【文档说明】江苏省无锡一中2020届高三上学期12月考数学试题【精准解析】.doc，共(27)页，3.641 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省无锡一中2020届高三数学十二月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合23Axx=−，{2,0,2}B=−，AB=________．【答案】{0,2}【解析】【分析】由交集定

义可直接求得结果.【详解】由交集定义可知：0,2AB=I故答案为：0,2【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.设复数(,)zabiabR=+，若12zii=−，则ab+=________．【答案】3−【解析】【分析】由复数乘法运算可得到zi，

根据复数相等可求得,ab的值，进而得到结果.【详解】()12ziabiibaii=+=−+=−12ba=−=−3ab+=−故答案为：3−【点睛】本题考查根据复数相等求解参数值的问题，涉及到复数的乘法运算，属于基础题.3.函数ln()42x

xfx=−的定义域为______．【答案】(0,2)【解析】由0{420xx−，可得02x，所以，函数()ln42xxfx=−的定义域为()0,2，故答案为()0,2.4.某商场在五一黄金周的促销活动中，对5月1日9时至14时

的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为万元．【答案】12【解析】试题分析：由题意得11时至12时的销售额为0.43=12.0.1考点：频率分布直方图5.执行右边的伪代码后，输出的结果是．【答案】28【解析】试题分析：i=1,x=4

;1<10成立，x=6,i=4;4<10成立，x=14,i=7;7<10成立，x=28,i=10;10<10不成立，所以输出的x的值为28；考点：1．算法；6.已知实数x，y满足约束条件30,20,2,xyxyx−++……„则3zxy=+的最小值为

___________.【答案】5−【解析】【分析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可.【详解】解：由实数x，y满足约束条件30,20,2,

xyxyx−++……„，作出可行域如图所示，联立2030xyxy+=−+=，解得(2,1)A−，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点(2,1)A−时，目标函数取最小值，即当2,1xy=−=时，目标函数z取最小值3(2)15−+=−，故答案为5−.【点睛】本题考

查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.7.函数2sin()sin3yxx=−图像的对称轴方程为________．【答案】26kx=+，kZ【解析】【分析】利用两角和差正弦公式、二

倍角公式和辅助角公式可将函数整理为1sin226yx=−+，令262xk+=+，解得x后，即可得到对称轴方程.【详解】22sincoscossinsinsin3sincos33yxxxxxx=−=−1131cos2sin2s

in222226xxx=−−=−+令262xk+=+，kZ，解得：26kx=+，kZ函数的对称轴方程为：26kx=+，kZ故答案为：26kx=+，kZ【点睛】本题考查正弦型函数对称轴的求解问题，涉及到利用两

角和差正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简三角函数的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数性质构造方程求得结果.8.已知正六棱锥底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥体积为_______.【答案】12【解析】试题分析：由题意得六棱锥的

高为，体积为213236212.34=考点：六棱锥体积9.下图是函数2()cos()13(0,||)fxAxA+−=的图象的一部分，则34f=________．【答案】31−【解析】【分析】由最大值可确定A；利用()10f=可求得，进而得

到函数解析式，代入34x=即可求得结果.【详解】()max1fx=2A=()212cos103f=+−=，即21cos32+=Q，即−25333−+233+=，即3=−()22cos

33fxx=−3232cos12cos13143436f=−−=−=−故答案为：31−【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数值的问题；关键是能够通过最值和特殊点确定三角函

数的解析式，属于常考题型.10.如图，ABC是边长为2的正三角形，以A为直角顶点向外作一等腰直角ACD，记DADBm=，DCDBn=，则m，n中较大数的数值为________．【答案】623+【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可知()n

DCDBDCACCBAD==+−，()mDADBDAABAD==−，由数量积运算的定义和性质可求得,mn的值，进而得到结果.【详解】由题意得：2DA=，22DC=，5326DAB=+=，4DCAADC==，73412DCB=

+=()()22cosDADBDAABADDAABADDAABDABAD=−=+=−+22cos42346=+=+234m=+()()DCDBDCABADDCACCBADDCACDCCBDCAD=−=+−=+−()()coscoscosDCACDCADC

CBDCBDCADADC=+−−−5362222cos222cos222cos442462341244−=+−=++=+623n=+，mn，即,mn中较大数为623n=+故答案为：623+【点睛】本题考查平面向量的数量积运算的求解，关键是能够利用平面向量

的线性运算将所求向量转化为已知模长和夹角的向量，进而根据数量积的定义和性质求得结果.11.设x、y均为正实数，且33122xy+=++,以点(x，y)为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为______.【答案】22(4)(4)256xy−+−=.【解析】

