【文档说明】江苏省常州高级中学2023届高三上学期1月月考数学试卷（含部分解析）.doc，共(20)页，1.837 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年江苏常州市高级中学高三年级1月月考数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合237Axx=+∣，2Bxx=−N∣，则AB=（）

A．0,1B．1C．0,1,2D．1,22．已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．(1)ii+B．2(1)ii−C．22(1)ii+D．234iiii+++3．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5.若球1O在圆锥SO内，则球1O的体积

的最大值为（）A．92B．9C．323D．124．若函数2()sin(2)(02)fxxx=+的图象关于原点对称，则=（）A．4B．2C．D．325．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，设cxayb=+（其中x，

y∈R），若|c|＝3，则xy的最大值（）A．2B．3C．3D．236．曲线2lnyxx=−在1x=处的切线的倾斜角为，则cos(2)2−的值为（）A．45B．45−C．35D．35-7．已知点P是抛物线22xy

=上的一点，在点P处的切线恰好过点10,2−，则点P到抛物线焦点的距离为（）A．12B．1C．32D．28．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录

的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A．事件B与事件C是对立事件B．事件A与事件B不是相互独立事件C．()()()18PAPBPC=D．()18PABC=二、多选题（本题共4小题，每小题5分

，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图

的面积应该相等C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小10．下列式子的运算结果为3的是（）A．()2sin35cos25cos35sin25−B．()2cos35cos5sin35sin5

+C．1tan151tan15+−D．2tan61tan6−11．已知A（4，2），B（0，4），圆22:(4)(1)4Cxy−+−=，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（）A．||||PBPA−的最

大值为25B．PAPB的最小值为4−C．xy+的最小值为522−D．PBA最大时，||25PB=12．如图，点O是正四面体PABC底面ABC的中心，过点O且平行于平面PAB的直线分别交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平

面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则（）A．若MN∥平面PAB，则ABRQ∥B．存在点S与直线MN，使()0PSPQPR+=C．存在点S与直线MN，使PC⊥平面SRQD．1113PQPRPSPA++

=三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()fx是定义在R上的增函数，且()()121fmfm+−，则m的取值范围是__________.14．已知抛物线的方程为22yax=，且过点()1,4，则焦点坐标为______．15．函数

32()sin3cos,32fxxxx=+−的值域为_________.16．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类

数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的78，第n层的货物的价格为

______，若这堆货物总价是7641128n−万元，则n的值为______.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．对于数列na，若存在正整数M，同时

满足如下两个条件：①对任意n+N，都有naM成立；②存在0n+N，使得0naM=．则称数列na为MB数列．(1)若1nan=−，112nnb−=，判断数列na和nb是否为MB数列，并说明理由；（5分）(2)若MB数列na满足1ap=，()1sin2n

naan−=，求实数p的取值集合．（5分）18．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛

，假设甲每局比赛获胜的概率为25，且每局比赛都分出了胜负．(1)求比赛结束时乙获胜的概率；（6分）(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列．（6分）19．在①4sincos3=aBAb，②222sinsin()sin+=+bBcCbcA，③3s

incos+=+baAAab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．（7分）问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1cos

3C=，________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．如图，空间几何体ADEBCF-中，四边形ABCD是梯形，//ABCD，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面,,2,4CDEFADDCABADDEEF⊥====，M是线段AE上的动点.（1）试

确定点M的位置，使//AC平面MDF，并说明理由；（7分）（2）在（1）的条件下，平面MDF将几何体ADEBCF-分成两部分，求空间几何体MDEF−与空间几何体ADMBCF−的体积的比值.（7分）21．已知圆()221:536Cxy++=，点()5,0C，点M是圆1C上的动点，MC的垂

直平分线交直线1MC于点.P（1）求点P的轨迹方程2C；（5分）（2）过点()4,0N的直线l交曲线2C于,AB两点，在x轴上是否存在点G，使得直线AG和BG的倾斜角互补，若存在，求出点G的坐标，若不存在，

请说明理由.（6分）22．设函数()=ln(1)exfxxax−−，其中aR．(1)若=3a−，求()fx的单调区间；（5分）(2)若10ea，（ⅰ）证明：()fx恰有一个极值点；（5分）（ⅱ）设0x为()fx的极值点，若1x为()fx的零点，且10x

x，证明：013>2xx−．（6分）答案1．A【解析】由题意可得2Axx=∣，则|220,1ABxx=−=N.故选：A2．C【解析】对于A，(1)1iii+=−不是纯虚数；对于B，()22122iii−=−=是实数；对于C

