【文档说明】专题16 复数——常见中档题型汇编（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册） .docx，共(11)页，824.512 KB，由管理员店铺上传

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专题16复数——常见中档题型汇编题型一几何相关1．在复平面上，满足|1|4z−=的复数z的所对应的轨迹是()A．两个点B．一条线段C．两条直线D．一个圆【解答】解：设zxyi=+，则22|1|(1)4xyixy+−=−+=，22(1)16xy−+=，运动轨迹是圆，故选：D．2．设复数z

满足|(1)|1zi−+=，则||z的最大值为()A．21−B．21+C．2D．3【解答】解：设zxyi=+，复数z满足|(1)|1zi−+=，所以22(1)(1)1xy−+−=，表示(,)xy到点(1,1)的距离为1，所以(,)xy到原点的距离的最大值为2211

121++=+；故选：B．3．i是虚数单位，设复数z满足||1z=，则222||1zzzi−+−+的最大值为()A．21−B．22−C．21+D．22+【解答】解：222(1)(1)|||||1|11zzzizizizizi−+−+−−=

=−−−+−+．复数z满足||1z=，|1|zi−−的几何意义是单位圆上的点与(1,1)点的距离．则222||1zzzi−+−+的最大值为：12+．故选：C．4．若1zz+=，则|1|||zzi+−−取值范围是(1−，2]．．【解答】解：由题意设12

zbi=+，则2291|1|||(1)44zzibb+−−=+−+−，其几何意义为平面内一动点(0,)Ab到两定点3(2B，0)，1(2C，1)距离之差，由图可知，当A，B，C三点共线时，距离之差最大，当b→−时，最小，则21301

1|1|||()1222zzi−=−+−−−+=„．|1|||zzi+−−的取值范围是(1−，2]．故答案为：(1−，2]．5．x的二次方程2120xzxzm+++=中，1z，2z，m均是复数，且21241620zzi

−=+，设这个方程的两个根、，满足||27−=，求||m的最大值和最小值．【解答】解：设(,)mabiabR=+．则212441620444[(4)(5)]zzmiabiabi−−=+−−=−+−．

而222||27||28|()|28|()4|28−=−=−=+−=222212|44|28|(4)(5)|7(4)(5)7zzmabiab−−=−+−=−+−=，即表示复数m的点在圆222(4)(5)7ab−+−=

上，该点与原点距离的最大值为741+，最小值为741−．6．已知z是虚数，1zz+是实数．（1）求z为何值时，|2|zi+−有最小值，并求出|2|zi+−的最小值；（2）设11zuz−=+，求证：u为纯虚数．【解答】（1）解：设(0)zabib=+，则2211()()abiabizabia

biabizabiabiabiab−−+=++=++=++++−+2222()()ababiabab=++−++，由题意可得220bbab−=+，又0b可得221ab+=；22|2||(2)(1)|(2)(1)ziabiab+−=++−=++−，表示点(,)Pab

到点(2,1)A−的距离，而P在单位圆上运动，所以|2|zi+−的最小值为151AO−=−，此时交点P在第二象限，解方程组22121yxxy=−+=，得25555zi=−+；（2）证明：由221ab+=，2211(1)(1)1

1(1)zabiabiabiuzabiab−−−−−+−===+++++22221()12abbabbabiaab−−−++−=+++1bia−=+，又0b，所以u为纯虚数．7．已知复数z满足2||3z剟，则|1|(zii−−为虚数单位）的取值范围是(

)A．[22,22]−+B．[32,22]−+C．[32,32]−+D．[22,32]−+【解答】解：令zxyi=+，x，yR，2||3z剟，2249xy+剟，1(1)(1)zixyi−−=−+−，22|1|(1)(1)zixy−−=−+−，其几何含义为z在复平面内对应的点(,)xy到点(

1,1)的距离，设该距离为d，则222(10)(10)22mind=−−+−=−，223(10)(10)32maxd=+−+−=+，故|1|(zii−−为虚数单位）的取值范围是[22−，32]+．故选：D．8．已知复数1z和2z满足11|814|5|46|zi

zi−−=−−，12||3zz−=，则2||z的取值范围为()A．[0，13]B．[3，9]C．[0，10]D．[3，13]【解答】解：设1zxyi=+，x，yR，则11|814|5|46|zizi−−=−−表示点(,)xy到点(8,14)的距离是到点(4,6)距离的5倍．则2222

