【文档说明】江苏省常熟市2022-2023学年高一下学期期中数学试题含答案.docx，共(13)页，904.588 KB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年第二学期期中试卷高一数学2023.04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足43iz=−，则z的虚部是A

.3B.3−C.3iD.3i−2.已知向量()0,1a=，()1,3b=，则a在b上的投影向量为A.3aB.34bC.32aD.3b3.定义：sin=abab，其中为向量a与b的夹角，若2=a，5=b，6=−ab，则ab等于A.8B.8−C.8或8−D.6

4.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若13AFxABAD=+，则x=A.23B.45C.56D.675.在ABC△中，若()sinsinsin2CBAA+−=，则ABC△的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角

形D.等腰三角形或直角三角形6.已知1sin3cos33−+=，则sin26+的值为A.13B.13−C.79D.79−7.在ABC△中，内角为A，B，C，且03B。若对于任意实数x，不等式()222sin22sin14

xBtB++++恒成立，则实数t的取值范围为A.(),11,−−+B.()(),11,−−+C.()2,11,2−−D.2,11,2−−8.已知4A

B=，3ACCB=，若平面内一点P，满足PAPCPBPCPAPB=，则sinPAB的最大值是A.23B.12C.13D.16二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分。9.下列关于

平面向量的说法中正确的是A.已知a，b均为非零向量，若ab∥，则存在唯一的实数，使得ab=B.已知非零向量()1,2a=，()1,1b=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+C.若acbc=且0c，则ab=D.若点G为ABC△的重

心，则0GAGBGC++=10.欧拉公式iecosisinxxx=+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥。依据欧拉公式，下列选项中正确的是A.2i3e对应的点位于第

二象限B.i2e为纯虚数C.ie3i+的模长等于12D.i6e的共轭复数为13i22−11.将函数()sin26fxx=−的图象向左平移12个单位长度得到()ygx=的图象，则A.()yfx=在,32上是减函数B.由

()()1212fxfx==可得12xx−是的整数倍C.()ygx=是奇函数D.函数()fx在区间()0,8上有8个零点12.奔驰定理：已知O是ABC△内的一点，BOC△，AOC△，AOB△的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC++

=。“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”。若O是锐角ABC△内的一点，A，B，C是ABC△的三个内角，且点O满足O

AOBOBOCOCOA==，则A.O为ABC△的垂心B.AOBC=−C.::sin:sin:sinOAOBOCABC=D.tantantan0AOABOBCOC++=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。13.若i是虚数单

位，238i2i3i8iz=++++，则1z=__________。14.已知空间向量a，b满足2a=，3b=，且a，b的夹角为3，若()()22abab−⊥+，则实数等于__________。15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界

上最深的海洋蓝洞。若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得35mCD=，135ADB=，15BDCDCA==，120ACB=，则AB两点的距离为_____

_____。16.如图，ABC△中，8AB=，7AC=，5BC=，G为ABC△重心，P为线段BG上一点，则PAPC的最大值为__________，若M、N分别是边BC、BA的中点，则PAMN的取值范围是__________。四、解

答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题10分）（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，2z=，且2zz+=−，求z；（2）已知复数()()2212i32i1imzm=−+−+−

为纯虚数，求实数m的值。18.（本小题12分）已知平面直角坐标系内三点A，B，C在一条直线上，满足()3,1OAm=−+，(),3OBn=，()7,4OC=，且OAOB⊥，其中O为坐标原点。（1）求实数m，n的值；（2）设AOC△的重心为G，且23OGOB=，求c

osAOC的值。19.（本小题12分）已知向量()sin,3mx=−，()1,cosnx=，且函数()fxmn=。（1）若0,2x，且()23fx=，求sinx的值；（2）若将函数()fx的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1

2，再将所得图象向左平移4个单位，得到()gx的图象，求函数()gx在0,2x的值域。20.（本小题12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理。如

图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m，P在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：

min）之间的关系为()sin0,0,2yAtbA=++。（1）求A，，，b的值；（2）求盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值。21.

（本小题12分）在①coscos2BbCac=−+，②sinsinsinAbcBCac+=−+，③23SBABC=−（S为ABC△面积），三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答。在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且选条件：_______

___。（1）求B；（2）作ADAB⊥，使得四边形ABCD满足4ACD=，2AD=，求BC长的取值范围。22.（本小题12分）对于函数()yfx=，()0,x+，若对任意,,abcR且0a，0b，0c，都有()fa，()fb，()fc是一个三角形的三边长，则称函数(

)yfx=为()0,+上的“完美三角形函数”。（1）设()3sin,cosaxkx=，()2cos,2cosbkxx=，若函数()1gxabk=−+是0,2上的“完美三角形函数”，求实数k的取值范围；（2）在满足（1）且0k的条件下，令函数()132369sin2sin54

