【文档说明】广东省惠州市2022-2023学年高三下学期第三次调研考试（2月） 数学 含解析.docx，共(24)页，1.204 MB，由小赞的店铺上传

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惠州市2023届高三第三次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给

出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1．已知集合{0,1,2}A=，11,Bx=，且BA，则实数x=（）A．12B．1C．12或1D．02．数列na为等差数列，4a、2019a是方程2430xx−+=

的两个根，则na的前2022项和为（）A．1011B．2022C．4044D．80883．“2m”是“方程22121xymm+=−+表示双曲线”的（）条件A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也

不必要条件4．已知实数0abc，则下列结论一定正确的是（）A．aabcB．1122acC．11acD．22ac5．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中a=，b=，c=，且abP=，则下列结论一定成

立的是（）A．b与c是异面直线B．a与c没有公共点C．bc∥D．bcP=6．若函数()xfxa=（0a且1a）在R上为减函数，则函数log(||1)ayx=−的图象可以是（）A．B．C．D．7．在“2

，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（）A．15B．310C．25D．128．已知0,2x，且sinaxxbx恒成立，则ba−的最小值为（）A．1B．2C．12−D．21−二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5

分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．已知复数1iiz−+=，则下列选项正确的是（）A．z的虚部为1B．2z=C．2z为纯虚数D．z在复平面内对应的点位于第一象限10．在全市高三年级举行的一次数学达标测试中，共有20000

人参加考试。为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100

的分组作出频率分布直方图如图所示，其中成绩落在区间)50,60内的人数为16．则下列结论正确的是（）A．样本容量1000n=B．频率分布直方图中0.030x=C．估计该市全体学生成绩的平均分约为70.6分D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成

绩为78分的学生肯定能得到此称号11．已知函数()32xxfx=−，xR，则下列结论正确的是全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》（）A．函数()fx在(0,)+上单调递增B．存在aR，使得函数()xfxya=为奇函数C．任意xR，()1fx−D．函数()()gxf

xx=+有且仅有2个零点12．画法几何的创始人—法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：若椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，1F、2F分别

为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线22:0lbxayab+−−=，则下列结论正确的是（）A．直线l与蒙日圆相切B．椭圆C的蒙日圆的方程为2222xya+=C．记点A到直线l的距离为d，则2dAF−的最小值

为(4362)3b−D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为28b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。13．已知平面向量(2,4)a=−，(,1)b=，若a与b垂直，则实数=______

____．14．在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点()1,2，则2cossin2+=__________．15．在圆22260xyxy+−−=内，过点()0,3E的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为__________．16．用数学的

眼光看世界就能发现数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()fx是()fx的导函数，()fx是()fx的导函数，则曲线()yfx=在点(,())xfx处的曲率为322()1()fxKfx=+．

则曲线()fxx=在()1,1处的曲率为__________；正弦曲线()sin()gxxx=R曲率的平方2K的最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）数列na中，12a=，12

1nnaa+=−．（1）求证：数列1na−是等比数列；（2）若nnban=+，求数列nb的前n项和nT．18．（本小题满分12分）条件①1cos2aBcb=+，条件②sinsinsinsinACBCbac−+

=+，条件③3sinsin2BCbaB+=．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足________，（1）求A；（2）若AD是BAC的角平分线，且1AD=，求2bc+的最小值．（注：如选择多个条件分别解

答，按第一个解答计分）19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，2PAAB==，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为255，求点P到平面AEF的距离．2

0．（本小题满分12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单位：3m），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部

横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得

10210.038iix==，10211.6158iiy==，1010.2474iiixy==．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精

确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数()()()()12211niiiiiiinnxxy

yrxxyy===−−=−−，1.8961.377．21．（本小题满分12分）已知函数()2lnfxxax=−．（1）当1a=时，求函数()yfx=的单调区间；（2）若函数()(2)exfxaxx+−恒成立，求实数a的取

值范围．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，点()2,0A−在椭圆上且||3AF=．（1）求椭圆C的方程；（2）点P、Q分别在椭圆C和直线4x=上，OQAP∥，M为AP的中点，若T为直线OM与

直线QF的交点．是否存在一个确定的曲线，使得T始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．惠州市2023届高三第三次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。题号12345678

答案ACBADCAD1．【解析】由集合元素的互异性及子集的概念知12x=，解得实数12x=．故选A．2．【解析】420194aa+=所以na的前2022项和，()()12022202242019202210

111011440442aaSaa+==+==，故选C．3．【解析】因为方程22121xymm+=−+表示双曲线，所以()()210mm−+，解得1m−或2m，即(,1)(2,)m−−+，所以“2m”是“方程22121xymm

