【文档说明】【精准解析】专题59二项式定理-（文理通用）【高考】.docx，共(20)页，983.069 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-12d76ced7744b40701794c27a88040b4.html

以下为本文档部分文字说明：

专题59二项式定理最新考纲会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识融会贯通1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)

二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第k＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})2.二项式系数的性质(1)C0n＝1，Cnn＝1.Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.(2)Cmn＝Cn－mn.(3)当n是偶数时，1

2nT+项的二项式系数最大；当n是奇数时，12nT+与112nT++＋1项的二项式系数相等且最大．(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.【知识拓展】二项展开式

形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)

二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.重点难点突破【题型一】二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数【典型例题】的展开式中，含x3项的系数为（）A．﹣60B．﹣12C．12D．60【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1•（﹣2）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝3

，求得r＝1，可得含x3项的系数为﹣12，故选：B．【再练一题】（x﹣1）（3x2+1）3的展开式中x4的系数是（）A．27B．﹣27C．26D．﹣26【解答】解：∵（x﹣1）（3x2+1）3＝（x﹣1）（27x6+27x4+9x2+1），故展开式中x4的系数是为1×（﹣27）＝﹣27，故

选：B．命题点2已知二项展开式某项的系数求参数【典型例题】若（）n的展开式中存在常数项，则n的值可以是（）A．8B．9C．10D．12【解答】解：（）n的展开式的通向公式为Tr+1•，令0，求得2n＝5r，故n为5的偶数倍，故选：C．【再练一题】若x（x）5的展开式中常数项为270，则实

数a＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由（x）5的展开式的通项得：Tr+1（）5﹣rxr＝a5﹣rx2r﹣5，令2r﹣5＝﹣1，得r＝2，即x（x）5的展开式中常数项为a3，又x（x）5的展开式中常数项为270，则a3270，解得a＝3，故

选：C．思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．【题型二】二项式系数的和与各项的系数和问题【典型例题】（x）5的展开式中系数为有理数的各项系数

之和为（）A．1B．20C．21D．31【解答】解：由二项式展开式通项得：Tr+12xr，又0≤r≤5，r∈N，由∈Z，得r＝2或r＝5，即（x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为221，故选：C．【再练一题】（2x﹣3y）n（n∈N*

）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（）A．16B．32C．64D．128【解答】解：∵（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，∴•2n﹣1•（﹣3）•2

2•（﹣3）n﹣2，检验可得，n＝4，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于2n＝16，故选：A．思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f(x)＝a0＋a1x

＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.【题型三】二项式定理的应用【典型例题】若（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1

（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，则a3＝（）A．﹣70B．28C．﹣26D．40【解答】解：令t＝x﹣3，则（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，可化为（t+1）5﹣3

（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，则a33••3＝10﹣36＝﹣26．故选：C．【再练一题】502019+1被7除后的余数为．【解答】解：502019+1＝（1+72）2019+1＝1•（72）2（72）2

019+1＝72（•72•（72）2018）+2．∴502019+1被7除后的余数为2，故答案为：2．思维升华(1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求

解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．基础知识训练1．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（）A．20B．15C．10D．5【答案】D【解析】由题意知

的展开式的各项系数和为32，即，解得，则二项式的展开式中的项为，所以的系数为5，故选D。2．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】的展开式中的系数为()A．B．C．D．【答案】A【解析】二项式的展开式的通项公式为Tr+1•（﹣2）r•，令

3，求得r＝1，可得展开式中的系数为﹣12，故选：A．3．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】已知()()511xax+−的展开式中2x的系数为58−，则a=（）A．1B．12C．13D．14【答案】D【解析】根据题意知，()51ax−的展开式的通项公式为()5rrrCax

−，∴展开式中含x2项的系数为22155CaC−a＝58−，即102a﹣5a＝58−，解得a＝14．故选：D．4．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知5(1)(2)xxa++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含3x项的系数是（）A．-40B．-20C．20D．40【答案】D

【解析】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二项式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展

开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40故选：D．5．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】已知(1)nx+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且01(1)nxaax+=++22nnaxax++,若12242naaa+++=,

则4()xx+展开式中常数项()A．32B．24C．4D．8【答案】B【解析】因为(1)nx+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，所以23nnCC=，因此5n=，又5205125(1)xaaxaxax+

=++++，所以01a=，令1x=，则01525(1)aaaa+=++++，又125242aaa+++=，所以55(3)3124+==，因此2=，所以42()xx+展开式的通项公式为44214422kkkkkkkkTCxxCx−−−+==，由420k−=得2k=，因此42()x

x+展开式中常数项为2234224TC==.故选B6．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成

