【文档说明】广东省佛山市2020届高三教学质量检测（二模考试）数学（理）试题【精准解析】.doc，共(28)页，2.387 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2019~2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）高三数学（理科）试题2020年5月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选

出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目旨定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答

题卷交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|2Axxx=，|13Bxx=，则AB=（）A.|01xxB.0xx或1xC.|23xxD.1xx或

3x【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合A，根据并集的概念即可得出结果.【详解】∵222Axxxxx==或0x，|13Bxx=，∴AB=0xx或1x，故选：B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间并集的运算，属于基础题.2.复数z

满足()()21i3iz++=+，则z=（）A.1B.2C.3D.2-2-【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.【详解】因为复数z满足()()213zii++=+，∴()()()()313422221112iiii

ziiii+−+−=−=−=−=−++−，则1z=，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题.3.()101x−的二项展开式中，x的系数与4x的系数之差为（）A.220−B

.90−C.90D.0【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出x的系数与4x的系数，再求其差即可.【详解】∵()101x−的二项展开式中，通项公式为()21101rrrrTCx+

=−，故x的系数与4x的系数之差为2810100CC−=，故选：D.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.4.设变量,xy满足约束条件2030230xxyxy+−++−，则目标函数6zxy=+

的最大值为()A.3B.4C.18D.40【答案】C【解析】-3-不等式20{30230xxyxy+−++−所表示的平面区域如下图所示，当6zxy=+所表示直线经过点(0,3)B时，z有最大值18.考点：线性规划.5.设函数()()2sincoscos2fxxxx=+

+，则下列结论错误的是（）A.()fx的最小正周期为πB.()yfx=的图像关于直线8x=对称C.()fx的最大值为21+D.()fx的一个零点为78x=【答案】D【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简

函数，即可根据()sinyAωxφ=+的图象与性质判断出各选项的真假.【详解】因为()()2sincoscos21sin2cos212sin24fxxxxxxx=++=++=++，所以()fx的最小正周期为，()fx的最大值为21+，A、

C正确；当8x=时，sin2184+=，所以()yfx=的图象关于直线8x=对称，B正确；-4-因为718f=，所以78x=不是函数()fx的零点，D错误．故选：D.【点睛】本题主

要考查利用二倍角公式，辅助角公式进行三角变换，以及函数()sinyAωxφ=+的图象与性质的应用，属于中档题.6.已知()33loglog2a=，()23log2b=，32log2c=，则（）A.abcB.acbC.cabD.bac【答案】A【解析】【分析】首先得出30lo

g21，然后利用对数函数和指数函数的性质求解即可.【详解】∵30log21，∴()33loglog20，即0a，∴()230log21，即01b，∵332log2log41c==，∴abc，故选：A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是

基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.7.已知点()3,2A−在抛物线C：22xpy=（0p）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则BF=（）A.6B.8C.10D.12【答案】C【解析】【分析】由点

()3,2A−在准线上可知p的值，从而确定抛物线的方程，设点B的坐标为2,8mm，0m，通过对抛物线方程求导，可得点直线AB的斜率，再通过A、B两点的坐标也可求得-5-ABk，于是建立关于m的方程，解之可得m的值，最后利用抛物线的定义即可得解.【详解】抛物线()2:20Cxpyp

=的准线方程为2py=−，∵点()3,2A−在准线上，∴22p−=−即4p=，抛物线的方程为28xy=，即218yx=，设点B的坐标为2,8mm，0m，对218yx=求导可得，14yx=，∴直线AB的斜率为14m，由()3,2A−、2,8mBm，可知221843ABm

kmm=+−=，解之得，8m=或2−（舍负），∴点()88B，，由抛物线的定义可知，48102BF=+=，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生

的分析能力和运算能力，属于中档题.8.盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（）A.35B.79C.715D.3145【

答案】A【解析】【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：13925P=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：23759P=，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详

解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：13295152P==，-6-若取出的

是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：23775915P==，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155PPP=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

9.2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%.下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=(本期数-去年同期数)