+=−+表示双曲线"的充分不必要条件，故选B．4．【解析】A项中，因为0abc，所以0aabc，故A项正确；B项中，因为函数12xy=在R上单调递减且ac，所以1122ac，故B项错误

：C项中，因为0ac，则110ac，故C项错误；D项中，若1a=，2c=−，则22ac，故D项错误．故选A．5．【解】∵abP=，∴P，Pb，∵a=，b=，∴P，P，P，∵c=，∴Pc

，∴bcP=，∴acP=，如右图所示：故A，B，C错误；故选D．6．【解析】由函数()xxfxaa−=−在R上为减函数，可知01a，函数log(||1)ayx=−的定义域为{1|xx或}1x−，故排除A，B，

又log(1),1log(||1)log(1),1aaaxxyxxx−=−=−−−，可知log(||1)ayx=−在(1,)+单调递减，故排除D．故选C．7．【解析】由题意得，6个数中任取2个数，共有2615C=种可能，2个素数之和仍为素数，则可能为（2和3）、（2和5

）、（2和11）共有3种可能，所求概率31155P==．故选A．8．【解法一】数形结合，当0,2x时，曲线sinyx=介于直线PA和PB之间，即2sinxxx，又因为sinaxxbx恒成立，所以2axx且xbx，即2a且1b∴minminma

x2()1baba−=−=−．故选D．【解法二】由sinaxx，0,2x得：sinxax；令sin()02xfxxx=，∴2cossin()xxxfxx−=，令()cossin02gxxxxx=−

，则()sin0gxxx=−，∴()gx在0,2上单调递减，∴()()00gxg=，则()0fx，∴()fx在0,2上单调递减，∴2()2fxf=，∴2a；令()sin02hxxbxx=−，则

()coshxxb=−，∵02x，∴0cos1x；当0b时，()0hx，∴()hx在0,2上单调增∴()()00hxh=，不合题意；当1b时，()0hx，∴()hx在0,2

上单调减，∴()()00hxh=，满足题意；当01b时，00,2x，使得()00hx=，又()hx在0,2上单调递减，∴当()00,xx时，()0hx，∴()hx在()00,x上单调递增，则()()00hxh=，不

合题意；综上所述minminmax2()1baba−=−=−．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。题号9101112答案AC

BCABCAC9．【解析】21iii1iiiz−++===+，∴z的虚部为1，||2z=，22iz=为纯虚数，1iz=−在复平面内对应的点位于第四象限，故选AC．10．【解析】对于A：样本容量161000.01610n==，故A不正确；对于B

：因为()0.0160.0400.0100.004101x++++=，解得0.030x=，故B正确：对于C：学生成绩平均分为0.16550.30650.40750.10850.049570.6++++=，C正确；对于D：因为()

()100.0040.01080780.0400.220.20++−=，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确，故选BC．11．【解析】对于A：3()3ln32ln22ln3ln22xxxxfx=−=−

因为(0,)x+，所以21x，312x，因此3ln3ln3ln22x，故()0fx，所以()fx在(0,)+上单调递增，故A正确；对于B：令6a=，则6226xxy=−，令62()2

6xxgx=−，定义域为R，关于原点对称，且6226()()2266xxxxgxgx−−−=−=−=−，故()gx为奇函数，B正确对于C：0x时，3()2102xxfx=

−；0x=时，()0fx=；0x时，()21xfx−−；C正确；对于D：0x=时，()0gx=，0x时，3()322102xxxxgx−=−，0x时，3()322102x

xxxgx−=−，所以()gx只有1个零点，D错误；故选：ABC12．【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为xa=、yb=，所以，点(,)ab在蒙日圆上，故蒙日圆

的方程为2222xyab+=+，因为2222222212ccabbeaaaa−====−=，可得222ab=．对于A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离为222222abdabab+==++，故l与蒙日圆相切，A对；对于B选项，C的蒙日圆的方程为2222232

xyaba+=+=，B错；对于C选项，由椭圆的定义可得12222AFAFab+==，则2122AFbAF=−，所以2122dAFdAFb−=+−，因为22cab==，直线l的方程为230xyb+−=，点1(,0)Fb−到直线l的距离为44333bdb==，所以21(4362)2

2223bdAFdAFbdb−−=+−−=，当且仅当1AFl⊥时，等号成立，C对；对于D选项，若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，所以2222||||(23)12MNMHbb+==，所以矩形MNGH的面积为22

2||||||||62MNMHSMNMHb+==，D错．故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二空3分。13．2；14．1；15．610；16．2525（2分），1（3分）13．【解析】因

