【文档说明】专题3-6 导数压轴大题归类（1）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）.docx，共(13)页，721.022 KB，由管理员店铺上传

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专题3-6导数压轴大题归类（1）目录一、热点题型归纳.............................................................................................................

.........................................1【题型一】求参1：端点值讨论型...................................................................................

...............................1【题型二】求参2：“存在”型.......................................................................................................

................2【题型三】求参3：“恒成立”型...............................................................................................................

....2【题型四】求参4：分离参数之“洛必达法则”..........................................................................................3【题型五】求参5：同

构求参...........................................................................................................

..............4【题型六】求参6：x1与x2构造新函数................................................................................................

.......5【题型七】零点型........................................................................................................................

....................5【题型八】不确定根型.......................................................................................

.............................................6【题型九】取整讨论型......................................................................

..............................................................7【题型十】证明不等式1：基础型.......................................................................

...........................................7【题型十一】证明不等式2：数列不等式之单变量构造型..................................

........................................8【题型十二】证明不等式3：数列不等式之无限求和型............................................

..................................8【题型十三】证明不等式4：构造单变量函数型..................................................

........................................9【题型十四】证明不等式5：凑配主元.................................................................................

.......................10二、最新模考题组练..................................................................................................................

..............................10【题型一】求参1：端点值讨论型【典例分析】设函数f(x)=lnx-p(x-1),pR（1）当p=1时，求函数f（x)的单调区间；（2）设函数g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)对

任意x1都有g(x)0成立，求p的取值范围。【提分秘籍】基本规律1.端点赋值法（函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用）2.为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨

论范围。注意，开区间不一定是充分条件。有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论。如练习2【变式演练】1.试卷若函数()fx的反函数记为()1fx−，已知函数()xfxe=．（1）设函数()()()1Fxfxfx−=−，试判断函数()Fx的极值点个数；（2）当0,2x时，()

sinfxxkx，求实数k的取值范围．2.设函数22()(2)ln,,fxxaxxbxabR=−+．（1）当1,1ab==−时，设2()(1)lngxxxx=−+，求证：对任意的1x，22()()gxfxxxee−++−；（2）

当2b=时，若对任意[1,)x+，不等式22()3fxxa+恒成立，求实数a的取值范围．【题型二】求参2：“存在”型【典例分析】设函数()()21ln12afxaxxbxa−=+−，曲线()()(

)11yfxf=在点，处的切线斜率为0(Ⅰ)求b；(Ⅱ)若存在01,x使得()01afxa−，求a的取值范围。【提分秘籍】基本规律1.当不能分离参数时候，要移项分类讨论。2.确定是最大值还是最小值。【变式演练】1.已知函

数10)(23+−=axxxf.（Ⅰ）当1=a时，求曲线)(xfy=在点))2(,2(f处的切线方程;（Ⅱ）在区间]2,1[内至少存在一个实数x，使得0)(xf成立，求实数a的取值范围.2.记},max{nm表示nm,中的

最大值，如10}10,3max{=.已知函数}ln2,1max{)(2xxxf−=，}42)21(,lnmax{)(222aaxaxxxxg++−+−+=.（1）设2)1)(21(3)()(−−−=xxxfxh，求函数)(xh在]1,0(上零

点的个数；（2）试探究是否存在实数),2(+−a，使得axxg423)(+对),2(++ax恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.【题型三】求参3：“恒成立”型【典例分析】已知函数𝑓(𝑥)=(2−𝑎)ln𝑥+1𝑥+2𝑎𝑥.（1）当𝑎=0时，求函数

的极值；（2）当𝑎<0时，讨论函数的单调性；（3）若对任意的𝑎∈(−∞,−2)，𝑥1,𝑥2∈[1,3]，恒有(𝑡+ln3)𝑎−2ln3>|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|成立，求实数𝑡的取值范围.【提分秘籍】基本规律1.注意是同一变

量还是不同变量。2.各自对应的是最大值还是最小值。3.一般地，已知函数(),,yfxxab=，(),,ygxxcd=（1）若1,xab，2,xcd，总有()()12fxgx成立，故()()2maxmi

nfxgx；（2）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，故()()2maxmaxfxgx；（3）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，故()()2minminfxgx；（4）若1,xab，2,

xcd，有()()12fxgx=，则()fx的值域是()gx值域的子集．【变式演练】1.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑏𝑥2+2𝑥−1,𝑏∈𝑅，（1）设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+1𝑥

2，若函数𝑔(𝑥)在(0,+∞)上没有零点，求实数𝑏的取值范围；（2）若对∀𝑥∈[1,2]，均∃𝑡∈[1,2]，使得𝑒𝑡−𝑙𝑛𝑡−4≤𝑓(𝑥)−2𝑥，求实数𝑏的取值范围.2.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑚ln𝑥−(𝑚+

