【文档说明】河北省石家庄市五校联合体2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(21)页，3.286 MB，由管理员店铺上传

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2022—2023学年度高一下学期5月联考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.1.如图，若向量OZ对应的复数为z，则z表示的复数为（）A.1i+B.1i−−C.1i−D.1i−+【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义即可求解.【详解】由图可知，(1,1)OZ=−，所以z在复平面内所对应的点为(1,1)−，则

1iz=−.故选：C.2.设如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是（）A.ABCD=B.ABDABD+=C.0ADBC+=D.ABADDB−=【答案】D【解析】【分析】由相等向量的定义即可得ABCD=−，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可

知BC错误，D正确.【详解】根据相等向量的概念可得ABDCCD==−，即A错误；由向量的三角形法则可得ABDADBBD==+−，即B错误；易知ADBC=，所以可得2ADBCAD+=，即C错误；由向量的减法法则可得ABADDB−=，所以D

正确；故选：D3.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.8cmB.6cmC.2(13)cm+D.2(12)cm+【答案】A【解析】【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．【详解】由三视图知原图形是平行四

边形OABC，如图，1OAOA==，OBOA⊥，222OBOB==，221(22)3AB=+=，所以平行四边形OABC的周长是8．故选：A．4.若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（）A.3π3B.2

π3C.3πD.2π【答案】A【解析】【分析】根据轴截面求出圆锥的底面半径和高，求出体积.【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高22213SO=−=，故体积为

213π13π33=.故选：A5.若复数11iz=+，()2cosisinRz=+，其中i是虚数单位，则12zz−的最大值为（）A.2B.3C.21−D.21+【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式结合三角恒等变换及三角函数性质求解作答.【详解】复

数11iz=+，()2cosisinRz=+，则12(1cos)i(1sin)zz−=−+−，因此2212||(1cos)(1sin)32(sincos)zz−=−+−=−+π322sin()322214=−++=+，当且仅当ππ2π,Z42k

k+=−，即3π2π,Z4kk=−时取等号，所以12zz−的最大值为21+.故选：D6.在ABC中，2bc=，10a=，3π4A=，则ABCS=（）A.2B.1C.22D.2【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出2c，再利用三角形面积公式求解作答.【详解】在ABC中，2b

c=，10a=，3π4A=，由余弦定理得2222cosbcbcAa+−=，即2223π(2)22cos(10)4cccc+−=，整理得22c=，所以22113π1sin2sin12242ABCSbcAcc====.故选：B

7.设点,,ABC不共线，则“ABACBC+”是“AB与AC的夹角为钝角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算结合充要

条件分析判断.【详解】设AB与AC的夹角为，当ABACBC+时，因为ABACBCCABA+=−uuuruuuruuuruuuruuur，可得222222ABACABACABACABAC+++−，整理得0ABAC，即cos0ABAC

，则cos0，且点,,ABC不共线，所以AB与AC的夹角为钝角；当AB与AC的夹角为钝角时，则cos0ABACABAC=，所以222222ABACABACABACABAC+++−，可得ABACAACB

+−，即ABACBC+；所以“ABACBC+”是“AB与AC的夹角为钝角”的充分必要条件．故选：C．8.粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物

之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9cm，则其内可

包裹的蛋黄的最大体积约为（）(参考数据：62.45,3.14)A.320cmB.322cmC.326cmD.330cm【答案】C【解析】【分析】易知，当球体与正四面体内切时，球体（蛋黄）的体积最大，用等体积法即可求得.【详解】如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1

，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1交AC于F，易知O1为ABC的中心，点F为边AC的中点.易得：32BFa=，则234ABCSa=△，12333BOBFa==，∴221163DOBDBOa=−=，∴3112312DABCABCVSDOa−==，∵221334434

3DABCOABCOBCDOABDOACDOABCVVVVVVarar−−−−−−=+++===，∴2332631212arara==，∴球O的体积3346462727962.453.142631

231288Va===.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中不正确的是（）A.正

四棱柱一定是正方体B.圆柱的母线和它的轴不一定平行C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D.以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【答案】ABD【解析】【分析】根据正四棱柱的定义，圆柱母线的定义，正棱锥的定定义，以及圆锥的性质

，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底圆锥组合体

，故D错误．故选：ABD．10.已知复数12iz=+，212iz=−，则下列说法正确的是（）A.2z的共轭复数不是1zB.12zzC.复数1243izz=−D.复数21zz为纯虚数【答案】ACD的的【解析】【分析】根据给定的条件，利用共轭复数、复数模的意义判断AB；利用复数

