【文档说明】山西省晋中市2021-2022学年高三上学期期末调研数学（理）试题含答案.docx，共(21)页，1.577 MB，由小赞的店铺上传

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2021~2022学年第一学期高三期末考试数学试题（理科）（时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，考生务必将自己的学校､姓名､班级､准考证号填写在答题卡相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选

出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共12小题，每小

题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合221,560xAxBxxx==+−∣∣，则AB等于（）A.()1,0−B.()0,1C.()0,6D.()6,1

−2.已知复数1i2i1iz−=++（i为虚数单位），则z等于（）A.0B.12C.1D.23.下列命题中，真命题有（）①,e10xxx−−R…；②00010,ln2lnxxx+„；③若命题pq是真命题，则p是真命题；

④22xxy−=−是奇函数.A.4个B.3个C.2个D.1个4.已知双曲线2221(2)2xyaa−=的两条渐近线的夹角为3，则a的值为（）A.63B.6C.63或6D.235.下午活动时间，全校进行大扫除，某班卫生委员将包括甲､乙在内的6位同学平均分成3组，分别派到3块班级管辖区域清理卫

生，问甲､乙被分到同一个管辖区域的概率为（）A.16B.15C.14D.136.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN=+.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递

速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.2倍，信噪比SN从100

0提升到16000，则C比原来大约增加了（）（附：lg20.3）A.32%B.43%C.54%D.68%7.已知数列na为等差数列，nS为其前n项和，若47118,55aaS+==，则9S等于（）A.27B.25C.20D.

108.已知()51(1)axx++的展开式中2x的系数为5，则a等于（）A.4−B.3−C.2−D.1−9.已知()fx是奇函数并且是R上的单调函数，若方程()()3130fxfx++−−=有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A.()3,1−B.()

(),13,−−+C.()1,3−D.()(),31,−−+10.若点P是圆22:(3)(2)1Cxy++−=上任一点，则点P到直线1ykx=−距离的最大值为（）A.5B.6C.321+D.110+11

.如图，已知抛物线24yx=，圆22:20Cxyx+−=，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于,,,PMNQ，则PMQN等于（）A.1B.2C.4D.812.已知三棱锥PABC−的顶点P在底面的射影O为ABC的垂心，若ABC的面积为,ABCSOBC的面积为,OBCSPBC的面积为P

BCS，满足2ABCOBCPBCSSS=，当,,PABPBCPAC的面积之和的最大值为8时，则三棱锥PABC−外接球的体积为（）A.43B.83C.163D.323二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()()1,1,3,abbaa==+⊥，

则向量a与向量b的夹角为__________.14.若直线2yxa=+是函数lnyxx=+的图象在某点处的切线，则实数a=__________.15.已知函数()sin3cos(0)fxxx=+，且在,32

上单调递增，则满足条件的的最大值为__________.16.若数列na满足()1*1(1)2nnnnaan++=−+N，令1351924620,SaaaaTaaaa=++++=++++，则TS=__________.三､解答题：共70分，解答应写

出文字说明､证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都应该作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且2cos2bCac=+.（1）

求角B的大小；（2）若23,bD=为AC边上的一点，1BD=，且__________，求ABC的面积.①BD是B的平分线；②D为线段AC的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.18.（本小题满分12分）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形A

BCD为圆柱下底面的内接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且3PD=，圆柱的底面半径为1.（1）证明：ADPC⊥；（2）2,ADB=为AC的中点，点Q在线段PB上，记2PQQB=，求二面角BACQ−−

的余弦值.19.（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到

如下表格：潜伏期（单位：天）0,2(2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,14人数501502003002006040（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；（2）该传染病的潜伏期

受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，

认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期8天潜伏期8天总计50岁以上（含50）10050岁以下65总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过8天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过8天的概率，每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中

潜伏期超过8天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk…0.050.0250.0100k3.8415.0246.63520.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCa

bab+=的离心率12e=，椭圆上的点与左､右顶点所构成三角形面积的最大值为23.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过椭圆C右焦点的直线12,ll的斜率分别为12,kk，满足1212,kkl=−交C于点,EF，2l交C于点,GH，线段EF

与GH的中点分别为,MN.判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()()e21,2ln14,xfxaxgxaxaxa=+−=+−R.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若对任意的)()()0,,

xfxgxx++…恒成立，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）在平面直

角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为224xtyt==（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin324−=.（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）设点P在1

C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时点P的直角坐标.23.（本小题满分10分）已知函数()1fxxxa=−++.（1）若2a=，求不等式()4fxx+„的解集；（2）若0,0,0abc，且()fx的最小值为4bc−−，求证：1

143abc++….2021~2022学年第一学期高三期末考试数学答案（理科）1.B21{0},xAxxx==∣∣2560{61}Bxxxxx=+−=−∣∣，()0,1AB=，故选B.]2.C()(

