【文档说明】宁夏吴忠中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(14)页，827.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年宁夏吴忠中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，集合B＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，则A∩B＝（）A．（﹣3

，1]B．[﹣2，3）C．（﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣1]2．设A（1，1，﹣2），B（3，2，8），C（0，1，0），C关于面xOz对称的点为D，则线段AB的中点P到点D的距离为（）A．B．C．D．3．已知m，n是空间中两条

不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α4．已知角α终边过点（3，1），则＝（）A．2B．﹣2C．1D．5．以点（3，﹣1）为

圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝206．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大

值为2B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）为奇函数7．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．已知圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1上一点P到直线3x﹣4y﹣3＝0的距离为d，则d的最小值

与最大值的差为（）A．B．C．1D．﹣29．已知sin（π+α）+3cos（﹣α）＝0，则sin2α＝（）A．B．C．D．10．点P（4，﹣2）与圆x2+y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4C．（x+

4）2+（y﹣2）2＝1D．（x+2）2+（y﹣1）2＝111．直线y＝kx+2与圆x2+y2+2x＝0只在第二象限有公共点，则实数k的取值范围为（）A．[，1]B．[，1）C．[，+∞）D．（﹣∞，1）12．点M是三角形ABC所在

平面上一点，且满足，则三角形ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知向量，若，则＝．14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方

体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上四个命题中，正确命题的序号是．15．已知圆A：x2+y2﹣2ax＝0（a＞0）被直线x+y﹣2＝0截得的线段长为，则圆A与圆B：x2+y2+4x+4y﹣5＝

0的位置关系是．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AC＝＝2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）直线l经过两直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝

0的交点，且直线l与直线3x+y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；（2）已知以C（4，﹣3）为圆心的圆与圆O：x2+y2＝1相切，求圆C的方程．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC

；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；（3）当PA＝AB＝2，∠ABC＝时，求三棱锥C﹣PBD的体积．19．已知向量．（1）若时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）若，，求的值．20．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所

在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．21．已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）．（

Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．22．在平面直角坐标系xoy中，直线l1：y＝2x﹣4，l2：y＝x﹣1，设圆C的半径为1，圆心

在l1上．（Ⅰ）若圆心C也在直线l2上，①求圆C的方程；②过点A（2，0）作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆在直线l2截得的弦长为，求圆C的方程．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，集合B＝{x|

x2﹣3x﹣4≥0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，1]B．[﹣2，3）C．（﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣1]解：∵集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，集合B＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥4}，∴A∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣1}＝（﹣3，﹣1]．故选：D．2．设A（1，1，﹣2），B（

3，2，8），C（0，1，0），C关于面xOz对称的点为D，则线段AB的中点P到点D的距离为（）A．B．C．D．解：C（0，1，0）关于xoz对称的点的坐标为E（0，﹣1，0），由于A（1，1，﹣2），B（

3，2，8），所以中点P（2，，3），所以|EP|＝＝，故选：D．3．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD

．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α解：不妨设α∩β＝l，对于A，若m⊂α且m∥l，则m∥β，故A错误；对于B，若m，n与l相交且不垂直，交点分别为M，N，显然m与n不一定垂直，故B错误；对于C，若m⊥β，则m⊂α或m∥α，又m⊄α，故m∥α，故C正确；对于D，由面面垂直的性质

可知当n⊂β时才有n⊥α，故D错误．故选：C．4．已知角α终边过点（3，1），则＝（）A．2B．﹣2C．1D．解：角α终边过点（3，1），所以tanα＝＝，所以＝＝＝2．故选：A．5．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣

3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝20解：r＝＝，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10．故选：B．6．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大

值为2B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）为奇函数解：∵＝sin（+），∴f（x）的最小正周期为4π，最大值为，故A，B错误；当x＝π时，f（x）＝sin（+）＝﹣，是最值

，故f（x）的图象关于直线对称，故C正确；f（﹣x）＝sin（﹣+）＝﹣sin（﹣）≠﹣f（x），故f（x）不是奇函数，故D错误．故选：C．7．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．解：∵（﹣）⊥，∴＝，∴＝＝，∵，∴．故选

：B．8．已知圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1上一点P到直线3x﹣4y﹣3＝0的距离为d，则d的最小值与最大值的差为（）A．B．C．1D．﹣2解：圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的圆心坐标为（1，﹣2），半径为

1，圆心到直线3x﹣4y﹣3＝0的距离为＞1，∴圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1上一点P到直线3x﹣4y﹣3＝0的距离d的最小值为，最大值为，则d的最小值与最大值的差为．故选：D．9．已知sin（π+α）+3cos（﹣α）＝

0，则sin2α＝（）A．B．C．D．解：因为sin（π+α）+3cos（﹣α）＝0，所以﹣sinα+3cosα＝0，可得sinα＝3cosα，即tanα＝3，则sin2α＝＝＝＝．故选：B．10．点P（4，﹣2）与圆x2+y

2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4C．（x+4）2+（y﹣2）2＝1D．（x+2）2+（y﹣1）2＝1解：设圆上任意一点为（x1，y1），中

点为（x，y），则代入x2+y2＝4得（2x﹣4）2+（2y+2）2＝4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2＝1．故选：A．11．直线y＝kx+2与圆x2+y2+2x＝0只在第二象限有公共点，则实数k的取值范围为（）A．[，1]B．[

