【文档说明】专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关（解析版）-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升.docx，共(29)页，908.761 KB，由管理员店铺上传

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专题04二次函数存在性问题（1）—与三角形相关【典例分析】【例1——最值存在性问题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0

，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）当m时，S△PAC最大.【解析

】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）如图，过点P作PE∥y轴，交AC于E，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点P

（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴S△ACPPE•（xC﹣xA）[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）（m2﹣3m）（m）2，∴当m时，S△PAC最大.【练1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B

与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．（1）求二次函数解析式；（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没

有，请说明理由；【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当m时，S最大.【解析】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）S有最大值．

如图1，设直线BM的解析式为y＝kx+a，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物的顶点坐标为M（1，4），把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得，解得，∴y＝﹣2x+6，∵D（m，0），

∴P（m，﹣2m+6）；由S△PCDPD•OD，得Sm（﹣2m+6）＝﹣m2+3m；∵当点P与点B重合时，不存在以P、C、D为顶点的三角形，∴1≤m＜3，∴S不存在最小值；∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，∴当m时，S最大，∴S的最大值为．【练2】如图，已知抛物线y＝a

x2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当x为多少时，线段PQ长度有最值

。【答案】（1）y＝x2﹣5x+4（2）当x＝2时，PQ的最大值为4【解析】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4

，故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，∵

﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4【练3】如图，直线yx+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．（1）求抛物线的函数解析式．（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的

最大值．【答案】（1）（2）△ABM的面积的最大值；【解析】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入抛物线，∴解得，∴抛物线的函数解析式为：；（2）∵M是x轴的下方的抛物线上一动点，且△ABM的面积最大，∴点M为抛物线的顶点，∴M（﹣1，﹣2），∴△ABM的面积的最大值

；【例2——二次函数中等腰三角形存在性问题】如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点

P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；（2）m的值为﹣3，﹣4，﹣5【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）存在点P，∵D（﹣3，2），B

（0，﹣1），∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），∵∠BMP＝45°，当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，

则P与A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°为顶角，即MP＝MB，∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，∴﹣m2﹣5mm，解

得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．【练1】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A(2，t)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）y＝x2（2）P点坐标为(－25，0)(25，0)或(4，0)；【解析】解：(1)把A(2，t)代入y＝2x中，得t＝4，∴A(2，4)，把A(2，4)代入y＝ax2中，得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2；(2)设P点的坐标为(m，0)，当O

A＝OP时，有m2＝22＋42，解得，m＝25，或m＝－25，∴此时P点的坐标为P(－25，0)，(25，0)；当OA＝PA时，有(m－2)2＋42＝22＋42，解得，m＝0(舍)，或m＝4，∴此时P点坐标为(4，0)，综上，在x轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，其P点坐标为(－

25，0)(25，0)或(4，0)；【练2】如图，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式．（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线

的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）B（4，0），C（0，2）．（2）y（x﹣4）（x+1）x2x+2．（3）存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD

是以CD为腰的等腰三角形．【解析】解：（1）对直线yx+2，当x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，2）．（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），∵二次函数图象经过B（4，0

），A（﹣1，0），∴y＝a（x﹣4）（x+1），把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：a（0﹣4）（0+1）＝2，解得：a，∴y（x﹣4）（x+1）x2x+2．（3）∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），∴对称轴为x，∴D（，0），∵C（0，2），∴CD，①如图1，当C

D＝PD时，PD，∴P1（），P2（），②如图2，当CD＝CP3时，过点C作CH⊥DP3于点H，∵CD＝CP3，CH⊥DP3，∴DH＝P3H，∵C（0，2），∴DH＝2，∴P3H＝2，∴P3D＝4，∴P3（，4），综上所述

：存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．【练3】如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接

写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2

+4x﹣1；（2）点D不在抛物线上；（3）m的值为﹣3，﹣4，﹣5．【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）如图，作AC⊥y轴于点C，作DH⊥y轴于点H，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°

，∴∠CAB＝∠HBD，在△ABC和△DBH中，，∴△ABC≌△DBH（AAS），∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，∴OH＝2，∴D（﹣3，2），把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，∴点D不在抛物线上；（3）存在点P，∵D（﹣3，2），B（0，﹣1

），∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），由（2）知：∠BMP＝45°，当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3

，若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°为顶角，即MP＝MB，∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，∴﹣m2﹣5mm，解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．【例3——

二次函数中直角三角形存在性问题】如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）A（﹣1，0），B（

3，0）；（2）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．【解析】解：（1）令抛物线y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；故答案为：（﹣1，0），（3，0）；（2）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角

形，∴有两种情况：①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠BCO＝∠OBC＝45°．∵P1C⊥BC，∴∠DCB＝90°，∴∠DCO＝45°，又∵∠DOC＝90°，∴∠ODC＝45

°＝∠DCO，∴OD＝OC＝3，∴D（﹣3，0），∴直线P1C的解析式为y＝x+3，联立，解得或（舍）；∴P1（1，4）；②点B为直角顶点，如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，∵

