【文档说明】第二篇 能力提升卷03-【创奇迹·精品系列卷】备战2022年高考数学冲刺模拟卷（新高考）（解析版）.docx，共(28)页，1.928 MB，由管理员店铺上传

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【创奇迹·精品系列卷】备战2022年高考数学冲刺模拟卷第二篇能力提升卷03（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2

．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合12Axx=−，0Bxx=，则AB=（）A．2xxB．02xxC．03xxD．3xx【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式可求得集合A，由交集定义可得结果

.【详解】1221213Axxxxxx=−=−−=−，03ABxx=.故选：C.2．复数43i2iz−=−（其中i为虚数单位）的模为（）A．1B．5C．25D．5【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘除运算化简z，再求其模长即可.【详解】因

为43i2iz−=−()()()()43i2i112i112i2i2i555−+−===−−+，故22112555z=+−=.故选：B.3．已知命题1p：存在00x，使得0044+xx，命题2p：对任意的xR，都有tan2x=22tan1ta

nxx−，命题3p：存在0xR，使得003sin4cos6+=xx，其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】【分析】取特值可判断1p和2p，由辅助角公式化简可判断3p.【详解】当02x=时，显然1p成立；当4x=

时，可知2p不成立；由辅助角得0003sin4cos5sin(x)xx+=+，所以所以003sin4cosxx+的最大值为5，所以3p为假.故选：B4．已知函数()103cosfxxx=+在x=0处的切线与直线0nxy−=平行，则二项式()()211nxxx++−展开式中含2x项

的系数为（）A．26B．46C．36D．56【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】由函数()fx的解析式，得()103sinfxx=−，则()010f=．由题意，得()010nf==，则二

项式()()()()()()()101010102221111111nxxxxxxxxxxx++−=++−=−+−+−，二项式()101x−的通项公式为：10110101()(1)rrrrrrrTCxCx−+=

−=−，所以含2x项的系数为()()()2102101010101114510136CCC−+−+−=−+=．故选：C5．已知函数()()sin2cos2101fxxx=−+，将()fx的图象先向左平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位

长度，得到函数()gx的图象，若()gx图象关于π,04对称，则为（）A．14B．12C．23D．34【答案】A【解析】【分析】化简()fx解析式，根据三角函数图象变换求得()gx，由π04

g=求得的值.【详解】()π2sin214fxx=−+，()fx的图象先向左平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数()ππ212sin22sin2π444gxxx−=+−=+

，故2π21412sinπ2sinπ04π444g−=−+==，所以411ππ,,Z44kkk−==+，由于01，所以14=.故选：A6．已知双曲线C：()22108yxmm

−=的上、下焦点分别为1F，2F，P为双曲线C上一点，且满足12120FPF=，则12PFF△的面积为（）A．833B．83C．33mD．3m【答案】A【解析】【分析】记11PFr=，22PFr=12FPF=，根据双曲线定义结合余弦定理可得22121cosbrr=−，再利用三角形面积公式

可推得122Stan2FPFb=△，即可求得答案.【详解】记11PFr=，22PFr=，12FPF=，∵122rra−=，∴()22124rra−=，在12FPF△中，由余弦定理得()22212122cos2rrrrc+−=，配方得()2212121222cos4rrrrrrc−+−

=，即()2212421cos4arrc+−=，∴()21222221cos1coscabrr−==−−，由任意三角形的面积公式得122221222sincos1sin22Ssin21cos2sintan22FPFbr

rbb====−△，∴122Stan2FPFb=△，而28b=，120=，12883tan603PFFS==，故选：A.7．西安中学抗疫志愿者小分队中有3名男同学，2名女同学，现随机选派2名同学前往社区参加志愿服务活动，在已知抽取的1名志愿者是女同学

的情况下，2名都是女同学的概率是（）A．14B．15C．17D．110【答案】C【解析】【分析】利用条件概率求解.【详解】解：从3名男同学和2名女同学，随机选派2名共有2510C=种方法，含有1名志愿者是女同学有021132327CCCC+=种方

法，所以含有1名志愿者是女同学的概率是710p=，2名志愿者都是女同学有221C=种方法，所以2名志愿者都是女同学的概率是110p=，所以在抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是11107710p==，故选：C8．已知函数110,2()1e2,2xxm

xfxxmxmx−=−+（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．(e,)+B．(e,5]C．(e,5)D．[e,5]【答案】B【解析】【分析】令()0fx=，分别讨论12x和12x时零点

