【文档说明】山东省临沂市第四中学2020-2021学年高二12月月考数学试题 含解析.doc，共(21)页，1.598 MB，由小赞的店铺上传

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临沂四中高二年级12月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A.1或3B.4C.1D.1或4————C

分析：根据斜率公式求m.解答：412PQmkm−==−−，解得：1m=.故选：C2.向量(2,1,),(2,,1)axby==−，若5a=，且ab⊥，则xy+的值为（）A.1−B.1C.4−D.4————C分析：根据5a=r

求出x的值，再根据ab⊥得出0ab=，列方程求出y的值，即可计算xy+的值．解答：解：向量(2,1,)ax=，若5a=r，则222215x++=，解得0x=；又向量(2,,1)by=−，且ab⊥，则40

0aby=++=，解得4y=−；所以4xy+=−．故选：C．点拨：本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题．3.在等差数列{}na中，nS为前n项和，7825aa=+，则11S=A.55B.11C.50D.60

————A解答：由111786116()1125,511552aaaaaSa+=+====，.故选：A.4.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物

线的焦点到准线的距离为（）A.28ahB.24ahC.22ahD.2ah————A分析：根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy，则抛物线的顶点坐标是（0，0），并且过,2ah−，利用待定系数法求p即可．解答：以桥顶为坐

标原点，桥形的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy，结合题意可知，该抛物线()220xpyp=−经过点,2ah−，则224ahp=，解得28aph=，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为28aph=.故选A．点拨：本题考查抛物线的简单性质的应用，涉

及了待定系数法求抛物线解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．5.在公差不为零的等差数列na中，1a，3a，7a依次成等比数列，前7项和为35，则数列na的通项na等于（）A.nB.1n

+C.21n−D.21n+————B分析：根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式.解答：由题意得，等差数列na中，1a，3a，7a依次成等比数列，故2317aaa=，则()()211126adaad+=+，故12ad=，①又数列7项和为35，则17673

52da+=，②，联立①②解得：1d=，12a=，故()211nann=+−=+，故选：B.点拨：本题考查等差数列和等比数列的性质，公式，重点考查计算能力，属于基础题型.6.【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线22221(0,0)xyab

ab−=的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A.221412xy−=B.221124xy−=C.2213xy−=D.2213yx−=—

———D解答：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan603ccabba==+==，解得：221,3ab==，双曲线方程为：2213yx−=.本题选择D选项.【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利

用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,abc的方程，解方程组求出,ab，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mxnymn−=，

（2）与22221xyab−=共渐近线的双曲线可设为2222(0)xyab−=，（3）等轴双曲线可设为22(0)xy−=等，均为待定系数法求标准方程.7.点P是直线30xy+−=上的动点，由点P向圆22

:4Oxy+=作切线，则切线长的最小值为（）A.22B.322C.22D.12————C解答：分析：由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P到圆的距离最小，求出圆心到直线30

xy+−=的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．详解：∵圆22:4Oxy+=，∴圆心00O（，），半径1r=．由题意可知，点P到圆22:4Oxy+=的切线长最小时，OP⊥直线30xy+−=．∵圆心到直线的距离322d=，∴切线长的最小值为1

82442−=．故选C．点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．8.已知12,FF是两个定点，点P是以1F和2F

为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且12PFPF⊥，记1e和2e分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A.22122ee+=B.22124ee+=C.2212114ee+=D.2212112ee+=————D解

答：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上由双曲线的定义122PFPFm−=①由椭圆的定义12||2PFPFa+=②又01290FPF=，故22212

||4?PFPFc+=③22+①②得222212||22PFPFam+=+④将④代入③得2222amc+=，即2222112ccam+＝，即2212112ee+=故选D点拨：本题考查圆锥曲线的共同特征，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程．二、多项选择题：本题共

4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.过11(,)xy，22(,)xy两点的直线方程为112121yyxxyyxx−−=−−B.点(0,2)

关于直线1yx=+的对称点为(1,1)C.直线20xy−−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=————BC分析：运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐

标轴上的截距可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误．解答：对于A：当12xx，12yy时，过11(,)xy，22(,)xy两点的直线方程为112121yyxxyyxx−−=−−，故A不正确；对于B：点(0,2)与(1,1)的中点坐标1322

，，满足直线方程1yx=+,并且两点的斜率为：−1,所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)，所以B正确；对于C：直线20xy−−=在两坐标轴上的截距分别为：2,−2,直线20xy−−=与坐标轴围成的三角形的面积是12222

=，所以C正确；对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x，所以D不正确；故选：BC.点拨：本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为0