，22(1)2iii+=−为纯虚数；对于D，234110iiiiii+++=−−+=不是纯虚数.故选：C.3．A【解析】设圆锥SO的轴截面为等腰△SAB，则球1O的体积最大时，球1O的轴截面是△SAB的内切圆，所

以11()22SABSABSOSASBABr==++，解得：32r=，所以球1O的体积的最大值为92.故选：A4．C【解析】因为函数2()sin(2)(02)fxxx=+的图象关于原点对称，即()()fxfx−=−，所以可得sin(2)sin(2)xφxφ−+=−+，

即sin(2)sin(2)xφxφ−+=−−，2φkπφ=−，即,kkZ=，02jp<<，jp\=.故选：C5．C【解析】cxayb=+，则()2222222229cxaybxaybxyabxyxy=+=++=++=2292

33xyxyxyxyxyxy=+++=，当3xy==时等号成立。故选：C6．D【解析】解：依题意，221yxx=−−，所以21tan311=−−=−，所以2222sincos2tan3cos2sin22sincos1tan5

−====−++故选：D.7．B【解析】抛物线方程为212yx=，y'x=，设切点P坐标为00(,)xy，∴切线斜率为0kx=，又切线过点1(0,)2−，∴00012yxx+=，∴22001

122xx+=，01x=．012y=．即1(1,)2P或1(1,)2P−，抛物线标准方程为22xy=，1p=，∴P点到焦点的距离为11112222p+=+=．故选：B．8．C【解析】对于A，事件B与事件C是相互独立事件，但不是对立事

件，故A错误；对于B，对于事件A与事件B，()()()111,,224PAPBPAB===,事件A与事件B是相互独立事件,故B错误；对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有4416=种，其中，事件A发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有

22228+=种，所以()81162PA==，因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以()2142PB==，()2142PC==，所以()()()31128PAPBPC==，故C正确；对于D，事件ABC表示第一次记录的数字为奇

数，第二次记录的数字为偶数，故()221444PABC==，故D错误.故选：C．9．BCD【解析】对于A：例如数据1，3，5，将数据改成2，3，5，数据的中位数未改变，仍为3，故A错误；对于B：根据频率分布直方图中，中位数的求法，可得B正确；对于C：根据频率直方

图可得，左边“拖尾”，且不对称，则平均数变小，中位数变大，所以平均数小于中位数，故C正确；对于D：方差越小，数据越稳定，离散程度越小，故D正确.故选：BCD10．BC【解析】对于A，()()2sin35cos25cos35sin252sin35252

sin103−=−=，不合题意；对于B，()()32cos35cos5sin35sin52cos3552cos30232+=−===，符合题意；对于C，()1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151ta

n45tan15++==+==−−，符合题意；对于D，2233tan363332231tan1633===−−，不符合题意；故选：BC11．AC【解析】对于A，||||||25PBPAAB−=，A正确.对于B，记AB的中点为D，()2,3D,()

()()()PAPBPDDAPDDBPDDBPDDB=++=−+22225(2)5782PDDBPDCD=−=−−−=−，故B错误；对于C，令bxy=+，当直线bxy=+与圆C相切时，b取到最值，令|5|22bd−==，522b=，所以xy+最小值为522−，故C正确.对于D，当PB与圆

C相切时，PBA最大，此时22||||221PBBC=−=，故D错误.故选：AC12．ACD【解析】对于A，//MN平面PAB，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，平面SMN平面PABRQ=，又MN平面SMN，//M

N平面PAB，//MNRQ，点O在面ABC上，过点O的直线交AC，BC于点M，N，MN平面ABC，又//MN平面PAB，平面ABC平面PAB=AB，//MNAB，//ABRQ，故A正确；对于B，设正四面体PABC−的棱长为a，()PSPQPRPSPQPSPR+=+2c

os60cos600PSPQPSPRa=+=，故B错误；对于C，当直线MN平行于直线AB，S为线段PC上靠近C的三等分点，即13SCPC=，此时PC⊥平面SRQ，以下给出证明：在正四面体PABC−

中，设各棱长为a，ABC，PBC△，PAC△，PAB△均为正三角形，点O为ABC的中心，//MNAB，由正三角形中的性质，易得23CNCMa==，在CNS中，23CNa=，13SCa=，3SCN=，

由余弦定理得，222232cos333333aaaaSNa=+−=，222249SCSNaCN+==，则SNPC⊥，同理，SMPC⊥，又SMSNS=，SM平面SRQ，SN平面SRQ，PC⊥平面

