【文档说明】天津市南开大学附中2021届高三上学期第一次月考数学试题【精准解析】.doc，共(15)页，988.000 KB，由小赞的店铺上传

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南开大学附属中学2021届高三年级第一次月考数学学科试卷一、选择题(共9小题；共45分)1.设2Axyx==−，()2ln1Bxyx==−，则RAB=ð（）A.2xx−B.12xxC.11xx−D.【答案】C【解析】【分析】本题首先可以

根据题意得出集合2Axx=以及集合1Bxx=或1x−，然后根据补集的相关性质得出11RBxx=−ð，最后根据交集的相关性质即可得出结果.【详解】因为集合A中2yx=−，所以20x

−，解得2x，集合2Axx=，因为集合B中()2ln1yx=−，所以210x−，解得1x或1x−，集合1Bxx=或1x−，则11RBxx=−ð，11RABxx=−ð，故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，主要考查补集以及交集的相关性质，考查函数的定义域，

能否明确集合中包含的元素是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.2.设,abR，“0a=”是“复数abi+是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当

a=0时，如果b=0，此时0abi+=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果abi+已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义

3.命题01m，，有12mxx+的否定形式是（）A.01m，，有12+mxxB.01m，，使12mxx+C.()()01m−+，，，使12mxx+D.01m，，使12+mxx【答案】D【解析】【分析】由命题

的否定的概念求解，注意存在题词与全称题词的互换．【详解】命题01m，，有12mxx+的否定形式是01m，，使12+mxx．故选：D．【点睛】本题考查命题的否定，书写命题的否定时，除否定结论处，存在题词与全称题词必须互换．4.函数()()2

ln1fxx的图像大致是=+（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.5.复数(

)2133ii−=+（）A.1344i+B.1344i−−C.1322i+D.1322i−−【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.【详解】()()()()()21322313131344313412431232232232233iiiiiiiiiiii−−−−−−−−

−=====+−+++−+，故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，属于基础题.6.已知2log3a=，4log6b=，1.20.4c−=，则()A.abcB.bacC.cabD.cba【答案】C【解析】【分析】利用对数式的运算性质比较a与b的大小，再

比较b，c与2的大小关系得答案．【详解】∵a＝log23＜2，b＝log4622216632logloglog==＜，c＝0.4﹣1.21.255()222=＞＞，∴c＞a＞b．故选C．【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查对数函数与指数函数的性质，是基础题．7.()()()14212xaxfxa

xx=−+，，是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A.()1，+B.)48，C.()48，D.()18，【答案】B【解析】【分析】依题意得到不等式组11402422aaaa−−+解得即可.【详解】因为函数(),14

2,12xaxfxaxx=−+在R单调递增，所以11402422aaaa−−+，解得48a，即)48a，故选：B【点睛】本题考查分段函数的性质，由函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数f(x)=cos(x+3)，则下列

结论错误的是A.f(x)的一个周期为−2πB.y=f(x)的图像关于直线x=83对称C.f(x+π)的一个零点为x=6D.f(x)在(2,π)单调递减【答案】D【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f8π3

＝cos8ππ33+＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cosππ3x++＝－cosπ3x+，∴fππ6+＝－cosππ6

3+＝－cos2＝0，故C正确；由于f2π3＝cos2ππ33+＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在,2上不单调，故D错误．故选D.9.已知函数()()22222xxfx

xx−=−，，函数()()2gxbfx=−−，其中bR.若函数()()yfxgx=−恰有4个零点，则b的取值范围是（）A.74+，B.74−，C.704

，D.724，【答案】D【解析】【分析】函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点，求出并化简()hx的解析式，画出图象可得实数b的取值范

围．【详解】因为()()22222xxfxxx−=−，，，即()()22022,022xxxxfxxx−+=−，，，所以()20224,20xxfxxxxx−=−，，，由y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-

b=0.得b=f(x)+f(2-x)，令h(x)=f(x)+f(2-x)=222,02,0258,2xxxxxxx++−+，2222132(),024()2,025758(),224xxxxhxxxxxx++=++

=−+=−+函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点，作出函数图形如图：结合函数的图象可得，当724b时，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，所以实数b的取值范围是724b故选：D.【点睛】

