【文档说明】辽宁省“决胜新高考·名校交流“2021届高三下学期3月联考试题 数学 含答案.doc，共(12)页，237.500 KB，由小赞的店铺上传

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秘密★启用前“决胜新高考·名校交流”2021届高三3月联考卷数学注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1

.已知集合A＝{x|2x2－7x－4<0}，B＝{x|ln(x－1)≥0}，则A∩B＝A.(1，4)B.[1，4)C.(2，4)D.[2，4)2.若z＝1＋i，则zz2iz−＝A.2B.－2C.2iD.－2i3.设O为原点，直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，当

△ABO面积最大值时，k＝A.±22B.±1C.±2D.±24.在等差数列{an}中，a5＝2a3－l，a8＝6a2－2，则a1＋a2＋…＋a10＝A.165B.160C.155D.1455.已知命题p：a∈D，命题q：∃x0∈R，x02－ax0－a≤－3，若p是q成立的必要不充分条件，则

区间D为A.(－∞，6]∪[2，＋∞)B.(－∞，－4)∪(0，＋∞)C.(－6，2)D.[－4，0]6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则函数表达式可写成A.y＝2sin(2x＋3)B.y＝sin(x＋12)C.y＝2sin(2x－56)D.y＝2sin(2x

＋6)7.平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，ABAD＝4，DE⊥AB，垂足为E，F是DE中点，则DFDB＝A.－12B.－32C.32D.18.已知函数f(x)＝2x2ekx－(1x＋lnx)，若函数f(x)有三个极值点，则实数k的取值范围为A.[4e，

2e2)∪(2e2，＋∞)B.[0，4e]C.(4e，2e2)∪(2e2，＋∞)D.[0，4e)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分

制)分别服从正态分布N(μ1，σ12)，N(µ2，σ22)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是附：若随机变量X服从正态分布N(µ，σ2)，则P(µ－σ<X<µ＋σ)≈0.6826。A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B.甲同学的平均成绩

优于乙同学的平均成绩C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D.若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.158710.如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD.⊥平面ABCD，∠DAB＝∠CBD＝90°，∠ADB＝∠BDC

＝60°，E为PC中点，F在CD上，∠FBC＝30°，PD＝2AD＝2，则下列结论正确的是A.BE//平面PADB.PB与平面ABCD所成角为30°C.四面体D－BEF的体积为33D.平面PAB⊥平面PAD11.已知A，B是双曲线C：22221(

0,0)xyabab−=上关于原点对称的两点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，且满足k1·k2＝14，则下列说法正确的是A.双曲线C的离心率为2B.双曲线C的渐近线方程

为y＝±12xC.若|AB|的最小值为4，则双曲线方程为24x－y2＝1D.存在点P，使得|k1|＋|k2|＝2212.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2f(x－2)，且x∈[0，1)时，f(x)＝(f(1))x，x∈[1，2]时，

f(x)＝4x。令g(x)＝f(x)－x－a，x∈[－2，6]，若函数g(x)的零点有8个，则a的可能取值为A.2.5B.2.6C.2.8D.3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数f(x)＝23sinx·cosx－cos2x在[0，π]上的单调递增区间是。14.(x＋3

)3－x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，则a3＝。15.如图，已知曲线C：y2＝4x，焦点F(1，0)，点M在x轴上运动，P为C上的动点，若PM的中点N落在y轴上，则∠FNM＝；斜率为43的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为Q，若

AQ4QB=，则|AB|＝。16.如图，二面角A－BD－C的平面角的大小为120°，∠BDA＝120°，∠BDC＝150°，AD＝BD＝2，CD＝3，则四面体ABCD的外接球表面积为。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。17.(10分)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，Tn＝1－bn且a1＝2b1，a8＝3a3。(I)求数列{an}，{bn}的通项公式；(II)求数列{an·bn}

的前n项和Qn。18.(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且m＝(2cosAcosC，－1)，n＝(tanAtanC－1，1)，m⊥n。(I)求B的大小；(II)若b＝7，sinA＋sinC＝13314，求△ABC的面积。19.(12分)在空间