的乘除运算判断CD作答.【详解】复数12iz=+，212iz=−，对于A，复数2z的共轭复数212i=+z，不是1z，A正确；对于B，2222122151(2)zz=+==+−=，B错误；对于C，12i()(22ii1)43zz=+=−−，C正确；对于D，21)12

i(1i2i)(2i)5i2i(2i(2i)5zz−−===−−+−=−+是纯虚数，D正确，故选：ACD11.下列说法正确是（）A.若()1,2a=r与()3,bx=−是共线向量，则6x=B.若()2,3a=−，()2,3b=，则a与b可以作为平面内所有向量的基底C.已知BC是圆O的直径，点A

是圆O上异于B、C的点，且3ACAB=，则向量BA在向量BC上的投影向量为14BCD.若1e，2e是单位向量，且12ee⊥，则()2122ee+=【答案】BCD【解析】【分析】利用向量共线即可求出x，根据基底向量的定义即可判断B

，作出图形，根据投影向量的定义即可判断C，根据向量的运算律即可计算D.【详解】对A，由题意得//ab，则312x−=，解得6x=−，故A错误；对B，因为2323−，则a与b不共线，则a与b可以作为平面内所有向量的基底，故B正确；对C，过点A作A

DBC⊥，垂足为D，则则向量BA在向量BC上的投影向量为BD，因为BC为直径，则π2BAC=,因为3ACAB=，则tan3ABC=，显然ABC为锐角，则π3ABC=，则11112224BDABBCBC===，的则向

量BA在向量BC上的投影向量为14BC，故C正确；对D，由题意得()22212112221012eeeeee+=++=++=，故D正确，故选：BCD.12.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F，G分别为BC，1

CC，1BB的中点，则下列结论中正确的是（）A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1AG与平面AEF平行C.点C与点G到平面AEF的距离相等D.平面AEF截正方体所得的截面面积为92【答案】BD【解析】【分析】确定直线AF与直线1DD所成的角判断A；连接11,,ADD

FGF，由线面平行的判定判断B；由平面AEF是否过CG的中点判断C；作出截面，再计算面积判断D作答.【详解】对于A，在正方体1111ABCDABCD−中，11//DDCC，则AFC为直线AF与直线1DD所成的角或其补角，连接AC，由1CC⊥平面ABCD，得1CCAC⊥，

即在RtAFC△中，90ACF=，则AFC不可能直角，直线AF与直线1DD不垂直，A错误；是对于B，连接11,,ADDFGF，由F，G分别为1CC，1BB的中点，得1111////GFBCAD，又1111GFBCAD==，则四边形11ADFG是平行四边形，于是11//AGDF，而四边形11AB

CD是正方体1111ABCDABCD−的对角面，点E为BC中点，有11////ADBCEF，即1AD平面AEF，1AG平面AEF，1DF平面AEF，所以1//AG平面AEF，B正确；对于C，连接CG交EF于H，显然H不是CG的中点，则平面AEF不过

CG的中点，即点C与点G到平面AEF的距离不相等，C错误；对于D，由选项B知，1//ADEF，1AEDF=，即等腰梯形1AEFD为平面AEF截正方体所得的截面，1122,2,5ADEFAEDF====，

等腰梯形1AEFD的高22132()22ADEFhAE−=−=，所以等腰梯形1AEFD面积为1329(222)222+=，D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.i

i1=−______.【答案】11i22−【解析】【分析】根据复数的除法运算即可得到答案.【详解】()()()i1iii1i11ii11i1i1i222−+−−====−−−−+，故答案为：11i22−

.14.已知以O为起点的向量a，b在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则()aab−=______.【答案】2【解析】【分析】以O为坐标原点建立直角坐标系，根据向量坐标化运算即可得()0,2ab−=，再利用向量数量积的坐标运算即可得到答案.

【详解】以O为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设一小格为1单位，则()2,1a=r，()2,1b=−r，()0,2ab−=，则()()()2,10,22aab−==，故答案为：2.15.设m，n是两条不同的

直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是______.①若m，n，mn⊥，则⊥②若//，m⊥，//n，则mn⊥③若⊥，m⊥，//n，则//mn④若⊥，m=，nm⊥，则n⊥【答案】②【解析】【分析】举例说

明判断①③④；利用相关性质推理判断②作答.【详解】对于①，在长方体1111ABCDABCD−中，平面ABCD，平面1111DCBA分别为,，直线11,ABBC分别为直线,mn，显然有m，n，mn⊥，而//，①错误；对于②，因为/

