【文档说明】浙江省杭州学军中学海创园学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.377 MB，由小赞的店铺上传

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杭州学军中学海创园学校2022学年第二学期期中考试高一数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数12zi=+(i为虚数单位)，则z的虚部为（）A.－1B.－2C.－iD.－2i【答案】B【解析】分析】写

出共轭复数，即可确定其虚部.【详解】由题设知：12iz=−，故其虚部为2−.故选：B2.如图，OAB△是水平放置的OAB的直观图，则OAB的周长为（）A.12B.10213+C.7213+D.1173+【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法得到OAB为两直角边长分别为4和6的直角三角形，

进而可得其周长.【详解】如图，根据斜二测画法得到OAB为直角三角形，两直角边长分别为4和6，所以斜边长为2246213+=，故OAB的周长为10213+．故选：B．【3.在△ABC中，若sin:sin:sin3:4:6ABC=，则此三角形是A.正三角形B.锐角三角形C

.直角三角形D.钝角三角形【答案】D【解析】分析】由正弦定理可得，a：b：c＝3：4：6，令a＝3t，b＝4t，c＝6t，运用余弦定理，计算cosC，即可判断三角形的形状．【详解】解：由正弦定理，sinA：s

inB：sinC＝3：4：6，即为a：b：c＝3：4：6，令a＝3t，b＝4t，c＝6t，则cosC222916361123424ttttt+−==−＜0，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形．故选D．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．4.已

知直线l∥平面，点P平面，且P不在l上，那么过点P且平行于直线l的直线（）A.有无数条，仅有一条在平面内B.只有一条，且不在平面内C.有无数条，均不在平面内D.只有一条，且在平面内【答案】D

【解析】【分析】根据过直线外一点作与直线平行的直线只有一条.可排除AC.再由线面平行的性质定理即可选出【答案.【详解】过直线l与点P的平面有且只有一个,记该平面为.又因直线l∥平面，点P平面所以过点P且平行于直线l的直线只有一条，且这

条线为平面与平面的相交线.故选：D.【点睛】本题考查线面平行的性质定理.属于基础题.5.打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽

毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（）A.2105.5cmB.2211cmC.252.8cmD.210

0.8cm【答案】A【解析】【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆锥侧面积公式求出圆台的侧面积.【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大,小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x＋7，由相似得1.473.4xx=+，

即x＝4.9，所以羽毛所在曲面面积()3.474.91.44.933.6105.5S=+−=，故选：A6.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若ABa=，ADb=，则AP

=（）.A.3344ab+B.331313ab+C.51142ab+D.19416ab+【答案】B【解析】【分析】APAC=，将AP用,AEAF表示，再根据E，F，P三点共线，求得，从而可的答案.【详解】∵E为

AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，∴13AEAD=，34AFAB=，设()433APACABADAFAE==+=+，∵E，F，P三点共线，∴4313+=，解得313=，于是()()333131313APABADABADab=+=+=+

．故选：B.7.已知函数()()35112=−+fxx，若对于任意的2,3x，不等式()()21+−fxfax恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(),2−B.(,2−C.(),4−D.(,4−【答案】D【解析】【分析】由幂函数的奇偶性及单

调性即可解得.【详解】易知35yx=是奇函数且单调递增，故原不等式等价于()()11222fxfax−−−即()()()33355512121xaxxa−−−−=−+所以121xxa−−+，所以2xa+在任意的2,3x上恒成立，故4a.故选：D8.农历五

月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶

展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）．A.1623B.32627C.128281D.5126729【答案】D【解析】【分析】考虑当丸子与六面体各个面都相切时的

情况，利用等体积的方法求解出此时丸子的半径，则最大体积可求解出.【详解】六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积1423432S==，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，所以四面体的高为2224642333−=，所以四面体的体积为

14616243333=，所以六面体的体积为1623222=33，根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切，连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为R，所以132243633R

=，所以469R=，所以丸子的体积为3446512639729=，故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析丸子与六面体的位置关系以及采用等体积法求解丸子的半径，本例中六面体是规则对称图形，其体积的计算方式有两种：（1

）13底面积高，求解体积；（2）利用丸子的半径作为高，六面体的每个面作为底面，求六个三棱锥的体积之和即为六面体体积.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得

0分.）9.下列命题中错误的是（）A.若复数1z满足2110z+=，则1iz=B.若复数1z，2z满足12=zz，则12=zzC.若复数izab=+，则z为纯虚数的充要条件是0a=D.若复数120zz+=，则12zz=−【答案】ABC【解析】【分析】举例

