【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修二 6-3 平面向量基本定理及坐标表示 Word版含解析.docx，共(27)页，1.506 MB，由小赞的店铺上传

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6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理例1如图6.3-4，OA，OB不共线，且()APtABtR=，用OA，OB表示OP．解：因为APtAB=，所以OPOAAP=+uuuruuruuurOAtAB=+()OAtOBOA=

+−OAtOBtOA=+−()1tOAtOB=−+．例2如图6.3-5，CD是ABC的中线，12CDAB=，用向量方法证明ABC是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取,CDDA为基底，用它

表示CA，CB．证明0CACB=，可得CACB⊥，从而证得ABC是直角三角形．证明：如图6.3-6，设CDa=，DAb=，则CAab=+，DBb=−，于是CBab=−.()()22CACBababab=+−=−

.因为12CDAB=，所以CDDA=.因为22aCD=，22bDA=，所以0CACB=.因此CACB⊥.于是ABC是直角三角形.练习1.如图，AD，BE，CF是ABC的三条中线，CAa=，CBb=．用,ab表示AB，ADuuuv，BE，CF．

【答案】ABba=−；12ADba=−；12BEab=−；1122CFab=+．【解析】【分析】直接利用向量的减法三角形法则和平行四边形法则即可。【详解】解：ABCBCAba=−=−；1122ADCDCACBaba=−=−=−；1

122BECECBCACBab=−=−=−；1111()()2222CFCACBabab=+=+=+．【点睛】本题主要考查了向量的减法三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，ABa=，ADb=，点E，F分别是OA，OC的中点，G是CD的三等

分点13DGCD=．（1）用,ab表示DE，FB，OG；（2）能由（1）得出DE，BF的关系吗？【答案】（1）1344DEab=−，FB=1344ab−，1162OGab=−+；（2）DEBF=【解析】【分析】（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。（2）利用（1）的结果找出,D

EBF的关系即可得出DE，BF的关系【详解】解：（1）11()44DEAEADACADABADAD=−=−=+−13134444ABADab=−=−，33()44FBABAFABACABABAD=−=−=−+13

134444ABADab=−=−，1111()3232OGDGDODCDBABABAD=−=−=−−11116262ABADab=−+=−+．（2）由（1）知，1344DEab=−，1344BFFBabDE=−=−−=−，∴||||DEBF=，即DEBF=

．【点睛】本题主要考查了三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。3.如图，在ABC中，14ADAB=，点E，F分别是AC，BC的中点．设ABa=，ACb=．（1）用,ab表CD，EF．（2）如果60A=，2ABAC=，

CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．【答案】（1）14CDab=−，12EFa=；（2）CDEF⊥，证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出CD，EF（2）设ACm=，则2ABm=，EFm=．计算CDEF即可。【详解】解：（1）1144

CDADACABACab=−=−=−；1122EFABa==．（2）CDEF⊥，证明如下：设ACm=，则2ABm=，EFm=．22111111(2)2cos60428282CDEFabaaabmmm=−=−=−2211022mm=−=

．∴CDEF⊥，∴CDEF⊥．【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示例3如图6.3-10，分别用基底,ij表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标.解：由图6.3-10可知，1223aAAAAij=+=

+，所以()2,3a=r同理，()232,3ijb=−+=−，()232,3cij=−−=−−，()232,3dij=−=−.6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示例4已知()2,1a=r，()3,4b=−，求ab+，ab−的坐标.解：()()()2,13,41,5ab+=

+−=−，()()()2,13,45,3ab−=−−=−.例5如图6.3-13，已知ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是()2,1−，()1,3−，()3,4，求顶点D的坐标..解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为(),xy.因为()()()12,311,2AB=−−−−=，()3,4

DCxy=−−，又ABDC=，所以()()1,23,4xy=−−.即13,24,xy=−=−解得22xy==，所以顶点D的坐标为()2,2.解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知BDBABC=+()()()()21,1331,43=−−−−+−−−(

)3,1=−，而ODOBBD=+()()1,33,1=−+−()2,2=.所以顶点D的坐标为()2,2.练习4.在下列各小题中，已知向量a，b的坐标，分别求,abab+−的坐标：（1）(2,4)a=−，(5,2)b=；（2）(4,3)a=，(3,8)b=−；（3）(