(8)(14)5(4)(6)xyxy−+−=−+−，化简得：22(3)(4)25xy−+−=，即复数1z在复平面对应得点为以(3,4)为圆心，5为半径的圆上的点．设2zmni=+，m，nR，因为12||3zz−=，所以点(,)xy和点(,)mn距离为3，所以复数2z在复平面对应得点为

以(3,4)为圆心，2为半径的圆及以(3,4)为圆心，8为半径的圆构成的圆环内（含边界），2||z表示点(,)mn和原点(0,0)的距离，原点(0,0)在圆环内，圆环及其内部的点都是可以取到的，2||z的最小值为0，最大为10313+=．故选：A．题型二欧拉公式9．欧拉公式cossinie

i=+把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos和sin联系在一起，被誉为“数学的天桥”．若复数z满足2()(1)1iezii−+=−，则z的虚部为()A．iB．1C．2iD．2【解答】解：cossiniei=+，2()(1)()(1)(1)ieziizii

−+=−+=−，1()21iziiiii−=−=−−=+，z的虚部为2．故选：D．10．据记载，欧拉公式cossin()ixexixxR=+是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当

x=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10ie+=，将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”．根据欧拉公式复数4i

ze=的虚部为()A．4iB．4C．22iD．22【解答】解：复数422cossin4422izeii==+=+，所以复数z的虚部为22．故选：D．11．欧拉恒等式：10ie+=被数学家们惊叹为“

上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e、圆周率、虚数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：cossin()ieiR=+令=得到的．设复数3ize=，

则根据欧拉公式z的虚部为()A．32B．3C．12D．1【解答】解：313cossin3322izeii==+=+，根据欧拉公式z的虚部为32．故选：A．12．欧拉恒等式：10ie+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数

e、圆周率、虚数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：cossin()ieiR=+中，令=得到的．根据欧拉公式，23ie复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：欧拉公式：cossin(

)ieiR=+，可得232213cossin3322ieii=+=−+，复数对应点所在的象限为第二象限．故选：B．13．著名的欧拉公式为：10ie+=，其中21i=−，e为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数

集的联系．其广义一般式是cossin(02)iei=+„，该复数在复平面内对应的向量坐标为(cos,sin)，则下列说法正确的是()A．13()223lnii+=B．若复数z满足1322zi=+，则2021zz=C．若复数ie与复数ie

在复平面内表示的向量相互垂直，则2−=D．复数ie与复数iie在复平面内表示的向量相互垂直【解答】解：对于A，313()223ilnilnei+==，故A正确；对于B，31322izie=+=，2021202

132021202113cossincossin333322izeiiiz==+=−=−=，故B正确；对于C，若复数ie与复数ie在复平面内表示的向量相互垂直，ie对应的向量坐标为(cos,sin)

，ie对应的向量坐标为(cos,sin)，可得coscossinsincos()0+=−=，则2k−=+，kZ，故C错误；对于D，复数ie与复数iie在复平面内表示的向量分别为(cos,sin)，(sin,cos

)−，则cos(sin)sincos0−+=，可得两向量相互垂直，故D正确．故选：ABD．题型三辐角问题14．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为1Z，2Z，3Z，O（其中O是原点），已知1Z对应复数113zi=+．则1Z和3Z对应的复数的乘积13zz=232i−

−．【解答】解：设3Z对应的复数为3z，可得31||||2zz==，复平面上1Z与x轴的夹角为3，则3Z与x轴的夹角为56，所以3552(cossin)366zii=+=−+，所以13(3)(13)333232zziiiii=−++=−−+−=−−．故答案为：2

32i−−．15．复数都可以表示为||(cossin)(02)zzi=+„，其中||z为z的模，称为z的辐角．已知复数z满足2(1)1iiz−=+，则z的辐角为()A．4B．34C．54D．74【解

答】解：由2(1)1iiz−=+，得225512()2(cossin)2244ziii=−−=−−=+，所以54=，故选：C．16．已知复数3cos(3sin3)()kkkziR=++对应复平面内的动点(1,2)

kZk=，模为3的纯虚数3z对应复平面内的点3Z，若313212ZZZZ=，则12||(zz−=)A．3B．322C．3D．33【解答】解：设3cosx=，33siny=+，则22(3)3xy+−=，所以1Z，2Z对应的

