【文档说明】山西省晋中市2021-2022学年高三上学期期末调研数学（理）试题含答案.docx，共(21)页，1.577 MB，由小赞的店铺上传

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2021~2022学年第一学期高三期末考试数学试题（理科）（时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，考生务必将自己的学校､姓名､班级､准考证号填写在答题卡相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合221,560xAxBxxx==+−∣∣，则AB等于（）A.()1,0−B.()0,1C.()0,6D.()6,1−2.已知复数1i2i1iz−=++（i为虚数单位），则z等于（）A.0B.1

2C.1D.23.下列命题中，真命题有（）①,e10xxx−−R…；②00010,ln2lnxxx+„；③若命题pq是真命题，则p是真命题；④22xxy−=−是奇函数.A.4个B.3个C.2个D.1个4.已知双曲线2221(2)2xyaa−=的两条渐近线的夹角为3，则a的值为（）A

.63B.6C.63或6D.235.下午活动时间，全校进行大扫除，某班卫生委员将包括甲､乙在内的6位同学平均分成3组，分别派到3块班级管辖区域清理卫生，问甲､乙被分到同一个管辖区域的概率为（）A.16B.15C.14D.136.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农

公式：2log1SCWN=+.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.2倍

，信噪比SN从1000提升到16000，则C比原来大约增加了（）（附：lg20.3）A.32%B.43%C.54%D.68%7.已知数列na为等差数列，nS为其前n项和，若47118,55aaS+==，则9S等于（

）A.27B.25C.20D.108.已知()51(1)axx++的展开式中2x的系数为5，则a等于（）A.4−B.3−C.2−D.1−9.已知()fx是奇函数并且是R上的单调函数，若方程()()3130fxfx++−−=有三个不同的实数解，则实数

的取值范围为（）A.()3,1−B.()(),13,−−+C.()1,3−D.()(),31,−−+10.若点P是圆22:(3)(2)1Cxy++−=上任一点，则点P到直线1ykx=−距离的最大值为（）A.5B.6C.321+D.1

10+11.如图，已知抛物线24yx=，圆22:20Cxyx+−=，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于,,,PMNQ，则PMQN等于（）A.1B.2C.4D.812.已知三棱锥PABC−的顶点P在底面的射影

O为ABC的垂心，若ABC的面积为,ABCSOBC的面积为,OBCSPBC的面积为PBCS，满足2ABCOBCPBCSSS=，当,,PABPBCPAC的面积之和的最大值为8时，则三棱锥PABC−外接球的体积为（）A.43B.83C.163D.323二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，

共20分）13.已知()()1,1,3,abbaa==+⊥，则向量a与向量b的夹角为__________.14.若直线2yxa=+是函数lnyxx=+的图象在某点处的切线，则实数a=__________.15.已知函数

()sin3cos(0)fxxx=+，且在,32上单调递增，则满足条件的的最大值为__________.16.若数列na满足()1*1(1)2nnnnaan++=−+N，令1351924620,SaaaaTaaaa=++++

=++++，则TS=__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都应该作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题

满分12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且2cos2bCac=+.（1）求角B的大小；（2）若23,bD=为AC边上的一点，1BD=，且__________，求ABC的面积.①BD是B的平分线；②D为线段AC的中点.（从①，②两个条件中任

选一个，补充在上面的横线上并作答）.18.（本小题满分12分）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形ABCD为圆柱下底面的内接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且3PD=，圆柱的底面半径为1.（1）证明：ADPC⊥；（2）2,ADB

=为AC的中点，点Q在线段PB上，记2PQQB=，求二面角BACQ−−的余弦值.19.（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时

止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）0,2(2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,14人数501502003002006040（1）求这1000名患

者的潜伏期的样本平均数值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1

000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期8天潜伏期8天总计50岁以上（含50）10050岁以下65总计200（3）