/去年同期数100%，环比=(本期数-上期数)/上期数100%下列结论中不正确的是（）A.2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B.2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C.2019年全年居民

消费价格比2018年涨了2.5%以上D.2019年3月份的居民消费价格全年最低【答案】D【解析】【分析】根据已知中的图表，结合同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案.【详解】由折线图知：从2

019年每月的环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A正确；-7-在B中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B正确；在C中，从2019年每月的同比增长率看

，从4月份以后每月同比增长率都在2.5%以上，进而估计出2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上，故C正确；在D中，不妨设1月份消费价格为a，故可得2月份价格为()11%1.01aa+=；同理可得3月份价格为()1.0110.4%1.005

96aa−=；4月份价格为()1.0059610.1%1.00696596aa+=；5月份价格和4月份价格相同；6月份价格为()1.0069659610.1%1.00595899404aa−=，而后面每个月都是增长的.故1月份的价格

是最低的，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，属于基础题.10.已知P为双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）上一点，O为坐标原点，1F，2F为曲线C左右焦点.若2OPOF=，且满足21t

an3PFF=，则双曲线的离心率为（）A.52B.2C.102D.3【答案】C【解析】【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足2OPOF=，即有O为12PFF△外接圆的圆心，即有1290FPF=，运用勾股定理和双曲

线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到.【详解】点P在双曲线C的右支上，且满足2OPOF=，即有O为12PFF△外接圆的圆心，即有1290FPF=，由双曲线的定义可得122PFPFa−=，-8-∵21tan3PFF=，所以213PFPF=，则13PFa=，2PFa=，由

2221212PFPFFF+=，即()22234aac+=，即有2252ca=，102e=，故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于中档题.11

.已知A，B，C是球O的球面上的三点，60AOBAOC==，若三棱锥OABC−体积的最大值为1，则球O的表面积为（）A.4B.9C.16D.20【答案】C【解析】【分析】作出草图，易得AOB和AOC△均为等边三角形，当面AOC⊥面AOB时，三棱锥OABC−的体积最大

可求出球的半径R，进而可得球的表面积.【详解】设球的半径为R，如图所示，∵60AOBAOC==，∴AOB和AOC△均为等边三角形，边长为R，由图可得当面AOC⊥面AOB时，三棱锥OABC−的体积最大，此时31133

1132228VRRRR===，解得2R=，则球O的表面积为24216S==，-9-故选：C.【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述

他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中,把到定点()1,0Fa−,()2,0Fa距离之积等于2a（0a）的点的轨迹称为双纽线C.已知点()00,Pxy是双纽线C上一点,下列说法中正确的有（）①双纽线C关于原点O中心对称

；②022aay−；③双纽线C上满足12PFPF=的点P有两个；④PO的最大值为2a.A.①②B.①②④C.②③④D.①③【答案】B【解析】【分析】对①,设动点(,)Cxy,把(,)xy关于原点对称的点(,)xy−−代入轨迹方程,显然成立；对②,根据12

PFF△的面积范围证明即可.对③,易得若12PFPF=则P在y轴上,再根据()00,Pxy的轨迹方程求解即可.对④,根据题中所给的定点()1,0Fa−,()2,0Fa距离之积等于2a,再画图利用余弦定理分析12PFF△中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可

.【详解】对①,设动点(,)Cxy,由题可得C的轨迹方程22222[()][()]xayxaya-+?+=,把(,)xy关于原点对称的点(,)xy−−代入轨迹方程显然成立.故①正确；对②,因为()00,Pxy,故12121212011||||sin||22PFFSPFPFFPFFFy

==.-10-又212||||PFPFa=,所以2120sin2aFPFay=,即012sin22aayFPF=,故022aay−.故②正确；对③,若12PFPF=则()00,Pxy在12FF的中垂线即y轴上.故此时00x=,代入22222[()][()]xayxaya

-+?+=，可得00y=,即()0,0P,仅有一个.故③错误；对④,因为12POFPOF+=,故12coscos0POFPOF+=,即222222112212||||||||||||02||||2||||OPOF

