【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练25 简单的三角恒等变换.docx，共(7)页，62.025 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。二十五简单的三角恒等变换(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)cos40°cos25°√1-sin

40°的值为()A.1B.√3C.√2D.2【解析】选C.原式=cos220°-sin220°cos25°(cos20°-sin20°)=cos20°+sin20°cos25°=√2cos25°cos25°=√2.2.(5分)已

知x∈(-π2,0),cos(π-x)=-45,则tan2x等于()A.724B.-724C.247D.-247【解析】选D.因为x∈(-π2,0),cos(π-x)=-45,所以cosx=45,sinx=-√1-cos2𝑥=-35,由同角三角函数的

关系得tanx=sin𝑥cos𝑥=-34.因此tan2x=2tan𝑥1-tan2𝑥=2×(-34)1-(-34)2=-247.3.(5分)(2023·枣庄模拟)已知sin(π6-α)=√23,则cos(2α-4π3)等于()A.-59B

.59C.-13D.13【解析】选A.cos(2α-4π3)=cos(-π+2α-π3)=-cos(2α-π3)=-cos(π3-2α)=-[1-2sin2(π6-α)]=-(1-2×29)=-59.4.(5分)(2023•新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,则cos

(2α+2β)=()A.79B.19C.-19D.-79【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=si

nαcosβ+sinβcosα=12+16=23,则cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×49=19.5.(5分)(多选题)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是()A.cos(-15°)=√6-√24B.sin15°sin30°sin75°

=18C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=-12D.2sin18°cos36°=12【解析】选BD.对于A,cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin

45°sin30°=√6+√24,所以A错误;对于B,sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°cos15°=12sin15°cos15°=14sin30°=18,所以B正确;对于C,cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(

25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=12,所以C错误;对于D,2sin18°cos36°=2cos72°cos36°=2×sin144°2sin72°×sin72°2sin36°=sin36°2sin36°=

12,所以D正确.6.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)若sin𝛼2=√33,α∈(0,π),则()A.cosα=13B.sinα=23C.sin(𝛼2+π4)=√6+2√36D.sin(𝛼2-π4)=2√3-√66【解析】

选AC.因为sin𝛼2=√33,α∈(0,π),所以𝛼2∈(0,π2),cos𝛼2=√1-sin2𝛼2=√63.所以cosα=1-2sin2𝛼2=1-2×(√33)2=13,故A正确;sinα=2sin𝛼2cos𝛼2=2×√33×√63=2√23,故B错误;sin(

𝛼2+π4)=sin𝛼2cosπ4+cos𝛼2sinπ4=√33×√22+√63×√22=√6+2√36,故C正确;sin(𝛼2-π4)=sin𝛼2cosπ4-cos𝛼2sinπ4=√33×√22-√63×√22=√6-2√

36,故D错误.7.(5分)(2024·长春模拟)若cos(π4-𝜃)=12,则sin2θ=________.【解析】因为cos(π4-𝜃)=12,所以sin2θ=cos(π2-2θ)=cos[2(π4-θ)]=2cos2(π4-θ)-1=2×(12)2-1=-12.答案:-

128.(5分)(2023·青岛模拟)已知tan2θ=-2√2,π4<θ<π2,则2cos2𝜃2-sin𝜃-1√2sin(𝜃+π4)=____________.【解析】由tan2θ=-2√2,即2tan𝜃1-tan2𝜃=-2√2,解得tanθ=√2或tanθ=-√22.因为π4

<θ<π2,所以tanθ=√2且cosθ≠0.则2cos2𝜃2-sin𝜃-1√2sin(𝜃+π4)=cos𝜃-sin𝜃cos𝜃+sin𝜃=1-tan𝜃1+tan𝜃=1-√21+√2=-3+2√2.答案:-3+2√29.(10分)已知函数f(x)=

sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cos2x+a的最大值是1.(1)求常数a的值;(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.【解析】(1)根据三角函数的两角和与差公式可得:f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-