的情况：12x时直接解方程；12x时利用数形结合研究零点的情况.【详解】令()0fx=，则有12e20xxxmxm−+=或12100xxm−=.当12x时，由100xm−=得：10mx=，至多有一个根.当12x时，由

e20xxmxm−+=得：e21xxmx=−.令1e1,212xxyxx=−，则()()()12e21121xxyxx+=−−.令10y，解得：1x；令10y，解得：112x；所以1e2

1xxyx=−在1,12上单减，在()1,+上单增.所以1e21xxyx=−的最小值为e，无最大值.所以函数()fx在定义域R上有三个零点，只需12x时，有一个根；12x时，有两个根.要使e21xxmx=−有两根，

只需em.所以只需满足1102emm，解得：e<5m.故选：B【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合

法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知正数a，b满

足21ab+=，则（）A．ab的最大值为18B．224ab+的最小值为12C．12ab+的最小值为8D．1aa+的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】A、B、D应用基本不等式求最值即可，C应用基本不等式“1”的代换求最值，

注意等号成立条件.【详解】A：由2122abab+=，则18ab，当且仅当122ab==时等号成立，正确；B：由222(2)1224abab+=+，当且仅当122ab==时等号成立，正确；C：由1

1()(2)42244428ababababbbabaa+=++=+++=，当且仅当122ab==时等号成立，正确；D：由1122aaaa+=，当且仅当1a=时等号成立，而21ab+=且a，0b，所以等号取不到，即12aa+，无最小值，错误.故选：ABC10．下列说法

正确的有（）A．若向量ab=，bc=，则ac=B．若向量ab∥，则a与b的方向相同或相反C．向量,,abc是三个非零向量，若acbc=，则ab=D．向量,ab是两个个非零向量，若abab+=−，则ab⊥【答案】AD【解析】【分析】根据相等向量，平行向量概念判断A和B，根据向量的模与数量

积运算可判断C和D.【详解】对于选项A，向量ab=，bc=，由相等向量可知ac=，故A正确；对于选项B，0与任意向量平行，若a与b中有一个为0，则不满足方向相同或相反，故B错误；对于选项C，,,abc为非零向量，

若acbc=，可得cos,cos,acacbcbc=，即cos,cos,aacbbc=，推不出ab=，故C错误；对于选项D，2222||||()2ababababab+=+=+=++2222|

|||()2ababababab−=−=−=+−因为abab+=−，所以22abab−=，即0ab=因为,ab是两个非零向量，所以ab⊥，故D正确故选：AD11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点,AB的距离之比为定值()1

的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，(2,1)A−，(1,1)B，点P满足2PAPB=，设点P的轨迹为曲线C，则（）A．曲线C的方程为22(2)(1)4xy−+−=B．过点A向曲线C引切线，两条切线的夹角为2π3C．若点D在曲线C上，则线段AD

的中点M的轨迹方程为22(1)1yx+−=D．N为直线30xy++=上一点，过点N向曲线C引切线NH，其中H为切点，则NH的最小值为214【答案】AC【解析】【分析】由2PAPB=求得曲线C的方程，结合圆的切线

、轨迹、切线长等知识对选项进行分析，从确定正确答案.【详解】设(),Pxy，由2PAPB=，即22224,4PAPAPBPB==得：()()()()222221411xyxy++−=−+−，整理得22(2)(1)4xy−+−=，所以A选项正确.B选项，过点A向曲线C引切线

，设其中一个切点为Z，如下图所示，RtACZ中，21πsin,426ZACZAC===，所以两条切线的夹角不是2π3，B选项错误.C选项，设(),Mxy，则()22,21Dxy+−，代入圆C的方程得：()()222222114xy+−+−−=，整理得()2211xy+−=，C选项正

确.D选项，由于2222NHNC=−，所以当NC最小时，NH最小，NC最小为213322++=，所以NH最小为18414−=，D选项错误.故选：AC12．已知正四棱台1111ABCDABCD−的上下底面边长分别为4，6

，高为2，E是11AB的中点，则（）A．正四棱台1111ABCDABCD−的体积为5223B．正四棱台1111ABCDABCD−的外接球的表面积为104πC．AE∥平面1BCDD．1A到平面1BCD的距离为4105【答案】BCD【解析】【分析】利用正四棱台1