PFOPOFPFOPOFOPOF+−+−+=,因为12||||OFOFa==,212||||PFPFa=故2222122||2||||OPaPFPF+=+.即()22212122||2||||2||||OPaPFPFPFPF+=−+,所以()22122||||||

OPPFPF=−.又1212||||||2PFPFFFa−=,当且仅当12,,PFF共线时取等号.故()()222122||||||2OPPFPFa=−,即22||2OPa,解得||2OPa.故④正确.故①②④正确.故选：B【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂

,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）-11-本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23为选

考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设命题p：()0,x+，21e12xx+，则p为___________.【答案】()00,x+，0201e12xx+【解析】【分析】根据全

称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题p：()0,x+，21e12xx+，是全称命题，所以其否定是特称命题，即：()00,x+，0201e12xx+.故答案为：()00,x+，0201e12xx+.【点睛】本题主要考查命题的否定，

还考查了理解辨析的能力，所以基础题.14.已知函数()()21sin12xxxfxx+++=，若()3fa=−，则()fa−=___________.【答案】4【解析】【分析】化简()fx成奇函数加一个常数的结构,再求解()()fxfx+−的值即可

.【详解】由题,()()221sin1sin11222xxxxxxfxxx+++++==+,设()2sin12xxxgxx++=,则()()()()()()22sin1sin122xxxxxxgxgxxx−+−−+++−===−−−为奇函数.故()()()()11122fxfxg

xgx+−=++−+=.故()()14fafa−=−=.故答案为：4-12-【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用,需要将所给的函数分离出奇函数加常数的结构,再利用奇函数的性质求解.属于中档题.15.在面积为1的平行四边

形ABCD中，6DAB=，则ABBC=___________；点P是直线AD上的动点，则22PBPCPBPC+−的最小值为___________.【答案】(1).3(2).3【解析】【分析】由平行四边形的面积为1可得2ABAD=，根据向量数量积的定义即可得出ABBC的值；由于222PB

PCPBPCBCPBPC+−=+，取BC的中点Q，连接PQ，则2PBPCPQ+=，()()2214PBPCPBPCPBPC=+−−，再利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】∵平行四边形ABCD的面积为1，即sin1

ABADDAB=，∴2ABAD=，故3cos232ABBCABBCDAB===.()2222PBPCPBPCPCPBPBPCBCPBPC+−=−+=+，取BC的中点Q，连接PQ，则2PBPCPQ+=，()()2

214PBPCPBPCPBPC=+−−，∴()()2222221344PBPCPBCPBPCBCBCPPQBC+−−=+++=22323334ABCDSBCPQBCPQ==四边形，此时PQBC⊥，

32PQBC=，故答案为：3，3.-13-【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题.16.数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的

高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.该小组在操场上选定A点，此时测量

视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到B点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m，根据以上数据可计算得该

建筑物的高度约为___________米.（精确到0.1）参考数据：3sin375，sin5345【答案】31.6【解析】【分析】由题意画出简图，设CDh=，即可得43hBC、34hAC，利用17.53

ABBCAC==−即可得解.【详解】由题意画出简图，如图：-14-由题意可得53CAD=，37CBD=，101.75317.53AB==，所以sin37tantan37cos3734CBD==，si

n53cos37tantan53cos5433sin37CAD===，设CDh=，则在RtBCD中，4tan3CDhBCCBD=，在RtACD中，3tan4CDhACCAD=，所以717.5312AB

BCACh−==，解得30.05h，所以该建筑的高度约为30.051.5531.6+=米.故答案为：31.6.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学模型，属于基础题.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解

答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列na的前n项和为nS（0nS），满足1S，2S，3S−成等差数列，且123aaa=.（1）求数列na的通项公式；（2）设()()1311nnnnabaa+−=++，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）()

2nna=−.（2）()()112221nnnT++−+=−−+【解析】【分析】（1）设数列na的公比为q，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得-15-()()21121aqqaq−+=

+、2211aqaq=，即可得解；（2）由题意()()1112121nnnb+=−−+−+，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）设数列na的公比为q，依题意得()1322SSS+−=，所以()()23122aaaa−+=+即()()