π6)+cos2x+a=√32sin2x+12cos2x+√32sin2x-12cos2x+cos2x+a=√3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+π6)+a,由于函数的最大值是1,所以2+a=1,即a=-1.(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+π6)-1,由

f(x)≥0得:2sin(2x+π6)-1≥0,即sin(2x+π6)≥12,因此π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2kπ,k∈Z,即kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,故x的取值集合是{x|kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z}.【能力提升

练】10.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ=-2,则sin𝜃(1+sin2𝜃)sin𝜃+cos𝜃=()A.-65B.-25C.25D.65【解析】选C.由tanθ=-2,得sin2θ=45,sinθ

cosθ=-25,故sin𝜃(1+sin2𝜃)sin𝜃+cos𝜃=sin𝜃(sin𝜃+cos𝜃)2sin𝜃+cos𝜃=sin2θ+sinθcosθ=25.11.(5分)魏晋南北朝时期,祖冲之利用割圆术以正24576边形,

求出圆周率π约等于355113,和真正的值相比,其误差小于八亿分之一,这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin52°,则1-2cos27°π√16-π2的值为()A.-18B.-8C.8D

.18【解析】选A.将π=4sin52°代入1-2cos27°π√16-π2,可得1-2cos27°π√16-π2=-cos14°4sin52°√16-16sin252°=-cos14°16sin52°cos52°=-

cos14°8sin104°=-cos14°8sin(90°+14°)=-cos14°8cos14°=-18.12.(5分)sin20°=m,cos20°=n,化简1+tan10°1-tan10°-2cos70°cos50°=()A

.𝑚𝑛B.-𝑚𝑛C.𝑛𝑚D.-𝑛𝑚【解析】选A.因为sin20°=m,cos20°=n,所以1+tan10°1-tan10°-2cos70°cos50°=cos10°+sin10°cos10°-sin10°-2sin20°sin40°=cos10°+sin10°cos1

0°-sin10°-1cos20°=(cos10°+sin10°)2cos210°-sin210°-1cos20°=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=𝑚𝑛.13.(5分)已知cos(θ+π

4)=√1010,θ∈(0,π2),则sin(2θ-π3)=________.【解析】由题意可得cos2(θ+π4)=1+cos(2𝜃+π2)2=110,cos(2θ+π2)=-sin2θ=-45,即sin2θ=45.因为cos(θ+π4)=√1010>

0,θ∈(0,π2),所以0<θ<π4,2θ∈(0,π2),根据同角三角函数基本关系式,可得cos2θ=35,由两角差的正弦公式,可得sin(2θ-π3)=sin2θcosπ3-cos2θsinπ3=45×12-35×√32=4-3√310.答案:4

-3√31014.(10分)(2024·上海模拟)设f(x)=2sinxcosx-2sin2(x-π4).(1)求f(x)的单调递增区间及对称中心;(2)当x∈(0,π2)时,f(𝑥+π6)=-13,求cos2x的值.【解析

】(1)由题意得,f(x)=sin2x+cos(2x-π2)-1=2sin2x-1,由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z);所以f(x)的单调递增区间是[-π4+𝑘π,π4+

𝑘π](k∈Z);令2x=kπ,k∈Z,解得x=𝑘π2,k∈Z,此时函数值为-1,所以对称中心为(𝑘π2,-1),k∈Z.(2)因为f(x+π6)=2sin(2x+π3)-1=-13,所以sin(2x+π3)=13,因为x∈(0,π2),所以2x+π3∈(π3

,4π3),因为当2x+π3∈(π3,π2)时,sin(2x+π3)>sinπ3=√32>13,所以2x+π3∈(π2,π),cos(2x+π3)=-√1-sin2(2𝑥+π3)=-2√23,cos2x=

cos[(2𝑥+π3)-π3]=cos(2x+π3)cosπ3+sin(2x+π3)sinπ3=-2√23×12+13×√32=√3-2√26.15.(10分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π3的扇形,点A在𝑃𝑄⏜上(异于点P,Q),过

