【文档说明】高中数学人教A版《必修第二册》全书课件10.3.ppt，共(32)页，1.095 MB，由小赞的店铺上传

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10.3频率与概率[教材要点]要点一频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的________为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝________为事件A出现的频率．次数nA

nAn要点二频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频

率fn(A)估计概率P(A)．状元随笔(1)正确理解频率与概率之间的关系随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期

望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率．(2)频率与概率的区别与联系：频率概率区别频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的概率是一个确定的值，它反映随机事件

发生的可能性的大小联系频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率[教材答疑]1．教材P252思考比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率．(1)各小组的

试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？(2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？提示：利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频

数nA和频率fn(A)(如下表)n＝20n＝100n＝500序号频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.55

2580.5165120.6520.522530.506用折线图表示频率的波动情况(如下图)．2．教材P254思考气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”．如果第二天没有下雨，

我们或许会报怨气象台预报得不准确．那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？提示：降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观

察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨．只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确．[基础自测]1

．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(3)在相同环境下，两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．()(4)计算机或计算器产生的随机数是伪随机数，因此估计

的概率不可信．()×√××2．已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是()A．合格产品少于9件B．合格产品多于9件C．合格产品正好是9件D．合格产品可能是9件解析：根据概率意义知选D.答案：D3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝

上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的()A．概率为45B．频率为45C．频率为8D．概率接近于8解析：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为mn.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在

某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故810＝45为事件A的频率．答案：B4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．解析：设共进行了n次试验，则10n＝0.02，解得n＝500.答案：500题型一频率与概率之间的区

别与联系——自主完成1．下列说法中正确的是()A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定解析：任何事件的概率总是在[0,1]之间，其中必然事件的概率是

1，不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A错误．只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的．一般来说，当试验的次数不同时，频率是不同的，它与试验次数有关，故B错误．当试验次数增多时，频率呈现出一定的规律性，频率值越来越接近于某个常数，这个常

数就是概率，故C正确．虽然在试验前不知道概率的确切值，但概率是一个确定的值，它不是随机的．通过多次试验，不难发现它是频率的稳定值，故D错误．答案：C2．一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是()A.1999B.11000C.9991000D.12解析

：第999次出现的结果和其他试验的结果无关，故所求概率是12.答案：D3．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明()A．该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件B．该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件C．合格率是99.99%，

很高，说明该厂生产的10000件产品中没有不合格产品D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%解析：合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．答案：D方法归纳利用概

率的稳定性解题的三个关注点(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．(3)正

确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．题型二用频率估计概率——师生共研例1李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：成绩人数90分以上4380分～89分18

270分～79分26060分～69分9050分～59分6250分以下8经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．(1)90分以上；(2)60分～

69分；(3)60分以上．解析：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：43645≈0.067，182645≈0.282，260

645≈0.403，90645≈0.140，62645≈0.096，8645≈0.012.用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：(1)将“90分以上”记为事件A，则P(A)≈0.067；(2)将“60分～69分”记为事件B

，则P(B)≈0.140；(3)将“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.方法归纳随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测

量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．跟踪训练1某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率mn(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？频

率估计概率．解析：(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.题型三概率的实际应用——微点探究微点1游戏的

公平性的判断例2甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；(2)

若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解析：(1)分别用2,3,4,4′表示红桃2，红桃3

，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的

数字比3大的概率是23.(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为512，乙胜的概率为712.因为512＜712，所以此游戏不公平．方法归纳游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否

公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．微点2天气预报中的概率问题例3某城市的天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为90%”，这是指()A

．明天该地区约90%的地方会降水，其余地方不降水B．明天该地区约90%的时间会降水，其余时间不降水C．气象台的专家中，90%认为明天会降水，其余专家认为不降水D．明天该地区降水的可能性为90%解析：“明天降水的概率为90%”指“明天降水”这

一事件发生的可能性为90%，而非其他含义．故选D.答案：D方法归纳天气预报中的概率不可能通过做大量相同的重复试验得到，属于主观概率．解决此类问题，我们需要分清主观概率与客观概率，客观概率是客观存在的，不会因判断者意识的改变而改变，而主观概率

对于不同的判断者而言，会有不同的结果，并且概率只能说明事情发生的可能性的大小，并不是一个绝对的量．跟踪训练2如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5

,6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？解析：列表如下：BA3456145672567836789由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因此

，甲获胜的概率为312＝14，乙获胜的概率为912＝34，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．易错辨析混淆频率与概率的关系出错例4把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上

的概率为________．解析：掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.答案：0.5【易错警示】易错原因纠错心得解本题时，很容易由fn(A)＝nAn＝4961000＝0.496，得掷一次硬币正面朝上的概率是0.49

6.导致以上错误的原因是混淆了概率与频率的概念，事实上频率是随机的，做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的0.496是1000次试验中硬币正面向上的频率，而概率是一个确定的常数，与试验次数无关.随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个

常数附近摆动并且趋于稳定，而概率是一个确定的常数，与试验的次数无关.