以这1000名患者的潜伏期超过8天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过8天的概率，每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过8天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：()()()()22()na

dbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk…0.050.0250.0100k3.8415.0246.63520.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率12e=，椭圆上的点与左､右顶点所构成三角形

面积的最大值为23.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过椭圆C右焦点的直线12,ll的斜率分别为12,kk，满足1212,kkl=−交C于点,EF，2l交C于点,GH，线段EF与GH的中点分别为,MN.判断

直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()()e21,2ln14,xfxaxgxaxaxa=+−=+−R.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若对任意的)()()0,,xfxgxx++…恒成立，求实数a的取

值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为224xtyt==（t为参数），以坐标原点

为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin324−=.（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时点P的直角坐标.2

3.（本小题满分10分）已知函数()1fxxxa=−++.（1）若2a=，求不等式()4fxx+„的解集；（2）若0,0,0abc，且()fx的最小值为4bc−−，求证：1143abc++….2021~2022学年第一学期高三期末考试

数学答案（理科）1.B21{0},xAxxx==∣∣2560{61}Bxxxxx=+−=−∣∣，()0,1AB=，故选B.]2.C()()()()1i1i1i2i2ii2ii1i1i1iz−−−=+=+=−+=++−，则1z=

，故选C.3.B对于①，令()1,xfxexx=−−R，则()1,xfxex=−R，当(),0x−时，()()0,fxfx单调递减；当()0,x+时，()()0,fxfx单调递增，所以()()00fxf=…，即,10xxe

x−−R…，所以①正确；对于②，当102x=时，1ln0,0lnxx，所以1ln2lnxx+„成立，所以②正确；对于③，若命题pq是真命题，则,pq至少有一个为真命题，所以p真假不能判断，所以③错误

；对于④，令()22xxfx−=−，定义域为R，则()()()2222xxxxfxfx−−−=−=−−=−，所以22xxy−=−是奇函数，所以④正确，故选B.4.B依题意，双曲线的渐近线方程为2yxa=，因两条渐近线的夹角为3，于是得直线2yxa=的倾

斜角是6或3，即2tan6a=或2tan3a=，解得6a=或63，而2a，则6a=，故选B.5.B6位同学平均分成3组，并派到3块班级管辖区域的情况有22264290CCC=（种）.其中甲乙被分到同一个管辖区域的情况

有2234232218CCAA=（种），所以所求概率181905P==，故选B.6.D由题意221.2log16000lg1600034lg211.211.210.68log1000lg10003WW+−=−=−，所以C比原来大约增加了68%，故选D.7

.A设等差数列na的公差为d，因为47118,55,aaS+==所以11298,55,adad+=+=解得15,2,ad=−=则()998592272S=−+=，故选A.8.D由题意知：21555CaC+=

，解得1a=−，故选D.9.C()fx是奇函数并且是R上的单调函数，等价于方程331xx−+=在R上有三个不同的实数解，即函数()331gxxx=−+的图象与直线y=有三个不同的交点()()()233311gxxxx=−=+−，当(),1x−−时，()()0,gxgx单调递增

；当()1,1x−时，()()0,gxgx单调递减；当()1,x+时，()()0,gxgx单调递增；且()()13,11gg−==−，的取值范围为()1,3−，故选C10.C由题知，直线过定点（0，-1），所以

圆心()3,2−到定点的距离为22(30)(21)32.−−++=所以点P到直线1ykx=−距离的最大值为321+，故选C.11.A圆22:(1)1Cxy−+=，点C与抛物线的焦点重合，设()()1122,,,PxyQxy，所以

()11111PMPCxx=−=+−=∣()11111PCxx−=+−=，()22111QNQCxx=−=+−=，12.PMQNxx=①当直线l的斜率不存在时，12:1,1lxxx==.②当直线

l的斜率存在时，设直线l的方程为()1ykx=−，与抛物线方程24yx=联立消y，得()222212240,1kxkxkxx−++==.综上，121PMQNxx==，故选A12.D连接AO交BC千D点，连接PD（图略）.因为O为

