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1.1.2空间向量的数量积运算A级必备知识基础练1.(多选题)下列各选项中,一定正确的有()A.√𝑎·𝑎=|a|B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)C.a·(b+c)=(b+c)·aD.a2b=b2

a2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-33.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=()A.1B.2C.3D.44.已知|a|=1,|b|=√2,且

a-b与a垂直,则a与b的夹角为()A.30°B.45°C.135°D.60°5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-2𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=0,则△ABC是()A.直角三角形B

.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是()A.𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与�

�𝐷⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗C.𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗D.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗7.已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是π3,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=.8.在平行四边形ABCD中,AD=

4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.B级关键能力提升练9.若空间向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-𝑎·𝑎𝑎·𝑏b≠0,则向量a与c的夹角为()A.0B.π6C.π3D.π

210.(多选题)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()A.2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.2𝐹𝐺⃗⃗⃗

⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.2𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗11.(多选题)设a,b,c是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论正确的有()A.(a·b)c-(c·a)b=0B.|a|-|b|<|a-b|C.

(b·a)c-(c·a)b不与c垂直D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|212.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|=.13.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12

ND,求MN的长.C级学科素养创新练14.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝑃𝑖⃗⃗⃗⃗⃗⃗(i=1,2,

…,8)的不同值的个数为()A.8B.4C.2D.11.1.2空间向量的数量积运算1.ABC∵a·a=|a|2,故√𝑎·𝑎=|a|,A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正

确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.2.B由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2

)=0,∴2k-12=0,∴k=6.3.A由条件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.4.B∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos<a,b>=1-1×√2×cos<a,b>=

0,∴cos<a,b>=√22.∵0°≤<a,b>≤180°,∴<a,b>=45°.5.B因为𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-2𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐷𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以(𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-2𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2=0,所以|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,因此△ABC是等腰三角形.6.BCD因为PA⊥平面ABCD,所以PA

⊥CD,故𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0;同理可得𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0;而PC与AD所成角为∠PCB

,显然不垂直.7.10∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=π3,∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2

|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.8.解因为𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以|

𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)2=|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2+2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗+2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=62+42+32+2|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗||𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos120°=61-12=49,所以|𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=7,即PC=7.9.D∵a·c=a·a-𝑎·𝑎𝑎·𝑏b=a·a-𝑎·𝑎𝑎·𝑏a·b=0

,∴a⊥c.故选D.10.BC2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2a2cos120°=-a2,2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a2cos60°=a2,2𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=a2,2𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-12a2.11.BD根据空间向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线

,故(a·b)c与(c·a)b一定不相等,故A错误;因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故C错误;易知BD正确.故选BD.12.√3因

为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×cos60°-4×cos60°+2×cos60°=3,所以|a-2b+c|=√3.13.解∵𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+

(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)+13(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=-13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=(-13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)2

=19|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2+19|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|2+49|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2-29𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−49𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+49𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗=69a2-29a2cos60°-49a2cos60°+49a2cos60°=59a2,故|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=√53a,即MN=√53a.14.DAB⃗⃗⃗⃗⃗·APi⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗·(AB⃗⃗⃗⃗⃗+BPi⃗⃗⃗⃗⃗)=A

B⃗⃗⃗⃗⃗2+AB⃗⃗⃗⃗⃗·BPi⃗⃗⃗⃗⃗,∵AB⊥平面BP2P8P6,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⊥BPi⃗⃗⃗⃗⃗,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗·BPi⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗·APi⃗⃗⃗⃗⃗=|AB⃗⃗⃗⃗⃗|2=1,