2,3)a=，(2,3)b=−−；（4）(3,0)a=，(0,4)b=．【答案】（1）(3,6)；(7,2)−．（2）(1,11)；(7,5)−．（3）(0,0)；(4,6)．（4）(3,4)；(3,4)−．【解析】【分析】根据向量的坐标运算法则计算可得.【

详解】解：（1）(2,4)(5,2)(25,42)(3,6)ab+=−+=−++=；(2,4)(5,2)(25,42)(7,2)ab−=−−=−−−=−．（2）(4,3)(3,8)(43,38)(1,11)

ab+=+−=−+=；(4,3)(3,8)(43,38)(7,5)ab−=−−=+−=−．（3）(2,3)(2,3)(22,33)(0,0)ab+=+−−=−−=；(2,3)(2,3)(22,33)(4,6)ab

−=−−−=++=．（4）(3,0)(0,4)(30,04)(3,4)ab+=+=++=；(3,0)(0,4)(30,04)(3,4)ab−=−=−−=−．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．5.在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求AB，BA的坐标：（1）(3,5),(6,9)

AB；（2）(3,4),(6,3)AB−；（3）(0,3),(0,5)AB；（4）(3,0),(8,0)AB．【答案】（1）(3,4)AB=；(3,4)BA=−−．（2）(9,1)AB=−，(9,1)B

A=−．（3）(0,2)AB=；(0,2)BA=−．（4）(5,0)AB=；(5,0)BA=−．【解析】【分析】根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.【详解】解：（1）(3,5)A,(6,9)B(6,9)(3,5)(3,4)AB=−=；(3,5)(6,

9)(3,4)BA=−=−−．（2）(3,4)A−，(6,3)B(6,3)(3,4)(9,1)AB=−−=−；(3,4)(6,3)(9,1)BA=−−=−．（3）(0,3)A，(0,5)B(0,5)(0,3)(0,2)AB=−=；(0,3)(0,5)(0,2)BA=−=−．（4）

(3,0)A，(8,0)B(8,0)(3,0)(5,0)AB=−=；(3,0)(8,0)(5,0)BA=−=−．【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.6.若点(0,1)A，(1,0)B，(1,2)C，(2,1)D，则AB与CD有什么位置关系？证明你的猜想．【答案】平行，证明见解析【解

析】【分析】求出AB，CD的坐标，即可判断AB，CD的关系，得到AB与CD的位置关系.【详解】解：//ABCD．证明如下：因为(1,1)AB=−，(1,1)CD=−，所以ABCD=．又因为AB与CD不共线，所以//ABCD．【点睛

】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题.6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示例6已知()2,1a=r，()3,4b=−，求34ab+的坐标.解：()()32,314344,ab+=+−()()6,312,16=+−()6,

19=−.例7已知()4,2a=，()6,by=，且//abrr，求y.解：因为//abrr，所以4260y−=.解得3y=.例8已知()1,1A−−，()1,3B，()2,5C，判断A，B，C三点之间的位置关系.解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-

15）.观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.因为()()()()11,312,4AB=−−−−=，()()()()21,513,6AC=−−−−=，又26430−=，所以//ABACuuuruuur.又直线AB，直线AC有公共点A，所以A，B，C三点

共线.例9设P是线段12PP上的一点，点1P，2P的坐标分别是()11,xy，()22,xy.（1）当P是线段12PP的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段12PP的一个三等分点时，求点P的坐标.解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知()1212121,222

xxyyOPOPOP++=+=.所以，点P的坐标是1212,22xxyy++.（2）如图6.3-17，当点P是线段12PP的一个三等分点时，有两种情况，即1212PPPP=或212

PPPP=.如果1212PPPP=（图6.3-17（1）），那么1111213OPOPPPOPPP=+=+()12112121333OPOPOPOPOP=+−=+121222,33xxyy++=，即点P的坐标是121222,33xxyy++

