【文档说明】广东省佛山市2020届高三教学质量检测（二模考试）数学（理）试题【精准解析】.doc，共(28)页，2.387 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2019~2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）高三数学（理科）试题2020年5月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B

铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目旨定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ

卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|2Axxx=，|13Bxx=，则AB=（）A.|01xxB.0xx或1xC.|23xx

D.1xx或3x【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合A，根据并集的概念即可得出结果.【详解】∵222Axxxxx==或0x，|13Bxx=，∴AB=0xx或1x，故选：B.【点睛】本

题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间并集的运算，属于基础题.2.复数z满足()()21i3iz++=+，则z=（）A.1B.2C.3D.2-2-【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公

式计算得答案.【详解】因为复数z满足()()213zii++=+，∴()()()()313422221112iiiiziiii+−+−=−=−=−=−++−，则1z=，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题.3

.()101x−的二项展开式中，x的系数与4x的系数之差为（）A.220−B.90−C.90D.0【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出x的系数与4x的系数，再求其差即可.【详解】∵()101

x−的二项展开式中，通项公式为()21101rrrrTCx+=−，故x的系数与4x的系数之差为2810100CC−=，故选：D.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.4.设

变量,xy满足约束条件2030230xxyxy+−++−，则目标函数6zxy=+的最大值为()A.3B.4C.18D.40【答案】C【解析】-3-不等式20{30230xxyxy+−++−所表示的平面区域如下图所示，当

6zxy=+所表示直线经过点(0,3)B时，z有最大值18.考点：线性规划.5.设函数()()2sincoscos2fxxxx=++，则下列结论错误的是（）A.()fx的最小正周期为πB.()yfx=的图像关于直

线8x=对称C.()fx的最大值为21+D.()fx的一个零点为78x=【答案】D【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可根据()sinyAωxφ=+的图象与性质判断出各选项的真假.【详解】因为()()2sincoscos21sin2cos

212sin24fxxxxxxx=++=++=++，所以()fx的最小正周期为，()fx的最大值为21+，A、C正确；当8x=时，sin2184+=，所以()yfx=的图象关于直线8x=对称，B正确；-4-因为718f

=，所以78x=不是函数()fx的零点，D错误．故选：D.【点睛】本题主要考查利用二倍角公式，辅助角公式进行三角变换，以及函数()sinyAωxφ=+的图象与性质的应用，属于中档题.6.已知()33loglog2a=，()23log2b=，32log2c=，则（）A.abcB.ac

bC.cabD.bac【答案】A【解析】【分析】首先得出30log21，然后利用对数函数和指数函数的性质求解即可.【详解】∵30log21，∴()33loglog20，即0a，∴()230log21，即01b，∵332

log2log41c==，∴abc，故选：A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.7.已知点()3,2A−在抛物线C：22xpy=（0p）的准线上，过点A的

直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则BF=（）A.6B.8C.10D.12【答案】C【解析】【分析】由点()3,2A−在准线上可知p的值，从而确定抛物线的方程，设点B的坐标为2,8mm

，0m，通过对抛物线方程求导，可得点直线AB的斜率，再通过A、B两点的坐标也可求得-5-ABk，于是建立关于m的方程，解之可得m的值，最后利用抛物线的定义即可得解.【详解】抛物线()2:20

Cxpyp=的准线方程为2py=−，∵点()3,2A−在准线上，∴22p−=−即4p=，抛物线的方程为28xy=，即218yx=，设点B的坐标为2,8mm，0m，对218yx=求导可得，14yx=，∴直线AB的斜

率为14m，由()3,2A−、2,8mBm，可知221843ABmkmm=+−=，解之得，8m=或2−（舍负），∴点()88B，，由抛物线的定义可知，48102BF=+=，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力

和运算能力，属于中档题.8.盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（）A.35B.79C.715D.3145【答案】A【解析】【分析】若取出的是红

色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：13925P=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：23759P=，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有

形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：13295152P==，-6-若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率

为：23775915P==，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155PPP=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.9.2

019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%.下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=(本期数-去年同期数)/去年同期数100%，环