为a与b垂直，所以·0ab=，即240−+=，解得2=．14．【解法一】由三角函数的定义可知25sin5=，5cos5=，所以2225255cossin2cos2sincos21555+=+=+=【解法二】

因为角的终边经过点()1,2，所以2tan21==，所以222222cos2sincos12tan122cossin21sincostan121++++====+++．15．【解析】圆的标准方程为22(1)(3)10xy−+−=，则圆心()

1,3半径10r=，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，即ACBD⊥，且||210AC=，圆心和E点之间的距离为1，故22||2(10)16BD=−=，所以四边形ABCD的面积为11||||210661022SACBD===．故答案为：61

016．【解析】（1）由1()2fxx=，321()4fxx−=−，则()333222221(1)225425511(1)12fKf====++，（2）由()cosg

xx=，()singxx=−，则()322|sin|1cosxKx=+，()()2223322sinsin1cos2sinxxKxx==+−，令22sintx=−，则1.2t，故232tKt−=，设32()tptt−=，则32643(

2)26()ttttpttt−−−−==，在1,2t时()0pt，()pt递减，所以max()(1)1ptp==，2K最大值为1．故答案为：2525，1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。17．（本小题满分10分，其中第一小问4分，第二小问6分）【解析】（1）因为121nnaa+=−，所以()1121nnaa+−=−，且2na1分得1121nnaa+−=−2分又111a−=3分所以数列1na−是以1为首项，2为公比的等

比数列4分【注：无首项和公比的说明，本得分点不得分】（2）由（1）可知112nna−−=，nN1分所以121nnnbann−=+=++2分又由题知123nnTbbbb=++++所以()()()(

)012121122123121nnTn−=++++++++++++()01212222(123)nnn−=++++++++++3分1122(1)122nnnn−−+=++−5分【注：等差等比求和公式各1分】23212nnn+=+−∴23212nnnnT+=+−6分1

8．（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）【解析】（1）选②因为sinsinsinsinACBCbac−+=+，由正弦定理2sinsinsinabcRABC===所以acbcbac−+=+1分即222bcabc+−=−，

2分由余弦定理222cos2bcaAbc+−=3分122bcbc−==−4分因为(0,)A，5分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以23A=6分选③因为3sinsin2BCbaB+=，正弦定理2sinsinsinabcRABC==

=且ABC++=所以3sinsinsinsin2ABAB−=，1分即3sincos2sincossin222AAABB=3分而(0,)AB、，∴sin0B，cos≠0，．分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以3sin22A=5分因为0,22A，所以2

3A=，即23A=6分选①因为1cos2aBcb=+，由正弦定理2sinsinsinabcRABC===所以1sincossinsin2ABCB=+，1分即1sincossin()sin2ABABB=++，2分所以1cossinsin2ABB=−，3分而(0,)B，∴si

n0B，4分故1cos2A=−，5分因为(0,)A，所以23A=6分【备注：从3个条件的思维量及计算步骤数综合分析，从易到难排序为②<③<①】（2）【解法一】如图，过D分别作DEAB∥，DFAC∥由题意可知A

DE和ADF都是边长为1的正三角形．1分由DEAB∥得DECDABCB=2分所以1CDcCB=，即CBCDc=同理，DFBDACBC=，所以CBBDb=由CBCDDB=+得CBCBCBcb=+，即111bc+=3分因此

1122(2)3cbbcbcbcbc+=++=++4分232322cbbc+=+，5分当且仅当221cb==+时取等号6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以2bc+的最小值为322+．【解法二】由题意可知

，ABCABDACDSSS=+，1分由角平分线性质和三角形面积公式得，1211sin1sin1sin232323bcbc=+2分【注：面积公式正确可得1分】化简得bcbc=+，即111bc+=，3分因此1122(2)3cbbcbcbcbc+=

++=++4分232322cbbc+=+，5分当且仅当221cb==+时取等号6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以2bc+的最小值为322+．19．（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）【解析】（1）【解法一】因为PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD

，所以PABC⊥．1分因为ABCD为正方形，所以ABBC⊥，又因为PAABA=，PA平面PAB，AB平面PAB【见注1】所以BC⊥平面PAB．2分因为AE平面PAB，所以AEBC⊥．3分因为PAAB=，E为线段PB的中点，所以AEPB⊥，4分又因为PBBCB=，PB平面PBC，

BC平面PBC【见注1】所以AE⊥平面PBC．5分又因为AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．6分【注1：证明线面垂直过程中，无写出三个辅助条件，扣1分】【解法二】因为PA⊥底面ABCD，PA平面PAB，所以平面PAB