试题分析：因为33122xy+=++，所以()81,1yxyy+=−令()10zyz=−，则1,yz=+所以281yyxyy+=−()()2218110991061016zzzzzzzz+++++

===+++=，当且仅当9zz=，即3z=时取等号，此时4,4,yx==半径16xy=，则此时所求圆的方程为()()2244256xy−+−=，故答案为22(4)(4)256xy−+−=.考点：1、圆的标准方程；2、利用基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考察圆的标准方程及

利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注

意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.本题就是利用不等式等号成立的条件进行解答的.12.已知,xyR，则222()xyxy++−最小值为________.【

答案】4【解析】【分析】把所求式子看作两点间距离的平方，再根据直线与曲线位置关系求最值【详解】222()xyxy++−看作两点2(,),(,)AxxByy−之间距离的平方．点A在直线yx=上，点B在曲线2

yx=−上222()12yxxx=−===，取(2,2)−所以2|2(2)|||2||42ABAB−−=，即222()xyxy++−最小值为4.【点睛】本题考查两点间距离公式以及利用

导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.13.已知椭圆22221(0)xyabab+=的上顶点为B，若椭圆上离点B最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率的取值范围为________．【答案】20,2【解析】【分析】设()cos,sinPab，利用两点间距离公式得到PB，利用换

元法得到二次函数的对称轴位置；由最大值取得的位置可确定对称轴位置应在1x=−的左侧，从而得到关于,ac的齐次不等式，进而求得离心率的范围.【详解】由题意得：()0,Bb，设()cos,sinPab为椭圆上任意一点()()22222222cos0sincossin2

sinPBabbabbb=−+−=+−+()222222sin2sinbabab=−−++令()()2222222fxbaxbxab=−−++，1,1x−对称轴为()22222222bbxbaba−=−=−−PB的最大值为2b且在P为椭圆下顶点时取得最大值PB

最大时，1x=−()fx在1,1−上单调递减2221bba−−，即()222222abac=−222ac22212cea=20,2e故答案为：20,2【点睛】本题考查椭圆离心率取值范围的求解问题，关键是能够通过两点间距离公式得到关于距离的函数关

系式，利用二次函数最值取得的位置可确定函数的单调性，进而利用对称轴的位置得到关于,ac的齐次不等式.14.若函数2(0)()5fxaxbax+=+对任意实数t，在闭区间[2,2]tt−+上总存在两个实数1x，2x，使得12()()8fxfx−成立，则负数a的

最大值为________．【答案】2−【解析】【分析】由二次函数的性质可将所求问题转化为当2bta=−时，()()28ftft−+，代入函数解析式可得到4428atab−−−，令2bta=−可得到关于a的不等式，解不等式求得结果.【详解】由解析式可知：()fx为开口方向向下的二次

函数在2,2tt−+上总存在两个实数12,xx，使得()()128fxfx−成立，只需满足2,2tt−+的中点是对称轴时，即当2bta=−时，()()28ftft−+即可，()()2252254428atbtatbtatab++−+

−+−=−−−代入2bta=−得：48a−2−a，即负数a的最大值为2−故答案为：2−【点睛】本题考查根据二次函数的性质求解参数的问题，关键是能够将已知的恒成立的不等式转化为区间端点处的函数值与对称轴处函数值的差的不等式，进而得到所求参数所满足的不等关系.二、解答题

（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且23coscos3bcCAa−=．（1）求A的值；（2）若B=30°，BC边上的中线AM=7，求△ABC的面积．【答案】（1

）30A=；（2）3【解析】试题分析：（1）利用条件结合正弦定理可得2sin3sincoscos3sinBCCAA−=，化简整理可得2sincos3sinBAB=，求出3cos2A=即可；（2）设出边长利用余弦定理建立方程，求出2ACBC==，再利用面积公式即

可求解．试题解析：（1）23coscos3bcCAa−=，2sin3sincoscos3sinBCCAA−=2sincos3sin()BAAC=+sin()sin,2sincos3sinACBBAB

+==因为3sin02cos3cos2BAA，，即==又018030AA（，），=（2）3030AB，，==120,CACBC==设2,ACx=则CMx=，在ACM中，由余弦定理得：2222

cosAMACMCACMCC=+−222427xxx++=，解得1x=ABCAMCABC2,212sin213221322ACBCSSSCMACC======点睛：解决三角形中

