+

+，即()2221123ac=++，所以32ac=−，所以332cos,213acacac−===−.故答案为：32−15.已知抛物线²4yx=的焦点为F，直线()():10lykxk=−与该抛物线交于A、B两点，过AB

的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若2PF=，则k=____________________．【答案】233##233【解析】【分析】联立直线与抛物线方程表示Q的纵坐标，由2PF=及勾股定理得出等

量关系计算即可.【详解】易知()1,0F设()()1122,,,AxyBxy，联立直线与抛物线方程()2244401yxyyykxk=−−==−得124yyk+=，216160k=+，所以Q

的纵坐标2Qyk=，又222,13QPFOFOPPFOFy===−==，所以22333k==.故答案为：23316.记R上的可导函数()fx的导函数为()fx，满足()()1nnnnfxxxfx+=−的

数列nx称为“牛顿数列”．若函数()²fxxx=−，数列nx为牛顿数列，设ln1nnnxax=−，已知12a=，1nx，则2a=____________，数列na的前n项和为nS，若不等式214nntSS−对任意的*nN恒成立，则t的最大值为___________．【

答案】①.4②.253【解析】【分析】求出函数的导函数，即可得到2121nnnxxx+=−，再由1a求出1x，即可求出2x，从而求出2a，又21111nnnnxxxx++−−=，则12nnaa+=，即可求出na的通项公式与nS，参变分离可得14nntSS+对任意的*nN恒

成立，利用对勾函数的性质求出min14nnSS+，即可得解.【详解】因为()²fxxx=−，则()21fxx=−，则2212121nnnnnnnxxxxxxx+−−==−−，由12a=，111ln1xax=−，所以211e1xx=−，解得212ee1x=−，所以124124e2e11

xxx==−−，所以222ln41xax==−，由2121nnnxxx+=−，所以2221221121121121nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx++−=−+−=−−=−，所以11

21ln2ln1n21l1nnnnnnnnxxxaaxxx+++=−−−===，即数列na是以2为首项、2为公比的等比数列，所以2nna=，()12122212nnnS+−==−−，因为214n

ntSS−对任意的*nN恒成立，又0nS且nS单调递增，所以14nntSS+对任意的*nN恒成立，令()14gxxx=+，()0,x+，根据对勾函数的性质可得()14gxxx=+在()0,14上

单调递减，在()14,+上单调递增，又122146SS==，且()29g=，()()25623gg=，所以2214253tSS+=，所以t最大值为253.故答案为：4；253的【点睛】关键点睛：本

题的关键是得到2121nnnxxx+=−，从而得到21111nnnnxxxx++−−=，求出数列的通项公式，最后参变分离转化为求min14nnSS+.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()()()2sin0,

0πfxx=+，π6x=−为()fx的零点，π3x=是()yfx=图象的对称轴．（1）求；（2）若()fxππ,612−上单调，求．【答案】（1）12k=+，Nk（2）π6【解析】【分析】（1）根据正弦函数的对称性计算可得；（2）首先求出的范围，结合（

1）即可得到的值，再求出.【小问1详解】依题意1ππ6k−+=，1kZ，2πππ32k+=+，2kZ，所以()21πππ22kk=+−，2kZ，1kZ，所以()2112kk=+−，2kZ，1kZ，因为0，所以12k=+，Nk.【小问2详解】因

为()fx在ππ,612−上单调，且π6x=−为()fx零点，所以πππ41264T−−=，所以2ππ，又0，解得02，所以1=，所以()()2sinfxx=+，又1ππ6k−+=，1kZ，在的

解得1ππ6k=+，1kZ，因为0π，所以π6=.18.已知公比不为1的等比数列na的前n项和为nS，且645,,aaa成等差数列．（1）求数列na的公比；（2）是否存在r，s，*Nt，且rst，使得,,rstSSS成等差数列？若存在，求出r，s，t的关系；若不存

在，请说明理由．【答案】（1）2q=−;（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用645,,aaa成等差数列和na是等比数列,建立方程，求出公比即可；（2）先假设存在,通过对数列求和，验证,,rstSSS为等差数列矛盾，从而说明不存在.【小问1详解】结合题意：645

,,aaa成等差数列，所以4652aaa+=，由na是等比数列，所以5134112qaqaaq+=，整理得220qq+−=，解得：1q=（舍去），或2q=−.【小问2详解】假设存在r，s，*Nt，且rst，使得,,rstSSS成等差数列由（1）可知2q=−，所

以()()1112113nnnaaqSq−−−==−，因为,,rstSSS成等差数列，所以2strSSS=+()()()1112121212333straaa−−−−−−

