【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：5.3诱导公式 含解析【高考】.doc，共(11)页，225.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-5.3诱导公式知识点一同角三角函数基本关系式1．平方关系：sin2_α＋cos2_α＝1(α∈R)．2．商数关系：tanα＝sinαcosα(α≠kπ＋π2，k∈Z)．易误提醒利用平方关系解决问题

时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．必备方法三角函数求值与化简的常用方法1．弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正、余弦．2．和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．3．巧用“1”的变换：1

＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4＝….[自测练习]1．若cosα＝13，α∈－π2，0，则tanα等于()A．－24B.24C．－22D．22解析：由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinα

cosα＝－22.答案：C2．若tanα＝2，则sinα－cosαsinα＋cosα的值为()A．－13B．－53C.13D.53解析：sinα－cosαsinα＋cosα＝tanα－1tanα＋1＝2－12＋1＝13.答案：C知识点二-2-诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z

)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变，符号看象

限必记结论对于角“kπ2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[自测练习]3．sin600°＋tan24

0°的值等于()A．－32B.32C.3－12D.3＋12解析：原式＝sin240°＋tan(180°＋60°)＝－sin60°＋tan60°＝32.答案：B4．已知π2<θ<π，sinπ2＋θ＝－35，则tan(π－θ)的值为()A.34B.43C．

－34D．－43解析：∵sinπ2＋θ＝－35，∴cosθ＝－35，又∵π2<θ<π，∴sinθ＝45，∴tan(π－θ)＝－tanθ＝43.答案：B-3-考点一三角函数的诱导公式|1．(2015·肇庆模拟)已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)＝(

)A.35B．－35C.45D．－45解析：由sinπ2＋α＝35，得cosα＝35，又∵α∈0，π2，∴sinα＝45，sin(π＋α)＝－sinα＝－45.答案：D2．已知f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos(－π－α)tan

(π－α)，则f－253π的值为()A.12B．－12C.32D．－32解析：f(α)＝－sinα·(－cosα)－cosα·(－tanα)＝sinαtanα＝sinα×cosαsinα＝cosα.∴f－25π3＝c

os－25π3＝cos253π＝cosπ3＝12.答案：A3．化简：1－2sin40°cos40°cos40°－1－sin250°＝________.解析：原式＝sin240°＋cos240°－2sin40°cos40°cos40°－cos250°＝|sin40°－cos40°|cos4

0°－cos50°＝cos40°－sin40°cos40°－sin40°＝1.答案：1应用诱导公式时应注意的两个问题(1)由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的-4-整数倍去掉后再进行运算，如

cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.(2)将任意角的三角函数化为锐角三角函数的流程：任意角的三角函数→任意正角的三角函数→0°到360°角的三角函数→锐角的三角函数考点二同角三角函数的基本关系|同角三角函数的基本关系

是三角变换的基础，也是高考命题的热点、难度不大、归纳起来常见的命题探究角度有：1．知弦求弦、切问题．2．知切求弦问题．3．sinα±cosα，sinα，cosα的关系应用问题．4．已知tanα，求f(sinα，cosα)值问题．探究一知弦求弦、切问题1．

已知cosα＝k，k∈R，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝()A．－1－k2B.1－k2C．±1－k2D．－k解析：由cosα＝k，α∈π2，π得sinα＝1－k2，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－

1－k2，故选A.答案：A2．(2016·厦门质检)若α∈π2，π，sin(π－α)＝35，则tanα＝()A．－43B.43C．－34D.34解析：∵α∈π2，π，sinα＝35，∴cosα＝－45，∴tanα＝－34.答案：C探究二知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝3

4，且α∈π2，3π2，则sinα＋π2＝()A.45B．－45-5-C.35D．－35解析：tan(α－π)＝34⇒tanα＝34.又因为α∈π2，3π2，所以α为第三象限角，所以sinα＋π2＝cosα＝－45.答案：B探究三sin

α±cosα、sinαcosα关系应用问题4．已知sinθ＋cosθ＝430<θ<π4，则sinθ－cosθ的值为()A.23B．－23C.13D．－13解析：将cosθ＋sinθ＝43两边平方得1＋2sinθcosθ＝169，解得2sinθc

osθ＝79，由于0<θ<π4，故cosθ>sinθ，因此sinθ－cosθ＝－(cosθ－sinθ)2＝－1－2cosθ·sinθ＝－1－79＝－23，故选B.答案：B探究四已知tanα，求f(sinα，cosα)值问题5．已知sin

α＋3cosα3cosα－sinα＝5，则tanα的值为()A.25B．－25C．－2D．2解析：由于sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，故tanα＋33－tanα＝5，所以tanα＝2.答案：D6．已知tan(θ－π)＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2

cos2θ＋3的值为________．解析：法一：由tan(θ－π)＝2得tanθ＝2，故cos2θ＝15，sin2θ＝45，sinθcosθ＝25，故sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＋3＝195.法二：由tan(θ－π)＝2得tanθ＝2，所以si

n2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＋3＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＋3＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＋3＝195.-6-答案：195同角三角函数基本关系式应用时两个注意点(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用s

inαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.10.sinα±cosα及sinα，cosα之间的方程思想【典例】(1)(2015·揭阳模拟)已知sinαcosα＝18，且5π4<α<

3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B.32C．－34D.34(2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2<α<π，则sinα－cosα＝________.[思路点拨](1)可先考虑cosα－sinα的符号，然后平方解决．(

