【文档说明】北京市房山区2023届高三一模数学试题 含解析.docx，共(19)页，942.972 KB，由小赞的店铺上传

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房山区2023年高三年级第一次模拟考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{11},{03}AxxBxx=−=

∣∣，则AB=（）A.[0,1)B.[0,1]C.(1,3]−D.(1.3)−【答案】C【解析】【分析】直接求并集得到答案.【详解】集合{11},{03}AxxBxx=−=∣∣，则13ABxx=−.故选：C2.在42xx−的展开式中，2x的系数

是（）A.8−B.8C.4−D.4【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算即可.【详解】42xx−的展开式通项为()4421442CC2rrrrrrrTxxx−−+=−=−，取422r−=，则1r=，系数为()14C28−

=−.故选：A3.已知数列na对任意*nN满足11nnaaa++=，且11a=，则5a等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】由数列递推公式依次计算2a，3a，4a，5a，即可得答案

.【详解】由题意可得，2112aaa=+=，321213aaa=+=+=，431314aaa=+=+=，541415aaa=+=+=.故选：D4.“π04x”是“tan1x”的（）A.充分而不必

要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当π04x时，()tan0,1x，满足tan1x，充分性，取3π4x=计算得到不必要性，得到答案.【详解】当π04x时，()tan0,1x，满足tan

1x，充分性；取3π4x=，满足tan11x=−，不满足π04x，不必要性.故“π04x”是“tan1x”的充分而不必要条件.故选：A5.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，抛物线C上一点P到点

F的距离为3，则点P到原点的距离为（）A.2B.3C.22D.23【答案】D【解析】【分析】由抛物线的定义，将抛物线C上一点P到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点P的坐标，进而得出点P到原点的距离．【详解】抛物线2:4Cyx=的准线为=1x−，由题意，设()00,Pxy，()031PF

x==−−，02x=，()2,22P，则点P到原点的距离为4823+=，故选：D6.已知直线1(2)ymx+=−与圆22(1)(1)9xy−+−=相交于M，N两点.则||MN的最小值为（）A.5B.25C.4D.6【答案】C【解析】【分析】先求出圆心(1,1)

A和半径，以及直线的定点()2,1B−，利用圆的几何特征可得到当ABMN⊥时，||MN最小【详解】由圆的方程22(1)(1)9xy−+−=，可知圆心(1,1)A，半径3R=，直线1(2)ymx+=−过定点()2,1B−，因为22(21)(11)59−+−−=，则

定点()2,1B−在圆内，则点()2,1B−和圆心(1,1)A连线的长度为()22(21)115d=−+−−=，当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时ABMN⊥，由圆的弦长公式可得22224|23(5)|2NRMd=−=−=，故

选：C7.已知函数()fx同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有()()0fxfx+−=；②对任意实数12,xx，当120xx+时，都有()()12120fxfxxx++.则函数()fx的解析式可

能为（）A.()2fxx=B.()2fxx=−C.()2xfx=D.()2xfx=−【答案】B【解析】【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案.【详解】对任意实数x，都有()()0fxfx+−=，故函

数为奇函数；对任意实数12,xx，当120xx+时，都有()()12120fxfxxx++，即()()12120fxfxxx+−−，即()()12120fxfxxx−−，()12xx，故函数单调递减.对选项A：()2fxx=单调递增，不满足；对选项B

：()2fxx=−单调递减，且函数为奇函数，满足；对选项C：()2xfx=单调递增，不满足；对选项D：()2xfx=−不是奇函数，不满足.故选：B8.在ABC中，90,2CACBC===，P为ABC所在平面内的

动点，且1PC=，则PAPB+的最大值为（）A.16B.10C.8D.4【答案】D【解析】【分析】由已知求出点P的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出2PAPBPD+=，PD的最大值即圆心到定点D的距离加上半径，代入化简求值即可

