【文档说明】山东省潍坊市2021届高三上学期期中考试 数学含答案.docx，共(12)页，209.754 KB，由小赞的店铺上传

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2021届高三年级第一学期期中考试数学(满分150分，考试时间120分钟)2020．11第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x|－2≤x<4}，B

＝{x|－5<x≤3}，则A∩B＝()A.{x|－5<x<4}B.{x|－5<x≤－2}C.{x|－2≤x≤3}D.{x|3≤x<4}2.“a>1”是“(a－1)(a－2)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知变量x，y之间的一组数据如下表．若y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋a，则a＝()x3456y2.5344.5A.0.1B.0.2C.0.35D.0.454.已知a，b为不同直线，α，β为不同平面，则下列结论正确的是()A.若a⊥α，b⊥a，则b∥αB.若a，b⊂α，a∥

β，b∥β，则α∥βC.若a∥α，b⊥β，a∥b，则α⊥βD.若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β5.高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学

只能报一个小组，则报名方案有()A.15种B.90种C.120种D.180种6.已知α∈(π2，π)，tanα＝－3，则sin(α－π4)等于()A.55B.255C.35D.357.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效

益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝P02－t30，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－32ln210，则该放射性同位素含

量为4.5贝克时衰变所需时间为()A.20天B.30天C.45天D.60天8.定义运算：①对∀m∈R，m0＝0m＝m；②对∀m，n，p∈R，(mn)p＝p(mn)＋mp＋np.若f(x)＝ex－1e1－x，则有()A.函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称B.函数f(x)在R

上单调递增C.函数f(x)的最小值为2D.f(223)＞f(232)二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9.中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与

通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖

店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图的折线图，则下列说法正确的是()A.根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31，32]内B.根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C.根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额

极差比甲店小D.根据甲、乙两店的营业额折线图可知，7，8，9月份的总营业额甲店比乙店少10.若非零实数x，y满足x>y，则下列判断正确的是()A.1x＜1yB.x3＞y3C.(12)x＞(12)yD.ln

(x－y＋1)＞011.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x＝5π12，则()A.φ＝π3B.函数y＝f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到C.函数f(x)在[0，π2]上的值域为[－1，32

]D.函数f(x)在区间[－π，－π2]上单调递减12.已知函数f(x)＝2－4x－12，0≤x≤1，af（x－1），x＞1，其中a∈R.下列关于函数f(x)的判断正确的是()A.当a＝2时，f(32)＝4B.当|a|<1时，函数f(x)的值域为[－2，2]C.当a＝2

且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n－1(2－4x－2n－12)D.当a>0时，不等式f(x)≤2ax－12在[0，＋∞)上恒成立第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本大题共4小

题，每小题5分，共20分．13.(x2＋2x)5的展开式中x4的系数为________．14.若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为________．15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1－x)＝f

(1＋x)．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝________．16.已知菱形ABCD边长为3，∠BAD＝60°，点E为对角线AC上一点，AC＝6AE.将△ABD沿BD翻折到△A′BD的位置，E记为E′，且二面角

A′BDC的大小为120°，则三棱锥A′BCD的外接球的半径为________；过E′作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知正三棱柱ABCA1B1C

1的底面边长为2，点E，F分别为棱CC1与A1B1的中点．(1)求证：直线EF∥平面A1BC；(2)若该正三棱柱的体积为26，求直线EF与平面ABC所成角的余弦值．18.(本小题满分12分)在①csinB＝bsinA＋B

2，②cosB＝217；③bcosC＋csinB＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝π3，点D是边AB上一点，AD＝5，CD＝7，且________，试判断AD和DB的大小关系．注：如果选择多个条件分别解答，按第

一个解答计分．19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－3x2＋3bx＋c在x＝0处取得极大值1.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线的方程；(2)若函数f(x)在[t，t＋2]上不单调，求实数t的取值范围．20.(本小题满分12分)在四棱锥PAB

CD中，底面ABCD为直角梯形，CD∥AB，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2.(1)求证：BD⊥PA；(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角PDCN的余弦值为13？若存在

，请确定点N位置；若不存在，请说明理由．21.(本小题满分12分)2020年10月16日是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC80

1测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：质量指标值m[70，75)[75，80)[8

0，85)[85，90)[90，100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如

图所示的频率分布直方图：(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95

)的件数X的分布列及数学期望；(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(1＜t＜4)：质量指标值m[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，100]利润y(元

)6t8t4t2t－53et试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6)．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xex－a(ln

x＋x)．(1)当a＞0时，求f(x)的最小值；(2)若对任意x＞0恒有不等式f(x)≥1成立．①求实数a的值；②求证：x2ex＞(x＋2)lnx＋2sinx.2021届高三年级第一学期期中考试(潍坊)数学参考答案及评分标准1.C