21121aqqaq−+=+，因为10a，所以2320qq++=，解得1q=−或2q=−，因为0nS，所以2q=−，又因为123aaa=，所以2211aqaq=即12aq==−，所以()2nna=−；（2）题意可得()()()()()()()111

322221212121nnnnnnnnb+++−−−−−==−+−+−+−+()()1112121nn+=−−+−+，则()()()()()()12231111111212121212121nnn

T+=−+−++−−+−+−+−+−+−+()()()11122112121nnn+++−+=−−=−−+−+.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了利用裂项相消法求

数列前n项和的应用，属于中档题.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，3PAPD==，6PBPC==，90APBCPD==，点M，N分别是棱BC，PD的中点.（1）求证：//MN平面PAB；-16-（2）若平面PAB⊥平面P

CD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）69【解析】【分析】（1）取PA的中点为Q，连接NQ，BQ，由平面几何知识可得//NQBM且NQBM=，进而可得//MNBQ，由线面平行的判

定即可得证；（2）过点P作PEAB⊥交AB于点E，作PFCD⊥交CD于点F，连接EF，取EF的中点为O，连接OP，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD的一个法向量为n、直线MN的方向向量MN，利用sincosnMNnMNnMN==即可得解.【详解】（1）

证明：取PA的中点为Q，连接NQ，BQ，如图：又点N是PD的中点，则//NQAD且12NQAD=，又点M是BC的中点，底面ABCD是矩形，则12BMAD=且//BMAD，∴//NQBM且NQBM=，∴四边形MNQB是平行四边形，∴//MNBQ，又

MN平面PAB，BQ平面PAB，∴//MN平面PAB；-17-（2）过点P作PEAB⊥交AB于点E，作PFCD⊥交CD于点F，连接EF，则PFAB⊥，PEPFP=，∴AB⊥平面PEF，又ABÌ平面ABCD，∴平面PEF⊥平面ABCD，∵3PAPD==，6PBPC==，90AP

BCPD==，∴3ABCD==，2PEPF==，2BECF==，1AEDF==.设平面PAB平面PCDl=，可知////lCDAB，∵平面PAB⊥平面PCD，∴90EPF=，∴2EF=，取EF的中点为O，连接OP、OM，则OP⊥平面ABCD，1OP=，∴OM、OF、OP两两垂直，以O

为坐标原点，分别以OM，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,Oxyz−，如图所示，则()0,0,1P，()2,1,0C，()1,1,0D−，()2,0,0M，111,,222N−，∴()2,

1,1PC=−，()1,1,1PD=−−，511,,222MN=−，设平面PCD的一个法向量为(),,nxyz=，则由020nPDxyznPCxyz=−+−==+−=，令1y=可得()0,1,1n=r.-18-设直线MN与平面

PCD所成角为，则16sincos93322nMNnMNnMN====∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为69.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.已知椭圆C：22221xyab+=（

0ab）的离心率为22，且过点()2,1.（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆222xy+=的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PMPN=.【答案】（1）22163xy+=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率为22，且过点()

2,1，由22ca=，22411ab+=，结合222abc=+求解.（2）当直线PM的斜率不存在时，可得直线PM的方程为2x=或2x=−，验证即可.当直线PM斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm=+，根据直线PM与圆相切，得到()2

||21mk=+，设()11,Mxy，()22,Pxy，则()11,Nxy−−，联立22163ykxmxy=++=，由弦长公式求得PM，然后由两点间的距离公式，将韦达定理代入求得PN即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为22，且过点()2,1

.-19-所以22ca=，22411ab+=，又222abc=+，解得26a=，23b=，所以椭圆C的方程为：22163xy+=.（2）①当直线PM的斜率不存在时，依题意，可得直线PM的方程为2x=或2x=−.若直线PM：2x=，直线MN：yx=，可得()2,2M，()2,2N−−，()2,

2P−，则22PM=，22PN=，所以PMPN=；其他情况，由对称性，同理可得PMPN=.②当直线PM斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm=+，∵直线PM与圆222xy+=相切，∴圆心O到直线PM的距离为2||