点A作AB⊥OP,AC⊥OQ,垂足分别为B,C,记∠AOB=θ,四边形ACOB的周长为l.(1)求l关于θ的函数关系式;(2)当θ为何值时,l有最大值?并求出l的最大值.【解析】(1)AB=OAsinθ=si

nθ,OB=OAcosθ=cosθ,AC=OAsin(π3-θ)=sin(π3-θ),OC=OAcos(π3-θ)=cos(π3-θ),所以l=sinθ+cosθ+sin(π3-θ)+cos(π3-θ)=sinθ+cosθ+√32cosθ-12sinθ+12cosθ+√32sinθ=1+√32

sinθ+3+√32cosθ=√3+12(sinθ+√3cosθ)=(√3+1)sin(θ+π3)(0<θ<π3).(2)由0<θ<π3,得π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,sin(θ+π3)=1,lmax=√3+1,所以当θ=π

6时,lmax=√3+1.【素养创新练】16.(5分)(2023·武汉模拟)f(x)满足:∀x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,都有𝑥2𝑓(𝑥1)-𝑥1𝑓(𝑥2)(𝑥1-𝑥2)<0.a=sin7°sin83°,b=tan8°1+tan28°,c=cos25π24-1

2,则𝑓(𝑎)𝑎,𝑓(𝑏)𝑏,𝑓(𝑐)𝑐的大小顺序为()A.𝑓(𝑎)𝑎<𝑓(𝑏)𝑏<𝑓(𝑐)𝑐B.𝑓(𝑎)𝑎<𝑓(𝑐)𝑐<𝑓(𝑏)𝑏C.𝑓(𝑏)𝑏<𝑓(𝑐)𝑐<𝑓(�

�)𝑎D.𝑓(𝑐)𝑐<𝑓(𝑎)𝑎<𝑓(𝑏)𝑏【解析】选C.a=sin7°sin83°=sin7°cos7°=12sin14°,b=tan8°1+tan28°=sin8°cos8°cos28°+sin28°=12sin16°,c=12cos

5π12=12sinπ12=12sin15°,所以a<c<b.由题意得,∀x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,都有𝑥2𝑓(𝑥1)-𝑥1𝑓(𝑥2)(𝑥1-𝑥2)<0,即𝑓(𝑥1)𝑥1-𝑓(𝑥2)𝑥2𝑥1-𝑥2<0,所以

y=𝑓(𝑥)𝑥在(0,1)上单调递减,所以𝑓(𝑏)𝑏<𝑓(𝑐)𝑐<𝑓(𝑎)𝑎17.(5分)(2023·盐城模拟)已知由sin2x=2sinxcosx,cos2x=2cos2x-1,cos3x=cos(2x

+x)可推得三倍角余弦公式cos3x=4cos3x-3cosx,已知cos54°=sin36°,结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin18°=______;如图,已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成

的,则𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=________.【解析】因为cos54°=cos(90°-36°)=sin36°,所以4cos318°-3cos18°=2sin18°cos18°,即4cos218°-3=2sin18°,即4(1

-sin218°)-3=2sin18°,即4sin218°+2sin18°-1=0,因为0<sin18°<1,解得sin18°=-2+√4+168=√5-14.在五角星ABCDE中,EG=EI,HG=HI,HE=HE,故△EHG≌△EHI,从而可得

∠HEG=12∠CEB=18°,∠EHG=12∠IHG=54°,过点H作HM⊥BE,垂足为点M,如图,则∠GHM=18°,于是cos∠GHM=𝐻𝑀𝐺𝐻,从而有HM=GHcos∠GHM=2cos18

°,于是EH=𝐻𝑀sin∠𝐻𝐸𝐺=2cos18°sin18°,所以𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos54°=2×2cos18°sin18°×sin36°=8cos218°=8-8sin218°=8-8

×(√5-14)2=8-(3-√5)=5+√5.答案:√5-145+√5