【文档说明】广东省四校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题含答案.doc，共(7)页，987.691 KB，由小赞的店铺上传

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1惠州一中汕头金山中学深圳实验学校珠海一中2020-2021学年度下学期期中考试高一年级数学试卷卷面总分：150分考试时长：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项

是符合题目要求的。1．已知向量(1,1)=−a，(1,)t=−b，且⊥ab，则t=A．2−B．2C．1−D．12．设复数z满足221iiz+=+，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知(13

i)(cosisin)66z=−−+，则argz=A．3B．2C．3D．64．如图，在△ABC中，14ADAB=，点F是BC的中点，设AB=a，AC=b，则DF=A．1342+abB．1142+ab

C．3342+abD．3142+ab5．已知1111ABCDABCD−为正方体，E为BC的中点，则异面直线1CB与DE所成角的余弦值为A．63B．22C．255D．10106．已知2BC=，2ABAC=，则△ABC的

面积的最大值为A．2B．2C．3D．37．已知点(2,1)A−−，(3,4)B，(1,1)C−，(3,3)D，与AB同向的单位向量为e，则向量CD在向量AB方向上的投影向量为A．35eB．32eC．3eD．5eABCFD28．已知点E在正方

体1111ABCDABCD−的侧面11AABB内（含边界），F是1AA的中点，若1DECF⊥，则tanBCE的最小值为A．55B．21−C．31−D．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对

的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．以下是真命题的是A．已知a，b为非零向量，若+−abab，则a与b的夹角为锐角B．已知a，b，c为两两非共线向量，若=abac，则()⊥−abcC．在三角形ABC中，若coscosaAb

B=，则三角形ABC是等腰三角形D．若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心10．已知点M为正方体1111ABCDABCD−内（含表面）的一点，过点M的平面为，以下描述正确的有A．与1AA和

11BC都平行的有且只有一个B．过点M至少可以作两条直线与1AA和11BC所在的直线都相交C．与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个D．过点M可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等11．

已知圆锥SO的母线长为2，底面半径为3，平面SAB为轴截面，点M为底面圆周上一动点（可与点A，B重合），则A．三棱锥SABM−体积的最大值为1B．直线OM与SA所成角的范围为[,]62C．三角形SAM面积的最大值为3D．三角形SAM为

直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为2212．若a，b是两个非零向量，且==−abab，3[,2]3，则以下可能是b与+ab的夹角的是A．6B．4C．3D．5123三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在△ABC中，角A，B，C所

对的边分别为a，b，c，已知sinsinsinabCacAB−=−+，则B=．14．已知a，b是单位向量，且2(3,1)+=−ab，则−=ab．15．已知三角形ABC的斜二侧画法的直观图是边长为2的正三角形ABC（如右

图所示），则CACB=．16．在三棱锥DABC−中，已知平面BCD⊥平面ABC，90CBD=，45BCA=，22AB=，2BD=，则三棱锥ABCD−的外接球的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知(1,

1)A，(1,4)B−，(,)Cab．（1）若A，B，C三点共线，求a与b满足的关系式；（2）若2ACAB=，求点C的坐标．18．（12分）如图，已知点A，B，M，N在同一平面内，且2AM=，23AB=，4BN=，30BAM=，120ABN=．（1）求MN的长；（2）求△AMN的面积．1

9．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2()baac=+．（1）求A的取值范围；（2）若1a=，求bc+的取值范围．（可能会用到的公式：3sin33sin4sin=−，3c

os34cos3cos=−）ABxy'CNABM420．（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，2AD=，1ABBCCD===，//BCAD，90PAD=，PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD．（1）

证明：PA⊥平面ABCD；（2）若AD与平面PBD所成角的正弦值为24，求二面角PBDC−−的余弦值．21．（12分）如图，四棱锥PABCD−的底面为平行四边形，E是PB的中点，过A，D，E的平面与

平面PBC的交线为l．（1）证明：//l平面PAD；（2）求平面截四棱锥PABCD−所得的上、下两部分几何体的体积之比．22．（12分）如图直角坐标系内，A在半径为1的上半圆上，(2,0)C−，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，设AOx

=，且0180.（1）求CA（用表示）；（2）求B点的坐标（用表示）；（3）求△BCO的面积的最大值．ABCDPABCDPEOxyCAB11−2−5参考答案一、选择题12345678CABBDCBA9．BD10．CD11．ABD12．ABC13．314．10215．