的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能

写出角的大小.16.在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB，E为PA的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．【答案】（1）证明见解析；（

2）求证明见解析.【解析】【详解】（1）取PD的中点F，连接EF，CF．因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF＝12AD．因为BC∥AD，BC＝12AD，所以EF∥BC，EF＝BC．所以四边形BCFE为平行四边形．所以BE∥CF

．因为BEË平面PCD，CFÌ平面PCD，所以BE∥平面PCD．（2）因为AB＝PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．因为BE∥CF，所以PA⊥CF．因为PA⊥PD，PD在平面PCD内，CF在平面PCD内，PD∩CF＝F，所以PA⊥平面PCD．因为PA⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD

．17.如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中ABBC⊥，EFDF⊥，DFAB⊥，,,CEF三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得3ABkm=，4BCkm=，94DFkm=，3EFkm=，32ECkm=．若以,OAOD所在直线分别

为,xy轴建立平面直角坐标系xOy，则河岸DE可看成是曲线xbyxa+=+（其中,ab为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线ykxm=+（其中,km为常数）的一部分．（1）求,,,abkm的值；（2）现准备建一座桥MN，其中,MN分别在,DEAC上，且MNA

C⊥，设点M的横坐标为t．①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式()lft=，并注明定义域；②当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？【答案】（1）47ab=−=−，432km==−（2）①19()49,(03)54lftttt==+−−②当52t=时，取得最小值，最

小值为1km【解析】【分析】（1）将,DE坐标代入xbyxa+=+，,AC坐标代入ykxm=+，可构造出关于所求量的方程组，解方程组可求得结果；（2）①设7,4tMtt−−，利用点到直线距离公式可表示出()lft=；根据,DE向AC作垂线时，垂足都在线段AC上

，可得t的取值范围，进而得到所求函数关系式和定义域；②利用基本不等式可求得94954tt+−−−，从而得到()ft的最小值，即为l的最小值；根据基本不等式的取等条件可确定t的取值.【详解】（1）将70,4D，()3,4E两点坐标代入到xbyxa

+=+中，得：74343baba=+=+解得：47ab=−=−将3,02A，9,44C两点坐标代入到ykxm=+中，得：302942kmkm=+=+解得：432km==−（2）①由（1）知直线AC

的方程为423yx=−，即4360xy−−=设M点的坐标为7,4tMtt−−，则227436194495443tttltt−−−−==+−−+又由点,DE向直线AC作垂线时，垂足都在线段AC上03t()()19490354lftttt=

=+−−②03t144t−则()()99949447744444tttttt+−=−++=−−+−−−()9724472654tt−−=−=−−（当且仅当()9444tt−=

−，即52t=时取等号）即()1914951545lfttkmt==+−=−即当52t=时，l取得最小值，最小值为1km【点睛】本题考查根据给定的函数模型求解实际问题，涉及到点到直线距离公式的应用、利用基

本不等式求解最值的问题；关键是能够利用点到直线距离公式得到函数关系式，并将所给函数关系式整理为符合基本不等式的形式，进而利用基本不等式求得最值.18.己知椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=经过点2,12，()0,1F是C的一个

焦点，过F点的动直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求OAB面积的最大值；（3）在y轴上是否存在定点M（异于点F），对任意的动直线l（斜率存在）都有0MAMBkk+=，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212yx+=（2）22（3）存在定点(0,

2)M，对任意的动直线都有0MAMBkk+=【解析】【分析】（1）由焦点坐标知1c=；根据椭圆定义和两点间距离公式可构造方程求得a，结合222bac=−即可求得椭圆方程；（2）设直线:1lykx=+，与椭圆方程联立可得

韦达定理的形式，用k表示出12xx−；根据1212OABSOFxx=−可得到关于k的函数的形式；利用换元法，结合二次函数性质可求得所求的最大值；（3）设存在点()()0,1Mmm，使得0MAMBkk

+=；结合（2）中的韦达定理表示出MAMBkk+，整理得到()220km−=，从而求得2m=，得到所求定点M.【详解】（1）()0,1F是椭圆C的一个焦点椭圆的另一个焦点为()0,1−且1c=由椭圆定义知：()()22222220110112222a

=−+−+−++=2a=222211bac=−=−=椭圆C的方程为：2212yx+=（2）,,OAB三点不共线直线l斜率存在，可设为：1ykx=+由22112ykxyx=++=得：()222210kxkx

++−=设()11,Axy，()22,Bxy，则12222kxxk+=−+，12212xxk=−+()22121212222242kxxxxxxk+−=+−=+()()()22122222222221222222222