说明判断A，B，C；设出复数12,zz的代数形式，根据给定条件计算判断D作答.【详解】当1iz=时满足2110z+=，A错；当11iz=+，21iz=−时满足12=zz，但12zz，B错；复数izab=+，当0a=且0b=时，复数

z为实数，不是纯虚数，C错；令1izab=+，2izcd=+，,,,Rabcd，12()()izzacbd+=+++，当120zz+=时，即22()()=0acbd+++，ac=−，cd=−，则12zz=−成立，D正确．故选

：ABC10.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（）A.9a=，10b=，15c=B.6b=，52c=，45B=C.3a=，2b=，120B=D.6b=，63c=，60C=【答案】AD【解析】【分析】根据正弦定理，余

弦定理，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：三角形三边确定，三角形唯一，故A正确；对于B：2sin5252cB==，则sincbcB，故三角形有2个解，故B错误；对于C：由余弦定理得2221cos22acbBac+−=

=−，所以2350cc++=，9450=−，方程无解，所以无法构成三角形，故C错误；对于D：由余弦定理得2221cos22abcCab+−==，所以26720aa−−=，解得12a=或6a=−（舍），所以能唯一确定三角形，故D正确.故选：AD11.已知向

量()2,1a=r，()3,1b=−，e是与b同向的单位向量，则下列结论正确的是（）A.ab+与a共线B.a与ab−的夹角余弦值为255C.向量a在向量b上的投影向量为12e−D.若525,55c=−，则ac⊥【答案】BD【解析】【分析】根据向

量共线的坐标关系判断选项A；利用两个向量的夹角公式验证选项B；利用投影向量的公式求解判断选项C；利用向量垂直关系的坐标表示验证选项D.【详解】对于A，()1,2ab+=−，又()2,1a=r，11220−−，ab+与a不共线，故A错误；对于B，()5,0ab−=

，又()2,1a=r，()1025cos,555abaabaaba−−===−，故B正确；对于C，向量a在向量b上的投影向量为510210abeeeb=−=−，故C错误；对于D，52505521ca=+−=，则ac⊥，故

D正确；故选：BD.12.已知函数()()πsin0,04fxAxBA=++，（）A.若()fx在区间π3π,44上单调，则02B.将函数()yfx=的图像向左平移π2个单位得到曲线C

，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为12C.若方程πsin14x+=在区间()0,π上恰有三个解，则91344D.关于x方程()22fxAB=+在()0,π上有两个不同的解，则522【答案】BCD【解析】【分析】

对于A：求出()fx单调满足的关系与选项比较即可；对于B平移后初相应为π2的奇数倍；对于C求出相位满足的范围，卡右端点的范围即可；对于D，求出相位满足的范围，卡右端点的范围即可．【详解】对于A，π3π,44x

，πππ3ππ,44444x+++，若()fx在区间π3π,44上单调递增，则πππ24423πππ2442kk+−++，解得818333kk−+，由0，则81033818333kk

k+−+，又Zk，解得0k=，所以103，若()fx在区间π3π,44上单调递减，则πππ24423ππ3π2442kk++++，解得858133kk++，同理可得0k=，有513，综上，103或

513，A错误；对于B，()yfx=的图像向左平移π2个单位得到π()sin24gxAxB=+++，若()gx为偶函数，则有π242k+=+，解得122k=+，Zk，而0，所以最小值为12，B正确；对于C，()0,πx，πππ

,444x++，的函数()yfx=在区间()0,π上恰有三个极值点，则有5π7242+，解得：91344，C正确；对于D，()22fxAB=+，即π2sin42x+=，()0,πx，ππ

π,444x++，则9π11444+，解得：522，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：研究函数()()sinωφfxAxB=++的性质时可将x+视为一个整体，用换元法或整体代入，结合正弦函数和余弦函数的图像和性质，利用数形结合思想进行解题.三、填空题

（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.计算：12(0.64)lg5lg2−++=__________．【答案】94【解析】【分析】根据对数和指数幂的运算法则，直接求解即可．【详解】解：12(0.64)lg5lg2−++()1220.8l

g10−=+()10.81−=+110.8=+1018=+514=+94=.故答案为：94.【点睛】本题考查指数式和对数式化简求值，涉及指数幂和对数的运算，考查运算求解能力，是基础题.14.如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，

这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据水的体积与棱柱体积的关系得出结论．【详解】棱柱的体积公式是VSh=，其中S是q底面积，h是高．在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，所以这个三棱柱的底面积是原来三棱柱底面

