【文档说明】天津市和平区2023届高三二模数学试题含解析.docx，共(24)页，2.959 MB，由小赞的店铺上传

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和平区2022-2023学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学学科试卷第Ⅰ卷（选择题共45分）一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集UZ=，集合3,1,0,1,2,|21,A

BxxkkN=−−==−，则()UACB=A.0,1,2B.3,1,0−−C.1,0,2−D.3,0,2−【答案】D【解析】【详解】集合|21,BxxkkN==−1,1,3,5,7...=−1,1,BB−且全集UZ=，1,1,UUCBCB

−则()3,0,2UACB=−,故选D.点睛:本题考查集合的交并补混合运算属于基础题目.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.在求交集时注意区间端点的取舍,熟练画数轴来解交集、并集和补

集的题目.注意集合B中的条件kN,是解决本题的关键和易错点.2.函数()πsin2exxxfx+=的图象大致为（）AB.C..D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简得()cos,Rexxxfxx=，由此可得()fx为奇函数，故排除C，

D；再判断函数在π(0,)2x时的正负情况即可得答案.【详解】由()πsincos2,Reexxxxxxfxx+==，易知()fx为奇函数，故排除C，D；当π(0,)2x时，()0fx，故只有A满足，排除B.故选：A.3.若,xyR，则“xy”的一个充分不必要条件可以是

（）A.xyB.22xyC.1xyD.22xy−【答案】D【解析】【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】由xy，22xy推不出xy，排除AB；由1xy可得0xyy−，解得0xy或0xy，所以1xy是xy的既不充分也不必要条

件，排除C；22xyxy−，反之不成立，D正确；故选：D．4.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩

取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（）①a的值为0.005；②估计成绩低于60分的有25人；③估计这组数据的众数为75；④估计这组数据的第85百分位数为86．A.②③B.①③④C.①②④D.①②③【答案】B【解析】【分析】由所有组频率之和为1求得a，再根据

频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果.【详解】对于①，由(23356)101aaaaaa+++++=，得0.005a=.故①正确；对于②，估计成绩低于60分的有1000(23)1050000250aaa+==人.故②错误；对于③，由众数的定义知，估计这组数据的

众数为75.故③正确；对于④，设这组数据的第85百分位数为m，则(90)50.0050.00510185%0.15m−+=−=，解得：86m=，故④正确.故选：B5.设()211log320.3

4,2,logln3abc−===，则,,abc的大小关系为（）A.bacB.b<c<aC.c<a<bD.cba【答案】D【解析】【分析】计算12a=，13b=，0c，得到答案.【详解】12142a−==，21log3132b

==，()0.30.30logln3log1c==，故cba.故选：D.6.由直线1yx=+上的点向圆()2231xy−+=作切线，则切线长的最小值为（）A.1B.7C.22D.3【答案】B【解析】【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股

定理不难求解切线长的最小值．【详解】切线长最小值是当直线1yx=+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为|301|222d−+==，圆的半径为1，故切线长的最小值为22817dr−=−=，故选：B．【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．7

.如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为（）A.2B.523C.11212D.324【答案】

A【解析】【分析】根据已知条件及正四面体的体积公式即可求解.【详解】由题意可知星行八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，故该星形八面体体积为332224121212V=+=.故选：A.8.设1F、2F

分别为双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点，抛物线220yx=的准线过点1F，若在双曲线右支上存在点P，满足212PFFF=，且点2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则点2F的到该双曲线的渐近线的距离为（）A.3B.4C.271−D.5【答案】

B【解析】【分析】取1PF的中点M，连接2FM，分析可得5c=，21FMPF⊥，利用双曲线的定义结合已知条件可得出2PFM三边边长，利用勾股定理可求得a的值，进而可求得b的值，最后利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】取1PF的中点M，连接2F

M，如下图所示：易知抛物线220yx=的准线方程为5x=−，则()15,0F−、()25,0F，因为双曲线()222210,0xyabab−=的右支上存在点P，使得21210==PFFF，又因为M为1PF的中点，所以，21FMP

F⊥，由双曲线的定义可得12222PFPFaca=+=+，则112PMPFca==+，由题意可知，22FMa=，由勾股定理可得22222PFPMFM=+，即()()()22222ccaa=++，所以，()()()()22244cacacaca+=−=−+，故44caca+=

−，可得335ca==，所以，2222534bca=−=−=，双曲线的右焦点()2,0Fc到渐近线byxa=的距离为2241bcadbba===+.故选：B.9.函数()()π2sin0,02fxx=+的部分图象如图所示，()()1232fxfx==−