ABC的垂心，所以ADBC⊥，因为PO⊥平面ABC，所以POBC⊥，所以BC⊥平面PAD，所以BCPD⊥，可得111,,222ABCOBCPBCSBCADSBCODSBCPD===，因为2ABCOBCPBC

SSS=，2ADODPD=，所以,ODPDODPPDAPDAD==，所以ODPPDA∽，所以,APPDBC⊥⊥平面,PADBCAP⊥，所以AP⊥平面PBC，所以,APPBAPPC⊥⊥，同理可知PBA

C⊥，且PBPA⊥，所以PB⊥平面PAC，所以PBPC⊥，因此,,PAPBPC两两垂直.设,,PAaPBbPCc===，则111222PABPBCPACSSSabbc++=++()()22222222211842acabbccaabc+++++=++=„，当且

仅当433abc===时，等号成立.所以22216abc++=，设三棱锥PABC−外接球的半径为R，所以222216(2)abcR++==，解得2R=.所以三棱锥PABC−外接球的体积为323.故选D.13.23解析设向量a与向量b的夹角为.()221,3,1(3)2b

b==+=，1,cos2cosaabab===，()2,0,2cos10baaaba+⊥+=+=，12cos,0,,23=−=.14.1−解析设切点坐标为()00,xy，则0000002,ln,112,yxayxxx=

+=++=所以001,1,1xya===−.15.133解析()sin3cosfxxx=+2sin(0),3x=+由22,232kxkk−++Z剟，得252,66kkxk−+Z剟，()fx的单调

递增区间为()252,.66kkk−+Z由题知，252,,3266kk−+，25,632,,26kkk−+Z„„5164,.23kkk−+Z剟

0,当0k=时，5123−剟，103„，当1k=时，71323剟；当2,kkZ…时，.13.3max=16.23解析：列举法2211,2naa==−+，3322,2naa==+，4

433,2naa==−+，5544,2naa==+，6655,2naa==−+，7766,2naa==+，20201919,2naa==−+，(24620135aaaaaaa++++=−++++)()24620192222a+++++，即2422TS+=+()()1062020

41442221143−+++==−−，又232132232aa+=+=，676572232aa+=+=，1011109112232aa+=+=，14151413152232aa+=+=，181918171

92232aa+=+=，(2610135193222Saaaa=++++=+++)()()514182041164223211165−+==−−，()()()2020204482121213515T=−−−=−，2.

3TS=17.解（1）由正弦定理知，2sincos2sinsinBCAC=+，()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，代入上式得2cossinsin0BCC+=，()10,,sin0,cos2CCB=−，()20,,.3

BB=（2）若选①：由BD平分ABC得，ABCABDBCDSSS=+，1211sin1sin1sin232323acca=+，即acac=+.在ABC中，由余弦定理得2222

2cos3bacac=+−，又2223,12bacac=++=，联立22,12acacacac=+++=，得2()120acac−−=，解得4(3acac==−舍去)，1213sin432322ABCSac===.若选②：得()2

11,(24BDBABCBDBA=+=+()2221)24BCBABABCBC=++，221212cos43caca=++，得224acac+−=，在ABC中，由余弦定理得22222cos3bacac=+−，即2212acac++=，联立22224,12,acacacac

+−=++=可得4ac=，1213sin432322ABCSac===.18.（1）证明AC为直径，点D在圆上且不同于,AC点，ADDC⊥，又PD为母线，PD⊥平面ABCD，又AD平面ABCD，从而PDAD⊥，又DCPDD=，AD⊥平面PDC，

又PC平面PDC，.ADPC⊥（2）解2AD=，圆柱的底面直径为2，即2:2ACDC==，又B为AC的中点，2ABBC==，即四边形ABCD为正方形，,,DADCDP两两相互垂直，以D为原点，分别以,,DADCDP的方向为,xy，z轴正方