.同理，如果212PPPP=（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是121222,33xxyy++.练习7.已知(3,2)a=，(0,1)b=−，求24ab−+，43ab+的坐标．【答案】（-6，-8），（

12,5）【解析】【分析】根据向量的坐标运算法则计算即可．【详解】解：(3,2)a=，(0,1)b=−242(3,2)4(0,1)(6,4)(0,4)(6,8)ab−+=−+−=−−+−=−−；434(3

,2)3(0,1)(12,8)(0,3)(12,5)ab+=+−=+−=．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．8.当x为何值时，(2,3)a=与(,6)bx=−共线？【答案】4x=−【解析】【分析】根据向量共线的充要条件得到关于x的方程，解得.【详解】解

：(2,3)a=，(,6)bx=−，//abrr2(6)30x−−=，解得4x=−时，4x=−时，a与b共线．【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用；如果()()()1122,,,0axybxyb==共线，那么存在唯一的，使λab=成立或12210

xyxy−=，属于基础题．9.若点(2,3)A−−，(2,2)B，(1,3)C−，(7,4.5)D−−，则AB与CD是否共线？【答案】共线【解析】【分析】首先求出AB与CD的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.【详解】

解：(2,3)A−−，(2,2)B，(1,3)C−，(7,4.5)D−−()()()2,22,34,5AB=−−−=，()()()7,4.51,36,7.5CD=−−−−=−−．∵4(7.5)5(6)30300−−−=−+

=，∴AB与CD共线．【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.10.求线段AB的中点坐标：（1）(2,1),(4,3)AB；（2）(1,2),(3,6)AB−；（3）(5,4),(3,6)AB−−．【答案】（1）(3,2)（2）(1,4)（3）(

4,5)−【解析】【分析】根据中点坐标公式，若()11,Axy、()22,Bxy，则AB的中点坐标为1212,22xxyy++，计算可得【详解】解：（1）(2,1),(4,3)AB2432x+

==，1322y+==，∴AB的中点坐标为(3,2)；（2）(1,2),(3,6)AB−1312x−+==，2642y+==，∴AB的中点坐标为(1,4)；（3）(5,4),(3,6)AB−−5342x+==，4652y−−==−，∴AB的中点坐标为(4,5)

−．【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.11.已知点(0,0)O，向量(2,3)OA=，(6,3)OB=−，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标．【答案】14,13−或10,13

【解析】【分析】(4,6)AB=−．由于点P是线段AB的三等分点，可得13APAB=，或者23APAB=．即可得出．【详解】解：(2,3)OA=，(6,3)OB=−(4,6)ABOBOA=−=−．点P是线段AB的三等分点，14,233APAB==−，或

者28,433APAB==−．()14102,3,2,1333OPOAAPOAAB=+=+=+−=，或()8142,3,4,13332OPOAAPOAAB=+=+=+−=−．14,13P−或10,13P．∴

P点的坐标为14,13−或10,13．【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．6.3.5平面向量数量积的坐标表示例10若点()1,2A，()2,3B，()2,5C−，则ABC是什么形状？证明你的猜想.解：如图6.3-

19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现ABC是直角三角形.证明如下：因为()()21,321,1AB=−−=，()()21,523,3AC=−−−=−，所以()13130ABAC=−+=..于是ABAC⊥.因此，ABC是直角三角形.例11设()5,7a=−，

()6,4b=−−，求ab及a，b的夹角（精确到1°）.解：()()()5674ab=−+−−3028=−+2=−因为()225774a=+−=，()()226452b=−+−=，所以用计算器计算可得2cos0.037452abab−==−.利

用计算器中的“1cos−”键，得92.例12用向量方法证明两角差的余弦公式()coscoscossinsin−=+.证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则()cos,si

nOA=，()cos,sinOB=..由向量数量积的坐标表示，有coscossinsinOAOB=+.设OA与OB的夹角为，则coscosOAOBOAOB==.所以coscoscossinsin=+.另一方面，由图6.3-20（1）可知，2k=+