SRQ，存在点S与直线MN，使PC⊥平面SRQ，故C正确；对于D，设D为BC的中点，则22()33POPAAOPAADPAPDPA=+=+=+−1()3PAPBPC=++，又∵P，A，Q三点共线，∴PAP

APQPQ=，∵P，B，R三点共线，∴PBPBPRPR=，∵P，S，C三点共线，∴PCPCPSPS=，设PQx=，PRy=，PSz=，则333PAPBPCPOPQPRPSxyz=++，∵O，Q，R，S四点共面，∴1333PAPBPCxyz++=，又∵PAP

BPC==，∴1111333PxyzA++=，∴1113xyzPA++=，即1113PQPRPSPA++=，故D正确.故选：ACD.13．2m【解析】因为函数()fx是定义在R上的增函数，且()()121fmfm+−，所以12

1mm+−，解得2m，故答案为2m.14．10,16【解析】抛物线22yax=过点()1,4，即有42a=，解得2a=，则抛物线24yx=，即214xy=的焦点坐标为10,16，故答案为：

10,16.15．633,38−【解析】由题意，可得3232()sin3cossin3sin3,,32fxxxxxx=+=−+−，令sintx=，3,12t−

，即32()33gttt=−+，3,12t−则2()363(2)gttttt=−=−，当302t−时，()0gt，当01t时，()0gt，即()ygt=在3,02−为增函数，在[0,1

]为减函数，又363328g−−=，(0)3g=，(1)1g=，故函数的值域为：633,33−.故答案为:633,33−16．178nn−6【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为178nnan−=

，设这堆货物总价是012177771238888nnSn−=++++，①，则12377777S12388888nnn=++++，②，由①−②可得1231177777188

8888nnnSn−=+++++−717788(8)78818nnnnn−=−=−+−，7648(8)8nnSn=−

+，∵这堆货物总价是7641128n−万元，()88112,6nn+==，故答案为：178nn−；6.17．(1)数列na不是MB数列，nb是MB数列，理由见解析；(2){1pp或1,}pp−Z.18．(1)81125(

2)答案见解析（1）比赛结束时，乙获胜有三种情况：①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，③第一局，第二局2胜，∴比赛结束时乙获胜的概率23332333369815

555555512525125P=++=+=；（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，229(0)1525PX==−=，23332336(1)555555125PX==+=，44(2)1(0)(1)125PXP

XPX==−=−==．∴X的分布列为X012()PX925361254412519．答案不唯一，具体见解析．【解析】选①：因为4sincos3=aBAb，由正弦定理得4sinsincos3sin=ABAB，所以(0,)B，所以sin

0B，所以4sincos3=AA，3sin22A=，又(0,)A，2(0,2)A，所以23=A或23，即6A=或3．因为1cos3C=，(0,)C，所以222sin1cos3CC=−=．当6A=时，coscos()BAC=−+31122223co

s623236C−=−+=−−=，当3A=时，coscos()BAC=−+11322261cos323236C−=−+=−−=，因此cosB的值为2236−或2616−．选②：因为222sinsin()sin+=

+bBcCbcA，由正弦定理得332()+=+bcbca，因为0bc+，所以222bcbca+−=，所以2221cos22bcaAbc+−==，因为(0,)A，所以3A=．因为1cos3C=，(0,)C，所以222sin1cos3CC=−=，所以cosco

s()BAC=−+11322261cos323236C−=−+=−−=，因此cosB的值2616−．选③：因为3sincos+=+baAAab，所以2sin6baAab+=+，因为22sin226babaAabab+=+

=，于是2baab+=，即ab=；且2sin26A+=，即sin16A+=，注意到(0,)A，7,666A+，因此62A+=，即3A=，于是ABC为等边三角形，因此1cos2C=与1

cos3C=相矛盾，故ABC不存在．20．（1）当M是线段AE的中点时，//AC平面MDF，理由见解析；（2）14.【解析】（1）当M是线段AE的中点时，//AC平面MDF.证明如下：连接CE交DF于点N，连接MN，如图，由于M、N分别是AECE、的中点，所以//MNAC，又

MN在平面MDF内，且AC不在平面MDF内，所以//AC平面MDF.（2）∵四边形CDEF是矩形，∴CDDE⊥.又CDAD⊥，且ADDED=，∴CD⊥平面ADE.平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD平面CDEFCD=，AD平面ABCD，ADCD⊥，所以AD⊥平面C

DEF，又DE平面CDEF，所以ADDE⊥，将几何体ADEBCF-补成三棱柱'ADEBCF−，三棱柱'ADEBCF−的体积122482ADEVSCD===，则几何体ADEBCF-的体积()1112082242323BBCFVVV−=−=−−=，又三棱