就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为12n−，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（）A．110B．114C．124D．125【答案】B【解析】由题意，n次二项式系数对应的杨辉三角形

的第1n+行，令1x=，可得二项展开式的二项式系数的和2n，其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n行的数字之和为122112nnnS-==--，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3

,4,可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2nnnT+=，令(1)152nn+=，解得5n=，所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114−−=，即前15项的数字之和为114，故选B.7．【江

西省新八校2019届高三第二次联考】若二项式32nxx−的展开式中第m项为常数项，则m，n应满足（）A．()341nm=+B．()431nm=+C．()341nm=−D．()431nm=−【

答案】C【解析】32nxx−展开式的通项公式为：()431322rrnrrnrrrnnTCxCxx−−+=−=−第m项为：()()411132mnmmnCx−−−−−由()4103mn−−=得：()341nm=

−本题正确选项：C8．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】已知257017(232)(1)+−−=++xxxaaxax，则0246aaaa+++=()A．24B．48C．72D．96【答案】B【解析】令1x=，则012345670aaa

aaaaa+++++++=令1x=−，则()5012345673296aaaaaaaa−+−+−+−=−−=两式作和得：()0246296aaaa+++=024648aaaa+++=本题正确选项：B9．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试】若()52axxx+−

展开式的常数项等于-80，则a=（）A．-2B．2C．-4D．4【答案】A【解析】由题意3325(1)80Ca−=−，解得2a=−．故选A．10．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】()5221xx−−的展开式中2x的系数为（）A．400B

．120C．80D．0【答案】D【解析】∵()525521(1)(21)xxxx−−=−+，二项展开式5(1)x−的通项为55(1)rrrCx−−，二项展开式5(21)x+的通项式为5555C(2)(1)(21)kkxxx−−+，的通项为510()55(1)2rkrkkrCCx−−+−，所

以8kr+=，所以展开式中2x的系数为5253444355555553(1)2(1)2(1)0CCCCCC−+−+−=.11．【河北省石家庄市第二中学2019届高三第一学期期末】在4(1)xx++的展开式中，2x项的系数为_______（结果用数值表示）.【答案】19【

解析】由于：()022xxx=，()22xxx=，()420xxx=，据此结合排列组合的性质可得2x项的系数为：202121040422431440612119CCCCCCCCC++=++=.故答案为：19．12．【安徽省泗县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月

考】若1(2)nxx−展开式中含21x项的系数与含41x项的系数之比为-4，则n=_____．【答案】8【解析】二项式1(2)nxx−的展开式的通项为211(2)()(1)2rnrrrnrrnrrnnTCxCxx−−−+=−=−(0,1,2,

,)rn=，令22nr−=−，得22nr+=，所以含21x项的系数为222222(1)2nnnnnC+++−−222222(1)2nnnnC+−+=−；令24nr−=−，得42nr+=，所以含41x项的系数为444222(1

)2nnnnnC+++−−444222(1)2nnnnC+−+=−．由题意得222444222222(1)24(1)2nnnnnnnnCC+−++−+−=−−，整理得24222nnnnCC++=，∴!!2(1)!(1)!(2)!(2)!

2222nnnnnn=+−+−，解得8n=．故答案为：8．13．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】()5212xx+−展开式中的6x的系数为_______【答案】30【解析】利用组合知识，含6x的项可以分3种情况取得，第一种取3个22x−，剩余两个取1，即3235(2)Cx−.第

二种选2个括号提供22x−，剩余的3个括号中选2个取x，剩余1个取1，即2222253(2)CxCx−，第三种5个括号选一个取22x−，剩余4个取x，即124454(2)CxCx−，合并同类项，系数为80+1201030−−=，故填30.14．【江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七

校2018-2019学年高二下学期期末考试】组合恒等式11mmmnnnCCC−++=，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求()11nx++和()()11nxx++的展开式中mx的系数．前者()11nx++的展开式中mx的系数为1mnC+；后者

()()11nxx++的展开式()()01111mmmmnnnnnnnxCCxCxCxCx−−+++++++中mx的系数为1111mmmmnnnnCCCC−−+=+.因为()()()1111nnxxx++=++，则两个展开式中mx的系数也相等，即11mmmnnnCCC−++=．请

用“算两次”的方法化简下列式子：()()()()2222012nnnnnCCCC++++=______．【答案】2nnC【解析】因为2(1)(1)(1)nnnxxx+=++，则两个展开式中nx的系数也相等，在2(1)nx+中nx的系数为2nnC，而在01220122(1

