【文档说明】高校自主招生暨强基计划数学真题合集【高考】.pdf，共(91)页，6.553 MB，由小赞的店铺上传

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自主招生与强基计划真题合集目录.年北京大学强基计划真题……………………………………………….年北京大学高水平艺术团试题………………………………………….年北京大学自主招生试题……………………………………………….年北京大学金秋

营试题………………………………………………….年北京大学冬令营试题………………………………………………….年北京大学冬令营试题………………………………………………….年北京大学博雅计划试题……………………………………………….年北京大学博雅计划试题………

……………………………………….年北京大学夏令营试题………………………………………………….年北京大学夏令营试题………………………………………………….年北京大学夏令营试题………………………………………………….年

北京大学夏令营试题………………………………………………….年北京大学夏令营试题………………………………………………….年北京大学夏令营试题………………………………………………….年清华大学强基计划真题…………………

……………………………扫描二维码关注公众号：后台回复获取讲解答案.年清华大学“大中衔接”试题………………………………………….清华大学自主招生试题………………………………………………….年清华大学冬令营试题………………………………………………….

年清华大学领军计划试题……………………………………………….年复旦大学自主招生试题……………………………………………….年上海交通大学自主招生试题……………………………………….年上海交通大学自主招生试题……………………………………….年中国科学技术大学创新班试题…

………………………………….年中国科学技术大学创新班试题…………………………………….年中国科学技术大学创新班试题…………………………………….年中国科学技术大学创新班试题…………………………………….年中国科学技术大学创新班试题…………………………………….年中国科学技术大

学创新班试题…………………………………….年香港中文大学综合评价测试……………………………………….年深圳莫斯科大学附加测试………………………………………….年浙江大学自主招生试题……………………………………………年北京大学强基计划

真题1.正实数满足和，则的最小值等于（）A.B.C.D.前三个答案都不对2.在的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（）A.B.C.D.前三个答案都不对3.整数列满足，，且对任意有，则的个位数字是（）A.B.C.D.前三个答案都不对4

.设是方程的个复根，则的值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对5.设等边三角形的边长为，过点作以为直径的圆的切线交的延长线于点，，则的面积为（）A.B.C.D.前三个答案都不对6.设均不为，其中为整数，已知，，成等差数列，则依然成等差数

列的是（）A.，，B.，，C.，，D.前三个答案都不对7.方程的整数解的个数为（）A.B.C.D.前三个答案都不对8.从圆上的点向椭圆：引切线，两切点间的的线段称为切点弦，则椭圆内不与任何切点弦相交的区域的面积

为（）A.B.C.D.前三个答案都不对9.使得对所有的正实数都成立的实数的最小值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对10.设为单位立方体上一点，则的最小值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对11.数列满足，，且对任意的都有，其前项和为，则函数的最大值等于（）A.B.C

.D.前三个答案都不对12.设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对13.正整数称为理想的，若存在正整数使得，，构成等差数列，其中为组合数，则不超过的理想数个数为（）A

.B.C.D.前三个答案都不对14.在中，，依次为边上的点，且，设,，，，，则的值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对15.函数的最大值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对16.方程的实数根的个数为

（）A.B.C.D.前三个答案都不对17.凸五边形的对角线分别与对角线和交于点和，已知，，，的值等于（）A.B.C.D.前三个答案都不对18.设，均为不超过的正整数，则有理根的多项式的个数为（）A.B.C.D.前三个答案都不对19.满足任意有，且严格递增的数列的个数为（）A.

B.C.无穷多个D.前三个答案都不对20.设函数，其中均为正实数，则有（）A.既有最小值也有最大值B.有最大值但无最小值C.有最小但无最大值D.前三个答案都不对年月日北京大学高水平艺术团招生文化课测试（回忆版）前言：原题

是20道选择题，考试时间一个小时，这里学生只回忆起了16道题1.已知是的个根，求的值2.已知，，在的延长线上，且；在上，且，求与的比值3.双曲线：有一点在双曲线上，分别过点作渐近线平行线交轴于，且在靠近原点的一侧，过点作轴垂线交以为直径的圆于点，求的取值范围4.正方体，分别为面，的中心

，求与夹角的正弦值5.四边形中，，，，且，若四边形面积为，求的长6.三角形，，且，已知的面积为，求的最小值7.求的最大值与最小值之积8.已知，求的取值范围9.已知三角形中：，求的值10.已知，求的值11.直角中，为直角，作，到的中点距离为，又已知所在的中线

长为，求12.已知表示不超过的最大整数，如：，等，求的值13.已知表示不超过的最大整数，如：，等，现记为，求有几个交点14.已知的三条边分别为，求边长为所对应的中线的值在哪一个区间（）A.B.C.D.都不是15