直角坐标系O－xyz中，以坐标原点O为圆心，r为半径的球体。上任意一点P(x，y，z)，它到坐标原点O的距离d＝222xyx++≤r，可知以坐标原点为球心，r为半径的球体可用不等式x2＋y2＋z2≤r2表示。还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示。记P1满足的不等式组222xyz1

6z0++表示的几何体为W1。(I)当z＝h表示的图形截W1所得的截面面积为12π时，求实数h的值；(II)请运用祖暅原理求证：记P2满足的不等式组222zxy160x4+所表示的几何体W2，当z＝h时，W2与W1的体积相等，并求

出体积的大小。(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等)20.(12分)当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示

要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位。结合全国第32个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题。规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题(

即每位同学至少答对1题)。若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题。假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题。求：(I)若第n次由

甲组答题的概率为Pn，求Pn；(II)前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少？21.(12分)已知椭圆E：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一动点，当△MF1F2的面积最大时，其内切圆半径为3b，椭圆E的左、右顶

点分别为A，B，且|AB|＝4。(I)求椭圆E的标准方程；(II)过F1的直线与椭圆相交于点C，D(不与顶点重合)，过右顶点B分别作直线BC，BD与直线x＝－4相交于N，M两点，以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐

标；若不是，请说明理由。22.(12分)(I)求证：x1+<2x＋1(x≥－1)；(II)已知f(x)＝ex＋1xa−，求f(x)＝0的根的个数；(III)求证：若x>0，则ex>(x＋2)x1+＋12x2－4。决胜新高考•

名校交流2021届高三3月联考卷数学答案及评分标准一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，1-8题为单选题，9-12题为多选题，多选题全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）123

456789101112DDBDBDCCACDACDBCBC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共60分.13.0，π3，5π6，π14．－915.π2254（第一空2分，第二空3分）16

．116π评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。三、解答题：本小题共6小题，共70分.评分标准：具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。试题有不同解法时，解法正确即

可酌情给分。17.解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，因为Tn＝1－bn，当n＝1时，T1＝1－b1＝b1，所以b1＝12；(1分)当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，(2分)整理得bnbn－1＝12，所以数列{bn}

是首项为12，公比为12的等比数列，故bn＝12n.(4分)由a8＝3a3，得1＋7d＝3·(1＋2d)，解得d＝2.又a1＝2b1＝1，所以an＝2n－1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，an·bn＝(2n－1)·12n，(6分)所

以Qn＝1×12＋3×122＋5×123＋…＋(2n－1)×12n，①则12Qn＝1×122＋3×123＋5×124＋…＋(2n－1)×12n＋1，②(

7分)①－②得12Qn＝1×12＋2×122＋2×123＋…＋2×12n－(2n－1)×12n＋1＝12＋2×141－12n－11－12－(2

n－1)×12n＋1，(8分)所以Qn＝3－2n＋32n.(10分)18.解：(Ⅰ)∵m⊥n，∴m·n＝0，即m·n＝2cosAcosC(tanAtanC－1)－1＝2sinAsinC－2cosAc

osC－1＝－2cos(A＋C)－1＝2cosB－1＝0，(4分)∴cosB＝12.(5分)∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(6分)(Ⅱ)∵asinA＝bsinB＝csinC＝143，∴sinA＝314a，sinC＝314c.(7分)∵sinA＋sinC＝13314，∴a＋c＝13.又

∵b2＝a2＋c2－2accosB，(9分)即72＝a2＋c2－2accosπ3，∴ac＝40，(10分)∴S△ABC＝12acsinB＝12×40×sinπ3＝103.(12分)19.解：(Ⅰ)当z

＝h时，x2＋y2≤16－h2，截面为圆面，则16－h2＝12，解得h＝±2.又h≥0，所以h＝2.(6分)(Ⅱ)在W1中，平面z＝h所截的截面为圆，其面积为π(16－h2)，在W2中，平面z＝h所截的截面为圆环，其面积为π(16－h

2)，即z＝h截W1，W2所得面积均相等，从而由祖暅原理知，W1，W2体积相等，由W1为半球知其体积V＝12×43π×43＝1283π.(12分)20.解：(Ⅰ)若第(n＋1)次由甲组答题，则包括第n次由甲组答题，第(n＋1)次继