111ABCDABCD−的体积计算可判断A；连接ACBD、相交于2O，连接1111ACBD、相交于1O，分外接球的球心O在正四棱台1111ABCDABCD−的内部、内部，根据2222111212−+−=DODODODOOO、2222111212−−−=DODODODOOO，求

出2R可判断B；取11DA的中点F，利用面面平行的判断定理可判断平面1//CBD平面AEF，从而可判断C；以2O为原点，2221、、ODOAOO所在的直线分别为xy、、z建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1BCD的一个法向量，利用点到平面1BCD的距离的向量求法可

判断D.【详解】正四棱台1111ABCDABCD−的体积为()1111111113=++ABCDABCDABCDABCDVSSSSh，()152243163624233+=++=V，故A错误；连接ACBD、相交于2O，连接1111ACBD、相交于1O，如

果外接球的球心O在正四棱台1111ABCDABCD−的内部，则O在12OO上，122=OO，因为上下底面边长分别为4，6，所以11111222==DOBD，21322==DODB，设外接球O的半径为R，所以2222111212−+−=DODODODOOO，即228182

−+−=RR，无解，所以外接球的球心O在正四棱台1111ABCDABCD−的外部，如下图，则O在12OO延长线上，12OO=，因为上下底面边长分别为4，6，所以11111222==DOBD，21322==DODB，设外接球O的半径为R，所以2222111212−−−=DODODODOOO

，即228182−−−=RR，解得226=R，所以正四棱台1111ABCDABCD−的外接球的表面积为24104=R，故B正确；取11DA的中点F，连接，AFEF，11=ACEFG，连接AG，所以11//DBEF，所以G是11AO的中点，因为11AC42=，所以132=GC

，又232=AO，所以12=GCAO，又因为12//GCAO，所以四边形12GCOA是平行四边形，所以12//GACO，GA平面1CBD，12CO平面1CBD，所以//GA平面1CBD，因为11//DBBD，所以//EFBD，EF平面1CBD

，BD平面1CBD，所以//EF平面1CBD，因为EFAGG=，所以平面1//CBD平面AEF，因为AG平面AEF，所以//AE平面1//CBD，故C正确；以2O为原点，2221、、ODOAOO所在的直线分别为xy、、z建立如图所示的空间直角坐标系，则()32,0,0D

，()32,0,0−B，()10,22,2−C，()10,22,2A，()132,22,2=−−DC，()132,22,2=−BC，()110,42,0=−AC设平面1BCD的一个法向量为(),,nxyz=，所以11⊥⊥DnCCnB

，即322220322220−−+=−+=xyzxyz，令1y=可得()0,1,2n=，1A到平面1BCD的距离为114241055==nACn，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4

小题，每小题5分，共20分13．函数()fx是偶函数，当0x时，()221xfxx=+−，则不等式()3fx的解集为______.【答案】{|1xx−或1}x【解析】【分析】由函数的单调性与奇偶性求解．【详解】因为当0x时，()221xfxx=+−单调递增，且(

)1121213f=+−=，所以()3fx等价于()()1fxf.因为()fx为偶函数，所以1x，解得1x−或1x，即不等式()3fx的解集为{|1xx−或1}x故答案为：{|1xx

−或1}x．14．已知()3sin5+=，则sin()cos()sin2−−=−____________________【答案】35-##-0.6【解析】【分析】应用诱导公式可得3sin5=−，再由诱导公式化简目标式函数式，即可求值.【详解】由()3s

insin5+=−=，则3sin5=−，sin()cos()sin(cos)3sincos5sin2−−−−===−−.故答案为：35-15．已知椭圆1C和双曲线2C有公共的焦点1F､2F，曲线1C和2C在第一象限相交于点P.且12

60FPF=，若椭圆1C的离心率的取值范围是32,32，则双曲线2C的离心率的取值范围是___________.【答案】6,32【解析】【分析】设12||,||PFsPFt==，由椭圆、双曲线的定义可得1saa=+，1taa=−，由余

弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.【详解】设椭圆22122:1(0)xyCabab+=，双曲线：2C2222111xyab−=，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心

率cea=，双曲线离心率11cea=，12||,||PFsPFt==，如图，由椭圆定义可得：2sta+=，由双曲线定义可得：12sta−=，联立可得1saa=+，1taa=−，由余弦定理可得：1222222211