2)将条件化简可得sinα＋cosα＝23，然后两边平方可求sinαcosα的值，然后同问题(1)解决．[解析](1)∵5π4<α<3π2，∴cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，∴cosα－sinα>0，又(cosα－sinα)2＝1－2sinαc

osα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.(2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23，将式子两边平方得1＋2sinαcosα＝29，故2sinαcosα＝－79.∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα

＝1－－79＝169.又∵π2<α<π，∴sinα>0，cosα<0.∴sinα－cosα＝43.[答案](1)B(2)43-7-[思想点评]1.sinα±cosα与sinαcosα充分体现了方程思想的运用，即“知一求二”，其关系是：(1)(

sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝1.(2)(sinα－cosα)2＋2sinαcosα＝1.(3)(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2.2．注意sinα＋cosα，sinα

－cosα在各象限取值符号的判断．[跟踪练习]已知－π2<x<0，sinx＋cosx＝15，则sinx－cosx＝________.解析：将等式sinx＋cosx＝15两边平方，得sin2x＋2sinx·cosx＋cos2x＝125

，即2sinxcosx＝－2425，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.又－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0，sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－75.答案：－75A组考点

能力演练1．已知cosπ2＋α＝35，且α∈π2，3π2，则tanα＝()A.43B.34C．－34D．±34解析：因为cosπ2＋α＝35，所以sinα＝－35，显然α在第三象限，所以cosα＝－45，故tanα＝

34.答案：B2．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα的值是()A.355B.377C.31010D.13解析：由已知可得－2

tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，故sinα＝31010.-8-答案：C3．(2015·枣庄模拟)已知cosα＝15，－π2<α<0，则cosπ2＋αtan(α＋π)cos(－α)tanα的值为()A．26B．－2

6C．－612D.612解析：cosπ2＋αtan(α＋π)cos(－α)tanα＝－sinαtanαsinα＝－cosαsinα，∵cosα＝15，－π2<α<0，∴sinα＝－265，原式＝612.答案：D4．已知2tanα·sinα＝3，－π2<α<0，则sinα＝()A.32B

．－32C.12D．－12解析：由2tanα·sinα＝3，得2sin2αcosα＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，又－π2<α<0，解得cosα＝12(cosα＝－2舍去)，故sinα＝－32.答案：B5．若A，B是锐角△ABC

的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵△ABC是锐角三角形，则A＋B>π2，∴A>π2－B>0，B>π2－A>0，∴sinA>sinπ

2－B＝cosB，sinB>sinπ2－A＝cosA，∴cosB－sinA<0，sinB－cosA>0，∴点P在第二象限，选B.答案：B6．已知α∈0，π2，cosα＝45，则sin()π－α＝________.-9-解析：因为α∈0，π2，所以sin

(π－α)＝sinα＝1－cos2α＝35.答案：357．(2015·南昌调研)已知tanα＝2，则cos()π＋α·cosπ2＋α的值为________．解析：本题考查三角函数基本公式．依题意得cos(π＋α)cosπ2＋α＝cosαsinα＝cosαsinαcos2α

＋sin2α＝tanα1＋tan2α＝25.答案：258．(2015·长沙一模)设f(x)＝sinxπ3，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝________.解析：由于f(x)＝sinxπ3，所

以f(n＋6)＝sin(n＋6)π3＝sin2π＋nπ3＝sinnπ3＝f(n)，所以f(x)是以6为周期的函数，由于f(1)＝f(2)＝32，f(3)＝f(6)＝0，f(4)＝f(5)＝－32，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋

f(2015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.答案：09．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin()3π＋α·tanα－7π2的值．解：∵cos()α－7π＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin(3

π＋α)·tanα－7π2＝sin(π＋α)·－tan7π2－α＝sinα·tanπ2－α＝sinα·sinπ2－αcosπ2－α＝sinα·cosαsinα＝cosα

＝35.10．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2<α<π.求下列各式的值．(1)sinα－cosα；(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α.解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，-10-得sinα＋cosα＝23，两边平方，得1＋2sinα·c

osα＝29，故2sinα·cosα＝－79.又π2<α<π，∴sinα>0，cosα<0.(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－－79＝169，∴sinα－cosα＝43.(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α＝cos3α－sin3α＝

(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)＝－43×1－718＝－2227.B组高考题型专练1．(2015·高考福建卷)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等

于()A.125B．－125C.512D．－512解析：因为sinα＝－513，且α为第四象限角，所以cosα＝1213，所以tanα＝－512，故选D.答案：D2．(2013·高考大纲全国卷改编)已知α是第二象限角，sinα＝513，则tanα的值是()A.512B．

－512C.125D．－125解析：∵sinα＝513，且α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1213，则tanα＝sinαcosα＝－512.答案：B3.(2013·高考浙江卷改编)已知sinα＋2cosα＝102(α∈R)，则tan2α＝________.解析：由sinα＋2

cosα＝102，平方得-11-sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝52，整理，3sin2α－8sinαcosα－3cos2α＝0，∴3tan2α－8tanα－3＝0，则tanα＝3或tanα＝－13.代入tan2α＝2tanα1－tan2α，得tan2α＝－34.答案

：－344．(2015·高考四川卷)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．解析：sinα＋2cosα＝0⇔tanα＝－2，所以2sinαcosα－cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2t

anα－1tan2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－15．(2015·高考广东卷)已知tanα＝2.(1)求tanα＋π4的值；(2)求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值．解：(1)tan

α＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－(2cos2α－1)－1＝2sinα

cosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tanαtan2α＋tanα－2＝2×222＋2－2＝1.