比=(本期数-上期数)/上期数100%下列结论中不正确的是（）A.2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B.2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C.2019年全年居民消费价格比20

18年涨了2.5%以上D.2019年3月份的居民消费价格全年最低【答案】D【解析】【分析】根据已知中的图表，结合同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案.【详解】由折线图知：从2019年每月的环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在

增长，故A正确；-7-在B中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B正确；在C中，从2019年每月的同比增长率看，从4月份以后每月同比增长率都在2.5%以上，进而估计出

2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上，故C正确；在D中，不妨设1月份消费价格为a，故可得2月份价格为()11%1.01aa+=；同理可得3月份价格为()1.0110.4%1.00596aa−=；4月份价格为()1.0059610.1%1.00696596aa+=；5月份价格

和4月份价格相同；6月份价格为()1.0069659610.1%1.00595899404aa−=，而后面每个月都是增长的.故1月份的价格是最低的，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线

图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，属于基础题.10.已知P为双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）上一点，O为坐标原点，1F，2F为曲线C左右焦点.若2OPOF=，且

满足21tan3PFF=，则双曲线的离心率为（）A.52B.2C.102D.3【答案】C【解析】【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足2OPOF=，即有O为12PFF△外接圆的圆心，即有1290FPF=，运用勾股定理和双曲

线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到.【详解】点P在双曲线C的右支上，且满足2OPOF=，即有O为12PFF△外接圆的圆心，即有1290FPF=，由双曲线的定义可得122PFPFa−=，-8-∵21tan3PFF=，所以213PFPF=，则13P

Fa=，2PFa=，由2221212PFPFFF+=，即()22234aac+=，即有2252ca=，102e=，故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于中档题.11.已知A

，B，C是球O的球面上的三点，60AOBAOC==，若三棱锥OABC−体积的最大值为1，则球O的表面积为（）A.4B.9C.16D.20【答案】C【解析】【分析】作出草图，易得AOB和AOC△均为等边三角形，当面AOC⊥面AOB时，三棱锥O

ABC−的体积最大可求出球的半径R，进而可得球的表面积.【详解】设球的半径为R，如图所示，∵60AOBAOC==，∴AOB和AOC△均为等边三角形，边长为R，由图可得当面AOC⊥面AOB时，三棱锥O

ABC−的体积最大，此时311331132228VRRRR===，解得2R=，则球O的表面积为24216S==，-9-故选：C.【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算

能力，属于中档题.12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中,把到定点()1,0Fa−,()2,0Fa距离之积等于2a（0a）的点的轨迹称为双纽线C.已知点()00,Pxy是双纽线C上一点,下列说法中正

确的有（）①双纽线C关于原点O中心对称；②022aay−；③双纽线C上满足12PFPF=的点P有两个；④PO的最大值为2a.A.①②B.①②④C.②③④D.①③【答案】B【解析】【分析】对①,设动点(,)Cxy,把(,)xy关于原点对称的点(,)

xy−−代入轨迹方程,显然成立；对②,根据12PFF△的面积范围证明即可.对③,易得若12PFPF=则P在y轴上,再根据()00,Pxy的轨迹方程求解即可.对④,根据题中所给的定点()1,0Fa−,()2,0Fa距离之积等

于2a,再画图利用余弦定理分析12PFF△中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.【详解】对①,设动点(,)Cxy,由题可得C的轨迹方程22222[()][()]xayxaya-+?+=,把(,)xy关于原点对

称的点(,)xy−−代入轨迹方程显然成立.故①正确；对②,因为()00,Pxy,故12121212011||||sin||22PFFSPFPFFPFFFy==.-10-又212||||PFPFa=,所以2120sin2

aFPFay=,即012sin22aayFPF=,故022aay−.故②正确；对③,若12PFPF=则()00,Pxy在12FF的中垂线即y轴上.故此时00x=,代入22222[()][()]xayxaya-+?+=，可得00y=,即()0,0P,仅有一个.故③错误