．【详解】由题意，1PC=可得，点P的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆，取AB的中点D，则2PAPBPD+=，所以()maxmax1221222142PAPBPDCD+==+=++=，故选：D9.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的

血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()eKtStS=描述血氧饱和度()St随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中0S为初始血氧饱和度，K为

参数.已知060%S=，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln2069ln3110．，．）A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9【答案

】B【解析】【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要1t−小时，由题意可得60e80K=，60e90Kt=，两边同时取自然对数并整理，得804lnlnln4ln3

2ln2ln3603K===−=−，903lnlnln3ln2602Kt===−，则ln3ln21.100.691.52ln2ln320.691.10t−−=−−，则给氧时间至少还需要0.5小时故选：B10.如图，已知正方体1111ABCDABC

D−，则下列结论中正确的是（）A.与三条直线111,,ABCCDA所成的角都相等的直线有且仅有一条B.与三条直线111,,ABCCDA所成的角都相等的平面有且仅有一个C.到三条直线111,,ABCCDA的距离都相等的点恰有两个D.到三条直线111,,ABCCDA的距离都相等的点有无

数个【答案】D【解析】【分析】所成的角都相等的直线有无数条，A错误，成的角相等的平面有无数个，B错误，距离相等的点有无数个，C错误，D正确，得到答案.【详解】对选项A：根据对称性知1AC与三条直线的夹角相等，则与1AC平行的直线都满足条件，有无数

条，错误；对选项B：根据对称性知平面1ABD与三条直线所成的角相等，则与平面1ABD平行的平面都满足条件，有无数个，错误；对选项C：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，()1,0,0A，()1,1,0B，1DB上一点(),,Paa

a，则()0,1,0AB=，()1,,PAaaa=−，()22cos,12ABPAaABPAABPAaa==−+，点P到直线AB的距离为21cos,PAPAAB−()()()()22222222112112aaaaaaaa−+=−+=−+−+

，同理可得P到直线1CC和11DA的距离为()221aa−+，故1DB上的点到三条直线111,,ABCCDA的距离都相等，故有无数个，错误；对选项D：1DB上的点到三条直线111,,ABCCDA的距离都相等，故有无数个，正确；故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共

25分.11.在复平面内复数z对应点的坐标为()0,1，则(1i)z+=_________.【答案】i1−##1i−+【解析】【分析】根据复数的几何意义表示复数z，然后利用复数乘法运算法则计算.【详解】因为复数z在复平面内对应点的坐标为()0,1，

所以iz=，所以2(1i)(1i)iiii1z+=+=+=−.故答案为：i1−12.能够说明“设,,abc是任意实数，若abc，则acbc”是假命题的一组整数,,abc的值依次为__________.【答案】2,1,0−−（答案不唯一）【解析】【分析】根据不等式的性质，讨论

c的正负和0c=三种情况，得出结论．【详解】若ab，当0c时，acbc；当0c=时，acbc=；当0c时，acbc；“设,,abc是任意实数，若abc，则acbc”是假命题的一组整数,,abc的值依次为2,1,0−−，故答案为：2,1,0

−−（答案不唯一）13.已知双曲线2222:1xyCab−=的一条渐近线方程为3yx=，则双曲线C的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意求出双曲线2222:1xyCab−=的渐近线方程，则3ba=，由21+cbeaa==代入即可得出答案.【详解】双曲线22

22:1xyCab−=渐近线方程为byxa=,所以3ba=，所以双曲线C的离心率为21+132cbeaa===+=.故答案为：2.14.在ABC中，sinsin2,23AAab==，则A=__________；bc的值为__________.【答案】①.π3

##1π3②.2【解析】【分析】化简得到1cos2A=，再根据正弦定理得到2sin3sinAB=，得到π2B=，计算得到答案.【详解】sinsin22sincosAAAA==，()0,πA，故sin0A，1cos2A=，π3A=；23ab=，则2sin3sinAB=，即323sin2B=，s

in1B=，()0,πB，则π2B=，ππ6CAB=−−=，sin121sin2bcBC===.故答案为：π3；215.设函数2ln,0,()41,0.xxfxxxx=++给出下列四个结论：①函数()fx的值域是R；②1a，方程()fxa=