OABkkSOFxxkkkk+−+=−===−+++++令212tk=+，则10,2t222OABStt=−+当12t=时，()2max1222tt−+=()max22OABS=即OAB面积的最大值为22（3）假设存在点()()0,1Mmm，使得

0MAMBkk+=由题意知，直线l的斜率存在，可设为1ykx=+设()11,Axy，()22,Bxy，由（2）知：12222kxxk+=−+，12212xxk=−+()12121212121211210MAMBymymkxmkxmxxkkkmxxxxx

x−−+−+−++=+=−+=+=即()()()22222122122021kkkmkmkkmk−++−=+−=−=+−2m=时，等式恒成立在y轴上存在定点()0,2M，对任意的动直线l都有0MA

MBkk+=【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的三角形面积的求解和定点问题的求解；求解定点问题的常用方法是利用某一变量表示出所给的等量关系，利用恒成立的思路消除变量

的影响得到定点.19.已知函数()()212fxlnxaxxaR=−+，函数g（x）=-2x+3．（1）当a=2时，求f（x）的极值；（2）讨论函数()()()12Fxfxagx=+的单调性；（3）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈

[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．【答案】（1）f（x）极大值=f（1）=0，无极小值（2）当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在10a，单调递增，在1a+

，单调递减（3）114．【解析】【分析】（1）当a=2时，利用导数求得函数()fx的单调区间，进而得到极值．（2）求得()()211'axaxFxx−+−+=，分a≤0和a＞0，两种情况讨论，即可得出函数的单调区间；（3）把不等式转化为f（x2）-f（x1）≤

t[g（x1）-g（x2）]，得到f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，令()()()hxfxtgx=+，得到h（x）在[1，2]递减，求得()1120hxaxtx=

−+−对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立，进而转化变量只需要研究()0maxHa，即可求得t的取值范围.【详解】（1）由题意，当a=2时，函数f（x）=lnx-x2+x，则()()()()2121210xxxxfxxxx−−+−++==＞．易知f（x）在（

0，1）递增，（1，+∞）递减，所以函数f（x）极大值为()10f=，无极小值．（2）由函数()()()()()211310222Fxfxagxlnxaxaxax=+=−+−+＞，则()()2111'1axaxFxaxaxx−+−+=−+−=．①a≤0时，()'Fx＞0，恒成立，∴F（x）在

（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由()'Fx＞0得10xa＜＜，()'Fx＜0得1xa＞，所以F（x）在10a，单调递增，在1a+，单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时

，F（x）在10a，单调递增，在1a+，单调递减．（3）由题知t≥0，()21axxfxx−++=．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，又g（x）单调递减，∴不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1

）-g（x2）]．即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记()()()()211232hxfxtgxlnxaxtxt=+=−+−+，则h（x）在[1，2]递减．()1120hxaxtx=−+−对任意a∈[-2，

-1]，x∈[1，2]恒成立．令()11221Haxatax=−++−−−，，．则()1()22120maxHaHxtx=−=++−在[1，2]上恒成立，则1212txx−+，而12yxx=+在[1，2]单调递增，∴19(2)2maxxx+

=，所以114t．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出

最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，考查运算求解能力，以及函数与方程思想，是难题．20.若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”．（1）若数列na

为“阿当数列”，且113am=−，21am=，34a=，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列na为“阿当数列”，且其前n项和nS满足2nSnn+？请证明你的结论；（3）已知等比数列na的每一项均为正整数，且

na为“阿当数列”，23nnba=，5(1)2nnnacn−=+，当数列nb不是“阿当数列”时，试判断数列nc是否为“阿当数列”，并说明理由．【答案】（1）()1,0,2−+；（2

）不存在首项为1的等差数列na为“阿当数列”，详见解析；（3）当14nna−=时，数列nc是“阿当数列”；当132nna−=时，数列nc不是“阿当数列”【解析】【分析】（1）由“阿当数列”

定义可知122−aa且322aa−，由此得到不等式，解不等式求得m范围；（2）假设存在满足题意的na，则其公差2d，由等差数列求和公式可构造不等式，得到22211ndnn=+−−，由2221n+−知2d，与假设矛盾，故不存在满足题意的

na；（3）设11nnaaq−=，且每一项均为正整数，由“阿当数列”定义得()112nnnaqaa+−=−，可知10,1aq，从而得到数列()12nnaan−−中，21aa−为最小项；同理得到数列()12nnbnb−−中，21bb−为最小项；由最小项和na为正整数可