的情况，属于基础题．10.在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A.q＝1B.数列{Sn+2}是等比数列C.S8＝510D.数列{

lgan}是公差为2的等差数列————BC分析：先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．解答：由题意，根据等比中项的性质，可得a2a

3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0．根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．故必有公比q＞0，∴a12aq=＞0．∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1．∴

a2＝4，a3＝8满足题意．∴q＝2，a12aq==2．故选项A不正确．an＝a1•qn﹣1＝2n．∵Sn()21212n−==−2n+1﹣2．∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1．∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．S8＝28+

1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．∵lgan＝lg2n＝n．∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确．故选：BC点拨：本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.如图，设E，F

分别是正方体1111ABCDABCD−的棱DC上两点，且2AB=，1EF=，其中正确的命题为（）A.三棱锥11DBEF−的体积为定值B.异面直线11DB与EF所成的角为60C.11DB⊥平面1BEFD.直线11DB与平面1BEF所成的角为30°————AD分析：A.利用

1111DBEFBDEFVV−−=，三棱锥11DBEF−的体积为定值，正确B.利用平移法找异面直线所成的角，11//EFDC，11DB和11DC所成的角为45，所以异面直线11DB与EF所成的角为45，故B错误C.若11DB⊥平面1BEF，则线

11DB与EF所成的角为90，而异面直线11DB与EF所成的角为45，故C错误D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面1BEF的一个法向量，再求平面1BEF的一个法向量和11DB的方向向量的夹角，正确解

答：解：对于A，111111131111212232323DBEFBDEFDEFVVSBCEFDD−−=====V故三棱锥11DBEF−的体积为定值，故A正确对于B，11//EFDC，11DB和11DC所成的角为45，异面直线11DB与EF所成的角为45，故B错误对于C，若1

1DB⊥平面1BEF，则11DB⊥直线EF，即异面直线11DB与EF所成的角为90，故C错误对于D，以D为坐标原点，分布以1,,DADCDD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设()0,,0Ea，则()0,1+,0Fa，()12,2,2B，()10,0,2D()()()1112,2

,2,0,1,0,2,2,0EBaEFDB=−==设平面1BEF的法向量为(),,,nxyz=则()()()()1,,2,2,20,,0,1,00nEBxyzanEFxyz=−===，即00yx

z=+=令1z=−，则()1,0,1n=−()()1111111,0,12,2,01cos,2222nDBnDBnDB−===11,60nDB=所以直线11DB与平面1BEF所成的角为30°，正确故选：AD点拨：以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥

的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题.12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨

道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等

于常数2(1)aa的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称C.曲线C关于坐标轴对称D.若点在曲线C上，则12FPF的面积不大于212a————BCD分析：动点坐标为(),xy，根据题意可得曲

线C的方程为()()2222411xyxya++−+=，对各个选项逐一验证，即可得出结论．解答：由题意设动点坐标为(),xy，则22222(1)(1)xyxya++−+=，即22224(1)(1)xyxya++−+=，若曲线C过坐标原点()0,0，将点

()0,0代入曲线C的方程中可得21a=与已知1a矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中的x被x−代换，y被y−代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的x被x−代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被

y−代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则212PFPFa=，122121211sin22FPFSPFPFFPFa=，当且仅当1290FPF=时等号成立，故12FPF△的面积不大于212a，故D正

确.故选：BCD.点拨：关键点点睛：本题考查圆锥曲线新定义，轨迹方程的求法，关键是读懂题意，并能正确运用新定义是解题的关键，属于中档题型.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.等差数列{}na中，1

4736939,27aaaaaa++=++=，则数列前9项的和9S等于______________．————99解答：分析：由等差数列的性质可求得a4，=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．详解：：∵在等差数列{an}中，a1+a4+a7=3

9，a3+a6+a9=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，，∴数列{an}的前9项之和1999()2299922aaS+===故答案为99.点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题

．14.已知抛物线24yx=上一点P到准线的距离为1d，到直线l：43160xy−+=为2d，则12dd+的最小值为_______.————4分析：利用抛物线的定义转化1PFd=，再结合图象，利用数形结合分析12dd+的最小值.解答：如图，点P是抛物线

上任一点，根据抛物线的定义可知1dPF=，所以122ddPFd+=+，由图可知，2PFd+的最小值是点F到直线43160xy−+=的距离，()1,0F到直线:43160lxy−+=的距离22416443d+==+，所以12dd+的最小值为4.故答案为：415.