向，建立空间直角坐标系，如图所示，()()0,0,3,2,0,0PA，()()2,2,0,0,2,0BC，()2,0,3PA=−，()2,2,3PB=−，22,3PQQBPQPB==2222,,233=−，AQPQPA=−=222

,,133−，()2,2,0AC=−，设平面QAC的法向量为(),,mxyz=，2220,0,330,220,AQmxyzACmxy=−++==−+=令()3,3,2,3,3,2xyzm===−=

−，易知平面BAC的一个法向量为()0,0,1n=−，2210cos,10992125mnmnmn====++.又由题知二面角BACQ−−为锐二面角，所求的余弦值为1010.19.解（1）5015020

030020060401357911131000100010001000100010001000x=++++++65806.5871000==（天）.（2）由题设知：潜伏期天数在0,8的频率为0.7，潜伏期天数在(

8,14的频率为0.3，故200人中潜伏期在0,8上有140人，在(8,14上有60人.列联表如下：潜伏期8天潜伏期8天总计50岁以上（含50）752510050岁以下6535100总计1406020022200(75356525)502.3813.84110010

01406021K−==，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，不能认为潜伏期与患者年龄有关.（3）由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为3003100010=，设20名患者中潜伏期超过

8天的人数为X，则320,10XB，()202073C1010kkkPXk−==且020,kkN剟，由题意得，()()()()1,1,PXkPXkPXkPXk==+==−……即201911202

020211120207373CC,101010107373CC,10101010kkkkkkkkkkkk−−++−−−−

……化简得()()()71320,3217,kkkk+−−……解得5363,1010k剟6k=，即潜伏期超过8天的人数最有可能是6.20.解（1）设右焦点(),0,0Fcc，由题知2

221,223,,caababc===+求得2,3,1abc===，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）方法一：设()()1122:1,:1lykxlykx=−=−，联立直线1l与椭圆C的方程得()12211,43ykxxy=−+=

消去y得，()22221114384120,kxkxk+−+−=由根与系数的关系知211221843kxxk+=+，则2121214243xxkk+=+，代入直线1l的方程得121213243yykk+−=+，所以211221143,43

43kkMkk−++，同理得222222243,4343kkNkk−++.①当直线MN的斜率存在时，设直线:MNlymxn=+，将点,MN的坐标代入直线MNl，得211222(44)330(44)330mnkknm

nkkn+++=+++=易知12,kk为方程()244330mnkkn+++=的两个根，由根与系数的关系知12344nkkmn=+，由题知122kk=−，所以3244nmn=−+，得811nm=−，所以直线88:1111MNlymxmmx=−=−，所以直线MN过定点8,01

1.②当直线MN的斜率不存在时，22122212444343kkkk=++，即2212kk=，所以12kk=−，且122kk=−.不妨设122,2kk==−，所以22122212444343kkkk=++811=，即直线8:11MNx=，满足过定点8,011

.综上，直线MN过定点8,011.方法二：设()()1122:1,:1lykxlykx=−=−，联立直线1l与椭圆C的方程()1221,1,43ykxxy=−+=消去y得，()22221114384120kxkxk+−+−=.由根与系数的关系知，21

1221843kxxk+=+，2121214243xxkk+=+，代入直线1l的方程得121213243yykk+−=+，所以211221143,4343kkMkk−++，同理得222222243,4343kkNkk−++

.①当直线MN的斜率存在时，即12kk−.21222122122212334343444343MNkkkkkkkkk−++=−++()()()()22211222221221343343443443kkkkkkkk+−+=+−+()12114kk=−+，（上式结合122kk=−化简），直线

1213:43MNklyk++()212121411443kxkkk=−−++，由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在x轴上，所以令0y=，得()()()221211211122211141

