【文档说明】“超级全能生”2021高考全国卷地区3月联考丙卷理科数学评分标准.docx，共(8)页，113.177 KB，由小赞的店铺上传

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1“超级全能生”2021高考全国卷地区3月联考丙卷数学理科答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。123456789101112CDBCBBDABB

AA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。13．x－y＋1＝014.15415．－b2a216.463三、解答题：共70分

，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。解答题评分标准（1）导函数：求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。

取值写成区间或者集合的形式，未写扣1分。（2）选做题：[极坐标方程]直角坐标方程转换需要过程，没有过程不得分。[解不等式]解集要写成集合或区间，未写扣1分。（3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。（4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。217．解：

(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＋a2＋b1＝10，b3＝S2，得3＋3＋d＋1＝10，q2＝3＋3＋d，解得d＝3，q＝3(舍负)，(3分)故an＝3＋3(n－1)＝3n(n∈N)，bn＝3n－1(n

∈N)．(5分)(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得Sn＝n（3＋3n）2＝3n（n＋1）2，所以1Sn＝23n（n＋1）＝23·1n－1n＋1，(8分)所以Tn＝1S1＋1S2＋…＋1Sn＝231－12＋2312－13＋…＋23

·1n－1n＋1(10分)＝231－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝231－1n＋1＝23－23（n＋1）<23.(12分)18．解：(Ⅰ)依题意得所以y与x具有很强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y与x的关系．(2分)由题可得所以y关于x的线性回归方程是y^＝－19

x＋255.5.(4分)(Ⅱ)由列联表可知K2＝100×（35×40－15×10）250×50×45×55≈25.253>10.828，所以有99.9%的把握认为顾客是否喜欢香蕉与年龄有关．(6分)3(Ⅲ)由

分层抽样的定义可知抽取的10人中，喜欢香蕉的人数为2，则X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C02·C28C210＝2845，P(X＝1)＝C12·C18C210＝1645，P(X＝2)＝C2

2·C08C210＝145，(10分)故X的分布列为X012P28451645145(11分)所以E(X)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝25.(12分)19．解：(Ⅰ)如图，取A1A，B1B的中点M，N，连接ME，MN，NF，EF，AC1，BC1.因为E，F

分别为A1C1，B1C1的中点，所以在直三棱柱ABC－A1B1C1中，EF∥A1B1∥MN∥AB.又因为EF平面ABC1，AB平面ABC1，所以EF∥平面ABC1.(2分)同理可证ME∥平面ABC1.又ME∩EF＝E，所以平面MEF∥平面ABC1，(5分)

即平面MNFE∥平面ABC1，所以四边形ABB1A1内存在点G，即线段MN上任意一点，使平面GEF∥平面ABC1.(6分)(Ⅱ)取AC的中点O，连接OB，OE，则在直三棱柱ABC－A1B1C1中，OB，OC，OE两两垂直，以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y

轴，OE所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.4因为AB＝BC＝AC＝A1A＝2，所以A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C1(0，1，2)，D(0，1，1)，则DA→＝(0，－2，－1)，AB→＝(3，1，0)，AC1→＝

(0，2，2)．(7分)设平面ABC1的法向量为n＝(x，y，z)，则AB→·n＝0，AC1→·n＝0，即3x＋y＝0，2y＋2z＝0.令x＝33，则y＝－1，z＝1，所以n＝33，－1，1，(9分)所以cos〈DA→，n

〉＝33×0＋（－1）×（－2）＋1×（－1）（－2）2＋（－1）2×332＋（－1）2＋12＝10535，(11分)所以DA与平面ABC1所成角θ的正弦值sinθ＝|cos〈DA→，n〉|＝10535.(12分)20．解：(Ⅰ)当m＝0时，f

(x)＝x－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1，(1分)所以当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，0)上单调递减；(2分)当x∈(0，＋∞)时，f′

(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3分)综上所述，当m＝0时，函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(Ⅱ)当m≤0时，令x＝1，则f(1)＝1－ln2－m>0

，故m≤0不符合题意；(5分)5当m>0时，f′(x)＝xx＋1－2mx＝－x（2mx－1＋2m）x＋1.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1－2m2m>－1，(6分)①当m≥12时，1－2m2m≤0，f′(x

)<0在(0，＋∞)上恒成立，因此函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(8分)对任意的x∈(0，＋∞)，总有f(x)<f(0)＝0，故m≥12符合题意；(9分)②当m∈0，12时，1－2m2m>0，对于x∈0，1－2m

