【文档说明】福建省莆田第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案.docx，共(10)页，517.232 KB，由小赞的店铺上传

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莆田一中2020-2021学年高一年段第二学期期中数学试卷命题人：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()A1,0=，()B3,2=，向量()AC2,1=，则向量BC(=（）A.()

0,1−B.()1,1−C.()1,0D.()1,0−2.已知向量a，b的夹角为23，2=a，1b=，则2ab−=（）A．23B．3C．3D．123．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（）A．1B

．2C．D．4．在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知0456,32Aab===，，则B的大小为（）A．030B．060C．030或0150D．060或01205．设a、b两条直线，则//ab的充要条件是（）A．a、b与同一个平面所成角相等B．a、b垂直于同一条直线C．a、

b平行于同一个平面D．a、b垂直于同一个平面6．在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且cos2cos()abAccAC=++，则B的大小为（）ABC△OBC1AO=ABC△BC222A．6B．3C．23

D．567．如图，在ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，23A=，23AC=，32CD=，则BC=（）A．33B．4C．42D．68．已知正方体的棱长为2，为的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（）A．B．C．

1D．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9．如图所示，在ABC中，点D在边BC上，且2CDDB=，点E在边AD上，且3ADAE=，则（）A

．13CEADAC=+B．13CEADAC=−C．2899CEABAC=+D．2899CEABAC=−10.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知coscos2BbCac=−，334ABCS=△，且3b=，则（）

A．1cos2B=B．3cos2B=C．3ac+=D．23ac+=11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的

四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵中，，且1AAAB=2=．下列说法正确的是（）A．四棱锥为“阳马”B．四面体为“鳖膈”C．四棱锥体积最大为34D．过点分别作于点，于点，则1111ABCDABCD−M1CCN11ADDA1BMAN⊥ABN△55255111ABCABC−ACBC⊥11BAACC−11A

CCB11BAACC−A1AEAB⊥E1AFAC⊥F1EFAB⊥12．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点，则（）A．直线A1D与直线AF垂直B．直线1AG与

平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为98D．点B到平面AEF的距离为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上.13.设向量()1,ak=，()2,3bk=−−，若//ab，则实数k的值为_______.

14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF＝2，则AEBF的值是________．15．在锐角ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若4cosabCba+=，则tantantantanCCAB

+=．16．菱形ABCD中，2AB=，120DAB=，将CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体EABD−的体积最大时，四面体EABD−的外接球的面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1

7．（本小题满分10分）已知向量(3,2),(1,2),(4,1)abc==−=.（1）求满足ambnc=+的实数m和n；（2）若()(2)akcba+⊥−，求实数k.18.（本小题满分12分）在下面给出的三个条件：①1coscos22cos22si

n222=+++−BCBCBC，②cbBAB=+tantantan2，③)cos3(sin3CCab+=中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．问题：在ABC中，内角CBA,,所对的边长分别为cba,,，且满足13=a，3=b

，，求ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5

G基站AB，已知基站高50mAB=，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．（1）求出山高BE（结果保留整数）；（2）如图，当该同学面向基站

AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离mMDx=，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为．试问当x多大时，观测基站的视角AMB最大?参考数据：sin80.14，sin370.6，sin450.7，sin

1270.8．20．（本小题满分12分）如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，．（1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长．21

.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E为线段BC的中点.(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；(2)在线段PB上找一点

F，使得EF//平面PCD，则满足题意的F点是否存在？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．(3)若Q是PC中点，AB=1，DC=√2，PA=2，BC=2EC=2，求三棱锥P−ABQ的体积．1111ABCDABCD−ABCD1AA

⊥ABCDABPQP11ADQ11CB1AB=3AC=2BC=11//PQAB1ACDC−−219191BB22.（本小题满分12分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，CD⊥AB，∠DCE=2π3，在E处安

装路灯，且路灯的照明张角∠MEN=π3.已知CD=4m,CE=2m．(1)当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．莆田一中2020-2021学年高一年段第二学期期中数学答案一、选择题：本大题共8小题

，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．A3．D4．A5．D6．B7．D8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．B

D10．AD11．ABCD12．BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13．114．215．216．20四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）()(),2,4,mbmmncnn=−=，()4,2mbncnmmn+=−+，ambnc=+，()4,2(3,2)anmmn==−+，故4322nmmn−=+=，解得58,99mn==；5分（2）(3,2),(

4,)akckk==，()34,2akckk+=++，(3,2),2(2,4)ab==−，()25,2ba−=−，()()2akcba+⊥−，()()20akcba+−=，即()()534220kk−++