=+，即()()()2121212str−−=−−+−−，整理的：()()()()()122222sstr+−−−=−−=−+−，在上式两边同时除()2t−，得到：()()1212strt−+−−−=+−，观察可

知左边为偶数，右边奇数，不成立.故不存在互不相等的正整数r，s，*Nt，且rst，使得,,rstSSS成等差数列.19.在入室盗窃类案件中，出现频率最高的痕迹物证之一就是足迹．负重行走对足迹步伐特征影响的规

律强，而且较为稳定．正在行走的人在负重的同时，步长变短，步宽变大，步角变大．因此，以身高分别为170cm，175cm，180cm的人员各20名作为实验对象，让他们采取双手胸前持重物的负重方式行走，得到实验对象在负重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg状态下相对稳定的步长数据平均值

．并在不同身高情况下，建立足迹步长s(单位：cm)关于负重x(单位：kg)的三个经验回归方程．根据身高170cm组数据建立线性回归方程①：10.40255.728ˆsx=−+；根据身高175cm组数据建立线性回归方程②：20.497644ˆ.04sx=−+；根据身高1

80cm组数据建立线性回归方程③：3ˆˆˆsbxa=+．（1）根据身高180cm组的统计数据，求ˆa，ˆb的值，并解释参数ˆb的含义；身高180cm不同负重情况下的步长数据平均值负重x/kg05101520足迹步长s/cm74.3573.50

71.8068.6065.75（2）在一起盗窃案中，被盗窃物品重为9kg，在现场勘查过程中，测量得犯罪嫌疑人往返时足迹步长的差值为4.464cm，推测该名嫌疑人的身高，并说明理由．附：ˆˆˆsbxa=+

．为回归方程，1221ˆniiiniixsnxsbxnx==−=−，ˆˆasbx=−，51354iis==，513429.5iiixs==．【答案】19.ˆ75.22a=，0442ˆ.b=−，参数ˆb的含义详

见解析20.嫌疑人身高为175cm，理由详见解析【解析】【分析】（1）根据回归直线相关公式计算可得；（2）根据参数ˆb的几何意义计算即可判断.【小问1详解】由题意可知：05101520105x++++==，1222222123455750iixxxxx

x==++++=，1570.85iiss===，所以12213429.5354100.44275050ˆ10niiiniixsnxsbxnx==−−===−−−，70.80.442ˆ10.2ˆ752asbx=−=+=；ˆb的含义表示，负重每增加1k

g足迹步长减少0.442cm.【小问2详解】设被盗窃物品重为9kg时，身高170cm的步长误差为1s，高175cm的步长误差为2s，高180cm的步长误差为3s，由题意可得，13.618cms=，2

4.476cms=，33.987cms=，因为24.476cms=与测量得犯罪嫌疑人往返时足迹步长的差值4.464cm最接近，所以犯罪嫌疑人身高为175cm.20.如图，已知ABCD和ADEF均为直角梯形，AD//BC，AD//EF，42ADEF==，，AB

=BC=3，二面角E-AD-C的平面角为454590FADADC==，，．（1）求证：ECED=；（2）若点M为DC的中点，点G在线段BM上，且直线AD与平面AFG所成的角为45，求点G到平面EDC

的距离．【答案】（1）见详解；（2）94【解析】【分析】（1）由二面角EADC−−的平面角为45EDC=，及2,22DEDC==，再由余弦定理求出EC，即可；（2）建立空间直角坐标系，设()0,1MGMB=

，则()3,2,0G，由直线AD与平面AFG所成角为45=，求出34=，即可求解.【小问1详解】证明：由题意知，,DEADDCAD⊥⊥，得二面角EADC−−的平面角为45EDC=，过点F作DE的平行

线交AD于点H，则,2,45HFADHDAHFAD⊥===，故2,2HFAHEDFH====，过B作DC的平行线交AD于点T，则TBAD⊥，得221,3,22ATABTBABAT===−=，故22DC=，在EDC△中，

由余弦定理得，2222cos454ECDEDCDEDC=+−=，故2ECED==.【小问2详解】解：连接EM，由(1)知，EMDC⊥，又因,,,,ADDEADDCDEDCDDEDC⊥⊥=平面DEC，故平面ADDEC⊥

，平面EMDEC，则有EMAD⊥，而,,平面ADDCDADDCADC=，故平面EMADC⊥，以点M为原点，,,DAMCME的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()()3,2

,0,4,2,0,0,2,0,2,0,2BADF−−，设()0,1MGMB=，则()3,2,0G，()()()4,0,0,2,2,2,34,22,0DAAFAG==−=−+，设平面AFG的法向量为(),,nxyz=，则有()()03421002nAGxynA