2m，f′(x)>0，故f(x)在0，1－2m2m上单调递增，(10分)因此当x∈0，1－2m2m时，f(x)>f(0)＝0，即x∈(0，＋∞)，f(x)<0不恒成立，故0<m<12不符合题意，

所以m的取值范围为12，＋∞.(12分)21．解：(Ⅰ)由题意得ca＝22，a2＝b2＋c2，222a2＋322b2＝1，(2分)解得a＝2，b＝1，a2＝2，b2＝1，(3分)所以椭

圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(4分)(Ⅱ)联立x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，则Δ＝(4km)2－4(2k2＋1)(2m2－2)>0，即2k2－m2＋1>0，x1＋x2＝－

4km2k2＋1，且x1x2＝2m2－22k2＋1.(6分)由kF2E＋kF2F＝0得kx1＋mx1－1＋kx2＋mx2－1＝0，化简得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，6即2k·2m2－22k2＋1－

(m－k)4km2k2＋1－2m＝0，整理得m＝－2k，所以x1＋x2＝8k22k2＋1，x1x2＝8k2－22k2＋1.(8分)由Δ>0得－22<k<22，所以|EF|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋k2·8k22k2＋12－

4×8k2－22k2＋1＝1＋k2·8－16k22k2＋1＝22＋2k2·1－2k21＋2k2－22<k<22.(10分)令1＋2k2＝t，则1t∈12，1，所以|EF|＝22t2＋1t－1，1t∈12，1.

令f(t)＝22t2＋1t－1，1t∈12，1，易知函数f(t)在12，1上单调递增，所以|EF|∈(0，22)．(12分)22．解：(Ⅰ)将x＝4t2，y＝4t(t为参数)中的参数t消去，

得y2＝4x，(2分)∴曲线C的普通方程为y2＝4x.(3分)由2ρcosθ－ρsinθ－2＝0，得直线l：2x－y－2＝0.(5分)(Ⅱ)解法一：联立y2＝4x，2x－y－2＝0，消去y得x2－3x＋1＝0，(6分)Δ＝(－3)2－

4×1×1＝5>0.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3.(7分)由于直线l恰好过抛物线y2＝4x的焦点，∴|MN|＝x1＋x2＋2＝5.(8分)∵坐标原点O到直线l的距离d＝|－2|22＋（－1）2＝255，(9分)∴S△

OMN＝12|MN|·d＝12×5×255＝5.(10分)7解法二：由(Ⅰ)可得直线l的参数方程为x＝1＋55t，y＝255t(t为参数)，代入抛物线y2＝4x可得255t2＝41＋55t，(6分)整理得t2－5t－5＝0，设M，N两点对应的参数分别为t1，

t2，∴t1＋t2＝5，t1t2＝－5，(7分)∴|MN|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝（5）2＋4×5＝5.(8分)∵坐标原点O到直线l的距离d＝|－2|22＋（－1）2＝255，(9分)∴S△OMN＝

12|MN|·d＝12×5×255＝5.(10分)解：(Ⅰ)当a＝1时，由不等式g(x)－f(x)－12>0得|x－2|－|x－1|>12，(1分)当x≤1时，2－x－(1－x)>12，得1>12，∴x≤1；(2分)当1<x<2时，－(x－2)－(x－1)>12，即3－2x

>12，解得x<54，∴1<x<54；(3分)当x≥2时，(x－2)－(x－1)>12，得－1>12，不成立，此时不等式无解．(4分)综上，不等式g(x)－f(x)－12>0的解集为xx<54.(5分

)(Ⅱ)解法一：由题可得a2＋b2＝g(4)＝|4－2|＝2，c2＋d2＝1，(6分)∴(ac＋bd)2＝(ac)2＋2abcd＋(bd)2(7分)≤(ac)2＋(bd)2＋(ad)2＋(bc)2＝(a2＋

b2)(c2＋d2)＝2，∴ac＋bd≤2.(8分)∵a，b，c，d都为正数，∴当且仅当a＝b＝1，c＝d＝22时，等号成立，(9分)∴ac＋bd≤2.(10分)解法二：由题可得a2＋b2＝g(4)＝|4－2|＝2，c2＋d2＝1，(6分)由柯西不等式得(a2＋b2)(

c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(7分)∴2≥(ac＋bd)2.(8分)∵a，b，c，d都为正数，8∴当且仅当a＝b＝1，c＝d＝22时，等号成立，(9分)∴ac＋bd≤2.(10分)