；对④,因为12POFPOF+=,故12coscos0POFPOF+=,即222222112212||||||||||||02||||2||||OPOFPFOPOFPFOPOFOPOF+−+−+=,因为12||||OFOFa=

=,212||||PFPFa=故2222122||2||||OPaPFPF+=+.即()22212122||2||||2||||OPaPFPFPFPF+=−+,所以()22122||||||OPPFPF=−.又1212||||||2PFPFFFa

−=,当且仅当12,,PFF共线时取等号.故()()222122||||||2OPPFPFa=−,即22||2OPa,解得||2OPa.故④正确.故①②④正确.故选：B【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时

,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）-11-本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作

答.第22~23为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设命题p：()0,x+，21e12xx+，则p为___________.【答案】()00,x+，0201e12xx+【解析】【分析】根据全称命题的否定

是特称命题求解.【详解】因为命题p：()0,x+，21e12xx+，是全称命题，所以其否定是特称命题，即：()00,x+，0201e12xx+.故答案为：()00,x+，0201e12xx+.【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，所以基础题.

14.已知函数()()21sin12xxxfxx+++=，若()3fa=−，则()fa−=___________.【答案】4【解析】【分析】化简()fx成奇函数加一个常数的结构,再求解()()fxfx+−的值即可.【详解】由题,()()22

1sin1sin11222xxxxxxfxxx+++++==+,设()2sin12xxxgxx++=,则()()()()()()22sin1sin122xxxxxxgxgxxx−+−−+++−===−−−为奇函数.故()()()()

11122fxfxgxgx+−=++−+=.故()()14fafa−=−=.故答案为：4-12-【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用,需要将所给的函数分离出奇函数加常数的结构,再利用奇函数的性质求解.属于中档题.15.在面积为1的平行四边形ABCD中，6DAB=，则ABBC=__

_________；点P是直线AD上的动点，则22PBPCPBPC+−的最小值为___________.【答案】(1).3(2).3【解析】【分析】由平行四边形的面积为1可得2ABAD=，根据向量数量积的定义即可得出ABBC的值；由于222PBPCP

BPCBCPBPC+−=+，取BC的中点Q，连接PQ，则2PBPCPQ+=，()()2214PBPCPBPCPBPC=+−−，再利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】∵平行四边形ABCD的面积为1，即sin1ABADDAB=，∴2A

BAD=，故3cos232ABBCABBCDAB===.()2222PBPCPBPCPCPBPBPCBCPBPC+−=−+=+，取BC的中点Q，连接PQ，则2PBPCPQ+=，()()2214PBPCPBPCPBPC=+−−，∴()()2222

221344PBPCPBCPBPCBCBCPPQBC+−−=+++=22323334ABCDSBCPQBCPQ==四边形，此时PQBC⊥，32PQBC=，故答案为：3，3.-13-【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考

查了变形能力与计算能力，属于中档题.16.数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.

该小组在操场上选定A点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到B点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m，根据以

上数据可计算得该建筑物的高度约为___________米.（精确到0.1）参考数据：3sin375，sin5345【答案】31.6【解析】【分析】由题意画出简图，设CDh=，即可得43hBC、34hAC，

利用17.53ABBCAC==−即可得解.【详解】由题意画出简图，如图：-14-由题意可得53CAD=，37CBD=，101.75317.53AB==，所以sin37tantan37cos3734CBD==，sin53cos

37tantan53cos5433sin37CAD===，设CDh=，则在RtBCD中，4tan3CDhBCCBD=，在RtACD中，3tan4CDhACCAD=，所以717.5312ABBCACh−==，解得30.05h，所以该建筑的高度约为30.05

1.5531.6+=米.故答案为：31.6.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学模型，属于基础题.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列na的前n项和为nS（0nS），满足

1S，2S，3S−成等差数列，且123aaa=.（1）求数列na的通项公式；（2）设()()1311nnnnabaa+−=++，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）()2nna=−.（2）()()112221nnnT++−+=−−+【解析】【分析

】（1）设数列na的公比为q，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得-15-()()21121aqqaq−+=+、2211aqaq=，即可得解；（2）由题意()()1112121nnnb+=−−+−+，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）设数列na的公比为q，依题意得(