111242cos()()2()()cos603cststaaaaaPaaFaFaa=+−=++−−+=+−即221134ee=+，解得212314ee=−，因为32,32e，所以21132e，2123e，可

得21332e，故1632e，故答案为：6,3216．将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为

底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（n）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图()1n+．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（n）的

周长为__________，图（n）的面积为___________．【答案】1433n−1233345209n−−【解析】【分析】先根据所给的图形找互相邻的图形周长之间的关系，再进一步得到与第一个图形的周长之间的关系，找出相邻两

个图形之间的面积关系，可求得图（n）的面积【详解】解：第一个三角形的周长为313=，观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了实验室的周长的13，第三个在第二个的基础上多了其周长的13，所以第二个图形的周长为1431333+=，第三个图形的周长为21143113333

++=，第四个图形的周长为31114311133333+++=，……，所以第n个图形的周长是第一个周长的143n−倍，所以第n个图形的周长为1433n−，由题意可知，第n个图

形的边长都相等，且长度变为原来的13，则边长nb的递推公式为11,23nnbbn−=，11b=，所以113nnb−=，边数na的递推公式为14,2nnaan−=，13a=，则134nna

-=?，第一个图形的面积为134A=,当2n时，21122111133133434443169nnnnnnnnnAAabAA−−−−−−−=+=+=+，则121321()()()nnnAAAAAAAA−=+−+−+

+−1144[1()]33323334994416520919nn−−−=+=−−【点睛】关键点点睛：此题考查数列的应用，考查等比数列的性质的应用，解题的关键是由题意找出边长nb的递推公式和边数na的递推公式，相邻两个图形面积之间的递推关系，考查计算能力

，属于较难题四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且7,3ab==，．在①332ACCB=−；②12cos72c

os13AB−=−；③2sin23cos2AA=．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)求ABC的面积S；(2)求角A的平分线AD的长．【答案】(1)条件选择见解析，1534(2)条件选择见解析，158【解析】【分析】（

1）选①：由平面向量数量积的定义，由332ACCB=−可求得cosC，再求sinC，即可由三角形面积公式求得面积；选②：由正弦定理得12cos7sin2cos13sinAaABbB−===−，化简即可求得c，再由余弦定理求得cosA，再求sinA，即可由三角形面积公式求得面积；选③：由倍角公

式得2sin23cos2AA=，化简可得tan2A，即可求得A，再由余弦定理求得cosA，再求sinA，即可由三角形面积公式求得面积.（2）选①：由余弦定理2222coscbaabC=+−求得c，再由余弦定理求得c

osA，即可求得A，最后由11sinsin2222ABCAASbADcAD=+△即可解得AD；选②：由11sinsin2222ABCAASbADcAD=+△即可解得AD；选③：由11sinsin2222ABCAASbADcAD=+△即可解得AD.(1)选①：因为33

2ACCB=−，所以33cos(π)2abC−=−，又7a=，3b=，所以11cos14C=，所以53sin14C=，所以1153sin24ABCSabC==△．选②：因为7a=，3b=，所以由正弦定理可得12cos7sin2cos

13sinAaABbB−===−，所以sin2sincos2sincossinBBAABA−=−，sinsin2sincos2sincos2sinABBAABC+=+=，由正弦定理可得2abc+=，所以5c=，由余弦定理可得，2221cos22bcaAbc+−==−

，由(0,)A，所以23A=，所以1153sin24ABCSbcA==．选③：因为2sin23cos2AA=，所以22sincos23cos222AAA=，由(0,)A，cos02A，所以tan32A=，23A=．由余弦定理可得，2221cos22bcaAbc+−==−，

所以5c=．所以1153sin24ABCSbcA==．(2)选①：由余弦定理可得，2222cos25cbaabC=+−=，所以5c=．所以2221cos22bcaAbc+−==−，由(0,)A，所以23

A=．因为11153sinsin22224ABCAASbADcAD=+=△，所以可解得158AD=．选②：因为11153sinsin22224ABCAASbADcAD=+=△，所以可解得158AD=．选③：因为11153sinsin22224ABCAASb

ADcAD=+=△，所以可解得158AD=．18．已知数列na是首项为1，公差不为0的等差数列，且139,,aaa成等比数列，数列nb满足3lognnba=.(1)求数列nb的前n项和nS；(2)