.已知复数，求中有几个不同的数？A.B.C.D.都不是16.平面上有个互不相交的圆，若该平面上的点不论往何种方向的射线都能与个圆相交，问至少为多少？A.B.C.D.都不是2019年北京大学自主招生试题1.若，求满足不等式的取值范围2.复数满足，

则由复数围成的面积是（）A.B.C.D.以上全错3.从取出个不同的数，分别记为，求和奇偶性相同的概率4.正方形，为内一点，满足，则A.B.C.D.以上错误5.设，若为完全平方数，则数对有（）组A.B.C.无穷多D.以上全错6.方程的根的个数为（）A.个B.个C.个D.以上全错7.设为椭圆上一点，

为椭圆的左、右焦点，为的内心，若内切圆半径为，求的长度8.已知数列满足：，求年北京大学金秋营试题（考生回忆版）第一天1.对于非负实数，，，，考虑如下个实数其中，，记为这个数中所有正数之和，在的条件下，求的最小值2.在中，为的中点，，分别为，中点，取外接圆，外接圆与射线，交于点，，外

接圆与射线，交于点，证明：若、、共点，则、交点在上3.数列满足：，，，，已知，求证：，4.求的最小值，使得将方格挖去个格后，剩余图形不存在字形（字形指一个方格与其相邻的三个方格有公共边构成的图形）第二天5.内部取一点，直线，，分别交对边于，，，若四边形，

，都有内切圆，求证：在内心和垂心所在直线上6.若自然数可以写成若干个自己的不同的因数的和，其中有个为，就称为好数，证明：对任意大于，存在无穷个的正倍数为好数，且最小的倍数不大于，其中是最大的奇素因数（若为二的幂，则为）7.求证：，其中为素奇数，8.求所有的，使得平面上有个完全相同

的凸多边形，且满足对任意个凸多边形，所有在他们之中且不在其余多边形中的点的集合为凸多边形（非退化）年北京大学物理学科冬令营试卷数学试题一、单项选择题，共小题1.已知函数是偶函数，其图与轴有个交点，则的所有实数根之和是（）A.B

.C.D.2.若，则的值为（）A.B.C.D.3.方程的两个实根分别为和，且，则的值为（）A.B.C.D.4.当，二次函数的最大值是（）A.B.C.D.5.方程表示的图形是（）A.两条平行直线B.两条相交直线C.两条平行线与一个圆D.两条相交直线与一个圆6.一个梯

形上下底的长度分别为和，两条对角线的长度分别为和，则梯形面积是（）A.B.C.D.7.设个数，，，的平均数为，，，，，的平均数为，，，的平均数为，则有（）A.B.C.D.8.设，则函数的取值范围是（）A.B.C.D.9.外接球的半径为的正四面体的棱长为（）A.B.C.

D.10.设为实函数，满足的实数称为的不动点，设，其中且，若恰有两个互不相同的不动点，则的取值范围是（）A.B.C.D.11.设，是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动点与，均外切，则动点的圆心轨迹为（）A.直线B.圆或椭圆C.抛物线D.双曲线的一支12.考虑三维空间中任意

给定的空间四边形，其中为四个顶点，四条直线段顺序首尾相连，在点的内角定义为射线与射线所成的角，其补角称为点的外角，其它顶点处类似，考虑这种空间四边形的外角和，则有（）A.B.C.D.相对于大小关系不确定，三种可能性都存在13.定义函数，则

此函数为（）A.B.C.D.14.有副动物拼图，每幅一种颜色且各不相同，每幅都固定由同一动物的个不同部分（如头、身、尾、腿）组成，现在拼图被打乱重新拼成了副完整的拼图，但每一副都不是完全同色的，则符合上述条件的不同的打乱方式

种数是（）A.B.C.D.15.设有，做它的内切圆，三个切点确定一个新的，再作的内切圆，三个切点确定，以此类推，一次一次不停的作下去可得得到一个三角形序列，它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（）A.等边三角形B.直角三角形C.与原三角形相似D.以上均不对二、解答题1.设为圆周上依

次排列的五个点，已知，，，，求的长2.集合，集合是集合的子集，中的元素个数为偶数，且中元素之和为奇数，求符合要求的集合的个数3.求证：（1）（2）年北京大学生命科学冬令营试卷数学试题1.已知函数是连续的偶函数，且当时，是严格单调函数，则满足的所有之和是（）A.B.