)1322SSS+−=，所以()()23122aaaa−+=+即()()21121aqqaq−+=+，因为10a，所以2320qq++=，解得1q=−或2q=−，因为0nS，所以2q=−，又因为123aaa=，所以2211aqaq

=即12aq==−，所以()2nna=−；（2）题意可得()()()()()()()111322221212121nnnnnnnnb+++−−−−−==−+−+−+−+()()1112121nn+=

−−+−+，则()()()()()()12231111111212121212121nnnT+=−+−++−−+−+−+−+−+−+()()()11122112121nnn+++−+=−−=−−+−+.【点睛】本题考查了等差数列与等比数

列的综合应用，考查了利用裂项相消法求数列前n项和的应用，属于中档题.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，3PAPD==，6PBPC==，90APBCPD==，点M，N分别是棱BC，PD的中点.

（1）求证：//MN平面PAB；-16-（2）若平面PAB⊥平面PCD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）69【解析】【分析】（1）取PA的中点为Q，连接NQ，BQ，由平面几何知识可得//NQBM且NQBM=，进而可得//MNB

Q，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P作PEAB⊥交AB于点E，作PFCD⊥交CD于点F，连接EF，取EF的中点为O，连接OP，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD的一个法向量为n、直线MN的方向向量MN，利用si

ncosnMNnMNnMN==即可得解.【详解】（1）证明：取PA的中点为Q，连接NQ，BQ，如图：又点N是PD的中点，则//NQAD且12NQAD=，又点M是BC的中点，底面ABCD是矩形，则12BMAD=且//BMAD，∴//NQBM且NQBM

=，∴四边形MNQB是平行四边形，∴//MNBQ，又MN平面PAB，BQ平面PAB，∴//MN平面PAB；-17-（2）过点P作PEAB⊥交AB于点E，作PFCD⊥交CD于点F，连接EF，则PFAB⊥，PEPFP=，∴AB⊥平面PEF，

又ABÌ平面ABCD，∴平面PEF⊥平面ABCD，∵3PAPD==，6PBPC==，90APBCPD==，∴3ABCD==，2PEPF==，2BECF==，1AEDF==.设平面PAB平面PCDl=，可

知////lCDAB，∵平面PAB⊥平面PCD，∴90EPF=，∴2EF=，取EF的中点为O，连接OP、OM，则OP⊥平面ABCD，1OP=，∴OM、OF、OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OM，OF，OP所在直线为x，y，

z轴建立空间直角坐标系,Oxyz−，如图所示，则()0,0,1P，()2,1,0C，()1,1,0D−，()2,0,0M，111,,222N−，∴()2,1,1PC=−，()1,1,1PD=−−，511,,222MN=−，设平面P

CD的一个法向量为(),,nxyz=，则由020nPDxyznPCxyz=−+−==+−=，令1y=可得()0,1,1n=r.-18-设直线MN与平面PCD所成角为，则16sincos93322nMNnMNnMN====

∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为69.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率为22，且过点()2,1.（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M，N

两点，过点M作圆222xy+=的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PMPN=.【答案】（1）22163xy+=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率为22，且过点()2,1，由22ca=，22411ab+=，结合222abc=+求解

.（2）当直线PM的斜率不存在时，可得直线PM的方程为2x=或2x=−，验证即可.当直线PM斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm=+，根据直线PM与圆相切，得到()2||21mk=+，设()11,Mxy，()22,Pxy，则()11,Nxy−−，联立22163ykxmxy=++=，

由弦长公式求得PM，然后由两点间的距离公式，将韦达定理代入求得PN即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为22，且过点()2,1.-19-所以22ca=，22411ab+=，又222abc=+

，解得26a=，23b=，所以椭圆C的方程为：22163xy+=.（2）①当直线PM的斜率不存在时，依题意，可得直线PM的方程为2x=或2x=−.若直线PM：2x=，直线MN：yx=，可得()2,2M，()2,2N−−，()2,2P−，则2