，则下列四个选项中正确的个数为（）①()21π3cos64xx−=②函数()yfx=在2,5上单调递减；③函数()yfx=在3,6上的值域为1,1−；④曲线()yfx=在=1x−处的切线斜率为3．A.0个B.1个

C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】根据图像求()yfx=的解析式，对于①②③：结合正弦函数的性质分析运算；对于④：结合导数的几何意义运算求解.【详解】由图可知：函数()yfx=过点()0,1，则()02sin1f==，即1sin2=，且π02，可得π6=，又因为函数(

)yfx=过点5,02，且为减区间的零点，则55π2sin0226f=+=，即5πsin026+=，则5π2ππ,26kk+=+Z，解得()125π,15kk+=Z，注意到542522

TT，即510T，则2π5100，解得π2π55，故()125ππ2π5155k+，解得0k=，此时π3=，所以()ππ2sin36fxx=+.对于①：令ππππ,3

62xkk+=−Z，解得32,xkk=−Z，取0k=，则2x=−，即函数()yfx=在y轴左侧离y轴最近的对称轴为2x=−，由图可得124xx+=−，即214xx=−−，且()11ππ32sin362fxx=+=−

，即1ππ3sin364x+=−，所以()()21111πππ2ππ2πcoscos42coscos663333xxxxx−=−−=−+=+

11πππππ3cossin362364xx=++=−+=，故①正确；对于②：因2,5x，则ππ5π11π,3666x+，且sinyx=在5π11π,66不单调，所以()yfx=在2

,5上不单调，故②错误；对于③：因为3,6x，则ππ7π13π,3666x+，ππ1sin1,362x+−，可得()2,1fx−，所以函数()yfx=在3,6上的值域为2,1−，故③错误；对于④：∵()2πππco

s336fxx=+，为可得()2πππ2ππ2π33π1coscos33636323f−=−+=−==，曲线()yfx=在=1x−处的切线斜率为3π3，故④错误；故选：B.【点睛】方法定睛：函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的

确定（1）A由最值确定，A＝1(2最大值−最小值)；（2）ω由周期确定；（3）φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．第Ⅱ卷（非选择题共105分）二､填空题（本大题共6小题，每小题5分

，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10.复数z满足()1i3i+=−z，则z=__________．【答案】1i−##i1−+【解析】【分析】利用复数的模和除法运算即可求解.【详解】因为复数

z满足()1i3i+=−z，所以3i21i1i1iz−===−++，故答案为：1i−.11.若在631xx−的展开式中，2x−的系数为__________．（用数字作答）【答案】20−【解析】【分析】写出二项展开式，令x的

指数为2−，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】631xx−的展开式通项为()()()462331661CC10,1,2,,6kkkkkkkTxxkx−−+=−=−=，令42

23k−=−，可得3k=，因此，展开式中2x−的系数为()336C120−=−.故答案为：20−.12.设,xyR，1a，1b，若3xyab==，318ab+=，则11xy+的最大值为__________．【答案】3【解析】【分析】由已知可解得

log3ax=，log3by=.根据换底公式可得31logax=，31logby=.根据基本不等式得出27ab，然后根据对数运算性质即可得出答案.【详解】因3xyab==，所以log3ax=，log3by=.又3l

g3lglog3log1lglg3aaaa==，3lg3lglog3log1lglg3bbbb==，所以31logax=，31logby=.因为1a，1b，根据基本不等式有233812aba

b+=，当且仅当3ab=，即3a=，9b=时等号成立，所以27ab.则333331loglogloglog271ababyx+=+==，所以11xy+的最大值为3.故答案为：3.13.在学校大课间体育活动中，甲､

乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲､乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局．已知甲､乙每次投篮命中的概率分别为45和34，且每局比赛甲､乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．则进行1局投篮比赛，甲､乙平局的概率为__________；设共进行了10

局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望()EX=__________．【答案】①.1320##0.65②.2【解析】为【分析】第一空，考虑两人平局情况，根据相互独立事件的乘法公式，即可求得答案；第二空，求出甲每局获胜的概率，确定甲获胜的局数1(10,)5XB，

根据二项分布的期望公式即可求得答案.【详解】由题意知甲､乙每次投篮命中的概率分别为45和34，则甲､乙平局的情况为两人都投中或都不中，故平局概率为434313(1)(1)545420+−−=；甲每局获胜的概率为431(1)545−=，故共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，则