C.D.2.设集合，，则与的关系是（）A.是在有理数集中的补集B.是的真子集C.是的真子集D.以上均不对3.方程的两个实根中一个大于，另一个小于，则的取值范围是（）A.B.C.D.4.设实数均不为，且满足，则的值为（）A.B.C.D.以上均

不对5.设，则（）A.B.C.D.6.设一个圆锥的底面面积为，它的侧面展开成平面图形后为一个半圆，则此圆锥的侧面积是（）A.B.C.D.7.设，且对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.以上均不对8.设，：，

：，若是的必要而不充分条件，则的取值范围是（）A.B.C.D.9.设，把复数在复平面上对应的向量按顺时针旋转后得到的复数为，那么（）A.B.C.D.10.函数的最大值与最小值的和为（）A.B.C.D.11.设为任意的正整数，函数的取值也是正整数，且满足，，，则（）

A.B.C.D.12.设命题，其中是的充分条件，是的冲要条件，是的充分条件，是的必要条件，则是的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.设直角梯形的高为，其两条对角线交点为，以它的两底中点的连线为直径的圆与此梯形的直腰相交于点和，则到

和这两点的距离之和为（）A.B.C.D.以上均不对14.一种正十二面的骰子，个表面分别写有到的个数字，则扔一对这样的骰子，可能出现的结果种数是（）A.B.C.D.15.设实数，且，则与的大小关系（）A.B.C.D.以上均有可能16.设，则的值为（）A.B.C.D.以

上均不对17.已知时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.不存在这样的18.已知，且，则具有（）A.最大值B.最小值C.取不到最大值或最小值D.以上均不对19.设实数满足且，则之间的大小关系是（）A.B.C.D.不能比较大小

20.设的中线与相交于点，若四点共圆，则的值是（）A.B.C.D.不能确定年北京大学博雅计划测试1．有个不同的元素，有放回地取，则在前五次内取到过相同元素的概率为（保留两位有效数字）（）A．B．C．D．以上选项都不对2．（高斯函数的定义），记，求的最小值（）3．

已知的所有正因数的乘积等于（为之间的正整数），问的个数（）A．B．C．C．以上选项都不对4．求使得成立的正整数的个数（）A．B．C．无穷多个C．以上选项都对5．已知非负实数满足，求的最大值（）A．B．C．C．以上选项都不对6．个人围坐在圆桌旁，从中任取人，两两不相邻的概率

是（）A．B．C．D．以上选项都不对7．已知互不相同的实数，对任意，，则对任意，求（）A．B．C．D．以上选项都不对8．记表示为边长的整数，周长为且互不全等的三角形的个数，求（）A．B．C．D．以上选项都不对9．

已知，，求的最小值（）A．B．C．D．以上选项都不对10．已知为上的动点，则的最小值（）A．B．C．D．以上选项都不对11．求方程的实数根（）A．B．C．D．以上选项都不对12．在面积为的中，线段上各有一点，使得，，记为的交点，求四边形的面积（）A．B．C．D．以上选项都

不对13．为实数，问的最小值属于以下哪个区间（）A．B．C．D．以上选项都不对14．已知为等差不为的等差数列，的坐标，，过向直线做垂线，垂足为，求的最大值与最小值的乘积（）A．B．C．D．以上选项都不对15．从

所有不大于的正整数中任取个，均不相邻的选法有（）种A．B．C．D．以上选项都不对16．组合数定义为，求（）A．B．C．D．以上选项都不对17．数列表示正整数除去完全平方数由小到大的排列，求（）A．B．C．D．以上选项都不对年北京大学博雅计划测试1．若正整数满足，则使得的最大正整数是（

）A．B．C．D．以上选项都不对2．满足的互不相似的一共（）个A．B．C．D．以上选项都不对3．三角形满足一个内角是另一个内角的两倍，且边长为连续正整数，则三边长可能是（）A．B．C．D．以上选项都不对4．的值是（）A．B

．C．D．以上选项都对5．由构造的数除以的余数是（）A．B．C．D．以上选项都不对6．正整数使得也是正整数，则的最大值与最小值之差为（）A．B．C．D．以上选项都不对7．若四边形的对角线相交于，，，，的周长相等，且，，

的内切圆半径分别为，则的内切圆半径是（）A．B．C．D．以上选项都不对8．之和共有（）个A．B．C．D．以上选项都不对9．已知，则的最大值为（）A．B．C．D．以上选项都不对10．单位圆内接五边形的所有边长与对角线的平方

和的最大值是（）A．B．C．D．以上选项都不对11．若，，则（）A．B．C．D．以上选项都不对12．设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．以上选项都不对13．现将正整数数列分成两组，使得两组中均不包含无穷等差数列，问上述分组数（）A．B．C．无穷种D．以上选项都不对14．使