若()()12312nnTnbnbnbb=+−+−++，证明：()23nnnTSa=−.【答案】(1)1332n+−(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由条件解出na的通项公式，得出nb后求和（2）由错位相减法求nT后证明(1)设数列

na公差为d，由题意2(12)18dd+=+，又0d，解得1d=故nan=，3nnb=，nb是首项为3，公比为3的等比数列13(13)33132nnnS+−−==−(2)()()23313233nnTnnn=+−+−

++()()23413313233nnTnnn+=+−+−++两式相减得1123139233(333)332nnnnnTnn+++−−=−−+++=−−11392332nnnTn++−=−++()113

933()3323232nnnnSann++−−==−−−故()23nnnTSa=−，得证19．随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2020年共有10000名考生参加了中

小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩x)40,50)50,60)60,70)70,80)80,9090,100人数51025302010(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，

若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；(2)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率

都是34，答对最后一题的概率为710，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．【答案】(1)4987(2)分布列见解析，7310【解析】【分析】（1）求出随机抽取2人的方法数和至少有1人笔试成绩为优秀的方法数后概

率公式计算；（2）由题意考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10．分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．(1)由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共30人，其中成绩优秀10人．∴1122010102304987CCCPC+==．(2)考生甲的总得分Y的

所有可能取值为0，3，4，6，7，10．2133(0)()410160PY===，12313189(3)()()441016080PYC====，2177(4)()410160PY===，23327(6)()410160P

Y===，123174221(7)()()441016080PYC====，23763(10)()410160PY===，Y的分布列为：Y0346710P3160980716027160218063160277811476373()804080801610EY=

++++=．20．如图，已知三棱台111ABCABC−中，二面角1AACB−−的大小为60，点1A在平面ABC内的射影D在BC上，14AAAB==，130AAC=，90BAC=．(1)证明：AC⊥平面11ABD；(2)求直线1AB与平面11ACCA所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(

2)63【解析】【分析】（1）过D作//DEAB交AC于E，连1AE，则四点1A、1B、D、E共面，通过证明ACDE⊥、1ADAC⊥可证AC⊥平面11ABD；（2）以E为原点，,EDEC分别为,xy轴，过E且与1DA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的

向量公式计算可得结果.(1)过D作//DEAB交AC于E，连1AE，因为在三棱台111ABCABC−中，11//ABAB，所以11//DEAB，所以四点1A、1B、D、E共面，因为90BAC=，所以ACAB⊥，所以AC

DE⊥，因为点1A在平面ABC内的射影D在BC上，所以1AD⊥平面ABC，因为AC平面ABC，所以1ADAC⊥，因为1ADDED=，所以AC⊥平面11ABDE，即AC⊥平面11ABD.(2)由（1）可知，

AC⊥平面11ABD，又1AE平面11ABD，所以1AEAC⊥，结合DEAC⊥可知，1AED是二面角1AACB−−的平面角，所以1AED60=，在直角三角形1AEA中，14AA=，130AAC=，所以11122AEAA==，AE23=，在直角三角形1ADE中

，有1112DEAE==，13AD=，以E为原点，,EDEC分别为,xy轴，过E且与1DA平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,0)E，(0,23,0)A−，(4,23,0)B−，1(1,0,3)A

，所以1(3,23,3)AB=−−，1(1,23,3)AA=−−−，(0,23,0)EA=−，设平面11ACCA的一个法向量为(,,)nxyz=，则100nAAnAE==，所以2330230xyzy−−

−=−=，得030yxz=−−=，令1z=，则3x=−，所以(3,0,1)n=−，所以直线1AB与平面11ACCA所成角的正弦值为1|cos,|nAB11||||||nABnAB=333||313123−−=+

++4363232==.21．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且OPM（O为坐标原点）的面积为32．(1)求椭圆C的标准方

程；(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为94−．①证明：直线l过定点．②求点P到直线l距离的最大值．【答案】(1)22143xy+=；(2)①证明见解析；②

854.【解析】【分析】（1）由题可得21212322ceabca===，即得；（2）设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线PA，PB的斜率之积，由题意可得参数的值，即求出直线l过的定点的坐标，进而求出P到直线l

的距离的最大值．(1)由题意可得2(,)bPca，所以由题意可得21212322ceabca===且222cab=−，解得24a=，23b=，所以椭圆的方程为：22143xy+=；(2)设点()11,Axy，()22,Bxy，由（1）