)(1)()()nnnnnnnnnnnnnnxxCCxCxCxCCxCxCx++=++++++++中nx的系数为011002122()()()nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCC−+++=+++，所以可得021222()()()nnnnnnCCCC+++=.15．【安徽

省泗县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考】若2701277()(12)fxxaaxaxax=+=++++.求：（1）017aaa+++；（2）1357aaaa+++；（3）0127aa

aa++++.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x=，可得301235674()3271faaaaaaaa==+++++++=，∴4012356727aaaaaaaa++++++=+．①（2）令1x=−可得301235674(1)(

1)faaaaaaaa−=−=−+−+−+−，∴401235671aaaaaaaa+−+−+−=−−．②由①−②得13572()28aaaa+++=，∴135714aaaa+++=．（3）由题意得二项式7(12)x+展开式的通项为177(2)2rr

rrrrTCxCx+==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)iai=，∴01235017647227aaaaaaaaaaaa++++=++++++=+．16．【江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期末考试】已知()*23nxnNx−的展开

式中第五项的系数与第三项的系数的比是91∶．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中中间项．【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）924540Tx−=−.【解析】解：()1由题意知，展开式的通项为：52123()(3)(0rnrrnrrrrnnTCxCx

rnx−−+=−=−，且)rN，则第五项的系数为44·(3)nC−，第三项的系数为22·(3)nC−，则有4422·(3)9·(3)1nnCC−=−，化简，得42nnCC=，解得6n=，展开式中各项二

项式系数的和6264=；()2由（1）知6n=，展开式共有7项，中间项为第4项，令3r=，得924540Tx−=−．17．【青海省海东市第二中学2018-2019学年高二下学期7月月考】已知213nxx+的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比

是14:3.（1）求n；（2）求展开式中有理项．【答案】（1）10；（2）5,5x.【解析】（1）由题意知42:14:3nnCC=，()()()()1231144!2!3nnnnnn−−−−=，化简，得25500nn−−

=．解得5n=−（舍），或10n=．（2）设该展开式中第1r+项中不含x，则()101052221101033rrrrrrrTCxxCx−−−−+==，依题意，有105052r−=或，2r=或0．所以，展开式中第一项和第三项为有理项，且51Tx=，2231035TC−==．18．【江苏省泰州市

田家炳中学2017-2018学年度第二学期高二第二次学情调研】已知12nxx+展开式前三项的二项式系数和为22．（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）6；（2）60；（3）32160x.【解析】解：由题意，1(2)nxx+

展开式前三项的二项式系数和为22．(1)二项式定理展开：前三项二项式系数为：()01211222nnnnnCCCn−++=++=，解得：6n=或7(n=−舍去)．即n的值为6．(2)由通项公式366621661(2)()2kkkkkkkTCxCxx−−−+==，令3602

k−=，可得：4k=．展开式中的常数项为1264642416260TCx−−+==；()3n是偶数，展开式共有7项.则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为936363223162160TCxx−−+==．19．【陕西省西安市蓝田县2018-2

019学年高二下学期期末考试】已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m.（I）求m的值；（II）求342mxx+的展开式中的常数项.【答案】（I）12；（II）672.【解析】（I）所有不同的排法种数132312mCA

=•=.（II）由（I）知，39422mxxxx+=+，92xx+的展开式的通项公式为932192rrrrTCx−+=，令9302r−=，解得3r=，展开式中的常数项为3392672C=.20．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模

)】（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简0112233434343434CCCCCCCC+++．案例：考察恒等式523(1)(1)(1)xxx+=++左右两边2x的系数．因为右边2301220312232223333(1)(1)()()xxC

CxCxCxCxCxC++=+++++，所以，右边2x的系数为011223232323CCCCCC++，而左边2x的系数为25C，所以011223232323CCCCCC++＝25C．（2）求证：22212220(1)()(1)nrnnnnnrrCnCnC−−=+−=+．

【答案】(1)37C；(2)见解析.【解析】（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数，因为右边（1+x）3（x+1）4＝（03C+13Cx+23Cx2+33Cx3）（44Cx4+34Cx3+24Cx2+14Cx+04C），所以，右边x3的系数

为0122334343104334CCCCCCCC+++＝0112233434343434CCCCCCCC+++而左边x3的系数为：37C，所以011223343434343347=CCCCCCCCC+

++．（2）∵r11n!(n1)!C(r1)!(nr)!(r1)!(nr)!rnnrCnn−−−===−−−−，220(1)()nrnrrC=+=222000()2()()nnnrrrnnnrrrrCrCC===++2