得和个位数字相同的最小正整数是（）A．B．C．D．以上选项都不对年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试数学试题（理）年月号1.判断函数是否为周期函数，如果是，求出最小正周期；如果不是，请说明理由2.4.在方格表中，将若干格子染成

黑色，求每行每列均恰有个黑色格子的方法数3.已知为不超过的最大整数，求方程的解集4.对任意的正整数，证明：存在无穷个正整数为的倍数，在十进制条件下，的最左位为5.为正实数，为负实数，求证：存在，使得成立（）年北京

大学优秀中学生暑期体验营综合测试数学试题（文）年月日1.已知正整数满足，求2.证明双曲线的切线与渐近线的交点与双曲线的两个焦点四点共圆3.判断函数是否为周期函数，如果是，求出最小正周期；如果不是，请说明理由4.在方格表中，将若干格

子染成黑色，求每行每列均恰有个黑色格子的方法数5.对任意的正整数，证明：存在无穷个正整数为的倍数，在十进制条件下，的最左位为年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试数学试题注：文科同学请做至题，理科同学请做至题1.为正实数，，求证：2.非负实数满足，求的最小值3.

已知函数实满足，试证明：是否存在整数使得是整数？如有，请写出所有符合条件的；若无，请说明理由4.证明：不存在映射：，使5.如下图所示，在等腰直角三角形中，，过作的垂线，交于，求证：（请使用平面几何方法证明，解析几何方法不得分）6.实数满足，求的

最大值和最小值7.有条长为的线段，每一条都被分成若干个小线段，证明：总可以从中选择条组成个三角形年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试数学试题注：文科同学请做至题，理科同学请做至题1.已知，求的最小值2.求证：抛物线的焦点

发出的光线经抛物线反射后与抛物线对称轴平行3.在中，已知，为的角平分线，为的中点，过作平行交于，求证：4.已知为无理数，求证：，，，均为有理数的的最大值5.已知正实数列（）满足，求的整数部分6.已知非负实数满足，求证：对任意正实数，都有7.求方程

的实数解：8.在平面凸四边形中，，，点在线段上，为的中点，且，求证：年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试数学试题注：文科同学请做至题，理科同学请做至题1.求函数的最大值2.正实数满足，求的最小值3.在中，证明：4.方程有整根，求的所有可能值5.正实数满足，证明：6.在数

列中，其中是否存在项构成等差数列？7.给定整数，已知有一个无理根，证明：，使得对任意，有年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试数学试题注：文科同学请做至题，理科同学请做至题1.已知在实数范围内有解，求的取值范围2.正数构成等差数列，问，，是否构成等差数列3.设为实数，证明：对于任

意实数的恒成立，当且仅当4.复数，满足，（），求5.一直线与一双曲线交于两点，与该双曲线的渐近线交于两点，证明：6.设锐角满足，求7.已知三角形面积为，，为线段上的点，为线段上一点，记，，，已知，求的最大值以及对应的值年北京大

学优秀中学生暑期体验营综合测试数学试题注：文科同学请做至题，理科同学请做至题1.已知，求的值2.已知中，，为上一点，，，求的取值范围3.为正实数，，求的最大值4.求整系数多项式使5.是椭圆上的点，与两焦点连线的夹角为，求焦点三角形的面积6.证明：7.为三角形三边且，其中为实数，求证：或年清华

大学强基计划真题注：下面试题来自学生的回忆，整理了一下，推送出来分享给大家，题目也许会有一些错误，欢迎大家指正！1.已知，求的最值A.B.C.D.2.非等边三角形中，，，分别为的外心和内心，在上且，下列选项正确的是（）A.四点共圆B.C.

四点共圆D.3.已知集合均为子集，且，，问有序的集合组的个数是（）A.B.C.D.4.已知数列满足，（），则的值可能为（）A.可以等于B.可以等于C.可以等于D.可以等于5.已知为椭圆上一点，，，则的最大值为（）A.B.C.D.6.已知三条边长均为整数，且面积为有理数，则可能值有（）A.B.