恰有3个实数根；③0x+R，使得()()000fxfx−−=；④若实数1234xxxx，且的()()()()1234fxfxfxfx===.则()()1234xxxx+−的最大值为44ee−.其中所有正确结论的序号是

__________.【答案】②③④【解析】【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.【详解】因为函数2ln,0,()41,0.xxfxxxx=++，其图象如下图所示：对于①，由图可知，函数()fx的值域不是R，故①不正确；对于②，由图可知，1a，

方程()fxa=恰有3个实数根，故②正确；对于③，当0x+R时，使得有00()()fxfx−=成立，即24+1=−yxx与lnyx=有交点，这显然成立，故③正确；对于④，不妨设互不相等的实数1234,,,xxx

x满足1234xxxx，当满足()()()()1234fxfxfxfx===时，由图可知1222+=−xx，即124xx+=−，34lnlnxx=，即34341lnln,xxxx−==，所以()124444114xxxxxx+−=−−，由

图可知，(41,ex，而1yxx=−在(1,ex上单调递减，所以4411e,0exx−−，所以()12343411440,4eexxxxxx+−=−−−

，则()()1234xxxx+−的最大值为44ee−，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()sin()(0,0π)fxx=+的最小正周期为π

.（1）求值；（2）再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定()fx的解析式.设函数2()()2singxfxx=−，求()gx的单调增区间.条件①：()fx是偶函数；条件②：()fx图象过点π,16；条件③：()fx图象的一个对称中心为5π,012

.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】（1）2=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据周期公式，即可求解；（2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求，再根据三角函数的单调性，代入公式，即

可求解.【小问1详解】由条件可知，2ππ=，解得：2=；【小问2详解】由（1）可知，()sin(2)(0,0π)fxx=+，若选择条件①：()fx是偶函数，所以π20π,Z2kk+=+，即π

2=，所以()πsin2cos22fxxx=+=，()2cos22sin2cos21gxxxx=−=−，令π2π22π,Zkxkk−+,解得：πππ,Z2kxkk−+,所以函数()gx的递增区间是π

π2,π,Zkkk−+，若选择条件②：()fx图象过点π,16，ππsin2166f=+=，0π，则ππ2π,Z32kk+=+，即πZπ2,6kk=+，所以π6=，所以()π

sin26fxx=+，所以()2π31sin22sinsin2cos2cos21622gxxxxxx=+−=++−33sin2cos2122xx=+−π3sin213x=+−令πππ2π22π,Z232kxkk−++

+，解得：5ππππ1212kxk−++，所以()gx的单调递增区间是5πππ,π,Z1212kkk−++.如选择条件③：()fx图象的一个对称中心为5π,012，所以5π2π,Z12kk+=，5ππ6k=−，0π，π6=，所以()πsin26

fxx=+，所以()2π31sin22sinsin2cos2cos21622gxxxxxx=+−=++−33sin2cos2122xx=+−π3sin213x=+−令π

ππ2π22π,Z232kxkk−+++，解得：5ππππ1212kxk−++，所以()gx的单调递增区间是5πππ,π,Z1212kkk−++.17.如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，222PDDCAD===，，M为BC的中点.（1）求证：

AM⊥平面PBD；（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；（3）求D到平面APM的距离.【答案】（1）证明过程见解析（2）477（3）877【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向

量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】因为222DCAD==，，M为BC的中点，所以2ADABABAM==，因为四棱锥PABCD−的底面是矩形，所以π2DABMBA==，所以RtR

tDABABM∽，所以DBAAMB=，而π2MBDDBA+=，即π2MBDANBAMDB+=⊥，因为PD⊥底面ABCD，AM底面ABCD，所以PDAM⊥，而,,DBPBBDBPB=平面PBD，所以AM⊥平面PBD；小问2详解】因为PD⊥平面ABCD，,ADDC平面ABCD，所以