确定()113−=aq，从而求得1a和q，得到14nna−=或132nna−=；①当14nna−=时，令1nnndcc+=−，可验证出nd为递增数列；又1212dcc=−，可知nc为“阿当数列”；②当132nna−=

时，由通项公式知nc为递减数列，则2102−cc，可知nc不是“阿当数列”.【详解】（1）由题意得：2111332−=−+=aamm，32142−=−aam即12120−−=mmm，解得：

12m或0mm的取值范围为()1,0,2−+（2）假设存在首项为1的等差数列na为“阿当数列”，设公差为d，则2d由11a=可得：()12nnnSnd−=+又()2nnnNSn+()212nnndnn−++对任意nN恒成

立即21−ndn对任意nN恒成立222211nnn=+−−且2lim21→=−nnn2d，与2d矛盾不存在首项为1的等差数列na为“阿当数列”（3）设等比数列na的公比为q，则11nnaaq−=，

且每一项均为正整数na为“阿当数列”()111112nnnnnaaqaqaqa−+−−==−10a，1q()1111(1)nnnnnnaaaqaqaa+−−−=−−=−在数列()12nnaan−−中，21aa−为最小项同理，在数列

()12nnbnb−−中，21bb−为最小项由na为“阿当数列”，只需122−aa，即()112−aq数列nb不是“阿当数列”122bb−，即()113−aq由数列na每一项均为正整数，可得：()113−=aq11a=，4q=或13a=，2

q=①当11a=，4q=时，14nna−=，则()()13554212121−+−−===+++nnnnnnacnnn令()1nnnnNdcc+=−，则()()4332222112nnnnndnnnn+++=−=++++()()()()

()()324311222202312213nnnnnnnnnddnnnnnnn+++++++−=−=+++++++即数列nd为递增数列111221nnnnnncccccccc+−−−−−−−，213288233cc−=−=，所以

对任意nN，都有12+−nncc，即数列nc是“阿当数列”；②当13a=，2q=时，132nna−=，则()()155324812121−−−===+++nnnnnacnnn数列nc是递减数列，2102−cc数列nc不是“阿当数列”综上

所述：当14nna−=时，数列nc是“阿当数列”；当132nna−=时，数列nc不是“阿当数列”【点睛】本题考查数列中的新定义问题，对于新定义问题，首先需要明确新定义所表示的具体含义，进而根据定义得到数列中的项所需满足的关系式；本题中“阿当数列”的

定义实际是对数列单调性的要求，即na为“阿当数列”，则要求12nnaa+−，从而将问题转化为数列单调性的证明；本题对学生分析问题的能力要求较高，属于较难题.附加题（共4题，满分40分）21.设矩阵021aM=的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为221xy+=．求曲线

C的方程．【答案】22841xxyy++=【解析】【分析】首先确定矩阵的特征多项式，由特征值可求得2a=；从而得到22xxyxy==+，代入已知方程即可求得结果.【详解】由题意知，矩阵M的特征多项式：

()()()1fa=−−矩阵M有一个特征值为2()20f=，解得：2a=即22xxyxy==+，代入方程221xy+=得：()()22221xxy++=即曲线C的方程为：22841xxyy++=【点睛】本题考查根据矩阵变换下的方程求解曲线方程的问题，关键是能够利用特征值和特征

多项式得到变换原则，进而求得曲线方程.22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是222422xtyt==+（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为2cos4=+．（1）求直线l的普

通方程和圆C的直角坐标方程；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【答案】（1）圆C的直角坐标方程为22220xyxy+−+=，直线l的普通方程为420xy−+=（2）26【解析】【分析】（1）利用两角和差余弦公

式展开2cos4=+，左右同乘后，根据极坐标与直角坐标互化原则可得圆C的直角坐标方程；参数方程消去参数t后，即可得到直线l的普通方程；（2）所引切线长最小时，直线上的点到圆心的距离恰为圆心

到直线的距离d，利用点到直线距离求得d，得到切线长的最小值为22dr−.【详解】（1）2coscos2sinsin2cos2sin44=−=−22cos2sin=−，即2222xyxy+=−圆C的直角坐标方程为：22220xyxy+−+=由2224

22xtyt==+消去t得：42yx−=直线l的普通方程为：420xy−+=（2）由（1）知，圆C的圆心为22,22−，半径1r=圆心到直线l距离242511d+==+直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为222512

6dr−=−=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程、直线与圆位置关系中的切线长的最值的求解问题，属于常考题型.23.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，ABC是直角三角形，1ABAC==，12AA=，点P是棱1