/n，//，当n时，由m⊥，得mn⊥，当n不在平面内时，则存在过直线n的平面与,都相交，令交线分别为,ll，则有////nll，而m⊥，l，于是ml⊥，因此mn⊥，②正确；对于③，在长方体

1111ABCDABCD−中，平面ABCD，平面11DCCD分别为,，直线1,BBAB分别为直线,mn，满足⊥，m⊥，//n，而mn⊥，③错误；对于④，在长方体1111ABCDABCD−中，平面ABCD，平面11DCCD分别为,

，直线1,CDDD分别为直线,mn，满足⊥，m=，nm⊥，而n，④错误，所以正确命题的序号是②.故答案为：②16.如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知60BAC=，求山的高度BC=_______

____m..【答案】600m【解析】【分析】先根据已知条件求解出,AMACM的大小，然后在ACM△中利用正弦定理求解出AC，再根据,ACBC的关系求解出BC.【详解】因为=45,60MADCAB=，所以180456075MAC=−−=，所以180756045MCA=−

−=，又因为cos45400mMAMD==，所以4002mMA=，又因为sin60sin45ACAM=，所以4003mAC=，所以3sin604003600m2BCAC===，故答案为：600m.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将ACM△中的

角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出AC的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度BC的目的.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数1iza=−，21iz=−，其中a是实数.（1）若212iz=−，求实数a的值；（

2）若12zz是纯虚数，求23202311112222zzzzzzzz++++.【答案】（1）1；（2）1−.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出12zz，再利用i乘

方的周期性求解作答.【小问1详解】复数1iza=−，则2212i)(12i2)(iaaza−+=−==−−，又a是实数，因此21022aa−=−=−，解得1a=，所以实数a的值是1.【小问2详解】复数12i,1izaz=−=−，Ra，则12i(i)(1i)(

1)(1)i11i1i(1i)(1i)222zaaaaaaz−+−++−−+−−−−====+−−+，因为12zz是纯虚数，于是102102aa−−=−，解得1a=−，因此12izz=，又1234ii,i1,ii,i1==−

=−=，则*4342414N,ii,i1,ii,i1nnnnn−−−==−=−=，即有*4342414N,iiii0nnnnn−−−+++=，所以2320232342311112222()()()505(iiii)iiii1i1zzzzzzzz++++=++++++=−−=−.18.如

图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.【答案】（1）22（2）12223+【解析】【分析】（1）由正三棱柱、线面垂直性质可得CC

1⊥BC，求出CD，即可得侧棱长；（2）利用棱柱表面积的求法求正三棱柱的表面积.【小问1详解】由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=3，根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC⊂面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=2231

2EDEC−=−=，又D是CC1中点，故侧棱长为22.【小问2详解】底面积为S1=2S△ABC=2×2×132=23，侧面积为S2=311BBCCS=3×2×22=122.所以棱柱表面积为S=S1+S2=122+23.19.已知在ABC中，点M是

BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且ANNB=，设AM与CN相交于点P．记ABm=，ACn=uuurr．的（1）请用m，n表示向量AM；（2）若2nm=，设m，n的夹角为，若1cos4=，求证：CNAB⊥．【答案】（1）3144AMmn=+（2）证明见

解析【解析】【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；（2）以m，n为基底表示出,CNAB，结合已知求0CNAB=可证.【小问1详解】BCACABnm=−=−，由题意得()1144BMBCnm==−，所以()

131444AMABBMmnmmn=+=+−=+．【小问2详解】由题意，1122CNCAANACABmn=+=−+=−．∵2nm=，1cos4=，∴21cos2mnmnm==．∴22211110222

2CNABmnmmnmmm=−=−=−=，∴CNAB⊥．20.如图，在长方形1111ABCDABCD−中，2AB=，11ADAA==．（1）求证：11BCBD⊥；（2）求直线1AB与平面11ABCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见详解（2）1010

【解析】【分析】（1）根据长方体的性质得到11DC⊥平面11BCCB，进而得到1BC⊥平面11ABCD，利用线面垂直的性质进而得证；（2）记1BC交1BC于点O，连接AO，得到1BAO为1AB与平面11ABCD所成的角，在直角三角形中进行求解即可.【小问1详解】在长方体1111A

BCDABCD−中，111DCCC⊥,1111DCBC⊥,1111CCBCC=，111,CCBC平面11BCCB，11DC⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，111BCDC⊥，又11ADAA==，可得11BCBC⊥,1111BCCDC=，1