⊥底面ABCD1分又平面PAB底面ABCDAB=，BCAB⊥，BC平面ABCD，【见注1】所以BC⊥平面PAB．2分因为AE平面PAB，所以AEBC⊥．3分因为PAAB=，E为线段PB的中点，所以AEPB⊥．4分因为PBBCB=，PB平面PBC，B

C平面PBC【见注1】所以AE⊥平面PBC5分又因为AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC6分【解法三】因为PA⊥底面ABCD，ABAD⊥，以A为坐标原点，以,,ABADAP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，1分则()()()()()()0

,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1ABCDPE，设([0,2])BFtt=，则()2,,0Ft所以(1,0,1)AE=，(2,,0)AFt=，(2,0,2)PB=−，

(0,2,0)BC=2分设()111,,nxyz=为平面AEF的法向量，则0,0,nAEnAF==所以11110,20,xzxty+=+=取12y=，则1xt=−，1zt=，则(,2,)ntt=−3分设()222,,mxyz=为平面PBC的法向量，则0,0,mPBmBC

==所以222220,20,xzy−==取21x=，则20y=，21z=，则(1,0,1)m=4分因为00nmtt=−++=，所以nm⊥5分所以平面AEF⊥平面PBC6分（2）【解法一】（基于（1）解法一、二）因为

PA⊥底面ABCD，ABAD⊥，以A为坐标原点，以,,ABADAP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，1分则()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,1,0,1ABPE，易知(0

,1,0)u=是平面PAB的法向量2分设([0,2])BFtt=，则()2,,0Ft，所以(1,0,1)AE=，(2,,0)AFt=，所以2||25|cos,|15||||AFuAFuAFu==−即2554tt=+，，得

1t=，所以(2,1,0)AF=，3分设()111,,nxyz=为平面AEF的法向量，则0,0,nAEnAF==所以平面AEF的法向量(1,2,1)n=−，4分又因为(0,0,2)AP=所以点P到平面AEF的距离为||||APndn

=，5分2636==所以点P到平面AEF的距离为63．6分由（1）可知，BAF是直线AF与平面PAB所成的角，所以2225cos5ABABBAFAFABBF===+1分解得1122BFABBC==，故F是BC的中点．2分所以225AFABBF=+=，122AEPB=

=，223EFAFAE=−=AEF的面积为1622AEFSAEEF==3分因为2PAAB==，PAE的面积为11124PAEPABSSPAAB===4分设点P到平面AEF的距离为h，则有16113633PAEFAEFFPAEPAEVShhVSBF−−

=====5分解得63h=所以点P到平面AEF的距离为63．6分【解法三】（基于（1）解法三）易知(0,1,0)u=是平面PAB的法向量1分所以2||25|cos,|15||||AFuAFuAFu==−，即2554tt=+，解得1t=2分所以(1,2,1)

n=−，4分又因为(0,0,2)AP=所以点P到平面AEF的距离为||||APndn=，5分2636==所以点P到平面AEF的距离为63．6分20．（本小题满分12分，其中第一小问3分，第二小问5分，第三小问4分）【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x=

=1分样本中10棵这种树木的材积量的平均值3.90.3910y==2分据此可估计：该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m，平均一棵的材积量为30.39m3分【注：最终结果无单位扣1分】（2）()()()()10

10iiiii1i110101010222222iiiii1i1i1i1101010xxyyxyxyrxxyyxxyy======−−−==−−−−1分()()220.247410

0.060.390.038100.061.6158100.39−=−−2分0.01340.0001896=3分0.01340.970.013774分则0.97r5分【备注：运用参考公式计算过程可通过下面的列表进行分步】：12345678910合计平均值ix0.040.

060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.06iy0.250.40.220.540.510.340.360.460.420.43.90.39ixx−0.02−00.02−0.020.020.01−0.01−0.010.010iyy−0.14−0.

010.17−0.150.120.05−0.03−0.070.030.01()()iixxyy−−0.002800.00340.0030.00240.00050.00030.00070.000300.0134分子()2ixx−0.00040

0.00040.00040.00040.00010.00010.00010.000100.002()2iyy−0.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.004

90.00090.00010.09480.0001896分母的平方【备注：运用变形公式计算过程可通过下面的列表进行分步】：12345678910合计平均值ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.03iy0.250.