C.D.7.已知为双曲线上一点，，，令，，的面积为，则下列表述式为定值的是（）A.B.C.D.8.甲、乙、丙一起做一道题，甲说“我做错了”，乙说“甲做对了”，丙说“我做错了”，而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了，那么谁有可能作

对了题目（）A.甲B.乙对C.丙对D.没有人9.在直角中，，，，，以下正确的是（）A.B.C.D.10.求值：（）A.B.C.D.11.从这十个数中任取五个数组成一个五位数（可以为）位或位，则概率是（）A.B.C.D.12.随机变量

，，满足，且，则（）A.B.C.D.13.已知向量满足，，，则的最值为（）A.最大值为B.最大值为C.最小值为D.最小值为14.，下列说法正确的是（）A.与可以均为完全平方数B.与可以均为完全平方数C.与可以均为完全平方数D.与可以均为完全平方数15.求值：

A.B.C.D.16.正四棱锥中，相邻两侧面夹角为，侧棱与底面夹角为，则（）A.B.C.D.17.已知函数（），则最大值与最小值之和为（）A.B.C.D.18.已知函数的图像如图所示，记，，（），及轴围成曲边梯形面积记为，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.19.定义数列，若对于，，使

得，则称数列为“好数列”，以下正确的是（）A.若，则数列为“好数列”B.若（为常数），则数列为“好数列”C.存在任意的两项均不相同的好数列，且对于任意，D.对于任意的等差数列，存在“好数列”，，使得对于任意，有2

0.求值：（）A.B.C.D.年清华大学“大中衔接”试题1.设指数两两不同，系数不全为零，证明：在上至多个零点2.设：是连续函数，证明：证明：由于是的偶函数，只需证明右极限版本3.设整数，证明：至多只有有限个正整数，使得

方程有非零整数解4.设是单位球面上三个不同点且都位于第一象限中，对于任何两个不同的点，只要不是的直径，则平面与的交集是上的一个圆周，将此圆周分成两段弧，将其中较短的那段弧记为，设弧，，的中点分别为，证明：弧

经过同一个点5.设共有个不同的字母，可用它们构成单词，给定一族（记为）禁用单词，其中任何两个禁用单词长度不等，称一个单词是可用的，如果它不含有连续一段字母恰为某禁用单词，证明：至少有个长为的可用单词6.设是正整数，集合是的子集，满足对任何都有，证明：年

清华大学自主招生试题（部分）1.一个四面体棱长分别为，求外接球的半径2.求值：备注：听说真题是这一道：求值：3.已知为单位圆上一动点，，，求的最大值4.为圆的直径，，为中点，，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.忘记5.，，是到的映射，若满足，则称有序对为“好

对”，求“好对”的个数最小值6.若对，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（）A.B.C.D.7.已知，，，若，求的最大值8.椭圆，过的直线交椭圆于两点，点在直线上，若为正三角形，求的面积9.圆上一点处的切线交抛物线于两点，且满足，其中为坐标原点，求1

0.设为各位数字和，是的各位数字之和，为的各位数字之和，求的值11.实数满足，求的最大值和最小值12.数列满足：，则（）A.单调递增B.无上界C.忘记D.13.若正实数满足，则的最小值为14.设，求最小值15.设，则方程的解的个数为16.若实数

满足，求的取值范围17.在直三棱柱中，已知，，动点在线段上，求的最小值年清华大学人文社科冬令营数学试题注：测试共题，其中题为单项选择题，题为填空题，为解答题，试题为回忆版，部分题目未收录，部分问题不确定是选择题还是填空题一、选择题1.一摩天轮的底部距离地面米，摩天轮

半径长为米，运转一周需要分钟，问摩天轮运转一周过程中，人在距离底面米及以上的总时长（）A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟2.在中，成等比数列，所对角为，则的取值范围（）A.B.C.D.3.如图所示，分别为正方体某三条棱的中点（参考图片），问

面被正方体截得的平面是（）边形A.B.C.D.4.数列满足：，，，则的最大值为5.在的表格中填入（每个数字各出现一次），要求每行从左至右递增，每列从上至下递增，和的位置给出（参考下表），问表格有几种可能的填法？6.记表示不超过的最大整数，如，，求方

程所确定的所有在平面直角坐标系中的面积为7.从圆周上任取三点，形成锐角三角形的概率为8.将二进制小数转化为十进制的结果是9.函数的零点个数为10.为定义在实数集上的增函数，且满足，则11.半径为的球面上有不共面的四个点，满足，，，则12.已知抛物线及其焦点，与连线段

的中垂线为该抛物线的切线，则点的轨迹方程为13.如下图所示，在边长为的正方体中，为中点，，为上底面的两点，满足，（1）与的关系是（2）若允许，在正方体的整个表面运动，则的最小值为二、解答题16.函数，为函数曲线上横坐标为的定点，和为函数曲线上的动点，满足（1

）直接写出的定义域和单调区间（2）对于任意，满足题意的是否存在？若存在，结果是否唯一？（3）记（），，，问何时取得最大值？17.抛物线（）的焦点为，过抛物线外一点作抛物线的切线，，切点分别记为和（1）证明：的方程为（2）证明：（3）证明：年清华大学领军计划测试注：年领军计划数学试题为不定选项，以下