已知数列{}na的前n项和21nSn=+，则数列{}na的通项公式是______.————2,121,2*nnannnN==−且分析：1n=时,112aS==,利用2n时,1nnnaSS−=−可得21nan=−,最后验证1n=是否满足上式

,不满足时候,要写成分段函数的形式.解答：当1n=时,112aS==,当2n时,1nnnaSS−=−=221(1)121nnn+−−−=−,又1n=时,12111naa==−=不适合,所以2,121,2nnann==−.点拨：本题考查了由nS求na,注意使用1nnnaSS−=−求n

a时的条件是2n,所以求出na后还要验证na适不适合1n=,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题.16.已知半径为5的动圆C的圆心在直线:100lxy−+=上.若动圆C过点()5,0−，求圆C的方程___________，存在正实

数r=___________，使得动圆C中满足与圆222:Oxyr+=相外切的圆有且仅有一个.————(1).()221025xy++=或()()225525xy++−=(2).525−分析：由题意设动圆C的方程为：()()2225xayb−+−=，圆心(),ab满足100a

b−+=，动圆过点()5,0−，则()()225025ab−−+−=，可求出圆的方程；由圆O的圆心()0,0到直线l的距离105211d==+，当5rd+=时满足条件..解答：依题意，可设动圆C的方程为：()()2225xayb−+−=其中圆心()

,ab满足100ab−+=.又动圆过点()5,0−，()()225025ab−−+−=，解方程组()()221005025abab−+=−−+−=，可得100ab=−=或55ab=−

=，故所求圆C的方程为：()221025xy++=或()()225525xy++−=.由圆O的圆心()0,0到直线l的距离105211d==+，当满足5rd+=时，即525r=−时，动圆C中有且仅有1个圆与圆222:Oxyr+=相外

切.故答案为：()221025xy++=或()()225525xy++−=；525−点拨：本题考查求圆的方程，考查两圆的位置关系，属于中档题.三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l

2：x﹣y+a=0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1∥l2，求a的值及直线l1与l2的距离．————（1）2，（，）；（2）﹣2，解答：试题分析：（1）由垂直可得a×1+2×（﹣1）=0，解得a值可得直线的方程，联立方程可解交点坐标；

（2）当直线l1∥l2时，，解得a值可得直线的方程，由平行线间的距离公式可得答案．解：（1）∵直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0，当直线l1⊥l2时，a×1+2×（﹣1）=0，解得a=2，∴l1：2x+2y+1

=0，直线l2：x﹣y+2=0，联立解得∴a的值为2，垂足P的坐标为（，）；（2）当直线l1∥l2时，，解得a=﹣2，∴l1：﹣2x+2y+1=0，直线l2：﹣2x+2y+4=0，由平行线间的距离公式可得d==∴a的值为﹣2，直线l1与l2

的距离为考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．18.已知抛物线C：22ypx=()0p上的点M()1,m到其焦点F的距离为2.（1）求C的方程；并求其焦点坐标；（2）过点()2,0且斜率为1的直线l交抛物线

于A，B两点，求弦AB的长.————（1）抛物线C的方程为24yx=；焦点坐标为()1,0；（2）46.分析：（1）根据已知求出p的值即得解；（2）由题得直线l方程为2yx=−，再联立直线和抛物线的方程，利用弦长公式求解.解答：（1）抛物线22ypx=()0p的标准方程为

2px=−，由抛物线的定义可知：122pMF=−−=，解得2p=，因此，抛物线C的方程为24yx=，焦点坐标为()1,0；（2）直线l方程为2yx=−，由242yxyx==−得2840xx−+=，设()11,Axy，()22,Bxy，则

128xx+=，124xx=，22121281646ABkxx=+−=−=.点拨：方法点睛：求抛物线的弦长，一般先联立直线和抛物线的方程，再利用弦长公式212||1||ABkxx=+−求解.19.已知{}na是各项均

为正数的等比数列，1322,216aaa==+.（1）求{}na的通项公式；（2）设2lognnba=，求数列{}nb的前n项和.————（1）212nna−=；（2）2nSn=.分析：(1)本题首先可以根据数列na是等比数列将3a转化为21aq

，2a转化为1aq，再然后将其带入32216aa=+中，并根据数列na是各项均为正数以及12a=即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列na的通项公式以及对数的相关性质计算出数列nb的通项公式，再通过数列nb的

通项公式得知数列nb是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．解答：(1)因为数列na是各项均为正数的等比数列，32216aa=+，12a=，所以令数列na的公比为q，2231=2aaqq=，2

12aaqq==，所以22416qq=+，解得2q=−(舍去)或4，所以数列na是首项为2、公比为4的等比数列，121242nnna−−==．(2)因为2lognnba=，所以21nbn=−，+121nbn=+，12nnbb+-=，

所以数列nb是首项为1、公差为2的等差数列，21212nnSnn+-=?．点拨：本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．20.从社会效益和经济效益出发，某地