1(10,)5XB，故()11025EX==，故答案为：1320；214.在平行四边形ABCD中，π3BAD=，边,ABAD的长分别为2与1，则ADAB+在AB上的投影向量为______（用AB表示）；若点,MN分别是边,BCCD上的点，且满足BMCN

BCCD=，则AMAN的取值范围是______.【答案】①.54AB②.2,5【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得平行四边形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得,ADAB的坐标，利用数量积的投影向量概念求解即可；设BMCNBCCD==，可得2λ2λ+5AMAN=−−，然后利用二

次函数的性质即得.【详解】在平行四边形ABCD中，π3BAD=，边,ABAD的长分别为2与1，建立如图所示的直角坐标系，则()()2,00,0BA，，13,22D，53,22C，(2,0)AB=，53(,)

22AC=，13(,)22AD=，所以53(,)22ADABAC+==，所以53()20522ADABAB+=+=，2AB=，所以ADAB+在AB上的投影向量为()54ADABABABABABAB+=；设BMCNBCCD==，

0,1，则BMBC=，CNCD=，所以λ3λ532,,2λ,2222MN+−，所以2λ3λ532,2λ,λ2λ+52222AMAN=+−=−−

，因为0,1，函数2λ2λ+5y=−−的对称轴为1=−，所以2λ2λ+5y=−−在0,1上单调递减，所以0,1时，2λ2λ+52,5y=−−，即AMAN的取值范围是2,5.故答案为：54AB；

2,515.已知函数()14sinπ,012,1xxxfxxx−=+，若关于x的方程()()()2[]210fxmfxm−−+−=恰有5个不同的实数解，则实数m的取值范围为__________．【答案】()3,1−−【解析】【分析】利用换元法结合函数图象分析方程的根的情况即可.【详解

】作出函数()fx的大致图象，如图所示，令()tfx=，则()()()2[]210fxmfxm−−+−=可化为()()()221110tmtmtmt−−+−=−+−=，则11t=或21tm=−，则关于x的方程()()()2[]210fxmfxm−−+−=恰有5个不同的实数解等

价于()tfx=的图象与直线12,tttt==的交点个数之和为5个，由图可得函数()tfx=的图象与直线1=tt的交点个数为2，所以()tfx=的图象与直线2=tt的交点个数为3个，即此时214m−，解得3<1m−−.故答案为：()3,1−−.三

､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，设,,abc满足条件222bcbca+−=和132cb=+，（1）求角A和tanB；（2）若2b=，求ABC的面积；（3）求()cos2AB+

．【答案】（1）π3A=，1tan2B=；（2）332ABCS=+；（3）()343cos210AB−+=.【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出π3A=，结合条件利用正弦定理化边为角可得答案；（2）求出c，利用三角形面积公

式可得答案；（3）先根据倍角公式求出sin2,cos2BB，再利用两角和的余弦公式可求答案.【小问1详解】由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==，因为()0,πA，所以π3A=．由已知条件，应用正弦定理231sinπcossinsin13cos13223sinsinsin22sin2

BBBcCBbBBBB−+====+=+，即3cos32sinBB=，所以1tan2B=．【小问2详解】因为12,32cbb==+，所以123c=+，所以()1133sin212332222ABCSbcA==+=+．【小问3详解】因为

()1tan,0,π2BB=，所以sin1cos2BB=，又22sincos1BB+=，所以525sin,cos55BB==，所以2243sin22sincos,cos2cossin55BBBBBB===−=．因为π3A=，所以()ππ1334343c

os2coscos2sinsin233252510ABBB−+=−=−=．17.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是正方形，平面11AADD⊥平面11,2ABCDADAAAD===．（1）求证：1ADAB⊥；（2）求

直线AB与平面11ADC所成角的余弦值；（3）求平面1ABC与平面11ADC的夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）277；（3）437【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可得AB⊥平面11AADD，再由线面垂直的性质即可得证；（2）（3）取AD的中点O

，连接1AO，以点O为坐标原点，1,,ABADOA的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间坐标系，利用空间向量解答.小问1详解】证明：因为四边形ABCD为正方形，所以ABAD⊥，因为平面11AADD⊥平面ABCD，

平面11AADD平面,ABCDADAB=平面ABCD，所以AB⊥平面11AADD，因为1AD平面11AADD，所以1ABAD⊥；【小问2详解】解：取AD的中点O，连接1AO，因为11,AAADO=为AD的中点，所以1AOAD⊥，因为平面11AADD⊥平面ABC