121211110()2()nnnrrrrnnnnrrrnCnCCC−−−−====++．考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右两边xn的系数．因为右边xn的系数为0011...nnnnnnnnCCCCCC+++＝()20nrrnC=

，而左边的xn的系数为2nnC．所以220()nrnnnrCC==，同理可求得1211221()nrnnnrCC−−−−==考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右两边xn﹣1的系数，因为右边（1+x）n﹣1（x+1）n＝（01nC−+11nC−x+…+11nnC−−x

n﹣1）（0nCxn+1nCxn﹣1+…+nnC），所以，右边的xn﹣1的系数为01121111...nnnnnnnnCCCCCC−−−−+++＝11nrnrrnCC=−，而左边的xn﹣1的系数为121nnC−−，所以111nrnrrnCC=−−＝121nnC−−，220(1)()nrn

rrC=+﹣2122nnnC−−＝2122nnnC−−+2n121nnC−−+2nnC﹣2122nnnC−−＝2n121nnC−−+2nnC＝n（121nnC−−+121nnC−−）+2nnC＝n（121nnC−−+21nnC−）+2nnC＝

n2nnC+2nnC＝（n+1）2nnC．能力提升训练1．【贵州省部分重点中学2019届高三12月联考】的展开式的常数项为__________．【答案】【解析】解：由于展开式的通项公式为，令，解得，故展开式

的常数项是，故答案为：．2．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次教学质量监测】如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是__________．【答案】252【解析】的展开式中，令x＝1可得各项系数之和为（3﹣

1）n＝256，求得n＝8，则的通项是，，令，解得故展开式中的系数是故答案为：252．3．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】二项式()00nbaxabx+，的展开式中，设“所有二项式

系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若25670ABC===，，则含6x的项为_____．【答案】68x【解析】依题得2256n=，所以n=8，在nbaxx+的展开式中令x=

1，则有()8256ab+=，所以a+b=2，又因为nbaxx+展开式的通项公式为()()8882188rrrrrrrrbTCaxCabxx−−−+==，令8204rr−==.所以得到4448701,1Cababab===−（舍），当1ab=时，由2ab+=得1

ab==.所以令8261rr−==，所以166288TCxx==，故填68x.4．【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中考试】如果的展开式中各项系数之和为128，则的值为___,展开式中的系数为____.【答案】721【解析】令x＝1得展开式的各项系数之和2n

，∴2n＝128，解得n＝7．∴展开式的通项为，令7r＝﹣3，解得r＝6．所以展开式中的系数是3C76＝21．故答案为：7,215．【上海市嘉定（长宁)区2019届高三第二次质量调研（二模)】在41xx+的二项展开式中，常数项的值为_____

__．【答案】6【解析】解：在41()xx+的二项展开式中，通项公式为：Tr+14r=ðx4﹣r41()rrx=ðx4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项24==ð6．故答案为：6．6．【浙江省衢州市五校联盟2019届高三年级上学期联考】若，则___

_______，______．【答案】1532【解析】的展开式的通项公式为，令可得，所以；在中，令，可得，故答案为.7．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试】的展开式中的系数为______.【答案】【解析】因此展开式中的系数为8．【上海市华东师范大学第二附属中学2018届

高三下学期开学考试】在32()nxx+的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】由题得1+281n=（），所以n=4,二项展开式的通项为44433r+1442()()2rrrrrrTCxCxx−−

==，令4-40,13rr==.所以常数项为1428C=.故答案为：89．【江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试】已知．（1）若，求中含x2项的系数；（2）若展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试

用数学归纳法证明：．【答案】（1）56；（2）证明见解析。【解析】（1），∴中含项的系数为.（2）证明：由题意，.①当时，，成立；②假设当时，成立，当时，,∵，即，代入（*）式得成立.综合①②可知，对任意成立.10．【江苏省扬州中学2019届

高三上学期12月月考】设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2．（1）设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；（2）设，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求|的值．【答案】（1

）；（2）.【解析】（1）由二项式定理可得ak＝（﹣1）k•，当n＝11时，|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|）＝210＝1024；（2）bkak+1＝（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•，当1≤k≤n﹣1时，bk＝

（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•（）＝（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•（﹣1）k﹣1•（﹣1）k•，当m＝0时，||＝||＝1；当1≤m≤n﹣1时，Sm＝b0+b1+b2+…+bm＝﹣1[（﹣1）k﹣1•（﹣1）k•]＝﹣1+1﹣（﹣1）m（﹣1）m，

即有||＝1．综上可得，||＝1．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com