4)𝑥+ln𝑚+2.（1）当𝑚=4时，求函数𝑓(𝑥)在区间[1,4]上的值域；（2）当𝑚>0时，试讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；（3）若对任意𝑚∈(1,√2)，存在𝑥∈(3,4]，使得不等式𝑓(𝑥)>𝑎(

𝑚−𝑚2)+2𝑚(ln4−1)成立，求实数𝑎的取值范围.【题型四】求参4：分离参数之“洛必达法则”【典例分析】设函数sin()2cosxfxx=+．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x≥，都

有()fxax≤，求a的取值范围．【提分秘籍】基本规律1.若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”2.注意“断点”是在端点处还是区间分界处。【变式演练】1.设函数ln()lnln(1)1xfxxxx=−+++

.⑴求()fx的单调区间和极值;⑵是否存在实数a,使得关于x的不等式axf)(的解集为(0,)+?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.2.已知函数f(x)=ex,曲线y=f(x)在点(x0,y0)

处的切线为y=g(x).（1）证明：对于xR，f(x)g(x);（2）当x0时，f(x)1+a1xx+,恒成立，求实数a的取值范围。【题型五】同构求参5：绝对值同构求参型【典例分析】已知函数（I）讨论

函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。【提分秘籍】基本规律1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。【变式演练】1.已知函数21()(1)ln2fxaxaxx=

−++，其中0a.（I）讨论函数()fx的单调性；（II）若1a，证明：对任意12,(1,)xx+12()xx，总有122212|()()|1||2fxfxaxax−−.2.已知()212lnxfxx

+=．（1）求()fx的单调区间；（2）令()22lngxaxx=−，则()1gx=时有两个不同的根，求a的取值范围；（3）存在1x，()21,x+且12xx，使()()1212lnlnfxfxkxx−−

成立，求k的取值范围．【题型六】同构求参6：x1与x2构造新函数型【典例分析】已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对1ln)1()(2+++=axxaxf

)(xf1−a),0(,21+xx||4)()(|2121xxxfxf−−a212lnx1a()fx5a任意x，x，xx，有。【提分秘籍】基本规律1.含有x1和x2型，大多数可以考虑变换结构相同，构造函数解决。2.可以利用第一问的某些结论或者函数结构

寻找构造的函数特征。【变式演练】1.已知函数xxaaxxfln)2()(2++−=.（1）当0a时，若)(xf在区间],1[e上的最小值为2−，求a的取值范围；（2）若对任意2121),,0(,xxxx+，且22112)(2)(xxfxxf++恒成立，求a的取值范围.2.（构造巧）已知函

数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥−𝑡2𝑥2，其中𝑡∈𝑅.（1）讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；（2）当𝑡=3时，证明：不等式12122fxxfxx2x+−−−（）（）恒成立（其中𝑥1∈𝑅，𝑥1>0）.【题型七】零点型【典例分析】已知函数ln()xfxx=，

()(ln)2axgxxx=−.()aR（Ⅰ）求()yfx=的最大值；（Ⅱ）若1a=，判断()ygx=的单调性；（Ⅲ）若()ygx=有两个零点，求a的取值范围.【提分秘籍】基本规律已知函数有零点求参数取值范围常用的方法

和思路(1)移项讨论法（找点或者极限法）：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数（回避找点）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)分离函数法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

【变式演练】1.已知函数sin2()(n)l1fxxx=−+，sin)2(gxxx=−．(1)求证：()gx在区间(0,]4上无零点；(2)求证：()fx有且仅有2个零点．12(0,)+121212()()1fxfxxx−−−2

.已知函数𝑓(𝑥)=13𝑎𝑥3+12𝑏𝑥2+𝑐𝑥.（1）若函数有三个零点𝑥1,𝑥2,𝑥3，且𝑥1+𝑥2+𝑥3=92，，求函数的单调区间；（2）若𝑓′(1)=−12𝑎，3𝑎>2𝑐>2𝑏，试问：导函数𝑓

′(𝑥)在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由.（3）在（2）的条件下，若导函数𝑓′(𝑥)的两个零点之间的距离不小于√3，求𝑏𝑎的取值范围.【题型八】不确定根型【典例分析】已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+2𝑥．（1）求函数𝑓(𝑥)在[

1,+∞)上的值域；（2）若∀𝑥∈[1,+∞)，ln𝑥(ln𝑥+4)≤2𝑎𝑥+4恒成立，求实数𝑎的取值范围．【提分秘籍】基本规律解题框架：（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根0x但不可解。但得到参数和0x的等量代换关系。备用（2）知原函数最值处就

