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第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则()A.长方体的表面积为20B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到

C1的最短距离为3√2D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2√5答案BC解析长方体的表面积为2×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图①所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,

AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形,如图②所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,则有AC1=√52+12=√26,即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B

1时的最短距离是√26;如图③所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1=√32+32=3√2,即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3√2;如图④所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1=√42+22=2

√5,即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2√5.因为3√2<2√5<√26,所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3√2,C正确,D不正确.2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是()A.16B.1

3C.12D.1答案A解析三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=13×12×1×1×1=16

.3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为√3,则该正四棱锥的表面积为()A.8B.12C.16D.20答案B解析由题意得侧面三角形底边上的高为√(√3)2+12=2,所以该四棱锥的表面积为22+4×12×2×2=12.4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.3π

B.43C.32πD.1答案B如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为√2,故底面积为(√2)2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为13

×2×1=23.故几何体的体积为2×23=43.5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为()A.4√23B.√2C.2√23D.√23答案D解析由题意,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可

知侧棱长均为√2,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为13×12×√2×√2×√2=√23.6.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图,得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点,且

A'O'=1,则△ABC的边BC上的高为()A.1B.2C.√2D.2√2答案D解析∵直观图是等腰直角三角形A'B'C',∠B'A'C'=90°,A'O'=1,∴A'C'=√2,根据画直观图时平行于y轴的长度变为原来的一半,∴△ABC的边BC上的高AC=2

A'C'=2√2.故选D.7.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.答案10解析因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·

BC·CC1=120,因为E为CC1的中点,所以CE=12CC1,由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=13×12AB·BC

·CE=13×12AB·BC·12CC1=112×120=10.8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积

是,表面积是.答案90138解析该几何体的体积V=4×6×3+12×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+12×4×3×2+√32+42×3+3×4=138.9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2√3,则该棱锥的体积为.答案323解析∵侧棱

SA=2√3,高SO=2,∴AO=√𝑆𝐴2-𝑆𝑂2=2√2,因此,底面正方形的边长AB=√2AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体积为V=13AB2·SO=13×16×2=323.10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,则它的深度

为cm.答案75解析设油槽的上、下底面积分别为S',S.由V=13(S+√𝑆𝑆'+S')h,得h=3𝑉𝑆+√𝑆𝑆'+𝑆'=3×1900003600+2400+1600=75(cm).关键能力提升练11.我国古代名著《张丘建

算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正

四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)()A.1946立方尺B.3892立方尺C.7784立方尺D.11676立方尺答案B解析由题意可知,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6,设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得30-ℎ30=6×√

2220×√22,解得h=21,可得正四棱台的体积为13×21×(62+202+6×20)=3892(立方尺),故选B.12.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积

为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=.答案3∶4解析设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=13h(S+4S+2S)=73Sh,V1=Sh,∴𝑉1𝑉2=𝑆ℎ

73𝑆ℎ-𝑆ℎ=34.13.如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥的高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5

的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面的高度为.答案1-√732解析液体部分的体积为三棱锥体积的18,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的78.设空出的三棱锥的高为x,则x313=78,所以x=√732,所以液面高度为1-√732.14.(2021广东东莞期

末)广场上的玩具石凳是由正方体截去八个全等的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为2√2,那么玩具石凳的表面积为.答案8√3+24解析根据题意可知,玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和6个以2为边长的全等的正方形构

成,故玩具石凳的表面积为8×12×22sin60°+6×22=8√3+24.15.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?

解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,图略,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则𝐴1𝐵1𝐴𝐵=𝑃𝑂1𝑃𝑂,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=ℎ𝑎x,于是OO1=h-PO1=h-ℎ𝑎x=h(1-𝑥𝑎)

.所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(1-𝑥𝑎)=3ℎ𝑎(a-x)x=3ℎ𝑎𝑎24−(𝑥-𝑎2)2.当x=𝑎2时,S有最大值为34ah,此时O1为PO的中点,即A1,B1,C1分别是三条棱的中点.学科素养创新练1

6.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为20√33,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长.解∵AB=10,∴A

D=√32AB=5√3,OD=13AD=5√33.设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=√36x.如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=√3

6x.∴DH=OD-OH=5√33−√36x,在Rt△D1DH中,D1D=𝐷𝐻cos60°=25√33−√36x.∵四边形B1C1CB的面积为12(B1C1+BC)·D1D,∴20√33=12(x+10)×25√33−√36x,即40=(x+10)

(10-x),