2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.A9.ABD10.BD11.BC12.ACD13.4014.10215.116.21294π(第一空2分，第二空3分)17.(1)证明：取BB1中点D，连接ED，FD，(1分)在平行四边形BCC1

B1中，点E为CC1的中点，点D为BB1的中点，所以ED∥CB.在△B1BA1中，点F为A1B1的中点，点D为BB1的中点，所以FD∥A1B.(3分)又ED，FD⊂平面EFD，ED∩FD＝D，所以平面EFD∥平面A1BC.又EF⊂平面

EFD，所以EF∥平面A1BC.(5分)(2)解：设AA1＝h，VABCA1B1C1＝S△ABC·h＝34×4h，所以3h＝26，即h＝22.(6分)因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角．因为CC1⊥平面A

1B1C1，所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F，所以∠EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角．(8分)因为EC1＝2，FC1＝3，所以EF＝5，所以cos∠EFC1＝35＝155，即EF与平面ABC所成角的余弦

值为155.(10分)18.解：设AC＝x，在△ACD中，由余弦定理可得49＝x2＋25－2·x·5·cosπ3，(2分)即x2－5x－24＝0，解得x＝8或x＝－3(舍去)，所以AC＝8.(3分)选择条件①：由正弦定理得sinCs

inB＝sinBsinA＋B2.(4分)因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinC＝sinA＋B2.(5分)因为A＋B＝π－C，所以sinC＝2sinC2cosC2＝cosC2.(6分)因为C∈(0，π)，所以C2∈(0，π2

)，所以cosC2≠0，所以sinC2＝12，即C2＝π6，C＝π3.(10分)又A＝π3，所以△ABC是等边三角形，所以AB＝8，(11分)所以DB＝3，故AD＞DB.(12分)选择条件②：由cosB＝217，得sinB

＝277.(5分)因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32×217＋12×277＝5714.(8分)在△ABC中，由正弦定理得ABsinC＝ACsinB，即AB5714＝8277，(10分)解得AB＝10.(11分)又AD＝5，故AD＝DB.(

12分)选择条件③：因为bcosC＋csinB＝a，由正弦定理得sinBcosC＋sinCsinB＝sinA．(4分)因为A＋B＋C＝π，所以sinBcosC＋sinCsinB＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，所以sinCsinB＝s

inCcosB.因为sinC≠0，所以sinB＝cosB．(7分)因为B∈(0，π)，故B＝π4，所以∠ACB＝5π12.(8分)在△ABC中，由正弦定理得ABsinC＝ACsinB，即AB6＋24＝822，(10分)解得AB＝4(3＋1)＞10.(11分)因为AD＝5，所以AD＜DB.(12分

)19.解：(1)因为f′(x)＝3x2－6x＋3b，(1分)由题意可得{f′（0）＝0，f（0）＝1，解得b＝0，c＝1，(3分)所以f(x)＝x3－3x2＋1；经检验，适合题意．又f(1)＝－1，f′(1)＝－3，(5分)所以函数y＝f(x)图象在x＝1处的切线的方程为

y－(－1)＝－3(x－1)，即3x＋y－2＝0.(6分)(2)因为f′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.(8分)当x＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；当x＞2时，f′(x)＞0，函数f(

x)为增函数．(9分)因为函数f(x)在[t，t＋2]上不单调，所以t＜0＜t＋2或t＜2＜t＋2，(11分)所以－2＜t＜0或0＜t＜2.(12分)20.(1)证明：连接BD，BD＝CD2＋CB2＝22，AD＝22，所以BD2＋AD2＝AB2，所以AD⊥BD.(2分)因为平面PAD⊥平面ABC

D，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD.因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.(4分)(2)解：延长AD，BC相交于点M，连接PM，因为M∈平面PAD，M∈平面PBC，所以M∈l

.又P∈l，所以PM即为交线l.(5分)取AB中点Q，连DQ，则DQ⊥DC，过D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD.分别以DQ，DC，DH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，(6分)则P(1

，－1，2)，C(0，2，0)，M(－2，2，0)，D(0，0，0)，所以DP→＝(1，－1，2)，DC→＝(0，2，0)．设平面PDC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·DC→＝0，m·DP→＝0，所以{y＝0，x＋2z＝0，取m＝(－2，0，1)．(8分)设N(x1，y1，z1)，

PN→＝λPM→，则(x1－1，y1＋1，z1－2)＝λ(－3，3，－22)，所以x1＝1－3λ，y1＝－1＋3λ，z1＝2－2λ，PN→＝(1－3λ，－1＋3λ，2－2λ)，DC→＝(0，－2，0)．设平面NDC的法向量为n＝(x2