+=，解得1118k=−.10分18.解：选①因为1coscos22cos22sin222=+++−BCBCBC，所以1cos22)cos(22coscos2)cos(1)cos(1=−=++=++++−−ABCBCBCBC，所以21co

s=A，因为C为三角形的内角，3=A，又13=a，3=b，由余弦定理Abccbacos2222−+=，可得：21329132−+=cc，可得：0432=−−cc，解得4=c，或-1（舍去），.332

34321sin21===AbcSABC选②cbBAB=+tantantan2，由正弦定理可得：CBBABsinsintantantan2=+，可得：,sinsincossincossincossin2CBBBAABB=+可得：CBCABBACBBBAABBABBsinsinsi

ncossin2coscossincossin2coscoscossincossincossin2===+，0sin=B，=,0sinC解得21cos=A，),0(A，3=A.选③由正弦定理得，BbAasins

in=，)cos3(sinsinsin3CCAB+=，CACACAcossin3sinsin)sin(3+=+，CACAsinsinsincos3=，0sin=C，即AAsincos3=，3tan=A，又),0

(A，3=A.19．解：（1）由题知8,45ACBBAC==，在ABC中，由正弦定理得sinsinABBCACBBAC=，即50sin8sin45BC=，所以500.72500.14BC=在RtBDC中，si

nBDBCDBC=，即sin37250BD=，所以2500.6150BD=，所以山高1501.5151.5152BEBDDE=+=+=m．（2）由题知AMD=，BMD=，则在RtBMD中，150tanBDMDx==，在RtAMD中，200t

anADMDx==，由题知AMB=−，则tantantantan()1tantanAMB−=−=+220015050200150300001xxxxxx−==++505050330000123000020032xxxx===+，当且仅当30000xx=即1003

x=m时，tanACB取得最大值，即视角最大．20．解：（1）在棱柱中，面，面，面面，由线面平行的性质定理有，又，故．（2）证明：在底面中，，，．，，，又因为侧棱底面，则底面，面，，又，面，过点作于，连接，则是二面角的平面角．，，则，故，，．设，则．，，故，故．∴21.

解：∵AD//BC，BC=2AD，E是BC中点∵AD//BE，AD=BE四边形ABED是平行四边形∠BAD=90°∴四边形ABED为矩形∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥DE1111ABCDABCD−//AB1111DCBAABÌABPQ1111ABCDAB

PQPQ=//ABPQ11//ABAB11//PQABABCD1AB=3AC=2BC=222ABACBC+=ABAC⊥ACCD⊥1AA⊥ABCD1CC⊥ABCDAC11ABBA1CCAC⊥1=CCCDCAC⊥11CDDCC1CSCD⊥SAS

CSA1ACDC−−2os199c1CSA=22cossin1CSACSA+=1in159sCSA=1an52tCSA=1532tanACCSCSCSA===25CS=1CCx=1111122CCDSCDCSCDCC==△21xCSx+

=2251xCSx==+12CC=12BB=∵DE⊥AD，AD∩PA=A，∴DE⊥面PAD，DE⊂平面PDE∴平面PDE⊥平面PAD(2)取PB中点F，连接EF在△BP中，EF//PC，PC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD∴EF平面PCD∴当F为PB中点时，使得EF//平面PCD；∵(3)

连接QF，∵Q是PC的中点AB=1，DC=√2，DE⊥BC，∴EC=1，∴∵BC=2EC=2∴FQ//BC，FQ=12BC∴PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC，∴AB⊥BC，PA∩AB=A∴BC⊥平面PAB，QF⊥平面PAB‘’故VP−ABQ=VQ−ABP=13×12×A

B×PA×QF=16×1×2×1=1322.解：(1)当M,D重合时，由余弦定理知，ME=DE=√CD2+CE2−2CD⋅CE⋅cos∠DCE=2√7，所以cos∠CDE=CD2+DE2−CE22CD⋅DE=5√714，因为∠CDE+∠E

MN=π2，所以sin∠EMN=cos∠CDE=5√714，因为cos∠EMN>0，所以cos∠EMN=√1−sin2∠EMN=√2114，因为∠MEN=π3，所以sin∠ENM=sin(2π3−∠EMN)=sin2π3cos∠EMN−cos2π3sin∠E

MN=2√77，∴在△EMN中，由正弦定理可知，MNsin∠MEN=EMsin∠ENM，解得MN=7√32；(2)易知E到地面的距离h=4+2sin(2π3−π2)=5m，由三角形面积公式可知，S△EMN=12⋅MN⋅5=12EM⋅EN⋅

sinπ3，所以10√3MN=EM⋅EN，又由余弦定理可知，MN2=EM2+EN2−2EM⋅EN⋅cosπ3≥EM⋅EN，当且仅当EM=EN时，等号成立，所以MN2≥10√3MN，解得MN≥10√33．答：(1)路灯在路面的照明宽度为7√32m；(2)照明宽度MN的最小值为10√33m．