是一阶导函数的零点处，可代入虚根0x（3）利用0x与参数互化得关系式，先消掉参数，得出0x不等式，求得0x范围。（4）再代入参数和0x互化式中求得参数范围。【变式演练】1.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+12(𝑥−1)2，𝑔(𝑥)=12𝑥2+2𝑥−ln𝑥（1）求函数𝑓(𝑥)的最小值

；（2）当𝑎>0时，对任意𝑥∈(0,+∞)时，不等式𝑎𝑓′(𝑥)≥(𝑎+1)𝑔′(𝑥)−𝑥−𝑎恒成立，求𝑎的取值范围.2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的导函数为h(x)，f(x)的图像在点(-2，f(-2))处的切线方程为3

x-y+8=0，且0)32(=−h,又函数g(x)=KXEX与函数y=ln(x+1)的图像在原点处有相同的切线.(1)求函数f(x)的解析式及k的值.⑵若f(x)≤g(x)-m+x+1对于任意x∈[O,+]恒成立，求m的取值范围【题型九】取整讨论型【典例分析】已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单

调性；（Ⅱ）若恒成立,求整数的最大值．1ln(1)()(0)xfxxx++=()fx(0,)+()1kfxx+k【提分秘籍】基本规律讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题【变式演练】1.已知函数(

)xfxeaxa=+−，()2xgxxe=．（Ⅰ）讨论函数()yfx=的单调性；（Ⅱ）若不等式()()fxgx有唯一正整数解，求实数a的取值范围．2.已知函数32()(,)fxaxxbxabR=−+，'()fx为其导函数，且3x=时()fx有极小值-9.（1）求()fx的单调递减区间；

（2）若()2'()(68)61gxmfxmxm=+−++，()hxmx=，当0m时，对于任意x，()gx和()hx的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（3）若不等式'()(ln1)64fxkxxx−−−（k为正整数）对任意正实数

x恒成立，求k的最大值.【题型十】证明不等式1：基础型【典例分析】设函数f（x）＝lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜𝑥−1𝑙𝑛𝑥＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1

）时，1+（c﹣1）x＞cx．【提分秘籍】基本规律1.移项最值大于0（小于0）证明法2.变形证明新恒等式法。【变式演练】1.设函数=，.证明：（I2fx1-x+x（）；（II）.2.已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜

率为.求的值及函数的极值；证明：当时，【题型十一】证明不等式2：数列不等式之单变量构造型【典例分析】()fx311xx++[0,1]x34()fx32()xfxeax=−ayA()yfx=A1−a()fx0x2xxe已知函数2()ln(),(),fxxagxxx=+=+若函数()()(

)Fxfxgx=−在x=0处取得极值．(1)求实数的值；(2)若关于x的方程5()02Fxxm+−=在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；(3)证明：对任意的自然数n，有1ln2nn+恒成立．【提分秘籍】基本规律1.适当的选择式子（字母

）为变量，构造函数，通过单调性最值等等可得不等式关系。2.注意区分本专题三道题自变量的选取，授课时可以多种选择同时展开，分析不同选择时的计算量。【变式演练】1.已知函数()1lnfxxx=+.（1）求函数()fx的单调区间；（2）试证明：111

nen++（2.718e=…，*nN）.2.已知函数（1）若函数在区间上存在极值，其中a>0，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证:。【题型十二】证明不等

式3：数列不等式之无限求和型【典例分析】已知函数aaxxxxf其中,1ln)(−+=为大于零的常数。（1）若函数),1[)(+在区间xf内调递增，求a的取值范围；（2）求函数)(xf在区间[1，2]上的最小值。（3）求证：对于任意的nnnNn13121ln,

1,*+++都有时且成立。【提分秘籍】基本规律1.一侧是“和”型，另一侧则较简单。2.根据“和”型，寻找另一侧的“裂项相消”规律。3.通过题干和第一问观察寻找可以相消的不等式恒等式。【变式演练】1.已

知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，恒a1ln()xfxx+=1(,)2aa+1x()1kfxx+22(1)(1)()nnnenN−++！()11ln)(2+−+=xpxpxf)(xf1

=pkxxf)(成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：.3.已知函数()()22ln1fxxax=++()1a.(Ⅰ)讨论()fx的单调性；(Ⅱ)证明：11ln(1)123n++++…12ln(1)nn+

+(*)nN【题型十三】证明不等式4：构造单变量函数型【典例分析】设函数f(x)=(1-mx)ln(1+x).(1)若当10x时，函数f（x）的图像恒在直线y=x上方，求实数m的取值范围；（2）求证：4.1000)10001001(e。【提分秘籍】基本规律解题技巧