,PDADPDDC⊥⊥，因为因为四棱锥PABCD−的底面是矩形，所以ADDC⊥，建立如下图所示的空间直角坐标系，()()()()0,0,0,0,0,2,22,0,0,2,2,0DPAM，因为PD⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量为()0,0,2DP=，设平面APM的法向

量为(),,nxyz=，()22,0,2PA=−，()2,2,0MA=−，于是有()22202,1,2220nPAxznnMAxy⊥−==⊥−=，平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为()22222477212DPnD

Pn==++；【小问3详解】由（2）可知平面APM的法向量为()2,1,2n=，4cos,77DPn=，所以D到平面APM的距离为48cos,27777DPDPn==18.某社区组织了一

次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确【率如下表：1号2号3号4号5号6号

7号8号9号10号讲座前65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%讲座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%（1）从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于80%的概率；（2）从正确率不低于90%的

垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；（3）判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.【答案】（1）35（2）分布列见解析，数学期望为67

（3）答案见解析【解析】【分析】（1）共10份书卷，准确率低于80%有6份，计算概率即可.（2）X的取值可能是0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.（3）讲座前的平均准确率为75%，讲座后的平均准确率为89%，提升明显，得到答

案.【小问1详解】共10份书卷，准确率低于80%有6份，故概率为63105P==；【小问2详解】正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，X取值可能是0,1,2，()3537C1020C357PX====；()215237

CC2040C357PX====；()125237CC512C357PX====.的故X的分布列为：X012P274717故数学期望为()24160127777EX=++=.【小问3详解】此次公益讲座的宣传效果很好，讲座前的平均准确率为：65%60%70%100%6

5%75%90%85%80%60%75%10+++++++++=；讲座后的平均准确率为：90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%89%10+++++++++=；平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好.

19.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=过点(0,1)B，且离心率为22（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与椭圆E相切，过点(1,0)M作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：||ON为定值.【答案】（1）2212xy+=（2）2【解析】【分析】（1）利用椭圆过点(0

,1)B，得到1b=，再由椭圆的离心率为22，求出a的值，从而求到椭圆E的标准方程；（2）对直线l的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出2ON=，得到结论.【小问1详解】因为椭圆过点(0,1)B，所以1b=，又22e=，222abc=+，所

以22222212cabbaaa−==−=，得到2a=，所以椭圆E的标准方程为2212xy+=.【小问2详解】当直线斜率l存在且不为0时，设直线l的方程为(0)ykxmk=+，联立直线l和椭圆E的方程得2212ykxmxy=++=，消去y并整理，得222(21)42

20kxkmxm+++−=，因为直线l与椭圆E有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，2222164(21)(22)0kmkm=−+−=，化简整理得2221mk=+因为直线MN与l垂直，所以直线MN的方程为1(1)yxk=−−，联立

得1(1)yxkykxm=−−=+，解得22111kmxkkmyk−=++=+，221(,)11kmkmNkk−+++，所以()()()()()()()22222222222222222111111111kmkmkmkmkmmONkkkk+

+−++++++====++++把2221mk=+代入上式得，222(22)2(1)kONk+==+，所以2ON=，为定值；当直线l斜率为0时，直线:1ly=±，过点(1,0)M作直线l的垂线，则垂线方程为1x=，此时(1,1)N或(1,1)−N，2ON=，为定值；当直线l斜率不存在时，

直线:2lx=，过点(1,0)M作直线l的垂线，则垂线方程为0y=，此时(2,0)N−或(2,0)N，2ON=，为定值；综上所述，2ON=，为定值.20.已知函数1()(1)lnfxaxaxx=−+−.（1）当0a=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切

