【文档说明】辽宁省沈阳市重点联合体2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，1.727 MB，由小赞的店铺上传

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2019—2020学年度（下）市级重点高中协作校期末考试高一数学第I卷（选择题60分）一、单项选择题：（本大题共8小题：每小题5分，共40分）1.设i为虚数单位，复数z满足i2iz=−，则z=（）A.-1+2iB.-1-2iC.1-2iD.1+2i【

答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【详解】由i2iz=−，得z＝22(2)()12iiiiii−−−==−−−，∴z12i=−+.故选:A.【点睛】本题

考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.若35cos(),sin,,0,54132+=−=，则cos4+=（）A.3365−B.3365C.5665D.1665−【答案】C【

解析】【分析】利用配角得()44+−−=+，再利用两角差的余弦公式，即可得答案；【详解】()44+−−=+，coscos[()()]44+=+−−cos()cossin()sin44=

+−++−，,0.02242,−+−，412sin()cos5413,+=−=，3124556cos451351365+=+=，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、两角差的

余弦公式，考查运算求解能力，求解时注意角的配凑.3.一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（）A.3B.2C.23D.【答案】D【解析】【分析】利用已知条件得到底面圆的半径，再利用

求圆心角的公式代入即可得出结果.【详解】设半径为r，由母线长为l，母线与轴的夹角为30°，得：1sin302rrll==，则底面圆的周长为：rl=，所以该圆锥侧面展开图的圆心角大小为：ll==.故选：D.【点睛】本题主要考查了弧长公式.属于较易题.4.函数()()sin

fxAx=+其中0,||2A的图象如图所示，为了得到()fx图象，则只需将()sin2gxx=的图象()A.向右平移3个长度单位B.向左平移3个长度单位C.向右平移6个长度单位D.向左

平移6个长度单位【答案】D【解析】【分析】由题意，三角函数()fx的图象，分别求得,,Aw的值，得到函数()sin(2)3fxx=+，再根图象的变换，即可求解，得到答案．【详解】由题意，三角函数()fx的图象可知，

1A=且741234T=−=，即T=又由2Tw==，解得2w=，即()sin(2)fxx=+，又由777()sin(2)sin()112126f=+=+=−，解得732,62kkZ+=+，即2,3kkZ=+，又由2，所以3=，即()sin

(2)3fxx=+，又函数()sin2gxx=向左平移6个长度单位，即可得到()sin2()sin(2)63fxxx=+=+，故选D．【点睛】本题主要考查了利用函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象变

换的应用，其中解答中根据函数的图象，正确求解函数的解析式，合理利用三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.正四面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为（）A.12πB.24πC.48πD.96π【答案】B【解析】【分析】求出外接球半径后可得表面积．【详

解】如图正四面体ABCD棱长为4，AH⊥平面BCD于H，则H是BCD中心，343433BH==，AH⊥平面BCD，BH平面BCD，则AHBH⊥，224346433AH=−=，设外接球球心为O，则O在AH，则OAOBR==

为外接半径，由222BHOHBO+=得222434633RR+−=，解得6R=，∴2424SR==．故选：B．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是掌握正四面体的性质，掌握正四

面体与外接球的关系，求出球的半径．6.在等腰梯形ABCD中，//ADBC，24BCAD==，2CD=.将等腰梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A.43B.83C.103D.4【答案】C【解析】【分析】判断旋转后的几何体的形

状，然后求几何体的体积.【详解】由题意可知旋转后的几何体如图：将等腰梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为圆柱的体积减去两个相同圆锥的体积221210142114333−=−=.故

选：C【点睛】本题考查了求旋转体的体积以及柱体、锥体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知60A=，23b=，为使此三角形有两个，则a满足的条件是（）A.33aB.323aC.323aD.343a【答案】C

【解析】【分析】为使此三角形有两个，只需满足bsinA＜a＜b，即可求a范围．【详解】为使此三角形有两个，即bsinA＜a＜b，∴23×32＜a＜23，解得：3＜a＜23，故选：C．【点睛】本题考查三角形解的

情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．8.已知2sin63−=，则5sin26−=（）A.459B.459−C.19D.19−【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简已知可得3322cos()−=,进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可

计算得解.【详解】22sincoscos62633−=−−=−=，554sin2cos2cos(2)6263aa−=−−=−222212cos121339=−−=−=−

.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式的综合运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意观察角的特点，再进行配凑.二、多项选择题：（本大题共4小题：每小题5分，共20分，漏选得3分，错选0分）9.下面关于()2sin23fxx