，1）C．[，+∞）D．（﹣∞，1）解：∵直线y＝kx+2与圆x2+y2+2x＝0只在第二象限有公共点如图所示：∴实数k的取值范围为[，1）故选：B．12．点M是三角形ABC所在平面上一点，且满足，则三角形ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角

形C．钝角三角形D．不能确定解：因为，整理得（﹣+﹣）•（﹣）＝0，则（+）•（﹣）＝0，则||＝||，故△ABC为等腰三角形．故选：A．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知向量，若，则＝．解：∵，∴﹣2m﹣（2m﹣1）＝0，解得m＝，∴，∴，∴．故答案为：．14

．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上四个命题中，正确命题的序号是①③．解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则AB

⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．故答案为①③15．已知圆A：x2+y2﹣2ax＝0（a＞0）被直线x+y﹣2＝0截得的线段长为，则圆A与圆B：x2+y2+4x+4y﹣5＝0的位置关系是相交．解：由圆A：x2+y2﹣2a

x＝0，得（x﹣a）2+y2＝a2（a＞0），圆心坐标为（a，0），半径为a，圆心到直线x+y﹣2＝0的距离d＝，∵圆A：x2+y2﹣2ax＝0（a＞0）被直线x+y﹣2＝0截得的线段长为，∴＝，解得a＝﹣5（舍去）或a＝1．则圆A的圆心坐标为（1，

0），半径为1，而圆B：x2+y2+4x+4y﹣5＝0为（x+2）2+（y+2）2＝13，圆心为（﹣2，﹣2），半径为，∵|AB|＝，且＜|AB|＜，∴圆A与圆B：x2+y2+4x+4y﹣5＝0的位置关系是相交．故答案为：相交．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且A

C＝＝2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为8π．解：因为AC＝AC＝＝2，可得底面△ABC为直角三角形，再由侧棱垂直于底面，可此直三棱柱放在长方体中，由题意可得过同一顶点的三条棱长分别为：1，，2，设外接球的半径为R，则（2R）2＝12+（）2+22＝8，即4

R2＝8，所以外接球的表面积S＝4πR2＝8π，故答案为：8π．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）直线l经过两直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点，且直线l与直线3x+y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；（2）已知以C

（4，﹣3）为圆心的圆与圆O：x2+y2＝1相切，求圆C的方程．解：（1）联立，解得交点为（﹣2，2），又直线l与直线3x+y﹣1＝0垂直，∴直线l的斜率为，则直线l的方程为y﹣2＝（x+2），即x﹣3y+

8＝0；（2）圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），|OC|＝．若两圆内切，则圆C的半径为5﹣1＝4，则圆C的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝16；若两圆外切，则圆C的半径为5+1＝6，则圆的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝36．∴圆C

的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝16或（x﹣4）2+（y+3）2＝36．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；（3）当PA＝

AB＝2，∠ABC＝时，求三棱锥C﹣PBD的体积．【解答】（1）证明：如图，设AC与BD的交点为O，连接OE，∵E为PD的中点，∴OE∥PB，∵OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC；（2）证明：∵PA⊥平面ABC

D，∴PA⊥BD，∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD；（3）解：∵O为AC的中点，∴VC﹣PBD＝VA﹣PBD，∵PA＝AB＝2，∠ABC＝，∴

×．∴三棱锥C﹣PBD的体积为．19．已知向量．（1）若时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）若，，求的值．解：（1）由向量，且得：……①，所以⇒．再将①式代入sin2x+cos2x＝1得：．故cos2x﹣sin2x＝．（2）＝＝，所以，即．因为，所以，所以cos2x＝．所以sin＝s

in2xcos+cos2x＝＝．20．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【解答】（1）证明：矩形

ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦所在平面，CM⊂半圆弦所在平面，∴CM⊥AD，M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD＝D，∴CM⊥平面AMD，CM⊂平面CMB，∴平面AMD⊥平面BMC；（2）解：存在P是

AM的中点，理由：连接BD、AC交于O，取AM的中点P，连接OP，连接PD，PB，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，所以MC∥平面PBD．21．已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．解：（1）由f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）＝（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）

所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）＝2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）＝1，f（）＝2，f（）＝﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小

值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）＝2sin（2x0+）又因为f（x0）＝，所以sin（2x0+）＝由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）＝﹣＝﹣．所以cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]＝cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin＝．22．在平面直角

坐标系xoy中，直线l1：y＝2x﹣4，l2：y＝x﹣1，设圆C的半径为1，圆心在l1上．（Ⅰ）若圆心C也在直线l2上，①求圆C的方程；②过点A（2，0）作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆在直线l2截得的

弦长为，求圆C的方程．解：（Ⅰ）①由题设，圆心C是直线y＝2x﹣4，y＝x﹣1的交点，解得点C（3，2）．所以圆的方程是（x﹣3）2+（x﹣2）2＝1，②由题可知，若切线的斜率不存在，直线x＝2是圆C的切线若切线的斜率存在，设其斜率为k，设切

线方程为y＝k（x﹣2），所以，解得，即3x﹣4y﹣6＝0．综上所求切线方程为y＝2和3x﹣4y﹣6＝0；（Ⅱ）因为圆心在直线l1上，所以设圆心C的坐标为（a，2a﹣4）因为圆在直线l2截得的弦长为，则半弦长为，且半径为1，所以圆心C到直线l2

的距离为，即，所以|3﹣a|＝1，截得a＝4或a＝2，所以圆心分别为（4，4），（2，0）所以所求圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝1或（x﹣2）2+y2＝1．