D，平面11AADD平面1,ABCDADAO=平面11AADD，所以1AO⊥平【面ABCD，以点O为坐标原点，1,,ABADOA的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则

()()()()()110,1,0,2,1,0,0,0,3,2,2,3,0,1,0,(2,1,0)ABACDC−−，()()()1112,0,0,2,2,0,0,1,3ABACAD===−，设平面11ACD的法向量为()1111,,nxyz=，由1111111

1122030nACxynADyz=+==−=，令11z=，则()13,3,1n=−，设直线AB与平面11ADC所成角为1，12111112127sincos<,,cos1sin77ABnABnABn===−==uuururuuururuuurur，则直线AB与平面1

1ADC所成角的余弦值为277；【小问3详解】解：设平面1ABC的法向量为()()()22221,,,2,1,3,0,2,0nxyzABBC==−−=，由212222223020nABxyznBCy=−−===，令23x=，则()23,0,2n=，设平面1ABC与平面11A

DC的夹角为2，122212221232143coscos<>,sin1cos7777nnnnnn=−====−=uruururuururuur，所以平面1ABC与平面11ADC的夹角的正弦值为437．18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10xy

Cabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，椭圆与y轴正半轴的交点为点B，且12FBF为等腰直角三角形．（1）求椭圆C的离心率；（2）已知斜率为1的直线l与椭圆C相切于点P，点P在第二象限，过椭圆的右焦点2F作直线l的垂线，垂足为点H，若1243

3FHFP=−，求椭圆C的方程．【答案】（1）22（2）22184xy+=【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的几何性质可得出bc=，根据a、b、c的关系可求得椭圆C的离心率的值；（2）由题意，设直线l的方程为()0yxmm=+，设切点()11,P

xy，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，由Δ0=可得出m、c的等量关系，求出点P的坐标，写出直线2FH的方程，求出点H的坐标，根据12433FHFP=−求出2c的值，即可得出椭圆C的方程.【小问1详解】解：设椭圆C的半焦距为c，由已知得点()0,Bb，因为12FBF为等腰直角

三角形，且O为12FF的中点，所以2OBOF=，即bc=，所以22222abcc=+=，有222cceac===．【小问2详解】解：由（1）知22e=，设椭圆C方程为222212xycc+=，因为切点P在第二象限，且直线l的斜率为1

，设直线l的方程为()0yxmm=+，设点()11,Pxy，因为直线l与椭圆C相切，联立22222yxmxyc=++=可得22234220xmxmc++−=，由()22222Δ1612222480mmccm=−−=−=，可得223mc=，即3mc=，所以，123m

x=−，1233mmym=−+=，所以2,33mmP−，因为直线2FH与直线l垂直，所以直线2FM的斜率为1−，则直线2FH的方程为yxc=−+，联立yxcyxm=−+=+，可得22cmxcmy−=+=，即点,22cmcmH−+

，又因为()1,0Fc−、()2,0Fc，有13,22cmmcFH−+=，223,33mcmFP+=−，()()()222123233922343,66663cmmcmcmmccmcFHFP−++−−=−+==−=−．所以24c=，所以椭圆C的方

程为22184xy+=．【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．19.已知数列na为等差数列，数列nb为等比数列，且11443552

2,,ababaab===+=．（1）求数列,nnab的通项公式；（2）求12knkakab−=（3）求()22*2111log(1)Nnkkkkkkkbbanaa+=+−−．【答案

】（1）2nan=，12nnb−=；（2）()13441699nn+−+（3）24184422nnnn−−−+【解析】【分析】（1）由条件结合等差数列和等比数列通项公式求na的公差d，数列nb的公比q，由此可得数列,nnab的通项公式；（2）由（1）可得()11

4nnnaabn−=−，利用错位相减法求其和即可；（3）设22221111log,(1)nnkkkkkkkkbAbBaaa+==+==−，利用裂项相消法求A的值，利用分组求和法求B，由此可得结论.【小问1详解】设等差数列na公差为d，等比数列nb公比为q，又1122

ab==，因为35544,aabab+==，42224ddq+++=，323dq+=，所以2q=，所以12nnb−=，所以238d+=所以2d=，所以()2212nann=+−=．【小问2详解】()()21122214nnnnaabnn−−=−=−．令nS=12knkakab−=，

则()230142414nnSn=++++−，()()3414014242414nnnSnn+=++++−+−，两式相减得()()()11231143416416344414141433nnnnnnnSnn++++−−−=++−−=−−=−+−，()13441699nnnS+−=+