P1C⊥BC，BP2⊥BC，∴P1C∥BP2，∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，将B（3，0）代入，得0＝3+b，∴b＝﹣3，∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，联立，解得或（舍），∴P2（﹣2，﹣5）．综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．【练1】

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点

Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（

0，3）三点∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．如图，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）

2+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，设点Q（﹣1，n），则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，∵△QAC为直角三角形，∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90

°或∠AQC＝90°，①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，解得：n＝﹣2，∴Q1（﹣1，﹣2）；②当∠ACQ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，解得：n＝4，∴Q2（﹣1

，4）；③当∠AQC＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，解得：n1，n2，∴Q3（﹣1，），Q4（﹣1，）；综上所述，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）

或（﹣1，）．【练2】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点P在直线BC下方的抛物线上，点P的坐标为P

3，－154作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝14x2－x－3；（2）当△BCD是直角三角形时，D点坐标为(3，6)或(3，－9)或3，－352－32或3，352－32.【解析

】解：(1)将点A(－2，0)、B(6，0)、C(0，－3)代入y＝ax1＋bx＋c，得{4a－2b＋c＝0，36a＋6b＋c＝0，c＝－3，解得a＝14，b＝－1，c＝－3，∴y＝14x2－x－3；(2)∵P3，－154，D点在l上，如图2，当∠C

BD＝90°时，过点B作BH⊥x轴，过点D作DGH⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作DG⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG＋∠GDB＝90°，∠DBG＋∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴DGBH＝BGC

H，即33＝BG6，∴BG＝6，∴D(3，6)；如图3，当∠BCD＝90°，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD＋∠OCB＝90°，∠KCD＋∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴OBKC＝OCKD，即6KC＝3

3，∴KC＝6，∴D(3，－9)；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T3，－32，BC＝35，设D(3，m)，∵DT＝12BC，∴|m＋32|＝352，∴m＝352－32或m＝－352－32，∴D3，352

－32或D3，－352－32；综上所述：当△BCD是直角三角形时，D点坐标为(3，6)或(3，－9)或3，－352－32或3，352－32.【练3】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，

3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．（1）求二次函数解析式；（2）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+

3．（2）点P的坐标为（，3）或（，）．【解析】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）存在．若∠DPC＝90°，如图2，则PC∥x轴，∴P（m，3），且在直线y＝﹣2x+6上，∴﹣2m+6＝3，解得m，∴P（，3）

；若∠PCD＝90°，如图3，则PC2+CD2＝PD2，∴m2+（﹣2m+6﹣3）2+m2+32＝（﹣2m+6）2，整理得m2+6m﹣9＝0，解得m1＝（，m2（不符合题意，舍去）；∴P（，）；若∠PDC＝90°，则CD2+PD2＝P

C2，∴m2+32+（﹣2m+6）2＝m2+（﹣2m+6﹣3）2，整理得12m＝36，解得m＝3，此时不存在以P，C，D为顶点的三角形，∴m＝3舍去．综上所述，点P的坐标为（，3）或（，）．【例4——二次函数中全等或相似三角形存在

性问题】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q

在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）y＝－x2－2x＋3；（2）点P的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).【解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A(1，0)，B(－3

，0)，∴{a＋b＋3＝0，9a－3b＋3＝0，解得{a＝－1，b＝－2，∴抛物线的解析式为：y＝－x2－2x＋3；(2)令x＝0，y＝3，∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，∵抛物线的解析式为：y＝－x2

－2x＋3，∴抛物线对称轴为：x＝－1，∵EN∥y轴，∴△BEN∽△BCO，∴BNBO＝ENCO，∴23＝BN3，∴EN＝2，①若△PQE∽△OBC，如图所示，∴∠PEH＝45°，过点P作PH⊥ED垂足为H，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH

＝45°，∴PH＝HE，∴设点P坐标(x，－x－1＋2)，∴代入关系式得，－x－1＋2＝－x2－2x＋3，整理得，x2＋x－2＝0，解得，x1＝－2，x2＝1(舍)，∴点P坐标为(－2，3)，②若△PEQ∽△CBO，如图所示，设P(x，2)，代入关系

式得，2＝－x2－2x＋3，整理得，x2＋2x－1＝0，解得，x1＝－1－2，x2＝－1＋3(舍)，∴点P的坐标为(－1－2，2)综上所述点P的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).【练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)

，B(4，0)，C(0，4)三点．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．【答案】（1）解析式：y

＝－x2＋3x＋4；D点坐标为32，254.（2）当△PQC与△ABC相似时，△PQC的面积576125或605128.【解析】解：(1)解析式：y＝－x2＋3x＋4；D点坐标为32，254.(2)由B、C两点坐标易求直线BC解析式：y＝－x＋4，不难得出∠

CPQ＝∠BCO＝∠OBC，即在△CPQ和△ABC中，∠CPQ＝∠ABC.接下来求角两边对应成比例：表示点：设P点坐标为(0<m<4)，则Q点坐标为(m，－m2＋3m＋4)，表示线段：PC＝2m，PQ＝－m2＋4m.如图所

示，分类讨论情况一：当△CPQ∽△ABC时，则CPAB＝PQBC，代入得：2m5＝－m2＋4m42，解得：m1＝125，m2＝0(舍)，对应P点坐标为125，85，PQ＝9625，S△PCQ＝12×125×9625＝576125情况二：当△CPQ∽△