易求得31,2P．当直线l的斜率不存在时，设其方程为0xx=（022x−且01x），联立022143xxxy=+=，得022,31.4xxxy==−因为12012,,xxxyy===−所以121233922114PAPBy

ykkxx−−==−−−，即2002310xx−+=．解得012x=或01x=（舍），此时点P到直线l的距离为12；当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm=+，联立22,1,43ykxmxy=++=消去y并整理得()222348412

0kxkmxm+++−=，则()()()222212122284344120,8412,.3434kmkmkmmxxxxkk=−+−−+=−=++所以121233922114PAPByykk

xx−−==−−−，即()()121233911224yyxx−−=−−−，所以()()121233911224kxmkxmxx+−+−=−−−，即()22121

293939042424kxxkmxxm++−−++−+=，整理得229243602kmmkm+−+−=．即()324302kmkm+−++=，所以302km+−=

或2430km++=．若302km+−=，则直线l的方程为()312ykx−=−．所以直线l过定点31,2N，不合题意．若2430km++=，则直线l的方程为3142ykx+=−，所以直线l过定点1

3,24Q−，又因为221324143−+，所以点Q在椭圆C内，设点P到直线l的距离为d，所以22max133851122442dPQ==−+−−=．所以点

P到直线l距离的最大值为854，综上，直线l过定点13,24−，点P到直线l距离的最大值为854.22．已知函数()()2e1=−+xfxaxx（aR，e为自然对数的底数）．(1)若()fx在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；

(2)讨论函数()fx的单调性；(3)当21ea时，求证：()2ln2xxfxx−−−．【答案】(1)1a=(2)答案见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；（2）由于()()(1)e2xfxxa=+−，令(

)0fx=，得1x=−或2lnxa=，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明.(1)()()(1)e2xfxxa=+−，则(0)2fa=−，由已知(2)1aa−=−，解得1a=(2)(

)()(1)e2xfxxa=+−（ⅰ）当0a时，e20xa−，所以()01fxx−，()01fxx−，则()fx在(,1)−−上单调递增，在(1,)−+上单调递减；（ⅱ）当0a时，令e

20xa−=，得2lnxa=，①02ea时，2ln1a−，所以()01fxx−或2lnxa，()012lnafxx−，则()fx在(,1)−−上单调递增，在21,lna−上单调递减，在2ln,a

+上单调递增；②2ea=时，()1()2(1)e10xfxx+=+−，则()fx在(,)−+上单调递增；③2ea时，2ln1a−，所以2ln()0xafx或1x−，2ln()01fxax−，则()fx在2,lna−

上单调递增，在2ln,1a−上单调递减，在(1,)−+上单调递增．综上，0a时，()fx在(,1)−−上单调递增，在(1,)−+上单调递减；02ea时，()fx在(,1)−−上单调递增，在21,lna−上单调递减，在2ln,a+上单调递增

；2ea=时，()fx在(,)−+上单调递增；2ea时，()fx在2,lna−上单调递增，在2ln,1a−上单调递减，在(1,)−+上单调递增．(3)方法一：2()ln2(0)fxxxxx−−−等价于eln10(0)xaxxxx−

−+当21ea时，2eln1eln1(0)xxaxxxxxxx−−−+−−+令221()eln1,()(1)exxgxxxxgxxx−−=−−+=+−令21()exhxx−=−，则()hx在区间(0,)+上单调递增∵11(1)1

0,(2)02hhe=−=，∴存在0(1,2)x，使得()00hx=，即020001e,2lnxxxx−=−=−当()00,xx时，()0gx，则()gx在()00,x上单调递减，当()0,xx+

时，()0gx，则()gx在()0,x+上单调递增∴()02min000000001()eln1210xgxgxxxxxxxx−==−−+=+−−+=∴()0gx，故2()ln2fxxxx−−−方法二

：当21ae时，2eln1eln1(0)xxaxxxxxxx−−−+−−+2ln2()eln1e(ln2)1xxxgxxxxxx−+−=−−+=−+−−令ln2txx=+−，则tR，令()e1tktt=−−，则()e1tkt=−当0t

时，()0kt；当0t时，()0kt∴()kt在区间(,0)−上单调递减，(0,)+上单调递增．∴()(0)0ktk=，即()0gx∴2()ln2fxxxx−−−，【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类

讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用.