11,BCCD平面11ABCD，1BC⊥平面11ABCD.1BD平面11ABCD，11BCBD⊥.【小问2详解】记1BC交1BC于点O，连接AO，由（1）得1BC⊥平面11ABCD，所以AO为斜线1AB在平面11ABCD上的射影，1BAO为1AB与平面11ABCD所

成的角.在长方体1111ABCDABCD−中，2AB=,11ADAA==，在1RtBAO中，15AB=，111222BOBC==，11110sin10BOBAOAB==.直线1AB与平面11ABCD所成角的正弦值为1010.21.在锐角A

BC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知()()0abcabcab−+−−+=.（1）求角C；（2）若23c=，求ab+的取值范围.【答案】（1）π3C=；（2）(6,43]．【解析】【分析】（1）由给定的等式，

结合余弦定理求出角C作答.（2）根据（1）的结论，结合正弦定理边化角，再利用三角变换及三角函数的性质求解作答．【小问1详解】在ABC中，由()()0abcabcab−+−−+=，得222abcab+−=，由余弦定理得2221cos22abcCab+−==，又0πC，解得π3

C=，所以π3C=.【小问2详解】在锐角ABC中，由（1）知，2π3BA=−，则π022ππ032AA−，解得ππ62A，由正弦定理得，234sinsinsin32abcABC====，即4si

naA=，4sinbB=，因此314sin4sin(4sin4(cossin)2)223πaAAbAAA+=++−=+π6sin23cos43sin()6AAA=+=+，而ππ2π(,)633A+，有

π3sin()(,1]62A+，于是π43sin()(6,43]6A+，所以ab+的取值范围是(6,43]．22.如图1，四边形ABCD是矩形，将ADC△沿对角线AC折起成ADC，连接DB，如图2，构成三棱锥DABC−.过动点D

¢作平面ABC的垂线DO，垂足是O.（1）当O落在何处时，平面ADC⊥平面ABC，并说明理由；（2）在三棱锥DABC−中，若,ADBDP=为DA的中点，判断直线OP与平面BDC的位置关系，并说明理由；（3）设T是ABC及其

内部的点构成的集合，2,1ABBC==，当OT时，求三棱锥DABC−的体积的取值范围.【答案】（1）O落AC上，理由见解析；（2）直线OP与平面BDC平行，理由见解析；（3）325,615

.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理即得；（2）取AB的中点E，由题可得OEAB⊥，进而可得OEBC∥，利用线面平行的判定定理可得OE平面DBC，PE平面DBC，然后利用面面平行的判定及性质即得；（3）作DNAC⊥交AC于M，可得AC⊥平面MDN，在MDN

中，作DOMN⊥，可得DO⊥平面ABC，然后求DO的取值范围即得.【小问1详解】当O落AC上时，平面ADC⊥平面ABC.因为OAC，所以O平面ADC，所以OD平面ADC.因为DO⊥平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.【小问2详解

】直线OP与平面BDC平行.证明如下：取AB的中点E，连结,,AOBOPE.因为DO⊥平面ABC，所以,DOAODOBO⊥⊥，在RtADO和RtBDO中，,DODOADBD==，所以RtRtADOBDO，所以AOBO=，因为E为AB的中点，所以OEAB⊥，又在矩形AB

CD中，CBAB⊥，所以OEBC∥，因为OE平面,DBCBC平面DBC，所以OE平面DBC，在ADB中，,PE分别为,ADAB的中点，所以PEBD∥，因为PE平面,DBCBD平面DBC，所以PE平面DBC，又在平面POE中，PEEOE=，所以平面PO

E平面DBC，因为PO平面DBC，所以OP平面BDC.【小问3详解】在矩形ABCD中，作DNAC⊥交AC于M，已知2,1ABBC==，由题意知255,.510DMDMMN===在MDN中，作DOMN⊥，交MN于O，沿AC将ADC△折起成ADC后，,.

DMACMNAC⊥⊥又DMMNM=，所以AC⊥平面MDN.因为DO平面MDN，所以ACDO⊥，又DOMN⊥，在平面ABC中，ACMNM=，所以DO⊥平面ABC，因此，当OT时，满足题意的O的集合组成

的图形为线段MN，因为在RtMDO中，222225.5DODMOMOM=−=−所以，当0OM=时，DO取得最大值为255DM=，当510OMMN==时，DO取得最小值为32DN=，因为

四面体DABC的体积为11121332ABCSDODO=，①当DO取得最大值255时，即O与M重合时，四面体DABC的体积取得最大值2515；②当DO取得最小值32时，即O与N重合时，四面体DABC

的体积取得最小值36.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com