【文档说明】江西省南昌市第十中学2021届高三下学期第一次月考数学（文）试题含答案.docx，共(11)页，473.158 KB，由小赞的店铺上传

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南昌十中2020－2021学年下学期第一次月考高三数学（文）试题说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0．5毫米签

字笔填写在答题卡和答题纸上。2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、

不破损。3．考试结束后，请将答题纸交回。一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分,在每小题列出的四个选项中只有一项符合题目要求）1．若复数z满足()1iiz+=−（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．12−B．12C．1i2−D．1i22.已知集合2,2,0Aaa=−，

2,aBab=+，若1AB=−，则b=（）A.－1B.－2C.0D.13.椭圆C：2221(0)3xyaa+=的焦点在x轴上，其离心率为12，则（）A.椭圆C的短轴长为3B.椭圆C的长轴长为4C.椭圆C的焦距为4D

.4a=4．某学校举行诗歌朗诵比赛，最终甲、乙、丙三位同学夺得前三名，关于他们三人的排名评委老师给出以下说法：①甲是第一名：②乙不是第二名：③丙不是第一名，若三种说法中只有一个说法正确，则得第三名的是（）A．甲B．乙C．丙D．

无法判定5.函数()21sin1xfxxe=−+的图象大致为（）A.B.C.D.6．甲、乙两名同学分别从四个景点中选取一个景点游玩，则这两名同学选取不同景点的概率为（）A．B．C．D．7.已知平面，，直线l，m，且有l⊥，m

，给出下列命题：①若//，则lm⊥；②若//lm，则⊥；③若⊥，则//lm；其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.38.在等差数列na中，178−aa，前n项和nS有最小值，则当0nS时，n的最大值为()A．7B．8C．13D．149．将函数()sin2co

s2fxxx=−的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间π[0,]2上单调递增B．最小正周期为π2C．图象关于π4x=对称D．图象关于π(,0)4对称10．已知115414111(),(),log455

abc===，则,,abc的大小关系为（）A．abcB．cab9C．bcaD．cab11．设1F，2F分别是双曲线22221xyCab−=：（00ab，）的左右焦点，过2F作双曲线

的一条渐近线的垂线，垂足为H，若12||3||HFHF=，则双曲线的离心率为（）A．332B．6C．3D．62）的取值范围值是（有两个极值点，则实数已知函数axaxxxxf221ln)(.122−−=A．（

﹣∞，e﹣2）B．（0，e﹣2）C．（﹣∞，e﹣1）D．（0，e﹣1）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13．某班级为了解本班49名学生的体质健康状况，将这些学生编号为1，2，3，…，49，从这

些学,,,ABCD14122334生中用系统抽样方法等距抽取7名学生进行体质健康测试．若32号学生被抽到，则在8~14号学生中被抽到的是号．14．已知平面向量a与b的夹角为π3，若(13)=a，，||7−=

ab，则||=b_____.15.已知三棱锥PABC−，3BAC=，3BC=，PA⊥平面ABC且23PA=，则此三棱锥的外接球的体积为________.16.已知数列{an}对任意的n∈N*都满足naaaann=++++3...333

33221，343143loglog1+−=nnnaab，则数列{bn}的前n项和为__．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必答题

17．（12分）在①1coscos32BB−=+，②sin(sinsin)sinaAcCAbB+−=，③3tantancoscABbA=+这三个条件中，仼选一个，补充在下面问题中，（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）问题：在ABC中，,,abc分别为角,,AB

C所对的边，23b=，________．（1）求角B；（2）求2ac+的最大值18．（12分）某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗a60m注射疫

苗b30n总计11090200从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为．（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情

况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率．附：K2＝．18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB∥CD且AB⊥AD，PA＝CD＝2AB＝2，AD＝PD＝．E为PB中点．（1）求证：PA⊥面CDE；（2）求点E

到面PCD的距离．20．（12分）已知椭圆221222:1(0)xyCabFFab+=，，分别为C的左右焦点，离心率12eP=，为椭圆上的任意一点，且1PF的最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程．（2）过2F的直线交椭圆C与,AB两点，其中A关于x轴的对称点为A（异与点B），试判断

AB所在的直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标，若不是请说明理由．21．（12分）已知函数()lnxfxaex=，（其中2.71828e=…是自然对数的底数），2()ln,(0)gxxxaa=+

（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设函数()()()hxgxfx=−，若()0hx对任意的(0,1)x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计P（K2≥k）0.050.0250.

0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828分．22.[选修4–4:坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为14314xtyt==−（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为,若曲线与相交于A,B两点，求的值．23．【选修4：不等式选讲】（10分）已知函数()|2|2|3|fxxx=++−（1）若不等式()fxm

恒成立，求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，若abc、、为正实数，且三数之和为m的最大值，求证：222253abc++文科数学参考答案一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）123456789101112ABBBADCCCADB二、填空题（本大题共4题

，每小题5分，共计20分）13．1115．316．32316.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）17.（本大题12分）（1）解：选择①：由1c

oscos32BB−=+，得131cossincos222BBB+=+即311sincos222BB−=所以1sin62B−=因为0B，所以5666B−−，故66B−=所以

3B=（6分）选择②：由正弦定理sin(sinsin)sinaAcCAbB+−=，可化为222acbac+−=由余弦定理得2221cos22acbBac+−==因为0B，所以3B=，（6分）选择③：由正弦定理得33sincos

sincoscCbABA=，又sinsinsin()sintantancoscoscoscoscoscosABABCABABABAB++=+==，由3tantancoscABbA=+得sin3sincoscossincosCCABBA=因为sin0C