题目为回忆版本，部分问题选项缺失1．均为素数，且为整数，则（）A．中一定有一个是B．中一定有一个是C．一中定有两个数相等D．也为素数2．均为素数，且平均数为，则（）A．中位数最大为B．中位数最大为C．中位数最小为D．中位数最小

为3．整数满足，则这样的有几组（）A．B．C．C．4．在棱形中，，为延长线上一点，，，与三角形外接圆交于，则（）A．四点共圆B．四点共圆C．四点共圆C．四点共圆5．为椭圆上的动点，过做切线交圆于，过做切线交于，则（）A．的最大值为B．的最大值为

C．的轨迹是C．的轨迹是6．实数满足，则（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为7．为正实数，则的最大值为（）A．B．C．D．8．将长为的线段随机截成三段，则它们构成三角形的概率为9．个互补相等的素数排成一排，任意相邻的个和均大于，则这个素数的和的最小值为10．实数满足，则的

最大值为11．在中，，斜边上有一点，使得，为上一点，使得，则12．为两个随机事件，，则的充要条件是（）A．B．C．D．独立13．已知为和为的个非负实数，记，则的最小值为（）A．B．C．D．14．记，则为（）A．B．C．D．15．记，过点可作

的三条切线，则（）A．B．C．或D．16．个人站成一排拍照，从其中任选人，则他们互不相邻的概率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆和圆上各有一个动点，则的最大值为（）A．B．C．D．18．求的值（）A．B．C

．D．19．已知，的最大值为，最小值为，则为（）A．B．C．D．20．已知复数满足：，，且，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．21．英国、法国、意大利、巴西、西班牙和德国六个国家参加足球比赛，甲乙丙对话：甲说：意大利和西班牙肯定不是冠军；乙说：冠

军肯定出自法国或德国；丙说：巴西肯定不是冠军；已知这三人说的话，恰有两人正确、一人错误，则冠军球队是哪个国家（）A．巴西B．德国或法国C．英国D．意大利或西班牙22．数列满足：，（），则下列选项正确的是（）A．B．C．D．23．为三角形的内角，已知

均为整数，则的可能值为（）A．B．C．D．24．数列满足：，，记，则的表达式为（）A．B．C．D．25．若参数使得对任意非负实数恒成立，则下列选项正确的是（）A．若，则的最大值为B．若，则不存在最小值C．“的最大值为”的充

要条件是“”D．若，则的最小值为26．有一个三棱锥，其中一个面为边长为的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）A．B．C．D．27．复数满足，下列选项正确的是（）A．B．C．D．

28．向量的模长为正整数，且，，则（）A．B．C．D．29．若函数满足：对于任意三角形的三边长，也能构成三角形三边长，则称具有性质，则（）A．具有性质B．不具有性质C.当（）具有性质时，D.当（）具有性质时，年复旦大学自主招生试题（回忆版）1.直线：和：，有（）A.和可能重合B.和不可能垂

直C.存在上一点使以为中心旋转后与重合D.以上都不对2.：：，（）A.B.C.D.3.已知实数满足，那么的最小值为4.已知为三角形的内心，，且满足，求的最大值5.？A.B.C.D.6.在抛物线中，过焦点的弦交抛物线于，且有，准线与轴交于点，作

到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，的值为7.抛物线焦点为，其上一点的切线与夹角为，求的横坐标（）A.B.C.D.忘记了8.已知为直线上一点，且到点和的距离相同，则点的坐标为9.已知随机变量，且，连接

点，与原点，那么的概率为10.（）A.B.C.D.以上均不对11.已知三棱锥的体积为，且，，，则的长度12.在中，，，则边上的中线长度为13.若，则的图像大致为14.定义，，那么已知集合：与：，则15.方程有几组非负整数解的组数为（）A.B.C.D.16

.已知，且，满足，则的值为（）A.B.C.忘记了D.忘记了17.设，若，则的值为（）A.B.C.D.与有关18.如图所示凸四边形，则条件是条件的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19.如图，平面中两条直线与相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的

距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，已知常数，，给出下列三个命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个②若且，则“距离坐标”为的点有且仅有个③若，则“距离坐标”为的点有且仅有个上述命题中，正确的命题个数为（）A.B.C.D.20.函数的反函数为，那么在上的最大值和最小值的和为（）A.B.C

.D.21.已知，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围为22.如图所示四点共圆，且，，，，则的长度为A.B.忘记了C.忘记了D.忘记了23.向量数列满足，且，，令，则当取到最大值时，的值为（）A.B.C.D.或24.“题目中给出了个函数，其中个为奇函数，