)()()1i1i1i2i2ii2ii1i1i1iz−−−=+=+=−+=++−，则1z=，故选C.3.B对于①，令()1,xfxexx=−−R，则()1,xfxex=−R，当(),0x−时，()()0,fxfx单调递减；当()0,x+时，

()()0,fxfx单调递增，所以()()00fxf=…，即,10xxex−−R…，所以①正确；对于②，当102x=时，1ln0,0lnxx，所以1ln2lnxx+„成立，所以②正确；对于③，若命题pq是真命题，则,pq至少有一个为真命题，所以p真假不能判断，所以③错误；对

于④，令()22xxfx−=−，定义域为R，则()()()2222xxxxfxfx−−−=−=−−=−，所以22xxy−=−是奇函数，所以④正确，故选B.4.B依题意，双曲线的渐近线方程为2yxa=，因两条渐近线的夹角为3，于是得直线2yxa=的倾斜角是6

或3，即2tan6a=或2tan3a=，解得6a=或63，而2a，则6a=，故选B.5.B6位同学平均分成3组，并派到3块班级管辖区域的情况有22264290CCC=（种）.其中甲乙被分到同一个管辖区域的情况有2234232218CCAA=（种），所以

所求概率181905P==，故选B.6.D由题意221.2log16000lg1600034lg211.211.210.68log1000lg10003WW+−=−=−，所以C比原来大约增加了68%，故选D.7.A设等差数列na的公差为d，因为47118,55,aaS+=

=所以11298,55,adad+=+=解得15,2,ad=−=则()998592272S=−+=，故选A.8.D由题意知：21555CaC+=，解得1a=−，故选D.9.C()

fx是奇函数并且是R上的单调函数，等价于方程331xx−+=在R上有三个不同的实数解，即函数()331gxxx=−+的图象与直线y=有三个不同的交点()()()233311gxxxx=−=+−，当(),1x−−时，()()0,gxgx单

调递增；当()1,1x−时，()()0,gxgx单调递减；当()1,x+时，()()0,gxgx单调递增；且()()13,11gg−==−，的取值范围为()1,3−，故选C10.C由题知，直线过定点（0，-1），所以

圆心()3,2−到定点的距离为22(30)(21)32.−−++=所以点P到直线1ykx=−距离的最大值为321+，故选C.11.A圆22:(1)1Cxy−+=，点C与抛物线的焦点重合，设()()1122,,,PxyQxy，所以()11111PMPCx

x=−=+−=∣()11111PCxx−=+−=，()22111QNQCxx=−=+−=，12.PMQNxx=①当直线l的斜率不存在时，12:1,1lxxx==.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()

1ykx=−，与抛物线方程24yx=联立消y，得()222212240,1kxkxkxx−++==.综上，121PMQNxx==，故选A12.D连接AO交BC千D点，连接PD（图略）.因为O为ABC的垂心，所以ADBC⊥，因为PO⊥平面AB

C，所以POBC⊥，所以BC⊥平面PAD，所以BCPD⊥，可得111,,222ABCOBCPBCSBCADSBCODSBCPD===，因为2ABCOBCPBCSSS=，2ADODPD=，所以,ODPDODPPDAPDAD==，所以ODPPDA∽，所以,APPDBC⊥⊥平面,PADB

CAP⊥，所以AP⊥平面PBC，所以,APPBAPPC⊥⊥，同理可知PBAC⊥，且PBPA⊥，所以PB⊥平面PAC，所以PBPC⊥，因此,,PAPBPC两两垂直.设,,PAaPBbPCc===，则111222PABPBCPACSSSabbc++=++()()222222222118

42acabbccaabc+++++=++=„，当且仅当433abc===时，等号成立.所以22216abc++=，设三棱锥PABC−外接球的半径为R，所以222216(2)abcR++==，解得2R=.所以三棱锥PABC−外接球的体积为3

23.故选D.13.23解析设向量a与向量b的夹角为.()221,3,1(3)2bb==+=，1,cos2cosaabab===，()2,0,2cos10baaaba+⊥+=+=，12cos,0,,23=−=.14.1−解

析设切点坐标为()00,xy，则0000002,ln,112,yxayxxx=+=++=所以001,1,1xya===−.15.133解析()sin3cosfxxx=+2sin(0),3x=

+由22,232kxkk−++Z剟，得252,66kkxk−+Z剟，()fx的单调递增区间为()252,.66kkk−+Z由题知，252,,3266kk−+

，25,632,,26kkk−+Z„„5164,.23kkk−+Z剟0,当0k=时，5123−剟，103„，当1k=时，71323剟；当2,kkZ…时，.13.3max=16.23