=−叙述中正确的是（）A.关于点,06对称B.关于直线6x=对称C.在区间0,3上单调D.()6kkZ+为函数()fx的零点【答案】ACD【解析】【分析】

对于选项A：直接代入()fx即可判断；对于选项B：代入检验是否为最值即可判断；对于选项C：求出()fx的单调增区间即可判断；对于选项D：直接代入()fx即可判断.【详解】对于选项A：()2sin20663f=−=，选项A正确；对于选项B：()2sin20663f

=−=，不是最值，选项B错误；对于选项C：()52222321212kxkkxkkz−−+−+，则()fx的单调递增区间为5,1212−，又5,12012,3−，则选项C正确.对于选项D：(

)2sin20663fkk+=+−=，则选项D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了函数()()sinfxAx=+的性质，主要对函数的对称轴，对称中心，单调性以及零点进行了考查.属于中档题.10.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平

面，下列命题中真命题的是（）A.若//m，//n，//m，//n，mn⊥则//；B.若m⊥，⊥，则//m；C.若⊥，m⊥，//n，则mn⊥；D.若//mn，n⊥，m则a⊥.【答案】AD【解析】【分析】考虑、相交，运用线面平行的

性质定理，推得//mn，即可判断A；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系，可判断B；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线线的位置关系可判断C；由线面垂直和面面垂直的判定定理，即可判断D．【详解】m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，若//m

，//n，//m，//n，mn⊥，则//，正确．反之若l=，由//m，//m，由线面平行的性质定理可得//ml，同样由//n，//n，由线面平行的性质定理可得//nl，则//m

n，这与mn⊥矛盾，故A正确；若m⊥，⊥，由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系可得//m或m，故B错误；若⊥，m⊥，可得//m或m，又//n，则m，n平行或相交或异面，故C错误；若//mn，n⊥，可得m⊥，又m

，则⊥，故D正确．故选：AD【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行、垂直的判定和性质的运用，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．11.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23，则下列叙述正确的是（）A.正三棱锥高为3

.B.正三棱锥的斜高为392C.正三棱锥的体积为2734D.正三棱锥侧面积为3394【答案】AB【解析】【分析】根据题意画出图象，取ABC的中心为O，连接PO，先得出PO⊥面ABC，再求出AO，可得正三棱锥高；利用三角形的面积公式

求出ABC的面积，利用体积公式求出正三棱锥的体积；作PDAB⊥交AB于D，求出正三棱锥的斜高PD；再利用面积公式求正三棱锥侧面积即可.【详解】取ABC的中心为O，连接PO，由题意得：PO⊥面ABC，又ABC为等

边三角形，则22233332AO=−=，所以正三棱锥高为：221233POPAAO=−=−=，19333sin6024ABCS==，所以正三棱锥的体积为：19334PABCABCVSPO−==，作PDAB⊥交AB于D，又1323,22

PAPBADAB====，则正三棱锥的斜高为22392PDPAAD=−=，所以正三棱锥的侧面积为：113993933332224PABSPDAB===.故选：AB.【点睛】本题主要考查了求正三棱锥的高，斜高，侧面积和体积的问题.属于中档题.12

.己知函数()sincosfxxx=，3,22x−，下列结论正确的是（）A.()fx的图象关于直线y轴对称B.()fx在区间35,44上单调递减C.()fx的图象关于直线2x=轴对称D.()fx的最大值为12

【答案】BCD【解析】【分析】1sin2,,222()sincos13sin2,,222xxfxxxxx−==−，画出其图象，然后逐一判断即可.【详解】1si

n2,,222()sincos13sin2,,222xxfxxxxx−==−，其图象如下所示：由图可知，()fx的图象关于直线2x=对称，故A错误，C正确；()fx在区间35

,44上单调递减，故B正确；()fx的最大值为12，()fx的最小值为12−，故D正确故选：BCD【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题90分）三、填空题：（本大题共4小题：每小题5分，共2

0分）13.函数y=tan(2)4x−的对称中心为__________________．【答案】()ππ,048kkZ+【解析】【分析】本题可以根据正切函数ytanx=的对称中心来推导出函数y=tan24x−的对称中心．【详解】正切函数ytanx=

的对称中心横坐标为()2kxkZ=，所以函数tan24yx=−的对称中心横坐标为()242kxkZ−=，化简得()kππ48xkZ=+，故对称中心为()kππ048kZ+，