2PM=，22PN=，所以PMPN=；其他情况，由对称性，同理可得PMPN=.②当直线PM斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm=+，∵直线PM与圆222xy+=相切，∴圆心O到直线PM的距离为2||21mk=+，即()2||21mk=+，设()11,Mxy，()22,Px

y，则()11,Nxy−−，联立22163ykxmxy=++=，消元y，整理得()222124260kxkmxm+++−=，则122412kmxxk+=−+，21222612mxxk−=+.∴()2222212121222211411412kkPM

kxxkxxxxk++=+−=++−=+，∵()()221212PNxxyy=+++，()12122242221212kmmyykxxmkmkk−+=++=+=++，∴22222221442121212mkkmmPNkkk+−=+=+++.

∵()221mk=+，-20-∴2222211412kkPNPMk++==+.综上可知PMPN=成立.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆，直线与圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解

的能力，属于难题.20.2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造

业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x（520x）（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据.x57911y2002984

31609工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：模型①：31733xy=+模型②：68160yx=−.其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y

关于x的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q（万元）是-21-一个与产量x相关的随机变量,分布列为：q1402x−1302x−1002x−P0.50.40.1结合你对（1）的判断,当产量x为何值时,月利

润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？【答案】（1）模型①更适宜作为y关于x的回归方程,见解析（2）产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元.【解析】【分析】(1)作出模型②的残点图,再对比①

的残点图分析即可.(2)根据题意作出Y的分布列,进而得出其数学期望()3213217332xxEYx=−−+−,再求导分析其单调性求出最大值即可.【详解】（1）模型②的残差数据如下表：x57911y200298431609ˆe2018−21−

21模型②的残点图如图所示.-22-模型①更适宜作为y关于x的回归方程,因为：理由1：模型①这个4个样本点的残差的绝对值都比模型②的小.理由2：模型①这4个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄.理由3：模型①这4个样本的残差点比模型②的残差点更贴近x

轴.（2）设月利润为Y,由题意知Yqxy=−,则Y的分布列为：Y2314017323xxx−−+2313017323xxx−−+2310017323xxx−−+P0.50.40.1()23232312114017313017310017

32322352310xxxxxxEYxxx=−−−+−−−+−−−3213217332xxx=−−+−.设函数()3213217332xxfxx=−−+−,()0,x+,()2132fxxx=−−+,令()

0fx=,解得11x=或12x=−（舍）,当()0,11x时,()0fx′,则()fx单调递增；当()11,x+时,()0fx′,则()fx单调递减.则函数()fx的最大值()4649116f=,即产量为11件时,月利润的预报期望值最

大,最大值是774.8万元.【点睛】本题主要考查了根据题意作出分布列求解数学期望最值的问题.同时也考查了求导分析函数单调性与最值的问题,属于中档题.21.已知函数()sinfxxax=−−（xa≥）.（1

）若()0fx恒成立，求a的取值范围；（2）若14a−，证明：()fx在0,2有唯一的极值点x，且()00012fxxx−−.-23-【答案】（1）|22,akakkZ−.（2）见解析【解析】【分析】（

1）计算()0fa得到22kak−，再证明当22kak−（kZ）时，()0fx，先证明sinxx（0x），讨论22kak−和2xk两种情况，计算得到证明.（2）求导得到()1cos2fxxxa=−−，()()321sin4gxxxa=−+−，

得到存在唯一实数00,2t，使()00gt=，存在唯一实数0,32x，使()00gx=，得到()()00000011sin2cos2cosfxxxxxx+=+−，得到证明.【详解】（1）由()

0fa，得sin0a−，即sin0a，解得22kak−，kZ，以下证明，当22kak−（kZ）时，()0fx.为此先证：sinxx（0x）.若1x，则1sinxx；若01x，则xx.令()singxxx=−（0x），可知()1cos

0gxx=−，函数单调递增，故()()00gxg=，即sinxx（0x），综上所述：sinxx（0x）.若22kak−（kZ），则当2axk时，sin0x，故0sinxax−