21mk=+，即()2||21mk=+，设()11,Mxy，()22,Pxy，则()11,Nxy−−，联立22163ykxmxy=++=，消元y，整理得()222124260kxkmxm++

+−=，则122412kmxxk+=−+，21222612mxxk−=+.∴()2222212121222211411412kkPMkxxkxxxxk++=+−=++−=+，∵()()221212PNxxyy=+++，()1212224222121

2kmmyykxxmkmkk−+=++=+=++，∴22222221442121212mkkmmPNkkk+−=+=+++.∵()221mk=+，-20-∴2222211412kkPNPMk++==+.综上可知PMPN=成立.【点睛】本题主要考查椭

圆方程的求法，直线与椭圆，直线与圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20.2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要

历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的

产量x（520x）（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据.x57911y200298431609工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：模型①：31733xy=+模型②：

68160yx=−.其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q（万元）是-21-一个与产

量x相关的随机变量,分布列为：q1402x−1302x−1002x−P0.50.40.1结合你对（1）的判断,当产量x为何值时,月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？【答案】（1）模型①更适宜作为y关于x的回归方程,见解析（2）产量为11件时,月利

润的预报期望值最大,最大值是774.8万元.【解析】【分析】(1)作出模型②的残点图,再对比①的残点图分析即可.(2)根据题意作出Y的分布列,进而得出其数学期望()3213217332xxEYx=−−+−,再求导分析其单调性求出最大值即可.【详

解】（1）模型②的残差数据如下表：x57911y200298431609ˆe2018−21−21模型②的残点图如图所示.-22-模型①更适宜作为y关于x的回归方程,因为：理由1：模型①这个4个样本点的残差的绝对值都比模型②的小.理由2：模型①这4个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更

窄.理由3：模型①这4个样本的残差点比模型②的残差点更贴近x轴.（2）设月利润为Y,由题意知Yqxy=−,则Y的分布列为：Y2314017323xxx−−+2313017323xxx−−+23100

17323xxx−−+P0.50.40.1()2323231211401731301731001732322352310xxxxxxEYxxx=−−−+−−−+−−−321

3217332xxx=−−+−.设函数()3213217332xxfxx=−−+−,()0,x+,()2132fxxx=−−+,令()0fx=,解得11x=或12x=−（舍）,当()0,11x时,()0fx′,则()fx单调递增；当()11,x+

时,()0fx′,则()fx单调递减.则函数()fx的最大值()4649116f=,即产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元.【点睛】本题主要考查了根据题意作出分布列求解数学期望最

值的问题.同时也考查了求导分析函数单调性与最值的问题,属于中档题.21.已知函数()sinfxxax=−−（xa≥）.（1）若()0fx恒成立，求a的取值范围；（2）若14a−，证明：()fx在0,2有唯一的极值点x，且()0001

2fxxx−−.-23-【答案】（1）|22,akakkZ−.（2）见解析【解析】【分析】（1）计算()0fa得到22kak−，再证明当22kak−（kZ）时，()0fx，先证明sinxx（0x），讨论22

kak−和2xk两种情况，计算得到证明.（2）求导得到()1cos2fxxxa=−−，()()321sin4gxxxa=−+−，得到存在唯一实数00,2t，使()00gt=，

存在唯一实数0,32x，使()00gx=，得到()()00000011sin2cos2cosfxxxxxx+=+−，得到证明.【详解】（1）由()0fa，得sin0a−，即sin0a，解得22kak−，kZ，以下证明

，当22kak−（kZ）时，()0fx.为此先证：sinxx（0x）.若1x，则1sinxx；若01x，则xx.令()singxxx=−（0x），可知()1cos0gxx=−，函数单

调递增，故()()00gxg=，即sinxx（0x），综上所述：sinxx（0x）.若22kak−（kZ），则当2axk时，sin0x，故0sinxax−，即()0fx；当2xk时，2xaxk−−，由

sinxx（0x），得()2sin2sinxkxkx−−=.故当22kak−（kZ）时，()0fx.-24-综上，所求a的取值范围是|22,akakkZ−.（2）()1cos2fxxxa