．【点睛】本题考查三角函数的相关性质，考查正切函数的对称中心，考查计算能力，正切函数ytanx=的对称中心为()02kkZ，．14.已知复数z满足等式1zi−=，则1z−的最大值为______.【答案】21+【解析】【分

析】根据复数的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点是以()0,1为圆心，半径为1的圆，作出图形，数形结合即可求出1z−的最大值为圆心()0,1到点()1,0A的距离加1．【详解】因为1zi−=，所以复数z在复平面内对应的点是以()0,1为圆心，半径为1的圆，如图所示

：则1z−的最大值为圆心()0,1到点()1,0A的距离加1，即()()220110121−+−+=+．故答案为：21+．【点睛】本题主要考查复数的几何意义的应用，复数的模的求法，考查数形结合思想的应用，属于基础题．15.使不等式2－2sinx≥0成立的x的取值集合是__

__________.【答案】39|22,44xkxkkZ++【解析】【分析】不等式变形为2sin2x，然后由正弦函数性质可得．【详解】原不等式可化为2sin2x，∴32244kxk++．kZ．故答案为：39|22,44xkxkkZ+

+【点睛】本题考查解三角不等式，把不等式化为sinxa或sinxa后，可结合三角函数图象、性质得出结论．16.设函数()fx为定义域为R的奇函数，且()()2fxfx=−，当0,1x时，()sinfxx=

，则函数()()cos2xgxfx=−在区间5,8−上的所有零点的和为__________.【答案】6【解析】【分析】推导出函数()yfx=是周期为4的周期函数，然后作出函数cos2xy=与函数()yfx=在区间5,8−上的图象，利用对称性可求得函数()ygx

=在区间5,8−上的零点之和.【详解】由于函数()yfx=为定义域为R的奇函数，则()()()22fxfxfx=−=−−，()()()42fxfxfx+=−+=，所以，函数()yfx=是周期为4的周期函数，作出函数()yfx=与函数cos2xy=在区间5,8−上的图象，如下图所示：由

图象可知，函数()yfx=与函数cos2xy=在区间5,8−上的图象共有6个交点，且有3对关于直线1x=对称，因此，函数()()cos2xgxfx=−在区间5,8−上的所有零点的和为236=.故答案为：6.【点睛】本题考查函数零点之和

的求解，解题时要结合图形得出函数图象的对称性，考查数形结合思想的应用，属于中等题.四、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知||2,(cos,sin)mn==.（1）若(23)(2)9mnmn−+=，求向量m在向量

n方向的投影的数量.（2）若6=−，且mn⊥，求向量m的坐标.【答案】（1）1；（2）()1,3或()1,3−−．【解析】【分析】（1）由题可知，1n=，再由(23)(2)9mnmn−+=可得1m

n=，根据投影的概念求出mnn即得解；（2）设(),mxy=，根据mn⊥以及||2m=可列两个方程，即可解出．【详解】（1）因为(cos,sin)n=，所以1n=．由(23)(2)9mnmn−

+=展开得，224439mmnn−−=，即44439mn−−=，解得1mn=，故向量m在向量n方向的投影的数量为cos,1mnmmnn==．（2）因为6=−，所以31(cos,sin),22n==−

，设(),mxy=，则22431022xyxy+=−=，解得13xy==或13xy=−=−，故向量m的坐标为()1,3或()1,3−−．【点睛】本题主要考查平面数量积的运算，投影的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18.已知角终边上一点坐标(

1,3)−，3cossin()2()5cossin22f−−−=++.（1）求()f的值；（2）求4f+的值；（3）求sincos44++的值.【答案】（1）3−；（2）12

−；（3）25−．【解析】【分析】（1）由正切函数定义求出tan，sin，cos，用诱导公式化简后可得；（2）用两角和的正切公式计算；（3）用两角和的正弦、余弦公式变形后代入sin,cosa的值即得．【详解】（1）∵终边过

点(1,3)−，∴3tan31−==−，223310sin101(3)−==−+−，110cos1010==，3cossin()sinsin2()tan35sincoscossin22f−−−−====−−++；（2）tan

tan3114tan441(3)121tantan4f+−++=+===−−−−；（3）sincos(sincoscossin)(coscossinsin)444444+

+=+−()22222211103102(sincos)(cossin)cossin222210105=+−=−=−−=−．【点睛】本题考查三角函数

的定义，诱导公式，考查两角和的正切、正弦、余弦公式，同角间的三角函数关系，解题关键是掌握三角函数的公式，根据不同的条件选用相应公式计算．19.如图在四棱锥PABCD−中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠AB

C=60°，E为CD的中点，F为PD上一点.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面FAE；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）证明BD与,PAAC垂直，

由线面垂直的判定定理得证；（2）先证明EA与平面PAB垂直，即可得证面面垂直．【详解】（1）∵ABCD是菱形，∴BDAC⊥，又PA⊥面ABCD，BD面ABCD，∴PABD⊥，而ACPAA=，AC面PAC，PA面PAC

，∴BD⊥平面PAC；（2）∵ABCD是菱形，60BC=，∴ACD△是等边三角形，又E为CD中点，∴AECD⊥，而//CDAB，∴AEAB⊥，又PA⊥面ABCD，AE面ABCD，∴PAAE⊥，而ABP

AA=，ABÌ面PAB，PA面PAB，∴AE⊥平面PAB，又AE平面AEF，∴平面PAB⊥平面FAE．【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的证明，掌握线面垂直与面面垂直的判定定理是解题关键．20.如图已

知四棱锥A-BCC1B1底面为矩形，侧面ABC为等边三角形，且矩形BCC1B1与三角形ABC所在的平面互相垂直，BC=4，BB1=2，D为AC的中点.（1）求证：1AB//平面1DBC；（2）求点D到平面ABC1的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）32.【解析】【分析】（1

）连接1BC，交1BC于O，连接OD，利用已知条件可得1//ODAB，由线面平行的判定定理即可得证；（2）先利用面面垂直得1CC⊥面ABC，再利用11DABCCABDVV−−=求距离即可.【详解】（1）证明：连接1BC，交1BC于O，连接OD，由矩形11BCCB可知O为1BC的中点，又D

为AC的中点，则1//ODAB，OD平面1DBC，1AB平面1DBC，所以1AB//平面1DBC；（2）由题意得：面11BCCB⊥面ABC，又11,CCBCCC⊥面11BCCB，面11BCCB面ABCBC=，所以1CC⊥面AB

C，则1CCAC⊥，又112,4BBCCACBC====，所以1125ACBC==，又4AB=，则1ABC的高为()222524−=，所以114482ABCS==，又142sin60232ABDS==，则1111432323

33CABDABDVSCC−===，设点D到平面ABC1的距离为h，则11114333DABCABCCABDVShV−−===，故32h=，所以点D到平面ABC1的距离为32.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及利用等体积法求点到面的距离.属于中档题.21.△ABC

的内角、、ABC的对边分别为abc、、,已知△ABC的面积为23sinaA(1)求sinsinBC;(2)若6coscos1,3,BCa==求△ABC的周长.【答案】(1)2sinsin3BC=(2)333+.【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式

21sin23sinaacBA=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sinsinBC的值；（2）由1coscos6BC=和2sinsin3BC=计算出1cos()2BC+=−，从而求出角A，根据题设和余弦定理可以求出bc和bc+的值，从而求出A

BC的周长为333+.试题解析：（1）由题设得21sin23sinaacBA=，即1sin23sinacBA=.由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA=.故2sinsin3BC=.（2）由题设及（1）得1coscossinsin,2BCBC−=−，即()1cos2BC+=−

.所以23BC+=，故3A=.由题设得21sin23sinabcAA=，即8bc=.由余弦定理得229bcbc+−=，即()239bcbc+−=，得33bc+=.故ABC的周长为333+.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的

面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所

对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()yAxb=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.22.已知向量()2(sin3cos,1)

,2sin,4cosmxxnxx=−=，函数()fxmn=.（1）若,2x−，求函数()fx的减区间；（2）若0,2x，方程()fxa=有唯一解，求a的取值范围.【答案】（1）,63−和

5,6；（2）{1}(2，4]．【解析】【分析】（1）由数量积的坐标表示求出()fx，并利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得减区间；（

2）由（1）得出()fx在[0,]2上的单调性与最值，并计算端点处的函数值可得a的范围．【详解】2222()2sin23sincos4cos2(sincos)3sin2cos212sin(2)36fxmnxxxxx

xxxx==−+=+−++=−−+．（1）令222262kxk−+−+剟，kZ，则63kxk−++剟，kZ，[2x−，]，63x−剟或56x剟，故函数()fx的减区间为[,

]63−和5[,]6．（2）[0x，]2，2[66x−−，5]6，1sin(2)[62x−−，1]，方程()fxa=有唯一解，1sin(2)[62x−−，1){1}2，1a\=或24a„．故a的取值范围为{1

}(2，4]．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．