的14，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的14（高一样），所以水的体积是大三棱柱体积的34，那么图1中水面的高度是棱柱高的34，即为32．故答案为：32．15.在直角坐标平面内，()2,0A−，()2,0B，若对任意实数tR，点P都满足113APtAB−，则PAPB最小值为

________．【答案】5【解析】【分析】设P为(x，y)，根据113APtAB−对任意实数t∈R可求出2y的范围，从而可求PAPB的最小值．【详解】设P为(x，y)，则()2,APxy=+，12,333xyAP+=

，()4,0AB=，()4,0tABt=，的∴124,333xyAPtABt+−=−，2212141333xyAPtABt+−−+厖，∵对任意实数tR，∴22193yy厖，∵(

)2,PAxy=−−−，()2,PBxy=−−，∴2240495PAPBxy=−+−+=…，当且仅当x＝0，29y=时取等号．故答案为：5．16.已知0,0xy，若1xy+=，则313213xyy+++的最小值是___________.【答案】8

5【解析】【分析】将xy+用()32xy+与()13y+表示，凑配常数1，使用“1”的代换与基本不等式求解.【详解】设()()3213xykxyy++=+++，由对应系数相等得13123k==+=，得1319k===所以()()11132

13939xyxyy++=+++整理得()()31132131010xyy=+++即()()()11961310xyy=+++所以()()()3113196133213103213xyyxyyxyy+=++++++++()313

196811032135yxyxyy++=++++….经验证当12xy==时，等号可取到.故答案为：85四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知2a=，4

b=，且23ab+=.（1）求a与b的夹角；（2）若()()2abakb−⊥+，求实数k的值.【答案】（1）2π3（2）12【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律得到ab，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，即可得解；（2）依题意可得()()20a

bakb−+=，根据数量积的运算律得到方程，再求出k的值.【小问1详解】因为2222222421612abaabbaabbab+=++=++=++=，所以4ab=−.设a与b的夹角为([0,π])，则41cos242abab−===−，又[0,π]，所以2π3

=，故a与b的夹角为2π3.【小问2详解】因为()()2abakb−⊥+，所以()()20abakb−+=，即22220akababkb+−−=，即22220akababkb+−−=，所以84(21)160kk−−−=，即12240k−=，解得12k=.18.已知()

()3sin,cos,coscosaxxbxx==−，函数()12fxab=−.（1）若,42x，求函数()fx的最值及对应的x的值；（2）若不等式()21fxm−在,42x

上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）3x=时，max()0fx=，2x=时，min1()2fx=−；（2）1(1,)2−.【解析】【分析】（1）先利用向量数量积的坐标表示和辅助角公式，化简()πsin216fxx

=−−.由x的取值范围，求得π26x−的取值范围，并由此得到函数的最大值和最小值及对应x的值.（2）将原不等式等价变形为1()1mfxm−+恒成立，由（1）知112m−−且10m+，解得112m−.【详解】(1)因为

(3sin,cos),(cos,cos)axxbxx==−，1()2fxab=−，所以()fx=213sincoscos2xxx−−=31sin2cos2122xx−−=sin(2)16x−−，∵x∈[,]42，∴52366x

−，当226xππ−=，即3x=时，max()0fx=，当5266x−=，即2x=时，min1()2fx=−.(2)方法一:∵2[(x)]1fm−([,]42x）()1()1fxmfx−+([,])42x，max()1mfx−且min(

)1mfx+，故m的取值范围为1(1,)2−.方法二：∵2[(x)]1fm−([,]42x）1()1mfxm−+([,])42x，11110,122mmm−−+−且故，故m的取值

范围是1(1,)2−.19.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点E，F，M分别是棱11111,,BCBBCD的中点.（1）求证：E、M、B、D四点共面；（2）是否存在过点E，M且与平面1AFC平行的平面?若存在，请作出这个平面并证明，若不存在，请说明理

由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，图形见解析，证明见解析【解析】【分析】（1）连接BD、11BD，即可证明四边形11BBDD为平行四边形，则11//BDBD，再由中位线的性质得到11//MEBD，即

可得到//BDME，从而得证；（2）取1CC靠近1C的四等分点P，连接EP、PM，平面EMP即为所求，取1CC的中点G，连接FG、1DG，连接11AC交EM于点N，连接NP，即可证明1//PMAF、1//ACNP，从而得证；【小问1详

解】证明：连接BD、11BD，在正方体1111ABCDABCD−中，11//BBDD且11=BBDD，所以四边形11BBDD为平行四边形，所以11//BDBD，又E是11BC的中点，M是11CD的中点，所以11//MEBD，