个为偶函数”，在这个函数中任取个，其中既有奇函数又有偶函数的概率为25.下列不等式恒成立的是（）A.B.C.忘记了D.26.点绕点逆时针转，得到的点为27.实数满足，若的值与无关，则的取值范围是28.某公司安排甲、乙、丙等七人完成除夕到大年初六共七天的值班任务，每人负责一天，但甲

不能在除夕，乙不能在大年初一，甲和丙在相邻两天值班，这样的安排方式共有（）种29.已知，若，则在能确定的参数是30.若三次方程有一个根是纯虚数，则31.展开式中，常数项为32.33.方程所表示的曲线形状为是年上海交通大学自主

招生试题（部分）1.函数的定义域为，若，则函数的定义域为2.已知方程，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有无穷多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于，其中错误的判断有3.小于的正整数中，既不是的倍数也不是的倍数的整数有个4.已

知边长为的正三角形，，分别在边，上，满足，连接，，则和的夹角为5.的顶点坐标分别为，，，则角的平分线所在的直线方程为6.从个红球，个黑球，个白球中任意取个，有种不同的qufa7.已知过，，则8.过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，横坐标之和为，则直线的条数为9.

用同样大小的正边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则的值为10.若三条直线，，将平面划分成个部分，，则可能的取值情况是（）A.只要唯一值B.有两个不同值C.有三个不同值D.无穷多个值11.非零实数，若，，成等差数列，则下列不等式不成立的是（）A.B.C.D.12.函数定

义域为，若对任意的，都存在唯一的，使得，则称在上和为，下列函数中和为的函数有个13.若集合中任意两个元素的和差积商的运算结果都在中，则称是封闭集合，下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）中，封闭集合的个数为14.方程的正整数解有15.若

，且满足，则16.若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为17.设是函数在区间上的最大值，则的最小值为18.立方体个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共

有对19.空间三条直线两两异面，则与三条直线都相交的直线有条20.用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长的最小值为21.矩形的边，过，作直线的垂线，垂足分别为，，且，分别为的三等分点，沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为22.平面上给定个点，

任意三点不共线，过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的点）个数至多有个23.实数满足，，则24.甲、乙、丙三人的职业分别是，乙的年龄比大，丙的年龄和不同，比甲的年龄小，则甲乙丙的职

业分别为（）A.B.C.D.25.函数，的最小值是年上海交通大学自主招生试题1.已知，且，求2.已知，若，试比较的大小3.已知方程各个实根为，若点均在直线同侧，求的取值范围4.已知复数满足，且，求负实数的值5.若方程的三个根可以作为三角形

的三边长，求的范围6.对于，若，求的最小值7.已知数列满足：，若，求的最小值8.设展开式中奇次幂的项的和为，求9.已知不全为，求最大值10.已知的面积为，在线段上，在线段上，在线段上，且满足，若，求的面积的最大值11.对定义域内任意的，若满足，则称为凸函数，下列函数是凸函数的

是（）A.B.D.D.12.已知复数所对应的点为，若，且满足，求的面积13.实数满足，求最大值14.在中，满足，求15.数列是的末两位数，求16.为的外心，到三边的距离分别为，则（）17.定义平面上两点的折

线距离为，若平面上一点到，的折线距离之和最小，则点坐标为18.已知，，则的充要条件是（）A.B.C.D.年中国科学技术大学创新班初试数学试卷一、填空题1.函数的值域是2.若且，则3.若函数与的图像关于直线对称，则4.在

平面直角坐标系中，设是坐标原点，定点，动点满足且，则的最大值是5.若椭圆d的一条切线与轴相交于点，则与两坐标轴所围成的三角形面积是6.设三个正整数满足且，则7.的展开式中的系数是8.从中随机选取个不同的数，并从小到大排列，则它们构成等差数列的概率为二、为测量远处一座山峰相对于水平地面的高

度，测量者选取了水平地面上三点，分别测量了直线与水平地面的夹角，，，其中是山峰的顶点，已知是的中点，，求（用表示）三、设，是满足以下两个条件的数列，，，的个数：（i）每个都是或，（ii）当时，任意相邻两项的乘积（1）求（2）求四、（1）求的单调

区间和最大值（2）设并且，求证：，其中是自然对数的底数年中国科学技术大学创新班初试数学试卷一、填空题1.被除的余数是2.设复数，满足，，，则3.对任意实数均有，则实数的取值范围是4.已知的三个内角满足，则的最大值是5.设，，则与的