244344311431143kkkkkkkkxkkk+−++=−+=+++()()()22112211843322481111431143kkkk++===++，所以直线MN过定点8,011.②当直线MN的斜率不存在时，22

122212444343kkkk=++，即2212kk=，所以1212,2kkkk=−=−.不妨设122,2kk==−，所以22122212448434311kkkk==++，即直线8:11MNx=，满足过

定点8,011.综上，直线MN过定点8,011.21.解（1）()e2,xfxax=+R，①当20a…，即0a…时，()()(),,0,xfxfx−+单调递增；②当20a，即0a时，令()0fx=，即()e20,

ln2xaxa+==−，当()(),ln2xa−−时，()()0,fxfx单调递减；当()()ln2,xa−+时，()()0,fxfx单调递增.综上，当0a…时，()fx的单调递增区间

为(),−+，无单调递减区间；当0a时，()fx的单调递减区间为()(),ln2a−−，()fx的单调递增区间为()()ln2,a−+.（2）方法一：对任意的)0,x+，()()fxgxx+…恒成立，即()

()e212ln110xaxax−+++−…，今()()()e212ln11xhxaxax=−+++−，旦()00h=，()()2e211xahxax++=−+，且()00h=，今()()()2e2

11xaxhxax==−+++，()22e(1)xaxx=−+，且()012.a=−由题意得，()0120a=−…，即1120,2aa−厔.下面证明()1,02ahx剠对于任意的[0x，)+恒成立.当12a„时，()2

22221(1)e1ee(1)(1)(1)xxxaxxxxx+−=−−=+++…当)0,x+时22,(1)1,e1,(1)e1xxxx++厖?，即()0x….()x即()hx在)0,+上单调递增，()()00hxh=…，()hx在)0,+上单调递

增，()()0hxh=…0，即()()e212ln110xaxax−+++−…得证.故说明，12a„满足条件.方法二：令()())ln1,0,pxxxx=−++，()1111xpxxx+=−=+，当)0,x+时，()0px…，()px在)0,+上单调䏲增，()()0

0pxp=…，()ln1xx+…在)0,+上恒成立.对任意的)()()0,,xfxgxx++…恒成立.即()()e212ln110xaxax−+++−…恒成立，等价于()()e212ln1xaxxax−+−+…恒成立，等

价于()()ln1e2e2ln1xxaxax+−−+…恒成立.构造函数())e2,0,ttatt=−+，上式即为()()()ln1xx+….由上面的证明知，()ln1xx+…在)0,x+上恒成立.只需()t在)0,t

+上单调递增.()e20tta=−…在)0,t+上恒成立()0min12ee1,.2taa==即剟22.解（1）因为曲线1C的参数方程为22(4xttyt==为参数），即4yt=，代入可得28yx=，即曲线1C的普通方程为28yx=.因为曲线2C的极坐标方程为sin32

4−=，即sincoscossin3244−=，即sincos6−=，因为sin,cosyx==，所以6yx−=，所以曲线2C的直角坐标方程为60xy−+=.（2）设()22,4Ptt，则()22,

4Ptt到直线60xy−+=的距离22222462(1)21(1)ttdt−+==−++−.所以当1t=时，min22d=，此时()2,4,PPQ的最小值为22.23.（1）解当2a=时，函数()12fxxx=

−++21,2,3,21,21,1,xxxxx−−−=−+„…①当2x−„时，由()4fxx+„得53x−…，所以;x②当21x−时，由()4fxx+„得1x−…，所以11;x−„③当1x…时，由()4f

xx+„得3x„，所以13x剟.综上，不等式()4fxx+„的解集为13xx−∣剟.（2）证明：因为()1fxxxa=−++()()11xaxa+−−=+…，当1ax−剟时，()fx取到最小值1a+，所以14abc+=−−，

即3abc++=.因为0,0,0abc，所以11abc++()1113abcabc=++++()114222333cababc+=+++=+…，当且仅当32abc+==时等号成立.获得更多资源

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