续由甲组答题，以及第n次由乙组答题，第(n＋1)次由甲组答题．答对的题数之和为3的倍数分别为1＋2，2＋4，1＋5，4＋5，3＋3，6＋6，3＋6，其概率为5×2＋236＝13，则答对的题数之和不是3的倍数的概率为23，(3分)所以第n次由甲组答题，第(n＋1)次继续由甲组答题的概率为1

3Pn，第n次由乙组答题，第(n＋1)次由甲组答题的概率为23(1－Pn)，因此Pn＋1＝13Pn＋23(1－Pn)＝－13Pn＋23(n∈N*)，(4分)则Pn＋1－12＝－13Pn－12.(5分)因为第一次由甲组开始，则P1＝1，所以Pn－12是首项

为12，公比为－13的等比数列，所以Pn－12＝12－13n－1，即Pn＝12－13n－1＋12.(7分)(Ⅱ)由于第1次由甲组答题，则只要第2次、第3次、第4次这3次中再由甲组答题一次即可，所以所求概率P＝P1P2(1－P3)(1－P4

)＋P1(1－P2)P3(1－P4)＋P1(1－P2)(1－P3)P4，(9分)由(Ⅰ)可知P2＝13，P3＝59，P4＝1327，(10分)所以P＝100243.(12分)21.解：(Ⅰ)由题意及三角形内切圆的性质可得12

·2c·b＝12(2a＋2c)·b3，化简得ca＝12.①(2分)又|AB|＝2a＝4，所以a＝2，c＝1，b＝a2－c2＝3，(4分)所以椭圆E的标准方程为x24＋y23＝1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(－1，0

)，B(2，0)，由题意，直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为x＝my－1，代入椭圆E的方程x24＋y23＝1，整理得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.(6分)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，②直线BC：y＝

y1my1－3(x－2)．令x＝－4，得N－4，－6y1my1－3，(7分)同理可得M－4，－6y2my2－3，(8分)所以以MN为直径的圆的方程为(x＋4)(x＋4)＋y＋6y1my1－3y＋6y2my2－3＝0，即x2＋8x＋16＋

y2＋6y1my1－3＋6y2my2－3y＋36y1y2（my1－3）（my2－3）＝0，③由②得y1＋y2＝－23my1y2，代入③得圆的方程为x2＋8x＋7＋y2－6my＝0.(10分)若圆过定点，则y＝0，x2＋8x＋7＝0，(11分)解得x＝－1，

y＝0或x＝－7，y＝0，所以以MN为直径的圆恒过两定点(－7，0)，(－1，0)．(12分)22.解：(Ⅰ)证明：当x≥－1时，x24>0，∴x＋1<x24＋x＋1＝x2＋1.(2分)(Ⅱ)当x>a时，f(x)

>0恒成立，∴函数f(x)没有零点；当x<a时，f(x)＝ex＋1x－a＝ex（x－a）＋1x－a.令h(x)＝ex(x－a)＋1，则h′(x)＝ex(x－a＋1)，易知h′(a－1)＝0，∴当x∈(－∞，a－1)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；当x∈(a－1，

a)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，∴函数h(x)在(－∞，a)上的最小值为h(a－1)＝1－ea－1.显然，当a＝1时，h(a－1)＝0，∴x＝a－1是函数f(x)的唯一的零点；当a<1时，h(a－1)＝1－ea－1>0，∴函数f(x)没有零点；当a>1

时，h(a－1)＝1－ea－1<0，∴函数f(x)有两个零点．(6分)(Ⅲ)证明：由(Ⅰ)知当x>0时，x＋1<x2＋1，∴只需证当x>0时，ex>(x＋2)x2＋1＋12x2－4.(8分)设M(x)＝ex－(x＋2)x2＋1－12x

2＋4＝ex－x2－2x＋2，则M′(x)＝ex－2x－2.令φ(x)＝ex－2x－2，则φ′(x)＝ex－2，易知φ(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．∵φ(1)φ(2)<0，∴M′(x)在(0，＋∞)上只有一个零点x0(1<x0

<2)，即ex0－2x0－2＝0，(10分)∴M(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，∴M(x)≥ex0－x20－2x0＋2＝4－x20>0，∴ex>(x＋2)x2＋1＋12x2－4.又x2＋1>x＋1，∴ex>(x＋2)x＋1＋

12x2－4.(12分)