解析：列举法2211,2naa==−+，3322,2naa==+，4433,2naa==−+，5544,2naa==+，6655,2naa==−+，7766,2naa==+，20201919,2naa==−+，(24620135aaaaaaa++++=−+

+++)()24620192222a+++++，即2422TS+=+()()106202041442221143−+++==−−，又232132232aa+=+=，676572232aa+=+=，101110911

2232aa+=+=，14151413152232aa+=+=，18191817192232aa+=+=，(2610135193222Saaaa=++++=+++)()()514182041164223211165−+==−−，()()()2

020204482121213515T=−−−=−，2.3TS=17.解（1）由正弦定理知，2sincos2sinsinBCAC=+，()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，代入上式得2cossinsin0BCC+=，()10,,sin0,cos2CCB

=−，()20,,.3BB=（2）若选①：由BD平分ABC得，ABCABDBCDSSS=+，1211sin1sin1sin232323acca=+，即acac=+.在ABC中，由余弦定理得22222cos3ba

cac=+−，又2223,12bacac=++=，联立22,12acacacac=+++=，得2()120acac−−=，解得4(3acac==−舍去)，1213sin432322ABCSac===.若选②：得()211,(24BDBABCBDBA=+

=+()2221)24BCBABABCBC=++，221212cos43caca=++，得224acac+−=，在ABC中，由余弦定理得22222cos3bacac=+−，即2212acac++=，联立22224,12,acacacac+−=++=可得4a

c=，1213sin432322ABCSac===.18.（1）证明AC为直径，点D在圆上且不同于,AC点，ADDC⊥，又PD为母线，PD⊥平面ABCD，又AD平面ABCD，从而PDAD⊥，又DCPDD=，AD

⊥平面PDC，又PC平面PDC，.ADPC⊥（2）解2AD=，圆柱的底面直径为2，即2:2ACDC==，又B为AC的中点，2ABBC==，即四边形ABCD为正方形，,,DADCDP两两相互垂直，以D为原点，分别以,,DADCDP的方向为,xy，

z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，()()0,0,3,2,0,0PA，()()2,2,0,0,2,0BC，()2,0,3PA=−，()2,2,3PB=−，22,3PQQBPQPB==2222,,233=−，AQPQPA=−=222,,133−

，()2,2,0AC=−，设平面QAC的法向量为(),,mxyz=，2220,0,330,220,AQmxyzACmxy=−++==−+=令()3,3,2,3,3,2xyzm===−=−，易知平面BAC的一

个法向量为()0,0,1n=−，2210cos,10992125mnmnmn====++.又由题知二面角BACQ−−为锐二面角，所求的余弦值为1010.19.解（1）50150200300200604013579111310

00100010001000100010001000x=++++++65806.5871000==（天）.（2）由题设知：潜伏期天数在0,8的频率为0.7，潜伏期天数在(8,14的频率为0.3，故200人中潜伏期在

0,8上有140人，在(8,14上有60人.列联表如下：潜伏期8天潜伏期8天总计50岁以上（含50）752510050岁以下6535100总计1406020022200(75356525)502.3813.84

11001001406021K−==，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，不能认为潜伏期与患者年龄有关.（3）由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为3003100010=，设20名患者中潜伏期超过8天的人数为X，则320,10XB，()202073

C1010kkkPXk−==且020,kkN剟，由题意得，()()()()1,1,PXkPXkPXkPXk==+==−……即201911202020211120207

373CC,101010107373CC,10101010kkkkkkkkkkkk−−++−−−−……化简得()()()71320

,3217,kkkk+−−……解得5363,1010k剟6k=，即潜伏期超过8天的人数最有可能是6.20.解（1）设右焦点(),0,0Fcc，由题知2221,223,,caababc==

=+求得2,3,1abc===，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）方法一：设()()1122:1,:1lykxlykx=−=−，联立直线1l与椭圆C的方程得()12211,43ykxxy=−+=

消去y得，()22221114384120,kxkxk+−+−=由根与系数的关系知211221843kxxk+=+，则2121214243xxkk+=+，代入直线1l的方程得121213243yykk+−=+，所以211221143,4343kkMkk−++，同理得2222

22243,4343kkNkk−++.①当直线MN的斜率存在时，设直线:MNlymxn=+，将点,MN的坐标代入直线MNl，得211222(44)330(44)330mnkknmnkkn+++=+++=

易知12,kk为方程()244330mnkkn+++=的两个根，由根与系数的关系知12344nkkmn=+，由题知122kk=−，所以3244nmn=−+，得811nm=−，所以直线88:1111MNlymxmmx=−=−，所以直线MN过定点8,011.②当直

线MN的斜率不存在时，22122212444343kkkk=++，即2212kk=，所以12kk=−，且122kk=−.不妨设122,2kk==−，所以22122212444343kkkk=++811=，即直线8:11MNx=，满足过定点8,01