+；由图6.3-20（2）可知，2k=+−.于是2k−=，kZ.所以()coscos−=.于是()coscoscossinsin−=+.练习12.已知(3,4)a=−，(5,2)b=，求|

|a，||b，abvv．【答案】5a=，29b=，7ab=−【解析】【分析】根据向量坐标运算求解即可.【详解】解：22||(3)45a=−+=,22||5229b=+=,(3)5427ab=−+=−．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算公式,属于基础题型.13.已知(2,3),(2,4)

,(1,2)abc==−=−−．求2,()(),(),()ababababcab+−++．【答案】8,()()7ababab=+−=−，2()0,()49abcab+=+=【解析】【分析】根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.【详解】解：2(2)348ab=−

+=,()222222()()2+3247ababab+−=−=−−−=−,()()()()2,33,223320abc+=−=−+=,()()2()0,70,749ab+==【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.

14.已知(3,2),(5,7)ab==−，利用计算工具，求a与b的夹角（精确到1°）．【答案】88【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：∵1,||13,||74abab===,∴1cos0.03224||||1374aba

b==．又∵0180剟,∴88．【点睛】本题主要考查了向量的夹角运算,属于基础题型.习题6.3复习巩固15.如图，在ABC中，13ADAB=，点E是CD的中点，设,ABaACb==，用,ab表示,CDAE.【答案】13CDab=−，1162AEab=

+【解析】【分析】根据向量的加减运算法则，CDADAC=−，1()2AEADAC=+分别代换即可.【详解】解：1133CDADACABACab=−=−=−111()223AEADACABAC=+=+11116262A

BACab=+=+【点睛】此题考查平面向量基本运算，根据线性运算法则求解即可.16.已知作用在坐标原点的三个力对应向量分别为123(3,4),(2,5),(3,1)fff==−=，求作用在原点的合力123fff++的坐标.【答案】

(8,0)【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算即可.【详解】解：123(3,4)(2,5)(3,1)(8,0)fff++=+−+=.【点睛】此题考查力的合成，根据向量加法关系求解.17.在下列各小题中，已知向量a的坐标，以及表示a的有向线段AB的起点A的坐标，求终点B的坐标.（1）(2,1),

(0,0)aA=−；（2）(1,3),(1,5)aA=−；（3）(2,5),(3,7)aA=−−.【答案】（1）(2,1)−；（2）(0,8)；（3）(1,2)【解析】【分析】（1）根据aABOBOA==−，OBaOA=+，求出

点B的坐标；（2）根据aABOBOA==−，OBaOA=+，求出点B的坐标；（3）根据aABOBOA==−，OBaOA=+，求出点B的坐标.【详解】（1）aABOBOA==−，(2,1)(0,0)(2,1),(2,1)OBaOAB=+=−+=−−.

（2）aABOBOA==−,(1,3)(1,5)(0,8)OBaOA=+=+−=，(0,8)B（3）,(2,5)(3,7)(1,2)aABOBOAOBaOA==−=+=−−+=，(1,2)B【点睛】此题考查向量的加减运算，用端点坐标表示向量.18.已知ABCD的顶点()1,

2−−A，()3,1B−，()5,6C，求顶点D的坐标．【答案】(1，5)﹒【解析】【分析】由平行四边形可得：DCAB=，于是ODOCAB=−．【详解】设坐标原点为O，由平行四边形可得：DCAB=，(5ODOCAB=−=，6)(4−，1)(1=，5)．∴D的坐标为(1，5)﹒19.已知点(0,

0),(1,2),(1,3)OAB−，且2,3OAOAOBOB==，求点,AB及向量AB的坐标.【答案】'A(2,4)，B(3,9)−，()''5,5AB=−【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，结合2,3OAOAOBOB==的坐标

形式，求出点的坐标.【详解】解：因为()2=21,2(2,4)OAOA==，所以点'A的坐标为(2,4).因为33(1,3)(3,9)OBOB==−=−，所以点B的坐标为(3,9)−.所以向量()''5,5AB=−.【点睛】此题考查平面向量的线性

运算的坐标表示.20.已知点(1,1),(1,5)AB−，且11,2,22ACABADABAEAB===−,求点C，D，E的坐标.【答案】C(0,3)，D(3,9)−，E(2,1)−【解析】【分析】根据向量线性运算法则，依次求出AC，AD，AE的坐标表示，再结合A点坐