大小关系是6.记为中所有元素之和，满足被整除但不被整除的非空集合共有个7.设是梯形，，过对角线与的交点作的平行线交于，过与的交点作的平行线交于，如此继续下去，若，，则8.设是与最接近的整数，则二、设正数满足，求证：三、设是正整数集合，求所有满足以下性质的函数：：对于任何正整

数都有四、求方程的所有非负整数解年中国科学技术大学创新班初试数学试卷一、填空题1.函数与的图像共有个交点2.设是正整数，方程共有组整数解3.已知映射既是单射又是满射，并且满足，则4.函数的取值范围是5.设是等边三角形，，，直线交于点，，则6.设正四

棱锥的底面边长和高都是，点分别在线段上，则的最小值为7.设复数满足，则的实部的最小值为8.从正方体的条棱选出条两两不相交的棱，共有种选法二、设的外接圆半径是，角所对的边分别为满足，（1）证明角是常值，

并求角；（2）求的取值范围三、设椭圆：（1）求点处椭圆的切线方程（2）设点在椭圆上，在双曲线上，证明：四、设实数，满足，证明：若，则存在实数使得，年中国科学技术大学创新班初试数学试卷一、填空题1.2.

设，则3.设，则的最小值是4.设，满足的映射的个数是5.设是复数，是虚数单位，关于的方程有实根，则的取值范围是6.设定义在上的函数是单射，对任意有，，则7.在四面体中，是斜边长的等腰直角三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，点分别在线段，上，则的最小值是8

.在平面直角坐标系中，设点在圆上运动，把向量绕点逆时针旋转，得到向量，则动点的轨迹方程是二、在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于两点，使得的面积是，求直线的方程三、求所有二次实系数多项式，使得整除四、设，，，求证：（1）（2）中国科学技术大学年创新试点班考

试数学一、填空题（每小题5分，共40分，结果须简化）.1.平面区域的面积是2.方程，的所有根之和3.设点,，，，则面积的最小值为4.设，，是参数，则的最大值为5.平面直角坐标系中中，，把向量绕顺时针旋转定角得，关于轴的对称点记

为，，则的坐标为6.若，（），则7.设是复数是纯虚数，则的最小值是8.已知，且，则二、（20分）设四面体，可由沿各边中点连线折起来围成，，，，求四面体的体积。三、（20分）设是正整数，证明是方程的唯一解。四、（20分）设是正整数（1）证

明：存在多项式，使得（2）在实数范围内完全因式分解年中国科学技术大学创新班初试数学试卷（还原版）1.若，则的取值范围是2.若，则包围图形的面积3.的离心率是4.，，，则5.，为正整数，为素数，则6.，，，则，，

大小顺序是7.，且，，，、、为三角形的三边，则的取值范围是8.，为的排列，若且则为顺序对，设为的顺序对的个数，则9.已知，求的取值范围10.已知，求所有，使得，恒成立11.已知，证明：当，不等式成立，且该不等式不成立年香港中文

大学（深圳）综合评价测试题（回忆版）1.已知复数满足，若方程的两个复数解为，且，求的最值2.一条过点的直线与轴的正半轴交于点，与轴正半轴交于点，求的最小值，的最小值3.已知，求的最大值4.已知函数，研

究其性质年月深圳北理莫斯科大学附加数学入学测试1.请解方程2.请解方程并计算所有在区间内的解的和3.请解不等式4.请解不等式5.求满足方程的所有整数对6.在直角梯形（其中顶点对应于直角）中放置两个圆，其中一个圆相切于两条腰和边长，另一个圆相切于两条腰、短边和第一个圆。如果两个圆的半径分别为和，

求梯形的面积7.找出参数的所有可能值，使得下述方程组多于一个解8.假设边长为的立方体的对角线垂直于下方的平面，求此立方体投影到该平面所围成多边形的面积年浙江大学自主招生试题1.已知，求的值2.已知，若

的平均数为最简分数，其中，则的值为3.动圆过定点，且圆心到轴的距离为，则圆心的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定4.一枚质地均匀的硬币，扔硬币次，正面朝上次数多的概率为5.已知，求的最小值

6.已知为次的整系数多项式，若和均为奇数，则（）A.无整数根B.可能有负整数根C.无解D.忘了综上所述：无整数根，故选7.是所有小数中最接近的数，求的值8.已知，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则9.复数，满足，求10.若，且满足，求11.已知点在椭圆上，求的最大值与

最小值的和12.若将表示为若干个正整数的和，则这些正整数的积的最大值为13.数列满足，求的值14.定义在上的偶函数满足，求15.若是方程的两根，且满足，则的可能取值有多少个？16.的顶点，其内心在直线上，且，则顶点的轨迹方程为