1.综上，直线MN过定点8,011.方法二：设()()1122:1,:1lykxlykx=−=−，联立直线1l与椭圆C的方程()1221,1,43ykxxy=−+=消去y得，()2222111438

4120kxkxk+−+−=.由根与系数的关系知，211221843kxxk+=+，2121214243xxkk+=+，代入直线1l的方程得121213243yykk+−=+，所以211221143,4343kkMkk−++，同理得222222243,4

343kkNkk−++.①当直线MN的斜率存在时，即12kk−.21222122122212334343444343MNkkkkkkkkk−++=−++()()()()22211222221221343343443443kkkkkkkk+−+=+−+(

)12114kk=−+，（上式结合122kk=−化简），直线1213:43MNklyk++()212121411443kxkkk=−−++，由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在x轴上，所以令0y=，得()()()2212112111

22211141244344311431143kkkkkkkkxkkk+−++=−+=+++()()()22112211843322481111431143kkkk++===++，所以直线MN过定点8,011.②当直线MN的斜率不存在时，22122212444343

kkkk=++，即2212kk=，所以1212,2kkkk=−=−.不妨设122,2kk==−，所以22122212448434311kkkk==++，即直线8:11MNx=，满足过定点8,011.综上，直线MN过定点8,011

.21.解（1）()e2,xfxax=+R，①当20a…，即0a…时，()()(),,0,xfxfx−+单调递增；②当20a，即0a时，令()0fx=，即()e20,ln2xaxa+==−，当()(),ln2xa−−时，()()0,fxfx单调递减；当()()

ln2,xa−+时，()()0,fxfx单调递增.综上，当0a…时，()fx的单调递增区间为(),−+，无单调递减区间；当0a时，()fx的单调递减区间为()(),ln2a−−，()fx的单调递增区间为()()ln2,

a−+.（2）方法一：对任意的)0,x+，()()fxgxx+…恒成立，即()()e212ln110xaxax−+++−…，今()()()e212ln11xhxaxax=−+++−，旦()00h=，()()2e211xahxax++=−+，且()00h=，今()()

()2e211xaxhxax==−+++，()22e(1)xaxx=−+，且()012.a=−由题意得，()0120a=−…，即1120,2aa−厔.下面证明()1,02ahx剠对于任意的[0x，)+恒成

立.当12a„时，()222221(1)e1ee(1)(1)(1)xxxaxxxxx+−=−−=+++…当)0,x+时22,(1)1,e1,(1)e1xxxx++厖?，即()0x….()x即()hx在)0,+上

单调递增，()()00hxh=…，()hx在)0,+上单调递增，()()0hxh=…0，即()()e212ln110xaxax−+++−…得证.故说明，12a„满足条件.方法二：令()())ln1,0,

pxxxx=−++，()1111xpxxx+=−=+，当)0,x+时，()0px…，()px在)0,+上单调䏲增，()()00pxp=…，()ln1xx+…在)0,+上恒成立.对任意的)()()

0,,xfxgxx++…恒成立.即()()e212ln110xaxax−+++−…恒成立，等价于()()e212ln1xaxxax−+−+…恒成立，等价于()()ln1e2e2ln1xxaxax+−−+…恒成立.构造函数()

)e2,0,ttatt=−+，上式即为()()()ln1xx+….由上面的证明知，()ln1xx+…在)0,x+上恒成立.只需()t在)0,t+上单调递增.()e20tta=−…在)0,t+上恒成立()0min12ee

1,.2taa==即剟22.解（1）因为曲线1C的参数方程为22(4xttyt==为参数），即4yt=，代入可得28yx=，即曲线1C的普通方程为28yx=.因为曲线2C的极坐标方程为sin324−=，即sincoscossin3244−

=，即sincos6−=，因为sin,cosyx==，所以6yx−=，所以曲线2C的直角坐标方程为60xy−+=.（2）设()22,4Ptt，则()22,4Ptt到直线60xy−+=的距离22222462(1)21(1)ttdt−+==−++−.所以当1

t=时，min22d=，此时()2,4,PPQ的最小值为22.23.（1）解当2a=时，函数()12fxxx=−++21,2,3,21,21,1,xxxxx−−−=−+„…①当2x−„时，由()4fxx+„得53x−…，所以;x②当21x−时，由()4fxx+„得1

x−…，所以11;x−„③当1x…时，由()4fxx+„得3x„，所以13x剟.综上，不等式()4fxx+„的解集为13xx−∣剟.（2）证明：因为()1fxxxa=−++()()11xaxa+−−=+…，当1ax−剟时

，()fx取到最小值1a+，所以14abc+=−−，即3abc++=.因为0,0,0abc，所以11abc++()1113abcabc=++++()114222333cababc+=+++=+…，当且仅当32abc+==时等号成立.获得更多资源请扫码加入

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