，即()0fx；当2xk时，2xaxk−−，由sinxx（0x），得()2sin2sinxkxkx−−=.故当22kak−（kZ）时，()0fx.-24-综上，所求a的取值范围是|22,akakkZ−.（2）()

1cos2fxxxa=−−，令()1cos2gxxxa=−−，()()321sin4gxxxa=−+−，∵14a−，∴()gx是0,2上的增函数，又()00g，32110242ga=−−，故存在唯一实数00,

2t，使()00gt=，当()00,xt时，()0gx，()gx递减；当0,2xt时，()0gx，()gx递增.又14a−，则14a−，12a−，21a−，∴()10102ga=−−

，111110322233gaa=−=−−−，10222ga=−.故存在唯一实数0,32x，使()0001cos02gxxxa=−=−.当()00,xx时，()()0fxgx=，()fx递减；当0,2xt

时，()()0fxgx=，()fx递增.所以()fx在区间0,2有唯一极小值点0x，且极小值为()000sinfxxax=−−.又由()0001cos02gxxxa=−=−，得0012cosxax−=，-25-∴()0001sin2cosfx

xx=−.又()()00000011sin2cos2cosfxxxxxx+=+−.以下只需证明，即证00112cos2xx−，0002cos2xx−.∵00,2x，∴00002

cos2sin2222xxxx=−−=−.则()()0000000111sin2cos2cos2fxxxxxxx+=+−−，所以()00012fxxx−−.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，极值点问题，证明不等

式，先算后证是解题的关键.请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos22sinxtyt==+（t为参数），以坐标原点O为极点

，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos=.（1）说明1C是哪种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程；（2）设点M的极坐标为()4,0，射线=（02）与1C的异于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B

，若4AMB=，求tan的值.【答案】（1）1C是圆心为()0,2，半径为2的圆.4sin=；（2）1tan2=.【解析】【分析】（1）由曲线1C的参数方程消去参数t，得到曲线1C的直角坐标方程，再由2

22,sinxyy=+=，得到曲线1C的极坐标方程；（2）设()1,A，()2,B，=.可得4cos4sinABOBOA=−=−，4sinBM=.由4AMB=，得ABBM=，即求tan的值.-26-【详解】（1）1C是圆心为()0

,2，半径为2的圆.1C的直角坐标方程为()2224xy+−=，即2240xyy+−=.222xy=+，siny=，得24sin0,4sin−==.1C的极坐标方程为4sin=.（2）设()1,A

，()2,B，∵=，∴4sinOA=，4cosOB=，4cos4sinABOBOA=−=−，4OM=，∴4sinBM=，∵4AMB=，∴ABBM=，则4cos4sin4sin−=，即cos2sin=，所

以1tan2=.【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查极坐标系下求极角，属于中档题.23.已知函数()2cos15fxxaa=+−+−，aR.（1）若()08f，求实数a的取值范围；（2）证明：对xR，()

151fxaa−−+恒成立.【答案】（1）|06xax或.（2）见解析【解析】【分析】（1）将0x=代入函数，列出不等式，再根据零点分段法即可求出实数a的取值范围；（2）根据不等式恒成立问题的解法可知，只要()min1112

cosaxa−−−+即可，亦即1112aa−++，再根据绝对值三角不等式以及基本不等式即可证出．【详解】（1）∵()02158faa=+−+−，即156aa−+−.当5a时，不等式化为1565

aaa−+−，解得6a；-27-当15a时，不等式化为15615aaa−+−，此时a无解；当1a时，不等式化为1561aaa−+−，解得0a.综上，原不等式的解集为|06xax或.（2）要证明对xR，()151fxaa−−+恒成立.只

需证明对xR，12cos11xaa−−−+恒成立.即证明()min1112cosaxa−−−+，∵()min2cos2x=−，1112aa−−−+−，即1112aa−++.∵111111112aaaaaaaa−++−++=+=+，所以原命题得证

．【点睛】本题主要考查利用零点分段法求解含有两个绝对值的不等式，基本不等式，绝对值三角不等式的应用，以及不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的转化能力，分类讨论意思的应用能力，属于中档题．-28-