100hxxx=−++，若对任意的10,2x，总存在20,2x，使得()()21gxhx成立，求实数k的取值范围。2022~2023学年第二学期期中试卷高一数学参考答案2023.04一、选择题：本题共8小

题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案ABACDDAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分。题

号9101112答案ADABCACABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。13.2814.6515.35516.20，31,222四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解：（1）设()

i,zabab=+R，由题意得22422aba+==−，解得1a=−，3b=，因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以3b=，则13iz=−+。（2）()()()()()()()2221i212i32i12i32i1i1i1immzmm+=−+−+=−+−+

−−+()()22623immmm=−−+−−，由题意得2260230mmmm−−=−−，解得2m=−。18.解：（1）因为三点A，B，C在一条直线上，所以ABBC∥，又()3,2ABOBOAnm=−=+−，()7,1BCOCOBn=−=−所以()()372nnm+=

−−，①因为OAOB⊥，所以()3310nm−++=，即1nm=+，②由①、②解得89mn==或12mn==。（2）因为23OGOB=，所以B为AC的中点，所以1m=，2n=。所以()3,2OA=−，()7,4OC=，21813OA

OC=−+=−，13OA=，65OC=因此135cos51365OAOCAOCOAOC−===−。19.解：（1）因为向量()sin,3mx=−，()1,cosnx=，所以()sin3cos2sin3fxmnxxx==−=−。因

为()22sin33fxx=−=，所以1sin33x−=。又0,2x，,336x−−，因此222cos1sin333xx−=−−=，所以sinsinsincos

cossin333333xxxx=−+=−+−1122312632326+=+=。（2）因为将函数()fx的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1

2，再将所得图像向左平移4个单位，得到()gx的图像，所以()2sin22sin2436gxxx=+−=+。当0,2x时，72,666x+，1sin

2,162x+−所以()1,2gx−，即函数()gx在0,2x的值域为1,2−20.解：（1）由题知22T==，得=，由题意得9232AbAb

+=−+=−，解得3A=，32b=，0t=时，33sin02y=+=，1sin2=−，2，6=−。（2）由()393sin622ftt=−+=，得sin16t−=，262tk−=+，即223tk=+，

Nk，当0k=时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时2min3t=。（3）设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则6AOB=，经过mint相邻两个盛水筒距离水面的高度分别为133sin62Ht=−+和233sin32Ht=−+，(

)123623sinsinsin6324hHHttt−=−=−−−=+，)0,t+，h的最大值为()362m2−。21.解：（1）选①：coscos2BbCac=−+，由正弦定理得cossincos2

sinsinBBCAC=−+，2sincossincossincos0ABCBBC++=，即()2sincossin0ABBC++=，又ABC++=，2sincossin0ABA+=，因为()0,A，sin0A，故1cos2B=−。()0,B，23B=。

选②：sinsinsinAbcBCac+=−+，由正弦定理得abcbcac+=−+，即有222acbac+−=−，所以2221cos22acbBac+−==−，()0,B，23B=。选③：23SBABC=−，即sin3cosacBacB=−，即sin3

cosBB=−，cos0B，tan3B=−，()0,B，23B=。（2）设BAC=，则2CAD=−，4CDA=+，在ACD△中，由正弦定理得sinsinACADADCACD=，可得2sins

in42sinsin4sin4ADADCACACD+===+，在ABC△中，由正弦定理得sinsinACBCB=，可得2sinsinsin44224sinsinsincossin2sin42233si

n3ACBCB+===+=+()224222sinsincos2sin2sincos2233=+=+()2232261cos2sin2sin2cos232233=

−+=−+236sin2343=−+，因为03，可得524412−−，当52412−=时，即3=，可得235662sin31232++=，当244

−=−时，即0=，可得236sin0343−+=，故BC的取值范围是620,2+。22.解：（1）因为()3sin,cosaxkx=，()2cos,2cosbkxx=，所以()12sin216gxabkkx=−+=

++，因为0,2x，72,666x+，所以1sin2126x−+。①当0k时，()1,21gxkk−++，由题意得()102121kkk−+−++，解得104k；②当0k时，()21,1gxkk+

−+，由题意得()2102211kkk++−+，解得105k−③当0k=时，()1gx=，满足题目要求。综上可得1154k−。（2）()()13236913369sin2sin2sincossincos541005100hxxxxxxx=−++=−++，令s

incosxxt+=，则22sincos1xxt=−，1,2t。故22132691310911,510010100yttt=−+=−+。因为任意的10,2x，总存在20,2x

，使得()()21gxhx成立，所以10921100k+，即9200k，又104k，故实数k的取值范围为912004k。获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com