=−−，令()1cos2gxxxa=−−，()()321sin4gxxxa=−+−，∵14a−，∴()gx是0,2上的增函数，又()00g，32110242ga=−

−，故存在唯一实数00,2t，使()00gt=，当()00,xt时，()0gx，()gx递减；当0,2xt时，()0gx，()gx递增.又14a−，则14a−，12a−，21a−，∴()101

02ga=−−，111110322233gaa=−=−−−，10222ga=−.故存在唯一实数0,32x，使()0001cos02gxxxa=−=−.当()00,xx时，()()0fxgx=，()fx递减；当

0,2xt时，()()0fxgx=，()fx递增.所以()fx在区间0,2有唯一极小值点0x，且极小值为()000sinfxxax=−−.又由()0001cos02gxxxa=−=−，得0012co

sxax−=，-25-∴()0001sin2cosfxxx=−.又()()00000011sin2cos2cosfxxxxxx+=+−.以下只需证明，即证00112cos2xx−，0002cos2xx−.∵00,2x，∴00002c

os2sin2222xxxx=−−=−.则()()0000000111sin2cos2cos2fxxxxxxx+=+−−，所以()00012fxxx−−.【点睛】本题考查了不等式

恒成立问题，极值点问题，证明不等式，先算后证是解题的关键.请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos22sinxtyt==+（t为参数），以坐标

原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos=.（1）说明1C是哪种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程；（2）设点M的极坐标为()4,0，射线=（02）与1C的异于极点的交点为A，

与2C的异于极点的交点为B，若4AMB=，求tan的值.【答案】（1）1C是圆心为()0,2，半径为2的圆.4sin=；（2）1tan2=.【解析】【分析】（1）由曲线1C的参数方程消去参数t，得到曲线1C的直角坐标方程，再由222,sinxyy

=+=，得到曲线1C的极坐标方程；（2）设()1,A，()2,B，=.可得4cos4sinABOBOA=−=−，4sinBM=.由4AMB=，得ABBM=，即求tan的值.-26-【详解】（1）1C是圆心为()0,2，半径为2的圆.1C的直角坐标方

程为()2224xy+−=，即2240xyy+−=.222xy=+，siny=，得24sin0,4sin−==.1C的极坐标方程为4sin=.（2）设()1,A，()2,B，∵=，∴4sinOA=，4cosOB=，4cos4sinABO

BOA=−=−，4OM=，∴4sinBM=，∵4AMB=，∴ABBM=，则4cos4sin4sin−=，即cos2sin=，所以1tan2=.【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程

的互化，考查极坐标系下求极角，属于中档题.23.已知函数()2cos15fxxaa=+−+−，aR.（1）若()08f，求实数a的取值范围；（2）证明：对xR，()151fxaa−−+恒成立.【答案】（1）|

06xax或.（2）见解析【解析】【分析】（1）将0x=代入函数，列出不等式，再根据零点分段法即可求出实数a的取值范围；（2）根据不等式恒成立问题的解法可知，只要()min1112cosaxa−−−+

即可，亦即1112aa−++，再根据绝对值三角不等式以及基本不等式即可证出．【详解】（1）∵()02158faa=+−+−，即156aa−+−.当5a时，不等式化为1565aaa−+−，解得6a；-2

7-当15a时，不等式化为15615aaa−+−，此时a无解；当1a时，不等式化为1561aaa−+−，解得0a.综上，原不等式的解集为|06xax或.（2）要证明对xR，()151fxaa−−+恒成

立.只需证明对xR，12cos11xaa−−−+恒成立.即证明()min1112cosaxa−−−+，∵()min2cos2x=−，1112aa−−−+−，即1112aa−++.∵111111112aaaaaaaa−++−++=+=+，所以原命题得证．【点睛】本

题主要考查利用零点分段法求解含有两个绝对值的不等式，基本不等式，绝对值三角不等式的应用，以及不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的转化能力，分类讨论意思的应用能力，属于中档题．-28-