点在以(0,3)为圆心，以3为半径的圆上，设(0A，23)，33Zi=，因为313212ZZZZ=，所以1Z为2Z，3Z的中点，故33Zi，（否则3Z为圆心，必不成立），所以33Zi=−，设12||ZZm=，则13||ZZm=，23||2ZZm

=，由圆的切割线定理可得331323||||||||OZAZZZZZ=，即3332mm=，解得322m=，则1232||2zz−=，故选：B．17．设复数13zi=−在复平面上对应的向量为OZ，将OZ绕原点O逆时针旋转n个56角后得到向量1(*)OZnN，向量1OZ所对应的复数为1z，若1

0z，则自然数n的最小数值为4．【解答】解：复数13zi=−对应的向量OZ，将OZ放在直角坐标系中，可以得出以OZ为终边的夹角3=−，OZ绕原点O逆时针旋转n个56角后得到向量1OZ，即以1OZ为终边的夹角536n=−+，1OZ对应的

复数10z，1z为实数，且为负数，1OZ的终边在x的负半轴上，故自然数n的最小值为4．故答案为：4．18．已知复数z满足||2z=，2z的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限．（1）求复数z；（2）设向量OZ表示复数z对应的向量，(cossin)(0)iz

+的几何意义是将向量OZ绕原点逆时针旋转后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若OAB是等边三角形，求向量OB对应的复数．【解答】解：（1）设zabi=+，(,)abR，2222zababi=−+，22||zab=+，||2z=，2z的虚部为2，22222abab

+==，可得2211ab==，z所对应的点A在第一象限，0a，0b，即1a=，1b=，1zi=+，1zi=−．（2）等边三角形OAB可以看作OB向量OA绕旋转3，设向量OB对应的复数

为z，1313(cossin)(1)3322ziii−+=++=+，或1(cossin)33iiz+=+，即131322zi+−=+，向量OB对应的复数为131322i+−+或131322i−++．题型四综合应用19．设复

数1z，2z满足20z，且122||2||zzz=，则1z可以是()A．22i+B．4iC．13i−+D．22i−【解答】解：利用复数的模的性质1212||||||zzzz=，可得12122||||||2||zzzzz==，所以1||2z

=，根据选项可知1z可以为22i+，13i−+，故选：AC．20．已知复数13(22zii=−+为虚数单位），则下列说法中正确的是()A．31z=B．2zz=C．210zz++=D．220210zzz+++=【解答】解：复数1322zi=−

+，21331344222ziiz=−−=−−，210zz++=，322131313()()()()1222222zii=−+−−=−+=，20213673213()22zzzi==−−，2021220212(1)(1)101zzzzzzzzzz−+++==+=+=

−−，可得AC正确．故选：AC．21．设z为复数，则下列命题中正确的是()A．2||zzz=B．22||zz=C．若||1z=，则||zi+的最大值为2D．若|1|1z−=，则0||2z剟【解答】解：设zabi=

+，对于A，222||zab=+，22()()zzabiabiab=+−=+，故选项A正确；对于B，2222()2zabiababi=+=−+，222||zab=+，故选项B错误；对于C，||1z=表

示z对应的点Z在单位圆上，||zi+表示点Z对应的点与(0,1)−的距离，故||zi+的最大值为2，故选项C正确；对于D，|1|1z−=表示z对应的点Z在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上，||z表示z对应的点Z与

原点(0,0)的距离，故0||2z剟，故选项D正确．故选：ACD．22．已知复数20201(1izii+=−为虚数单位），则下列说法错误的是()A．z的实部为2B．z的虚部为1C．2zi=−D．||2z=【解答】解：2020202050541(1)(1)(1)(1)(11)(1)11(1)(1)2

2iiiiiiziiii+++++++=====+−−+．所以1zi=+，z的实部为1，z的虚部为1，22||112z=+=．观察选项，A、C选项符合题意．故选：AC．23．已知复数202111(1izii+=+−为虚数单位），则下列说法正确的是()A．z的实部为1B．z的虚部

为1−C．||2z=D．1zi=+【解答】解：2021450511()1111iiizii++=+=+−−21(1)211111(1)(1)2iiiiiii++=+=+=+=+−−+，z的实部为1，故A正确；z的虚部为1，故B错误；22|||1|112zi=+=

+=，故C正确；1zi=−，故D错误．故选：AC．