BB上一点．（1）若113BPBB=，求直线PC与平面1ABC所成角的正弦值；（2）若二面角1PACB−−的正弦值为23，求BP的长．【答案】（1）2233；（2）2【解析】【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系（1）利用线面角的空间向量求法可直接求得所求的正弦值；（2）

根据二面角的正弦值及二面角为锐二面角，可得其余弦值为53；设()()1,0,02Ppp，利用二面角的空间向量求法可构造出关于p的方程，解方程求得p，进而得到BP的长.【详解】由题意知：1,,ABACAA两两互相垂直，则以A为

原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0A，()1,0,0B，()0,1,0C，()10,0,2A，()11,0,2B，()10,1,2C（1）113BPBB=21,0,3P

则21,1,3PC=−−，()11,0,2AB=−，()1,1,0BC=−uuur设平面1ABC的一个法向量(),,nxyz=1200nABxznBCxy=−==−+=，令1z=，则2x

=，2y=()2,2,1n=r2223cos,332233PCnPCnPCn===即直线PC与平面1ABC所成角的正弦值为2233（2）设()()1,0,02Ppp，则()11,0,2APp=−，()10,1,2AC=−设平面

1APC的一个法向量()000,,=mxyz则()1001002020mAPxpzmACyz=+−==−=，令01z=，则02y=，02xp=−()2,2,1mp=−由（1）知：平面1ABC的一个法向量()2,2,1n=r()292cos,325mnpm

nmnp−==−+二面角1PACB−−为锐二面角且正弦值为23二面角1PACB−−的余弦值为53()29253325pp−=−+解得：2p=或18p=−（舍）()1,0,2P，即P与1B重合12BPBB==【点睛】本题考查空间向量法求

解立体几何中的线面角、二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间中的角的向量求法，易错点是忽略P在棱1BB上的要求，造成求得p的值时，出现增根.24.已知n位数满足下列条件：①各个数字只能从集合1,2,3,4中选取；②若其中有数字4，则在4的前

面不含2，将这样的n位数的个数记为na．（1）求2a，3a，并求数列na的通项公式；（2）对于集合12,,,(3)nAaaan=，定义集合|,1ijSxxaaijn==+，求集合S中所有元素之和．【答案】（1）215a=，354a

=，()133nnan−=+；（2）()()22353514nnnn+−−−【解析】【分析】（1）由n位数需满足的条件，分别根据n位数中所含4的个数来进行分类讨论，利用分类加法计数原理即可求得23,aa，同时可得到递推关系式133nnnaa+=+；采用构造法可构造出等差数列

13nna−，利用等差数列通项公式求法求得13nna−，进而得到na；（2）根据集合S的特点，可知其所有元素之和对于集合A中每个元素都包含了()1n−个；利用错位相减法可求得集合A中所有元

素之和，进而得到所求结果.【详解】（1）当2n=时，若数字中不含4，则共有239=个两位数；若数字中含1个4，则共有325+=个两位数；若数字中含有2个4，则共有1个两位数29615a=+=当3n=时，若

数字中不含4，则共有3327=个三位数；若数字中含1个4，则共有236419++=个三位数；若数字中含2个4，则共有3227++=个三位数；若数字中含有3个4，则共有1个三位数327197154a=+++

=14a=，213315aa=+=，323954aa=+=，……，()133nnnaanN+=+11133nnnnaa+−=+，即数列13nna−是以1043a=为首项，1为公差的等

差数列()141133nnann−=+−=+()133nnan−=+（2）由（1）知：()14,15,54,,33nAn−=+设S中所有元素之和为nTS中每个元素均为A中两个不同元素之和nT中，A中每个元素都有()1n−个令()()012214353

632333nnnPnn−−=+++++++()()123134353632333nnnPnn−=+++++++两式作差得：()()()()1121313243333343313nnnnnPnn−−−−=−+++++=−++

−()()5253335543332222nnnnnnn−+−=−++=−+=()25354nnnP+−=()()()223535114nnnnnnTnP+−−−=−=即集合S中

所有元素之和为()()22353514nnnn+−−−【点睛】本题考查数列中的新定义运算的问题，涉及到构造法求解数列的通项公式、错位相减法求解数列的前n项和等知识；关键是能够通过数字排列规律得到数列的递推关系式，进而构造出等差数列的形式；求解元素之和时，关键是能够

确定对于集合A中每个元素的使用次数，进而转化为集合A中元素求和的问题.