锥FDEM−的体积211142243223V==.∴空间几何体MDEF−与空间几何体ADMBCF−的体积的比为42041:3334−=.21．（1）221916xy−=；（2）存在，9,04G.（2

）由题意可知ACBGkk=−时直线AG和BG的倾斜角互补.分类讨论：当直线l斜率不存在时，A，B关于x轴对称，x轴上的任意点G都有ACBGkk=−.当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：()()4,0ykxk=−，与双曲线方程联立，整理得()()2222

1697214410kxkxk−+−+=，设()11,Axy，()22,Bxy，则2212227272169916kkxxkk+=−=−−，()()22122214411441169916kkxxkk−++==−−.根据AGBGkk=−，可知

()()121210102020440kxkxyyxxxxxxxx−−−==−=−−−−−，整理得()()121201202480xxxxxxxx−+−++=，将12xx，12xx+代入求解0x，即可.【解析】（1）连接PC，则PCPM=，即116PCPCMC−==11060CC=

点P的轨迹是以1C，C为左右焦点，26a=，210c=的双曲线.即3a=，5c=，224bca=−=点P的轨迹方程2C为：221916xy−=（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为：4x=，则A，B关于x轴对称.因为点G在x轴上所以

直线AG和BG关于x轴对称.则x轴上的任意点G都有ACBGkk=−，即直线AG和BG的倾斜角互补当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：()()4,0ykxk=−则()2241916ykxxy=−−=即()()2222

1697214410kxkxk−+−+=直线l交曲线2C于,AB两点()()()()222222169072416914415767160kkkkk−=+−+=+即43k设()11,Axy，()22,Bxy则1x，2x是方程()()2222169721

4410kxkxk−+−+=的两根.即2212227272169916kkxxkk+=−=−−，()()22122214411441169916kkxxkk−++==−−假设存在点()0,0Gx，使得直线AG和BG的倾斜角互补.则AGBGkk=−即

()()121210102020440kxkxyyxxxxxxxx−−−==−=−−−−−12102044xxxxxx−−=−−−即()()121201202480xxxxxxxx−+−++=()2220022214417

272248916916916kkkxxkkk+−−+−−−()2220222881472728916916kkkxkk+−=+−−−0221282880916916xkk=−=−−，即094x=综上所述，存在点9,04G，使得直线AG和BG的倾斜角互补22．

(1)增区间为()0,+，无减区间;(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析（ⅱ）结合题意得102011ln=e1xxxxx−−，再根据1>lnxx−得1020e<xxx−，再取对数后放缩即可得013>2xx−.（1）解：当=3a−时，()=ln+

3(1)exfxxx−，定义域为()0,+，所以，()()11=+3e+31e=+3e>0xxxfxxxxx−在()0,+恒成立，所以，()fx在()0,+上单调递增.所以，函数()fx的增区间为()0,+，无减区间.（2）解：（ⅰ）证

明：()=ln(1)exfxxax−−,定义域为()0,+所以，()()2111e=e1e=e=xxxxaxfxaaxaxxxx−−−−−，令()2=1exgxax−，因为10ea，所以()()22=2ee=+2e<

0xxxgxaxaxaxx−−−在()0,+恒成立，所以，()2=1exgxax−在()0,+上单调递减，因为()1=1e>0ga−，10ea，1ea，211ln=1ln<0gaa−，所以，存在唯一011,lnxa

，使得()00gx=，即0201exax=，所以，当()00,xx时，()0gx，即()0fx，()fx单调递增，当()0,+xx时，()0gx，即()0fx，()fx单调递减，所以，函数()fx

在0xx=处取得极大值，0x为()fx的极大值点，无极小值点.所以，()fx恰有一个极值点.（ii）因为0x为()fx的极值点，若1x为()fx的零点，且10xx，所以()00fx=，且1()0fx=，即0201exax=且111ln(1)e=0xxax−−，10xx，所以，0201e

xax=且111ln=e1xxax−，所以102011ln=e1xxxxx−−令1ln,1yxxx=−−，则1110xyxx−=−=在1x时恒成立，所以1ln,1yxxx=−−为增函数，1ln0yxx=−−，即1>lnxx−，因为011,lnxa，

10xx，所以111>lnxx−，()220101ln<1xxxx−，所以10220101ln1<=e<1xxxxxx−−，所以()10000<<2ln<21xxxx−−，即013>2xx−，所以013>2xx−.获得更多资源请扫码加入享

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