本题考查函数零点问题的应用，考查函数的图象，考查函数与方程思想和数形结合思想，属于中档题．二、填空题(共6小题；共30分)10.幂函数()24222mymmx−−=−−在()0+，上为增函数，则实数m=_______.【答案】1−【解析】【分析】利用

幂函数定义和单调性可得2221mm−−=且420m−−，联立求解即可.【详解】由幂函数定义得2221mm−−=，解得：3m=或1m=−因为在()24222mymmx−−=−−()0+，上为增函数，

所以420m−−，即12m−，所以1m=−故答案为：1−【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性，属于基础题.11.已知函数()()213log4fxx=−的单调递减区间是___________.【答案】()2,+【解析】【分析】根据对数复合函数的单调区间方法以及定义

域求解即可.【详解】由题，因为()13logfxx=为减函数，故求()()213log4fxx=−的单调递减区间，即求24yx=−的单调递增区间，即)0,+，又对数函数的定义域有240x−，解得()2,x+，故(

)()213log4fxx=−的单调递增区间是()2,+.故答案为：()2,+.【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调区间，属于基础题.12.由123456、、、、、组成没有重复数字且13、都不与5相邻的六位偶数的个数是________【答案】108【解析】【分

析】根据分步计数原理与分类计数原理分类讨论列式求解.【详解】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排列数为22323AA;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为22223AA;从而

所求排列数为222232223233108.AAAA+=【点睛】本题考查排列组合应用，考查基本分析求解能力，属基本题.13.已知二项式3nxx+的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数为______

__．【答案】135【解析】【分析】令二项式中的x＝1，得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．再运用二项式展开式的通项公式可得答案.【详解】令x

＝1，得各项系数之和为(1＋3)n＝4n．由已知得42nn＝64，∴n＝6，∴二项式63xx+的展开式的通项为Tr＋1＝6rC(x)6－r3xr＝3r6rCx3－r(r≤6，r∈N)，令3－r＝1，得r＝2，所以x的系数为9C＝1

35．故答案为：135.【点睛】本题主要考查二项式中的各项系数和二项式系数的性质和区别，令字母为1是求各项系数之和的常用手段，属于基础题.14.甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个

5点或6点的概率是______；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______.【答案】(1).59(2).512【解析】【分析】利用分步乘法计数原理求出所有结果；求出至少出现一个5点或6点的包含的结果；利用列举法

求出甲取胜包含的基本事件的个数，利用古典概型概率公式求出事件的概率.【详解】两人掷同一枚骰子各一次出现的所有结果有6636=种，至少出现一个5点或6点的包含的结果有64420−=种，由古典概型概率公式得至少出现一个5点或6点的概率是20

5369=，甲获胜包含的结果有：()2,1，()3,1，()3,2，()4,1，()4,2，()4,3，()5,1，()5,2、()5,3()5,4，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5共15个，由古典概型概率公式可得：甲取胜的概率为15

53612=，故答案为：59；512【点睛】本题只要考查了分步乘法计数原理以及古典概型概率公式，属于基础题.15.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布

直方图如图所示：（1）直方图中x的值为_________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为_________．【答案】（1）0.0044；（2）70【解析】（1）依题意及频率分布直方

图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044．（2）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，样本数据落在[150，20

0）内的频率为0.006×50=0.3．样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．故答案为0.0044；70．三、解

答题(共5个题；共75分)16.已知1tan()42+=.(1)求tan的值;(2)求2sin2cos1cos2−+的值.【答案】（1）13；（2）16−【解析】【详解】试题分析：（1）利用正切的两角和公式求tan的值；（2）利用第一问的结果求第二问，但需要先将式子

2sin2cos1cos2−+化简，最后变形成关于tan的式子，需要运用三角函数的倍角公式将sin21cos2+、化成单角的三角函数，然后分子分母都除以2cos，然后代入tan的值即可

．试题解析：（1）由1tan3=（2）222sin2cos2sincoscos11tan1cos22cos26−−==−=−+考点：1.正切的两角和公式；2.正余弦的倍角公式.17.ABC中，角A，B，C所对的边分别为,