Fxyz=−++===+，令1x=，则()()43521,,2121n−−=++，又因为直线AD与平面AFG所成角为45=，则为()()()2222412sincos,218201143524112121DAn

====−+−−+++++，则()2216249430−+=−=，故34=，则34MGMB=，得932,,044G，因为平面EDC⊥平面ADCB，过G作GNDC⊥于点N，则平面GNE

DC⊥，故点G到平面EDC距离为94.21.已知函数()()()2coslne,fxxxfx=−+是()fx的导数，证明：（1）()fx在π,04−上有唯一的极大值点；（2）()fx在π,4−+上有且仅有两个零点．【答

案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出导函数，构造()()gxfx=，判定()gx的单调性结合零点存在性定理可证；（2）分区间讨论函数的零点情况，将两个零点确定在区间04π,−，结合（1）的结论及零点存在性定理计算即可.【小问1详解】易知()()112

sincossin2eeefxxxxxxx=−−=−−−++，令()()211sin22cos2eegxxgxxxx=−−=−++，易知21eyx=+在()e,−+上单调递减，π,0

4x−时，π2,02x−，则2cos2yx=−此时单调递增，故()gx在π,04−上单调递减，又()221π1020,0πe4e4gg=−−=

−+，所以0xπ,04−，使得()00gx=，即()gx在0π,4x−上单调递增，在()0,0x上单调递减，此时()gx有极大值；【小问2详解】当()20cos0,1,lnelne1xxx+=，且

第一次2cos1x=时，πx=，而()lneyx=+单调递增，因此可知0x时，()2coslne0xx−+恒成立，此时函数()fx无零点，当0x=时，显然()0fx=，此时有一个零点，当π,04x−时，由（1）可知0

xπ,04−，使得()fx在0π,4x−上单调递增，在()0,0x上单调递减，()fx有极大值()0fx，因为()()0π101,00π4e4ffxf−=−−，则1π,04x−使得()10fx=，即()

fx在1π,4x−上单调递增，在()1,0x上单调递减，易知π1πlne424f−=−−，由πe2.70.81.93e4−−=可知π04f−，而()()100fxf=，所以21π,4xx−，使得()20fx=，综上所述，()

fx在π,4−+上有且仅有两个零点2,0x.【点睛】难点点睛：本题第二问难点在于分区间讨论零点的情况，由三角函数的有界性，可知0x时，()2coslne0xx−+恒成立，从而把零点确定在区间04π,−上，结合（1）的结论判定函数()fx的单调性，利用零点存在性定理及

端点的函数值证明即可.22.已知双曲线C：(2222100)xyabab−=，的左右焦点分别为12FF，，点()1,3N，若双曲线C的实轴长为22，且121NFNF=，（1）求双曲线C的方程；（2）点P(2，1)，A，B为双曲线C上两点，点Q在直线1

2yx=上，AQx⊥轴，Q为AM的中点，若P，B，M三点共线，问直线AB是否过定点，如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由．【答案】22.2212xy−=;23.直线AB过定点，定点为(0,1).【解析】【分析】（1）根据已知条件利用待定系

数法解出,,abc，即可得出双曲线方程;（2）设出直线AB，利用P，B，M三点共线，借助韦达定理，找到,km的关系，进而求得定点.【小问1详解】设()()12,0,,0FcFc−，12(1,3),(1,3),NFNccF=−−−=−−结合题意可得：()

()2221131222ccacab−−−+===+，解得：213abc===，所以双曲线C的方程：2212xy−=.【小问2详解】由题意可知该直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为：ykxm=+，并且设11(,

)Axy，22(,)Bxy.联立2212ykxmxy=+−=,消元得：()222124220kxkmxm−−−−=，所以122412kmxxk+=−①21222212mxxk−−=−②结合题意AQx⊥轴，点Q在直线12yx=上可得：1

1,2xQx，因为Q为AM的中点，易知()111,Mxxy−，()111222,1,(2,1),MPxxyBPxy=−−+=−−因为P，B，M三点共线，所以,MPBP共线，即()()()1221121(2)1,xyxxy−−=−−+化简整理得：()()()12122121

40kxxkmxxm−++−−++=，将①②代入上式：()()2222242121401212mkmkkmmkk−−−++−−+=−−.整理得：()()14210mkm−−−−=，所以10m−=或()4210km−−−=.即1m=或21mk=−+.当1

m=时，直线AB的方程为：1ykx=+,此时经过定点(0,1)；当21mk=−+时，直线AB的方程为：()21ykx=−+，此时经过定点(2,1)与P重合(舍去).故直线AB过定点(0,1).获得更多资源请扫

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