是构造辅助函数，把不等式的证明或者条件，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。作差法构造，换元法构造，主元法构造，对数法构造，高阶求导和端点值回归法（过去较多

，文科较多）【变式演练】1.设函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m>n>0时，.2.已知函数)0(1)1ln()(+−+=axaxxxf．（Ⅰ）若1=x是函数)(xf的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）若0)(xf在)+

,0上恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：2016201512016e（为自然对数的底数）．【题型十四】证明不等式5：凑配主元型【典例分析】已知函数)(ln1)(Raxaxxf−−=.(1)讨论函数()xf的单调性；(2)讨论函数()xf的零点个数问题(3)当1−

eyx时，证明不等式)1ln()1ln(xeyeyx++.【提分秘籍】knn131211)1ln(+++++)(*Nn()(1)ln(1),(1,0)fxxaxxxa=−++−()fx1a=()fxt=1[,1]2−(1)(1)nmmn++e基本规

律1.双变量。2.结构“怪异”但具有某种意义上的“对称”特征【变式演练】1.已知函数．（1）当2a=时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．2.已知函数()()1,xfxaxeaR=−.（1）讨

论()fx的单调区间；（2）当0mn时，证明：nmmennem++.1.（【百强校】2019届黑龙江虎林一中高三上月考一数学（理）试卷）已知函数2()(1)lnfxaxx=−−．（1）若()yfx=在2x=处取得极小值，求a的值；（2）若()0fx在[1

,)+上恒成立，求a的取值范围；2.（河南省郑州市高三第三次测验预测数学（理）试题）已知函数f(x)=mx--lnx,mR,函数在[1,+)上为增函数,且.(I)当m=0时,求函数f(x)的单调区间和极值;(II)求θ的值;(III)若在[1,e]上至少存在一

个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求m的取值范围.3.已知函数2()e(e)xfxaxax=+−−，(0)a≤．（Ⅰ）当0a=时，求()fx的最小值；（Ⅱ）证明：当0a时，函数()fx在区间()0,1内存在唯一

零点．4.(20年广州二模试题）已知函数()lnfxaxxx=+的图象在点ex=（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若kZ，且()1fxkx−对任意1x恒成立，求k的最大值；5.【百强校】河北定州中学高三周练）

设函数f(x)＝ex－ax－2.（1）求f(x)的单调区间；（2）若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．xaxxfln1)(−−=()aR)(xf)(xf1=xx),0(+2)(−bxxfb1−eyx)1ln()1ln(++

−yxeyxxem21+−xxxglncos1)(+=)2,2(−6.【全国百强校】湖北省仙桃中学2019届高三8月考试数学试题已知函数()(1)ln(1)fxxxax=+−−.（I）当

4a=时，求曲线()yfx=在()1,(1)f处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x+时，()0fx＞，求a的取值范围.7.已知函数()()21ln2fxxaxaR=+．(1)若()fx在1,e上是增函数，求a的取值范围；(2)若1,aaxe=,证明：()323fxx.8

.、【江西高考压轴卷——数学（理）】已知函数()ln(1)2afxxx=+++（1）当254a=时，求()fx的单调递减区间；（2）若当0x时，()1fx恒成立，求a的取值范围；（3）求证：1111ln(1)()35721nnNn++++++9.已知

函数)(ln1)(Raxaxxf−−=.(1)讨论函数()xf的单调性；(2)讨论函数()xf的零点个数问题(3)当1−eyx时，证明不等式)1ln()1ln(xeyeyx++.10.（福建省厦门六中数学）

已知函数()2xfxeax=+−（1）若1a=−，求函数()fx在区间[1,1]−的最小值；（2）若,aR讨论函数()fx在(0,)+的单调性；（3）若对于任意的1212,(0,),,xxxx+且2112()()xfxa

xfxa++都有成立，求a的取值范围。11.设函数()ln,kRkfxxx=+．（1）若曲线()yfx=在点()(),efe处的切线与直线20x−=垂直，求()fx的单调递减区间和极小值（其中e为自

然对数的底数）；（2）若对任何()()1212120,xxfxfxxx−−恒成立，求k的取值范围．12.（广东省深圳市龙城高级中学2022届高三上学期9月第一次月考数学试题）已知函数()(1)1xfxlnxax=+−+，其中(0a，1]．（1）讨论函数()fx在区间[0，

1]上的单调性；（2）求证：2020.42020.520212021()()20202020e．13.（黑龙江省哈尔滨市第九中学2021-2022学年高三上学期适应性考试数学文科试题）已知函数()()1ln1axfxxx−=−+.（1）若函数

()fx在()0,+上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设,Rmn，且mn，求证lnln2mnmnmn−+−.