,abc.已知63,cos,32aABA===+.（1）求b的值；（2）求ABC的面积.【答案】（1）32；（2）322.【解析】【分析】（1）根据6cos3A=求出sinA，根据2BA=+求出sinB，根据正弦定理求出b；（2）先求

出sinC，再利用面积公式即可求出.【详解】（1）在ABC中，由题意知23sin1cos3AA=−=，又因为2BA=+，所有6sinsin()cos23BAA=+==，由正弦定理可得63sin332sin33aBAb===.（2）由2BA=+得3co

scossin2(3)BAA=+=−=−，由ABC++=,得()CAB=−+.所以sinsin[()]sin()CABAB=−+=+sincoscossinABAB=+3366()3333=−+13=.因

此，ABC的面积11132sin3322232SabC===.【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠

时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期

望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）67．【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从

甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=34337CCCkk−（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学

期望为()127EX=．（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为67．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个

部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337CCCkk−（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望()1121841201233535

35357EX=+++=．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(

X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布

的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)nN=样本

容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．19.已知函数()()20fxaxbxca++＝，满足()02f=，()()121fxfxx+−=−（1）求函数()fx的解析式；（2）

当12x−，时，求函数的最大值和最小值.（3）若函数()()gxfxmx=−的两个零点分别在区间()12−，和()24，内，求m的取值范围.【答案】（1）()222fxxx−+＝；（2）max()(1)5fxf=−=，min(

)(1)1fxf==；（3）51,2【解析】【分析】（1）由()02f=得2c=，由待定系数法得a、b的值；（2）利用二次函数的对称轴和单调区间即可求得最值；（3）()()222gxxmx=−++，由题意可得()()()102040ggg−，求解即可.【详解】

（1）由()02f=得2c=，又()()121fxfxx+−=−，得()()22112221axbxaxbxx++++−++=−即221axabx++=−，所以22a=，1ab+=−，解得：1a=，2b=−，所以()222fxxx−+＝，（2）()222fxxx−+＝对称轴1

x=，所以()12121f=−+=，()()()2121125f−−−−+=＝，()222222f−+=＝2，所以min()(1)1fxf==，max()(1)5fxf=−=，（3）()()222g

xxmx=−++，若()gx有2个零点分别在区间()12−，和()24，内，则()()()102040ggg−，即502201040mmm+−−，解得：512m【点睛】本题主要考

查了待定系数法求二次函数的解析，考查二次函数的最值，以及零点分布情况，属于中档题.20.已知函数()fx满足()3223fxxfxxc=+−+（其中23f为()fx在点23x=处的导数，c为常数）.（1）求23f的值；（

2）求函数()fx的单调区间；（3）设函数()()3xgxfxxe=−，若函数()gx在32x−，上单调，求实数c的取值范围.【答案】（1）-1；（2）()fx单调递增区间为13−−，和()()1,fx+，单调递减区间为1(,1)3−；（3）54c−或11c

.【解析】【分析】（1）对函数求导后代入23x=,可求得213f=−,进而求得函数的解析式；（2）求导后利用直接写出单调区间；（3）化简()()2exgxxxc=−−+，利用函数()gx单调递增

转化为导数为非负数，由此求得c的取值范围.【详解】（1）因为()22'32'13fxxfx=+−，所以2'13f=−.（2）由（1）得()3223fxxfxxc=+−+，()2'321(31)(1)fxxxxx=−=+−−，当()'0fx有13x−

或1x，此时函数()fx单调递增；当()'0fx，有113−x，此时函数()fx单调递减，()fx单调递增区间为13−−，和()()1,fx+，单调递减区间为1(,1)3−.（3）()32[)((])xxgxfxxxexce=−−+=−()2

31)(xgxxxce−−+=−，当()gx在区间32，−上单调递增时，()231)0(xgxxxce−−+−=恒成立20310xexxc−−−+设()231hxxxc=−−−+，则()()3020hh−，即11c

；当()gx在区间32，−上单调递减时，()231)0(xgxxxce−−+−=恒成立20310xexxc−−−+设()231hxxxc=−−−+，则94(1)0c=+−，即54c−，综上所述，c的取值范围是54c−或

11c.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性并求参数的取值范围.