线方程；（2）若()yfx=在2x=处取得极值，求()fx的单调区间；（3）求证：当01a时，关于x的不等式()1fx在区间[1,e]上无解.【答案】（1）1y=−（2）()fx的单调递增区间为()0,1和()2,+，单调递减区间

为()1,2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；（2）根据()20f=可求出12a=，并对其进行检验即可求解；（3）分1ea和11ea两种情况，

求出函数()fx在区间[1,e]上的最大值即可作答.小问1详解】由1()(1)ln,0fxaxaxxx=−+−可得()()()2222111111()axaxaxxafxaxxxx−++−−+=−+==，当0a=时，1(1)ln111f=−−=−，()01

f=，()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为1y=−；【小问2详解】因为()yfx=在2x=处取得极值，所以21(2)04af−==，解得12a=，检验如下：令()21112()0xxfxx−−==，解得2x=或1x=，若01x或2x时，则(

)0fx¢>；若12x，则()0fx.所以()fx的单调递增区间为()0,1和()2,+，单调递减区间为()1,2，故()yfx=在2x=处取得极小值，满足题意，故()fx的单调递增区间为()0,1和()2,+，单调递减区间为()1,2；【小问3详解】由（1）知2(

1)(1)()axxfxx−−=，由01a时，得11a，因[1,e]x，【当1ea时，当(1,e)x时，()0fx，即函数()fx在[1,e]上单调递减，则max()(1)11fxfa==−，因此不等式()1fx不成立，即不等式()1fx在区间[1,e]上无解；当

11ea时，当11xa时，()0fx，当1exa时，()0fx，即()fx在1(1,)a上递减，在1(,e)a上递增，于是得()fx在[1,e]上的最大值为(1)f或(e)f，而(1)11fa=−

，1(e)e(1)efaa=−+−，111(e)1(e1)2(e1)2e30eeefa−=−−−−−−=−−，即(e)1f，因此不等式()1fx不成立，即不等式()1fx在区间[1,e]上无解，所以当01a时，关于x的不等

式()1fx在区间[1,e]上无解.21.如果数列na对任意的*Nn，211nnnnaaaa+++−−，则称na为“速增数列”.（1）判断数列2n否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列na为“速增数列”.且任意项Zna，1

21,3,2023kaaa===，求正整数k的最大值；（3）已知项数为2k（2,Zkk）的数列nb是“速增数列”，且nb的所有项的和等于k，若2nbnc=，1,2,3,,2nk=，证明：12kkcc

+.【答案】（1）是，理由见解析（2）63（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算1212nnnaa+++−=，12nnnaa+−=，122nn+，得到答案.（2）根据题意得到()120232kk

+，Zk，计算当64k=时，()120802kk+=，当65k=时，()121452kk+=，得到答案.（3）证明211kmmkkbbbb−++++，得到()1kkkkbb++，得到11kkbb++，代入计算得到证明.【小问1详解

】因为2nna=，则21121222nnnnnaa+++++=−−=，11222nnnnnaa++−=−=，是又122nn+，故211nnnnaaaa+++−−，数列2n是“速增数列”.【小问2详解】121,3,2023kaaa===，当2k时，()()()112

21120231231kkkkkakaaaaaaak−−−==−+−++−+++++−+，即()120232kk+，Zk，当63k=时，()120162kk+=，当64k=时，()120802kk+=，故正整数k的最大值为63.【小问3详解】2

111kkkkkkbbbbbb+++−−−−，故211kkkkbbbb++−−−，即211kkkkbbbb+−+++；32211112kkkkkkkkkkbbbbbbbbbb+++++−−−−−−−−，故3212kk

kkbbbb++−−−−，即32121kkkkkkbbbbbb+−−+++++，同理可得：211kmmkkbbbb−++++，*Nm，11mk−，故()()()()1221222111kkkkkkkkbbbbbbbbbkbb−++

=+++=+++++++，故11kkbb++，1112222kkkkbbbbkkcc++++==，得证.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定211k

mmkkbbbb−++++是解题的关键.