CBA时，则CPCB＝PQBA，代入得：2m42＝－m2＋4m5，解得：m3＝114，m4＝0(舍)，对应P点坐标为114，54，PQ＝5516，S△PCQ＝12×114×5516＝605128.综上所述，

当△PQC与△ABC相似时，△PQC的面积576125或605128.【练2】如图，抛物线y＝3＋36x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝3CD.(1)求b，

C的值；(2)求直线BD的函数解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）b＝－3＋33，c＝－3＋32（2）y＝－33＋3（3）【解析】解：(1)

∵OB＝3OA＝3，∴B(3，0)，A(－1，0)．∴{3＋36−b＋c=03＋36×9＋3b＋c=0解得：b＝－3＋33，c＝－3＋32(2)如图，过点D作DE⊥y轴于E，∵∠ECD＝∠BCO，∠DEC

＝∠BOC＝90°∴△CDE∽△CBO∴CDBC＝DEOB∴13＝DE3，DE＝3即D点横坐标为－3，其坐标为D(－3，3＋1)由B(3，0)得直线BD解析式为：y＝－33＋3(3)由A(－1，0)，B(3，0)，D(－3，3＋1)，知S△ABD＝2(3＋1)，BD＝2(3＋1)，AD＝22如图

，过点A作AH⊥BD于H，∴AH＝2，DH＝2，∴tan∠ADB＝1，tan∠ABD＝33，tan∠DAM＝2＋3设Q(x，0)，P(1，m)，其中m<0，x<3，①当△ABD∽△BPQ时，∠DAB＝∠QBP(由题意知∠QBP<90°，∠DAB>90°，不存在)②当△ABD∽

△BQP时，同理，此种情况不存在；③当△ABD∽△QBP时，tan∠ADB＝tan∠QPB＝1，tan∠ABD＝tan∠QBP＝33，tan∠PQO＝tan∠DAM＝2＋3，∴－m2＝33，即m＝233，－mx－1＝2＋3，x＝43－33即Q43－33，0④

当△ABD∽△QPB时，同理，∴－m2＝1，即m＝－2，－mx－1＝2＋3，x＝5－23即Q(5－23，0)⑤当△ABD∽△PQB时，同理，∴－m2＝1，即m＝－2，－mx－1，＝33，x＝1－23即Q(5－23，0)⑥当△ABD∽△PBQ时，同理，∴－m2＝33，即m＝233，－

m1－x＝1，x＝1－233即Q1－233，0.综上所述：当△ABD与△BPQ相似时，点Q的坐标为：Q43－33，0、Q(5－23，0)或Q1－233，0.【练3】如图，抛物线y＝－

x2＋bx＋c轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，点D是直线BC上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BD、CD，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为s.试求出s与m的

最大值；(3)如图2，设AB的中点为E，作DF⊥BC，垂足为F，连接CD、CE，是否存在点D，使得以C，D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝－x

2＋2x＋3.（2）S与m的函数关系式为S＝－32m2＋92m，s的最大值为278.（3）点D的坐标为52，74或32，154.【解析】解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，

∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)如图，过点D作DM∥y轴，交BC于点M.∵当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，∴c(0，3)．∴直线BC解析式为y＝－x＋3.∴D(m，－m2＋2m＋3)，M

(m，－m＋3)．∴DM＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.∴S＝S△DMB＋S△DMC＝12×MD(xB－xD)＋12(xM－xC)＝12OB·DM＝32m2＋92m＝－32m－322＋278(0＜m＜3)，∴S与m的函数

关系式为S＝－32m2＋92m，s的最大值为278.(3)存在点D，使得以C，D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似如图，连接BD设点D的横坐标为m，∵点EAB中点，A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)∴E(1，0)，OE＝

1，OC＝3，CD2＝m2＋(－m2＋2m＋3－3)2∴CE＝OE2＋OC2＝12＋32＝10.∴sin∠OCE＝OECE＝110＝1010，cos∠OCE＝OCCE＝310＝31010.∴BC＝OB2＋OC2＝32，DF⊥BC.∴由(2)知

，面积S＝12BC·DF＝－32m2＋92m.∴DF＝2SBC＝－3m2＋9m32＝－m2＋m32∵以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°∴△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC①若△CFD∽△COE，则∠FCD＝∠OCE∴sin∠FCD＝D

FCD＝1010∴10DF2＝CD2∴10－m2＋3m22＝m2＋(－m2＋2m)2.解得：m1＝4(舍去)，m2＝52.∴－m2＋2m＋3＝－254＋5＋3＝74.∴D52，74.②若△CFD∽△EOC，则∠FDC

＝∠OCE，∴cos∠FDC＝DFCD＝31010.∴10DF2＝9CD2.∴10－m2＋3m2＝9[m2＋(－m2＋2m)2]解得：m1＝0(舍去)，m2＝32.∴－m2＋2m＋3＝－94＋3＋3＝154.∴D32，154.

∴综上所述：点D的坐标为52，74或32，154.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com