40.220.540.510.340.360.460.420.43.90.39iixy0.010.0240.00880.04320.04080.0170.0180.03220.02940.0240.2474部分分子2ix0.00

160.00360.00160.00640.00640.00250.00250.00490.00490.00360.038部分分母2iy0.06250.160.04840.29160.26010.11560.12960.21160.17640.161.6158部分分母（3）设该林区这种树木的总材

积量的估计值为3mY1分又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.061860.39Y=2分解得1209Y=3分则估计该林区这种树木的总材积量为31209m4分21．（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）函数()fx的定义域是(0,)

+1分当1a=时，1()2fxx=−2分令()0fx得12x，所以函数()fx在1,2+上单递递增；3分令()0fx得102x，所以函数()fx在10,2上单调递减．4分所以函数()fx的单调递增区间为1,2+，单调递区间为1

0,2．（2）【解法一】()(2)exfxaxx+−恒成立等价于()elne0xxxax−恒成立，1分令()e(0)xtgxxx==，因为()(1)e0xgxx+=恒成立，所以()gx在(0,)+上单调递增，所以()()00gxg=，即0t，2分所以()(2)exfx

axx+−恒成立，等价于ln0tat−恒成立令()ln(0)httatt=−，问题等价于()0ht恒成立3分①若0a=时，()0htt=恒成立，满足题意；4分②若0a时，则101ae，所以1111ln10aaaaheeaee=−=−，

不满足题意；5分③若0a时，因为()1ahtt=−，令()0ht=，得ta=，(0,)ta，()0ht，()ht单调递减，(,)ta+，()0ht，()ht单调递增，所以()ht在ta=处取得最小值()(1ln)haaa=−，6分要使得()0ht，恒成立，只需(

)(1ln)0haaa=−，解得0ae7分综上：[0,e]a8分【解法二】()(2)exfxaxx+−恒成立，等价于e(ln)0xxaxx−+，1分令()e(ln)(0)xhxxaxxx=−+1()(1)e1(1)exxahxxaxxx=+−+=+−

2分①若0a=时，()(1)e0xhxx+=，所以()hx在(0,)+上单调递增，()00h=，即()0hx，满足e(ln)0xxaxx−+，3分②若0a时，则0a−，()0hx，所以()hx在(0,)+上单调递增，当x趋近于0*时，()hx

趋近于负无穷，不成立，故0a不满足题意．4分③若0a时，令()0hx=，∴exax=，令()exakxx=−，因为()kx在(0,)+上单调递增，且当x→+时，()kx→+，当0x→时，()kx→−，所以0(0,)x+，()00hx=，0

0exax=，5分()00,xx，()0hx，()hx单调递减，()0,xx+，()0hx，()hx单调递增，只需()()()00min0000000()elne1ln0xxhxhxxaxxxxx==−+=−−即可，∴001ln0xx−−，∴00ln1xx+，6分令()ln(

0)mxxxx=+，1()10mxx=+，∴()mx在(0,)+上单调递增，()11m=，∴0(0,1]x时，00ln1xx+，exyx=，(1)e0xyx=+，所以exyx=在(0,1]上单调递增，∴e(0,e]xx，即00e(0,e]xax=，7分综上：[0,e]a8分2

2．（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）因为椭圆C过点()2,0A−，所以2a=，1分因为||3AF=，所以3ac+=，得1c=．2分故2223bac=−=，从而椭圆C的方程为22143xy+=．4分（2

）【解法一】设()()000,2Pxyx，则直线AP的斜率为002yx+1分因为OQAP∥，所以直线OQ的方程为002yyxx=+，令4x=可得0042yyx=+，所以0044,2yQx+，2分又M是AP的中点，所以002,22xyM−，3分从而002,2

2xyOM−=，0043,2yFQx=+所以()()()2220000003443222222xyxyOMFQxx−+−=+=++①5分因为点P在椭圆C上，所以2200143xy+=，故22003124xy=−，6分代入式①可得0OMFQ=，从

而OMFQ⊥，7分所以，点T始终在以OF为直径的圆上，且该圆方程为221124xy−+=8分【解法二】由直线AP不与y轴垂直，故可设其方程为2(0)xmym=−1分联立222143xmyxy=−+=消去x整理得：

()2234120mymy+−=，解得：0y=或21234mm+，所以21234pmym=+，2分从而2268234ppmxmym−=−=+，故2226812,3434mmPmm−++3分因为M是线段AP的中点

，所以2286,3434mMmm−++4分因为OQAP∥，所以直线OQ的方程为0xmy+=，联立04xmyx+==解得：4ym=−，所以44,Qm−，5分故2286,3434mOMmm−++，43,FQm−从而22864303434m

OMFQmmm=−+−=++，6分从而OMFQ⊥，7分所以，点T始终在以OF为直径的圆上，且该圆方程为221124xy−+=8分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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