，y2，z2)，则n·DC→＝0，n·PN→＝0，所以{y2＝0，（1－3λ）x2＋（2－2λ）z2＝0，取n＝(2－2λ，0，3λ－1)，(10分)所以|cos〈m，n〉|＝|（－2）×2×（1－λ）＋3λ－1|3·2（1－λ）2＋（3λ－1）2＝13，所以8λ2－10λ＋3＝

0，所以λ＝12或λ＝34，经检验λ＝34时，不合题意，舍去．所以存在点N，点N为PM的中点．(12分)21.解：(1)设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图，可得1件产品为废品的概率为P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，则P(A)＝1－C33(0.3)3＝1－0.0

27＝0.973.(2分)(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，m∈[85，90)的频率为0.08×5＝0.4；m∈[90，95)的频率为0.04×5＝0.2；m∈[95，100]的

频率为0.02×5＝0.1.故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85，90)的有4件，m∈[90，95)的有2件，m∈[95，100]的有1件．(4分)从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90，95)的件数X的所有

可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C33C37＝27，P(X＝1)＝C12C25C37＝47，P(X＝2)＝C22C15C37＝17，所以X的分布列为X012P274717(7分)所以E(X)＝0×27＋1×47＋2×17＝67.(8分)(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值

m与利润y(元)的关系如下表所示(1＜t＜4)：质量指标值m[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，100]利润y6t8t4t2t－53etP0.050.10.150.40.3故每件产品的利润y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(

1＜t＜4)．(10分)则y′＝2.5－0.5et，令y′＝2.5－0.5et＝0，得t＝ln5，故当t∈(1，ln5)时，y′＞0，函数y＝2.5t－0.5et单调递增；当t∈(ln5，4)时，y′＜0，函数y＝2.5t

－0.5et单调递减．所以当t＝ln5时，y取得最大值，为2.5×ln5－0.5eln5＝1.5.所以生产该产品能够盈利，当t＝ln5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值1.5元．(12分)22.(1)解：(解法1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．(1分)由题意f′(x

)＝(x＋1)(ex－ax)＝(x＋1)xex－ax，令xex－a＝0，得a＝xex，令g(x)＝xex，g′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在x∈(0，＋∞)上为增函数，且g(0)＝0，所以

a＝xex有唯一实根，即f′(x)＝0有唯一实根，设为x0，即a＝x0ex0，(3分)所以f(x)在(0，x0)上为减函数，在(x0，＋∞)上为增函数，所以f(x)min＝f(x0)＝x0ex0－a(lnx0＋x0)＝a－alna．(5分)(解法2)f(x)＝xex－a(l

nx＋x)＝elnx＋x－a(lnx＋x)(x＞0)．设t＝lnx＋x，则t∈R.记φ(t)＝et－at(t∈R)，故f(x)最小值即为φ(t)最小值．(3分)φ′(t)＝et－a(a＞0)，当t∈(－∞，lna)时，φ′(t)＜0，φ(

t)单调递减，当t∈(lna，＋∞)时，φ′(t)＞0，φ(t)单调递增，所以f(x)min＝φ(lna)＝elna－alna＝a－alna，所以f(x)的最小值为a－alna．(5分)(2)①解：当a≤0时，f(x)单调递增，f(x)值域为R，不适合题意；(

6分)当a＞0时，由(1)可知f(x)min＝a－alna.设φ(a)＝a－alna(a＞0)，所以φ′(a)＝－lna，当a∈(0，1)时，φ′(a)＞0，φ(a)单调递增，当a∈(1，＋∞)时，φ′(a)＜0，φ(a)单调递减，所以φ(a)max＝φ(1)＝1，即a－alna≤1.

(7分)由已知f(x)≥1恒成立，所以a－alna≥1，所以a－alna＝1，所以a＝1.(8分)②证明：由①可知xex－lnx－x≥1，因此只需证x2＋x＞2lnx＋2sinx.因为lnx≤x－1，只需证x

2＋x＞2x－2＋2sinx，即x2－x＋2＞2sinx．(10分)当x＞1时，x2－x＋2＞2≥2sinx，结论成立；当x∈(0，1]时，设g(x)＝x2－x＋2－2sinx，g′(x)＝2x－1－2cosx，当x∈(0，1]时，

g′(x)显然单调递增．g′(x)≤g′(1)＝1－2cos1＜0，故g(x)单调递减，g(x)≥g(1)＝2－2sin1＞0，即x2－x＋2＞2sinx.综上，结论成立．(12分)