2616．2017．解：（1）(2,3)AB=−，(1,1)ACab=−−，（2分）因为A，B，C三点共线，所以AB向量与AC也共线，所以2(1)3(1)ba−−=−，所以a与b满足的关系式为3250ab+−=．（4分）（2）由2ACAB=，可得2ACAB=，或2ACAB=

−，（6分）当2ACAB=时，有(1,1)2(2,3)3aba−−=−=−，7b=；当2ACAB=−时，有(1,1)2(2,3)5aba−−=−−=，5b=−；所以点C的坐标为(3,7)−或(5,5)−．（10分）18．解：(1)连BM，在△ABM中，由余弦定理可得

，222cos302BMAMABAMAB=+−=，所以30ABM=，所以90MBN=，所以2225.MNBMBN=+=（6分）（2）113sin2346222ABNSABBNB===，111sin2323222ABMSABAMA===

，1124422MBNSMBBN===，所以△AMN的面积为23ABNABMMBNSSS−−=−．（12分）19．解：（1）由题意2()baac=+及余弦定理2222bacaccosB=+−可得2cosacaB=

−，（2分）由正弦定理sinsinsinacbACB==，可得sinsin2sincossin()2sincossin()ACABABABBA=−=+−=−，NABM6,(0,)AB，2BA=，3CA=−，(,)64A．（6分）（2）由（1）可

得32sinsin32sincos3sin4sin154(cos)sinsin44BAAAAAbcAAA++−+===+−，（9分）(,)64A，12131cos(,)42424A+++，（11分）所以(12,23)bc+++．（12分）20．解：（1）证

明:在平面PBA内过A作AEPB⊥于E，（2分）因为平面PBA⊥平面PBD，又平面PBA平面PBDPB=，所以AE⊥平面PBD，BDPBD平面，所以AEBD⊥，（4分）过,BC分别作BMCNAD⊥、于MN、，易得90D

BA=，即ABBD⊥，（5分）ABAEA=，且ABAE、平面PBA，所以BD⊥平面PBA，PAPBA平面，所以BDPA⊥，因为PAAD⊥，ADBDD=，PA⊥平面ABCD．（7分）（2）二面角

PBDC−−的平面角与二面角PBDA−−的平面角互补，由（1）可得，PBA为二面角PBDA−−的平面角，（9分）在RT△AED中，ADE为AD与平面PBD所成的角，由其正弦值为24，可得22AE=，因为1AB=，所以22BE=，所以2cos2PBA=，（11分）所以二面角PBDC−−的余

弦值为22−．（12分）21．解:(1)证明：//ADBC，所以//AD平面PBC，（2分）因为平面与平面PBC的交线为l，且AD，所以//ADl，（4分）ABCDPEMN7因为l平面PAD，所以//l平面PAD．（6分）（2）设l与PC交于F，易得F为PC的中点，

连DF，DE，DB，EC，设四棱锥PABCD−的体积为V，所以4EABDEBDCVVV−−==，（8分）又2EBDCDBECDEFCVVV−−−==，8DEFCVV−=，（10分）所以平面截四棱锥PABC

D−所得的下面部分几何体的体积为54488VVVV++=，所以上面部分的体积为38V，所以平面截四棱锥PABCD−所得的上、下两部分几何体的体积之比为3:5．（12分）22．（1）(cos,sin)A=，(cos2,sin)CA=+，（2分）（2）（法一）设ACB=，由余弦定理可得，

254cosAC=+，23cos4ACAC+=，由正弦定理可得，sinsinAC=，所以222sin()2(cossin)cossin2422ByACAC=+=+=++，222cos()22(cossin)2cos

sin422BxACAC=+−=−−=−，B点的坐标为(cossin,cossin2)−++．（10分）（法二）假设此直角坐标系为复平面直角坐标系，所以CA对应的复数为cos2isinCA=++，所以2(cosisin)cossin2(cossin2)i44C

BCA=+=−++++，所以B的坐标为(cossin,cossin2)−++．（3）12(cossin2)2sin()224BCOS=++=++，所以，当4=时，△BC

O的面积取最大值，且为22+．（12分）ABCDPEF