标，求出点C，D，E的坐标.【详解】解：设O为坐标原点，则(1,1),(2,4)OAAB==−.11(1,2),2(4,8),(1,2)22ACABADABAEAB==−==−=−=−,(0,3)OCOAAC=+=，所以点C的坐标为(0,3)；(3,9)ODOAAD=+=−，所以点D的坐标

为(3,9)−；(2,1)OEOAAE=+=−，所以点E的坐标为(2,1)−.【点睛】此题考查平面向量的线性运算的坐标表示.21.你认为下列各组点具有什么样的位置关系？证明你的猜想.（1）(1,2),(3,4),(2,3.5)ABC−−；

（2）(1,2),(0.5,0),(5,6)PQR−−；（3）(9,1),(1,3),(8,0.5)EFG−.【答案】（1）三点共线，证明见解析；（2）三点共线，证明见解析；（3）三点共线，证明见解析【解析】【分析】（1）通过

计算：4ABAC=−，三点共线；（2）通过计算：4PRPQ=，三点共线；（3）通过计算：8EFEG=，三点共线.【详解】解：（1）A，B，C三点共线、因为(4,6),(1,1.5)ABAC=−−=，所以4ABAC=−，因为

直线AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线.（2）P，Q,R三点共线，因为(1.5,2),(6,8)PQPR=−=−，所以4PRPQ=.因为直线PR与PQ有公共点P，所以P，Q，R三点共线.（3）E，F，G三点共线，因为(8,4),(1,0.5)EFEG=−−=−−，所以8EFEG=.因

为直线EF与EC有公共点E，所以E，F，G三点共线.【点睛】此题考查利用平面向量处理三点共线问题，准确进行线性运算求解.22.分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：（1）(1,4),(5,2),

(3,4)ABC−−；（2）(2,3),(19,4),(1,6)ABC−−−−；（3）(2,5),(5,2),(10,7)ABC.【答案】（1）直角三角形，证明见解析；（2）直角三角形，证明见解析；（3）直角三角形，证明见解析【解析】【分析】（1）结合图象通过计算得：,AB

BCABBC⊥⊥得直角三角形；（2）结合图象通过计算得：,ABACABAC⊥⊥得直角三角形；（3）结合图象通过计算得：,ABBCABBC⊥⊥得直角三角形.【详解】解：（1）如图，ABC为直角三角形，证明如下：(6,6),(2,2)ABBC==−,6(2)620ABBC=−+=,ABBCABB

C⊥⊥.ABC为直角三角形.（2）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：(21,7),(1,3)ABAC==−2117(3)0ABAC=+−=,ABACABAC⊥⊥ABC为直角三角形.（3）如图，△ABC为直角三角形，证

明如下：(3,3),(5,5)ABBC=−=35(3)50ABBC=+−=,,ABBCABBCABC⊥⊥为直角三角形.【点睛】此题考查平面向量的数量积运算的坐标表示，通过非零向量数量积为零判定向量垂直得三角形形状.23.已知||3,(1,2)ab==，且//ab，求a的坐标

.【答案】3565,55或3565,55−−【解析】【分析】设(,)axy=，根据模长关系和平行关系列方程组求解.【详解】解：设(,)axy=，则2292xyyx+==，解得：355655xy=

=或355655xy=−=−于是3565,55a=或3565,55a=−−.【点睛】此题考查平面向量的模长关系和平行关系的坐标表示，根据方程组求解

未知数.24.已知()4,2a=，求与a垂直的单位向量的坐标.【答案】525,55−或525,55−【解析】【分析】设与a垂直的单位向量(,)exy=，通过模长关系和垂直关系列方程组即可求解.【详解】解

：设与a垂直的单位向量(,)exy=，则，221420xyxy+=+=解得：55255xy==−或55255xy=−=于是525,55e=−或525,55e=−.【点睛】此题考查平面向量的模长关系和垂直关系的坐标表示，根据方程

组求解未知数.综合运用25.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点11,33AFADBGBC==.设,ABaADb==.（1）用,ab表示,EFEG；（2）如果3||||2ba