【小问3详解】22222221111111loglog(1)(1),nnnkkkkkkkkkkkkkkkbbbabaaaaa++===++−−=−−，设22221111log,(1)nnkkkkkkkkbAbBa

aa+==+==−．()1211log1122222241kkkkkkkbkbaakkkk+++−==−++，21221142842212412.42132212421422nnnnAnnnn++=−

+−++−=−=−+++．()22(1)(1)4kkkak−=−()()2222341412(2)437414842nnBnnnn+−=−+−+=+++−==+．则2222111log41(1)84422nnkkk

kkkkbbaABnnaan+=+−−=−=−−−+．20.已知函数()(),logxafxagxx==，其中1a，（1）若()()(0)axhxxfx=，（i）当2a=时，求()hx的单调区间；（ii）曲线()yhx=与直线1y=有且仅有两个交点，求a的取值范围．（2）证

明：当1eea时，存在直线l，使直线l是曲线()yfx=的切线，也是曲线()ygx=的切线．【答案】（1）（i）单调递增区间为20,ln2，单调递减区间为2,ln2+；（ii）()()1,ee,+；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）（

i）利用导数研究单调区间即可；（ii）设函数()lnxkxx=，问题转化为()ykx=与lnaya=有两个交点求参数范围；（2）分析法转化证明当1eea时111112lnlnln0lnlnxxaaxaaxaa−+++=存在实

数解，构造中间函数()12lnlnlnlnlnxxauxaxaaxaa=−+++，利用导数研究零点的存在性即可证结论.【小问1详解】（i）由2a=时，()22xxhx=且0x，则()()()222ln2222ln222xxxxxxxx

hx−−==，令()0hx，即20ln2x，令()0hx，即2ln2x，所以()hx的单调递增区间为20,ln2，单调递减区间为2,ln2+．（ii）()1(0)(0)axaxxhxxaxxa==

=，两侧同时取对数，有lnlnlnlnxaxaaxxa==，设函数()lnxkxx=，则()21lnxkxx−=，令()0kx，有0ex，当()0,ex时()()0,kxkx单调递增，当()e,

x+时()()0,kxkx单调递减，所以()max1()eekxk==，又()10k=，且1x时()0kx，所以()yhx=与1y=有且仅有两个交点，即()ykx=与lnaya=有两个交点的充要条件为ln1e0aa

，即(1)()(e)kkak，所以a的取值范围为()()1,ee,+．【小问2详解】曲线()yfx=在()11,xxa处的切线()1111:ln−=−xxlyaaaxx．曲线()ygx=在()22,logaxx处的切

线()22221:logln−=−alyxxxxa．要证当1eea时，存在直线l是曲线()yfx=的切线，也是曲线()ygx=的切线，只需证明当1eea时，存在()()12,,0,xx−++，使得1l

和2l重合．只需证明当1eea时，121lnlnxaaxa=①，11121lnloglnxxaaxaaxa−=−②两式有解，由①得：1221(ln)xxaa=，代入②得：111112lnlnln0lnlnxx

aaxaaxaa−+++=③，因此，只需证明当1eea时，关于1x的方程③存在实数解．设()12lnlnlnlnlnxxauxaxaaxaa=−+++，即证明当1eea时()yux=存在零点．对于(

)21(ln)xuxaxa=−：(),0x−时()0ux，且()0,x+时()ux单调递减，又()21(ln)21010,10(ln)auuaa==−，故存在唯一00x，使()0ux=0201(ln)0xaxa−=．由此，()ux

在()0,x−上单调递增，在()0,x+上单调递减，()ux在0xx=处取得极大值()0ux．因为1eea，故()lnln1a−，()0000012lnlnlnlnlnxxauxaxaaxaa=

−+++02012lnln22lnln0(ln)lnlnaaxxaaa+=++下面证明存在实数t，使得()0ut．令1lnxyaxa=−−且0x，则lnln()0ln1xxyaaaaa=−=−，所以y在[0,)+上递增，故0|0xyy==，即1l

nxaxa+，当10lnxa时，有()()()12lnln1ln1lnlnlnauxxaxaxaa+−+++2212lnln(ln)1lnln=−++++aaxxaa，根据二次函数的性质，存在实数t使得()0ut，因

此当1eea时，存在()1,x−+使得()10ux=．所以当1eea时，存在直线l，使l是曲线()yfx=的切线，也是曲线()ygx=的切线．【点睛】关键点睛：第二问，注意将公共切线问题转化为当1eea时111112lnlnln0lnlnxxaaxaaxaa−+

++=存在实数解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com