所以tan3B=因为0B，所以3B=．（6分）（2）在ABC中，由（1）及2323,4sinsinsin32bacbBAC====，4sin,4sinaAcC==，（8分）所以224sin8sin4

sin8sin8sin43cos3acACAAAA+=+=+−=+47sin()A=+（10分）因为203A且为锐角，所以存在角A使得2A+=，所以2ac+的最大值为47（12分）18．（本大题12分）解：（1）根据条件＝，解得m＝100，从而a＝

40,b＝70,n＝100,（2分）由K2＝≈18.182,（5分）因为18.182＞10.828，所以有99.9%的把握认为注射此疫苗有效．（6分）（2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为2：1，所以从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记

为a、b、c、d；从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为E、F；（8分）从6只小白鼠中抽取2只共有15种方法，即有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，记A＝{

至少有1只为注射过疫苗}，则A包含9个基本事件，（11分）从而P（A）＝＝，所以至少有1只为注射过疫苗的概率是．（12分）19．（本大题12分）解：（1）证明：取PA的中点F，连接DF,EF，因为EF∥AB，而AB∥CD，所以EF∥CD，从而有E,F,C,D四点共面，又AD＝D

P,且F为AP的中点，所以PA⊥DF,（3分）又面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，由面面垂直性质定理得CD⊥面PAD,（5分）从而PA⊥CD,CD∩DF＝F，故PA⊥面CDE．（6分）（2）由（1）知EF∥CD，故E点到面PCD的距离即为F点到面PCD的距离．过F点作FH⊥

PD，因为CD⊥面PAD，所以FH⊥CD，故FH⊥面PCD,在Rt△PDF中，PF＝1,PD＝,DF＝，从而FH＝＝,故E点到面PCD的距离为．（12分）20．（本大题12分）详解（1）根据题意知121caac=−=，解的2,1a

c==由此可得，23b=故椭圆的标准方程为22143xy+=（4分）（2）由（1）知，2(1,0)F，直线AB的斜率不可能为0，因此设直线AB的方程为(0)xmytm=+，与椭圆C联立，得关于y的一元二次方程()22234631

20mymtyt+++−=，设()()1122,,,AxyBxy，则()11,Axy−根据韦达定理有21212226312,3434mttyyyymm−−+==++①（7分）而AB所在的直线经过点2(1

,0)F，因此2121122121011yyyxyxyyxx−=+−−=−−等价于()12122(1)0myytyy+−+=将①式代入，得()22312(1)60mttmt−−−=，化简得4t=，因此直线AB恒过定点(4,0)．（12分）21．（本大题12分）详解：（1）因为

()lnxfxaex=，所1()ln,(0,)xfxaexxx=++．令1()lnkxxx=+，则21()xkxx−=，（2分）当(0,1)x时，()0kx，函数()kx单调递减；当(1,)x+时，

()0kx，函数()kx单调递增．（4分）所以()(1)10kxk=，又因为0,0xae，所以()0,()fxfx在定义域(0,)+上单调递增（5分）（2）由()0hx得()()0gxfx−即，即：

2lnlnxxxaaex+即：(ln)ln,lnlnxxxxxaaexxaeaex+所以()lnlnxxaexxae，即()lnlnxxaexxae，对任意(0,1)x恒成立，（7分）设ln()xHxx=，则21

ln()xHxx−=所以，当(0,1)x时，()0Hx，函数()Hx单调递增，且当(1,)x+时，()0(0,1)Hxx，时，()0Hx．若1xaex，则()0()xHaeHx，若01xae，因为()()xHaeHx，且()Hx在(0,1)上单调递增，所

以xaex，综上可知，xaex对任意(0,1)x恒成立，即xxae对任意(0,1)x恒成立．（10分）设(),(0,1)xxGxxe=，则1()0,(0,1)xxGxxe−=所以()Gx在(0,1)

单调递增，所以1()(1)GxGae=，即a的取值范围为1,e+．（12分）22．（本大题10分）解：（1）把参数方程14314xtyt==−（t为参数）消去参数t得310xy−−=（2分）由2C的极坐标方程为4sin=−，两

边同乘以，得24sin=−，将cossinxy==且222xy=+代入，得曲线2C的直角坐标方程为2240xyy++=；（5分）（2）直线1C的标准参数方程12312xtyt==−

，（t为参数）把直线1C的参数方程12312xtyt==−，（t为参数）代入曲线2C的普通方程2240xyy++=中，整理得2330,0tt+−=12123,30tttt+=−=−，（8分）利用参数的几何意义知：()212121212121211224

111115||||3ttttttttPAPBtttttttt+−+−+=+====．（10分）23.（本大题10分）详解：（1）由题可知34,2()8,2334,3xxfxxxxx−+−=−−−当2x−时，()3410fxx=−+当23x−时，()8

(5,10)fxx=−当3x时，()345fxx=−所以函数()yfx=的值域为[5,)+，若不等式()fxm恒成立，则5m（5分）（2）由（1）知5abc++=证明：222222222ababbcbcac

ac+++()2222222abcabbcac++++()2222223222abcabcabbcac+++++++即：()22223()25abcabc++++=222253abc++当且仅当abc==时取“=”号（10分）