所以//BDME，所以E、M、B、D四点共面；【小问2详解】解：取1CC靠近1C的四等分点P，连接EP、PM，则平面//EMP平面1AFC，平面EMP即为所求，图形如下所示，证明：取1CC的中点G，连接FG、1DG，连接11AC交EM于点N，连接NP，依题意可得11//FGAD且11

=FGAD，所以11AFGD为平行四边形，所以11//AFGD又P为1CG的中点，M为11CD的中点，所以1//PMGD，所以1//PMAF，因为PM平面1AFC，1AF平面1AFC，所以//PM平面1AFC，显然N为1

1AC靠近点1C的四等分点，又1111114CNCPACCC==，所以1//ACNP，因为PN平面1AFC，1AC平面1AFC，所以//PN平面1AFC，又PNPMP=，,PNPM平面EMP，所以平面//EMP平面

1AFC；20.锐角ABC中，已知1sin2cos231sin2cos2BBBB+−=++．（1）求角B；（2）若2a=，求ABC的面积S的取值范围．【答案】（1）π3B=（2）3232S【解析】【分析】（1）根据二倍角公式化简，可得tan

3B=，解出B即可；（2）由已知条件，得到A的范围，将面积公式化简变形用A的三角函数表示，求出最值.【小问1详解】∵221sin2cos22sincos2sin1sin2cos22sincos2cosBBBBBBBBBB+−+=+++()()2

sincossintan2coscossinBBBBBBB+==+∴tan3B=由锐角ABC，可知π3B=．【小问2详解】由（1）知，π3B=，2π3AC+=，则2π3CA=−又π02A，π02C，则ππ62A由正弦定

理知，sinsinacAC=，则sinsinaCcA=，则11sinsinsin22sinaSacBaCBA==∵π3B=，2a=∴231sincossinsin33322333sinsinsin2tan2AAACS

AAAA−+====+又ππ62A，则3tan3A，103tanA∴3232S21.已知函数()224fxaxbxc=++（,,Rabc，0a）.（1）若函数()fx的图像与直线y

x=均无公共点，求证：24161bac−−；（2）若4b=，34c=时，对于给定的负数a，有一个最大的正数()Ma，使()0,xMa时，都有()5fx，求()Ma的最大值；（3）若0a，且1ab+=，又2x时，恒有(

)2fx，求()fx的解析式.【答案】（1）证明见解析（2）512+（3）()22fxx=-【解析】【分析】（1）图像无公共点，转化成二次方程无解，用判别式解决；（2）把4b=，34c=代入函数解析式，配方得到顶点式，由a小于0，得到函数有最大

值，表示出这个最大值，分最大值大于5和最大值小于等于5两种类型讨论，根据求根公式求出()Ma，即可判断()Ma的最大值；（3）由()()204242fcf−==−−，解得c，由函数的最小值点和1ab+=，解出,ab，得到函数解析式.【小问1详解】证明

：函数()fx的图像与直线yx=无公共点，即方程224axbxcx++=无解，即方程()22140axbxc+−+=无解，()221160bac=−−，2441160bbac−+−①；同理，函数()fx的图像与直线y

x=−无公共点，即方程224axbxcx++=−无解，即方程()22140axbxc+++=无解，()221160bac=+−，2441160bbac++−②；①加②得282320bac+−即24161bac−−，得证.【小问2详解】把4b=，

34c=代入得：()283fxaxx=++=24163axaa++−，0a，所以()max163fxa=−，又()03f=，①当1635a−，即80a−时，()Ma满足：80a−且()40Maa−，所以()Ma是方程2835axx++=的较小根，则()86482aM

aa−++==221421624a=++；②当1635a−即8a−时，此时()4Maa−，所以()Ma是2835axx++=−的较大根，则()864322aMaa−−−==44512422202a+=−−−，当且仅当8a=−时取等号，由于5

1122+，因此当且仅当8a=−时，()Ma取最大值512+；【小问3详解】因为对任意的2x，()2fx，()224fxaxbxc=++()042fc=−，()24442fabc=++，对称轴为22bxa=−1ab+=Q()()()204

444424242fcabcabf−==++−+=−−=−42c=−，解得12c=−，又()2fxQ，所以()()20fxf−=()fx\在0x=处取得最小值，且()02,2−，对称轴为0x=，即202ba−=，解得0b=

，从而1a=，()22fxx=−．【点睛】方法点睛：二次函数的最值问题，可以函数的一般式化为顶点式，根据条件和所给区间分类讨论；存在性问题要注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在，再借助已知条件求解，如果有解(求出的结果符合题目要求)，则假设成立，即存在；如果无解(推出矛盾或求

出的结果不符合题目要求)，则假设不成立，即不存在．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com