=，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.【答案】（1）1132EFba=−，1123EGab=+；（2）⊥EFEG，证明见解析【解析】【分析】（1）根据平面向量运算法则EFAFAE=−，12EGEBBGABAF=+=+依次代换即可表示；（2）根据（1）的表示形式计算0EF

EG=，则⊥EFEG.【详解】解：（1）11113232EFAFAEADABba=−=−=−1111122323EGEBBGABAFABADab=+=+=+=+（2）⊥EFEG.证明如下：由（1）知，111

1,3232EFbaEGba=−=+，22111111323294EFEGbababa=−+=−221910944aa=−=,EFEGEFEG⊥⊥【点睛】此题考查平面向量的线性运算和数量积的计算，通

过非零向量数量积为零判定向量垂直.26.已知点(0,0),(1,2),(4,5),OABOPOAtAB=+.当11,,2,22t=−时，分别求点P的坐标.【答案】当11,,2,22t=−时，点P的坐标分别为：(4,5)P，57,22P，(5,4)P−−，(7,8)P.【解

析】【分析】根据OPOAtAB=+分别计算11,,2,22t=−时的坐标.【详解】解：(1,2),(3,3)OAAB==当1t=时，(1,2)(3,3)(4,5)OPOAAB=+=+=，所以(4,5)P；当12t=时，1

3357(1,2),,22222OPOAAB=+=+=所以57,22P当2t=−时，2(1,2)(6,6)(5,4)OPOAAB=−=−=−−，所以(5,4)P−−；当2t=时，2(1,2)(6,6)(7,8)OPOAAB=+=+=，所以

(7,8)P.【点睛】此题考查平面向量基本运算的坐标表示，根据向量关系求点的坐标.27.已知()2,3A，()4,3B−，点P在线段AB的延长线上，且32APPB=，求点P的坐标．【答案】()8,15−【解

析】【分析】根据点P在线段AB的延长线上，且3||||2APPB=，可得12ABBP=，可得2OPOBAB=+．【详解】点P在线段AB的延长线上，且3||||2APPB=，12ABBP=，2(4OPOBAB=+=，3)2(2

−+，6)(8−=，15)−．所以点P的坐标为()8,15−28.求证：以(1,0),(5,2),(8,4),(4,6)ABCD−为顶点的四边形是一个矩形.【答案】证明见解析【解析】【分析】分别利用坐标计算,0ABDCABBC==即可得证【详解】证明：因为(4,2),(3,6),

(4,2)ABBCDC=−==−，ABDC=，(3,6)BC=不为零向量，且不与AB平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.0ABBC=，ABBC⊥所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.【点睛】此题考查向量的相等和垂直的

判断，考查平面向量数量积的运算.拓广探索29.如图，设,OxOy是平面内相交成60°角的两条数轴，12,ee分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量12OPxeye=+，则把有序数对（x，y）叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，设1232

OPee=+，（1）计算||OP的大小；（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.【答案】（1）19；（2）合理【解析】【分析】（1）结合图形作辅助线在直角三角形中求解；（2）根据平面向量基本定理，12

,ee作为一组基底，则平面内任意向量都有唯一有序数对(),xy使得12OPxeye=+.【详解】解：（1）建立如围所示的直角坐标系，将OP分解到Ox轴和Oy轴可求得||3,||4PMOM==，所以||31619OP=+=.（

2）12,ee作为一组基底，对于任意向量12,,OPxeyexy=+都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理.【点睛】此题考查平面向量基本运算，涉及数形结合处理模长问题，对平面向量基本定理辨析30.用向量方法证

明：对于任意的,,,abcdR，恒有不等式()()22222()acbdabcd+++„【答案】证明见解析【解析】【分析】构造向量，根据数量积的坐标表示证明.【详解】证明：构造向量(,),(,)uabvcd==.||||cosuvuv=（其中为

向量u，v的夹角）.所以22222cos,cos1acbdabcd+=++，所以()()()()2222222222()cosacbdabcdabcd+=++++„.【点睛】此题考查平面向量数量积的坐标表示证明不等式，关键在

于准确建立模型求解.