投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(本年度

为第一年)总投入为na万元，旅游业总收入为nb万元，写出,nnab的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？————(1)4400015nna=−，5160014n

nb=−；(2)至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.分析：(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，可得nb－na＞0，结合（1）可得541600410001045nn

−−−，解得4255n，进而可得结果.解答：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为na=800+800×(1－

)+…+800×(1－)n－1=4115800415n−−=4000×［1－()n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入

为nb=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1=5114800514n−−=1600×［()n－1］(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此nb－na＞0，即：1600

×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.点拨：本题主要考查阅读能力及建模能力、等比数列的求和公式，属于难题.与

实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ABCD，ABAD⊥，PA⊥底面ABCD，E为BP的

中点，2AB=，1PAADCD===.（1）证明：//EC平面PAD；（2）求二面角EACP−−的正弦值.————（1）证明见解析；（2）63.分析：(1)将线面平行转化为线线平行证明；作辅助线,取AP的中点F，连EF，DF,证明//ECFD即可；（2）根据题目可知PA、PB、PD两两垂直，可建

立空间直角坐标系，利用平面法向量求解出二面角EACP−−的余弦值，进一步求解出正弦值.解答：（1）证明：如图，取AP的中点F，连EF，DF，∵BEPE=，PFAF=，∴11//,22EFABEFAB=∵在直角梯形AB

CD中，∴11//,22CDABCDAB=，∴//,CDEFCDEF=，∴四边形EFDC为平行四边形，∴//ECFD∵DF平面PAD，EC平面PAD，//ECFD，∴//EC平面PAD，（2）∵PA⊥平面ABCD，ABAD

⊥，∴AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标如下：(0,0,0)A，(0,0,1)P，(1,1,0)C，(2,0,0)B，11,0,2E设平面APC的法向量

为(),,mxyz=由(0,0,1)AP=，(1,1,0)AC=，有00APmzACmxy===+=,取1x=，则1y=−，0z=，即(1,1,0)m=−设平面EAC的法向量为(),,nabc=由(1,1,0)AC=，11,

0,2AE=，有0102ACnabAEnac=+==+=，取1x=，则1y=−，2z=−，即(1,1,2)n=−−所以23cos,326mn==故二面角EACP−−的正弦值为16133−=.点拨：本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体

几何中求二面角的应用，属于中档题目，解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标，计算比较繁杂，对运算能力要求较高，需要准确计算.22.已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左

右焦点分别为12,FF，12||2FF=，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过12,FF的圆与直线2x=−相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于,MN两点.（ⅰ）若直线l的斜率等于1，求OMN面积的最大值；（ⅱ）若1OMON=−uuuuruuur，点D在l上，ODl⊥.证明：存在

定点W，使得||DW为定值.————（1）2212xy+=；（2）（ⅰ）22；（ⅱ）36.分析：（1）求出,,abc后可得椭圆的标准方程.（2）（ⅰ）设直线l的方程为：ykxt=+，()()1122,,,MxyNxy，联立直线方程和椭圆

方程，利用韦达定理、弦长公式可求面积表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.（ⅱ）利用韦达定理化简1OMON=−uuuuruuur可得33t=，从而可得D的轨迹为圆，故可证存在定点W，使得||DW为定值.解答：（1）由题

意知：1(1,0)F−，2(1,0)F，又()0,Pb，则以P为圆心且过12,FF的圆的半径为2a=，故2,1,1abc===，所以椭圆C的标准方程为：2212xy+=.（2）（ⅰ）设直线l的方程为：yxt=+，

()()1122,,,MxyNxy将yxt=+代入2212xy+=得：2234220xtxt++−=，所以21212422,33ttxxxx−+=−=且()2221612222480ttt=−−=−，故33t−.又2212121243||2||2()

43tABxxxxxx−=−=+−=，点O到直线l的距离2||||211ttd==+，所以222221||432232(3)()2333222AOBttttStt−+−==−=，等号当仅当223

tt=−时取，即当62t=时，OMN的面积取最大值为22.（ⅱ）显然直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：ykxt=+，()()1122,,,MxyNxy，由（ⅰ）知：2121222422,,1212kttxxxxkk−+=−=++所以22221212121222()()()12tkyykx

tkxtkxxktxxtk−=++=+++=+，所以2212122322112tkOMONxxyyk−−=+==−+，解得213t=，33t=，直线过定点30,3Z或3(0,)3−，所以D在以OZ为直径的圆

上，该圆的圆心为30,6W或30,6−，半径等于36，所以存在定点30,6W或30,6−，使得||DW为定值36.点拨：方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直

线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,xxxx+或1212,yyyy+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量

的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.