【文档说明】江西省上饶市余干县第三中学2020-2021学年高一下学期第三次月考数学试题 版含答案.docx，共(9)页，617.748 KB，由管理员店铺上传

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余干三中2020-2021学年度学高一下学期第三次月考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．化简AEEBBC++等于A．ABB．B

AC．0D．AC2．cos50cos20sin50sin20+的值为A．12B．13C．32D．333．若直线310axy++=与40xy+−=互相平行，则a的值为（）A．1B．12−C．23−D．34．已知(1,0),(0,3)AB，则以AB为直径的圆的

方程是（）A．2230xyxy+−−=B．2230xyxy+++=C．2230xyxy++−=D．2230xyxy+−+=5．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）A．1(0,0)e=，2(1,2)e=−B．1(1,2)e=−，2(5,7)e=C

．1(3,5)e=，2(6,10)e=D．1(2,3)e=−，213,24e=−6．已知扇形的圆心角为60，面积为6，则该扇形的周长为（）A．23+B．13+C．213+D．223+7．设()cos(),(0)6fxx=−，若()()4fxf对任意的实数x

都成立，则的最小值为（）A．23B．32C．43D．348．已知1,12abb=−=，则a在b方向上的射影为（）A．12B．1-2C．3D．239．已知函数()4sincos122xxfx=+，()4sincos()226

xxgx=−，若(),()()()(),()()fxfxgxhxgxfxgx=，下列说法错误．．的是（）A．()hx是以2为最小正周期的周期函数B．()hx关于直线712x=对称C．()hx在5[,]212−上单调递

增D．()hx在219[,]312上单调递减10．已知(sin)cos2fxx=，则(cos)8f=（）A．-1B．1C．22−D．2211．设ABC中BC边上的中线为AD，点O满足2AOOD=，则OC=（）A．1233ABAC−+B．2133ABAC−C

．1233ABAC−D．2133ABAC−+12．已知圆()()22:122Cxy−++=，若直线24ykx=−上存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（）A．23k−或0kB

．38k−C．38k−或0kD．23k−第II卷（非选择题）二、填空题13．已知sincos2sin2cos+=−，则tan2的值为_______.14．若直线ykx=与圆2220xyx+−=的两个交点

关于直线20xya++=对称，则ak=__________．15．在数1和100之间插入n个实数，使得这2n+个数构成递增的等比数列，将这2n+个数的乘积记作nT，令()*lgnnaTnN=，则数列na的通项公

式为______.16．在等腰ABC中，已知2,ABAC==1cos4A=，EF、分别是边ABAC、上的点，且,AEmABAFnAC==，其中(),0,1mn，若EFBC、的中点分别为MN、且21mn+=，则||MN的最小值是__________.三、解答题17．

已知向量a与向量b的夹角为3，且1a=，27ab−=.（1）求ab；（2）若()()abab+⊥−，求.18．在等差数列na中，nS为其前n项和*()nN，且335,9.aS==（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnbaa

+=，求数列nb的前n项和.nT19．已知圆C：22(1)(1)4xy−++=，若直线34(0)xybb+=与圆C相切.求：（1）实数b的值；（2）过(0,)b的直线l与圆C交于P、Q两点，如果4PQ=.求直线l的方程.20．已知函数π()2

sin16fxx=+−+(0π,0)为偶函数，且函数()fx的图象的两相邻对称中心的距离为π2.（1）求π8f的值；（2）将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度后，再将

得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，求函数()gx的单调递增区间.21．已知向量(cos,sin),(cos,sin)axxbxx==−，0,2x，求：（1）求ab+；（2）若()fxabab=−+，求()fx的最大值和最小值22．已

知圆()()22:344Cxy−+−=，直线1l过定点()1,0A.（1）点B在圆C上运动，求AB的最小值，并求出此时点B的坐标.（2）若1l与圆C相交于,PQ两点，线段PQ的中点为M，又1l与2:220lxy++=的交点为N，

判断AMAN是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.参考答案1．D【分析】根据向量加法法则，直接运算可得结果.【详解】AEEBBCABCBCA++=+=，故选：D.【点睛】本题考查向量的加法运算，考查运算求

解能力，属于基础题.2．C【分析】直接根据两角差的余弦公式计算，即可得答案；【详解】3cos50cos20sin50sin20cos(5020)cos302+=−==，故选：C.【点睛】本题考查两角差的余弦公式

，考查运算求解能力，求解时注意cos()−展开的右边是加号.3．D【分析】根据两直线平行时，两直线方程系数之间的关系进行求解即可.【详解】因为直线310axy++=与40xy+−=互相平行，所以有31114a=−成立，解得3a=

.故选：D【点睛】本题考查了已知两直线平行求参数问题，属于基础题，考查了数学运算能力.4．A【分析】因为圆以AB为直径，可得圆心为13,22，半径为102，求得圆的标准方程，化简，即可求得答案.【详解】圆以AB为直

径，圆心为13,22，半径为102，圆的方程为22135222xy−+−=，即2230xyxy+−−=．故选：A．【点睛】本题主要考查圆的方程，考查考生的运算求解能力，解题关键是掌握圆方程的求法，属于基础题.5．B【分析】以作为基底的向

量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A，C，D选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B．【详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求B中两个向量是1(

1,2)e=−，2(5,7)e=，则2517−故1(1,2)e=−与2(5,7)e=不共线，故B正确；C中两个向量是1212ee=，两个向量共线，D项中的两个向量是124ee=，两个向量共线，故选：B．【点睛】本题考查平面

中两向量的关系，属于基础题.6．A【分析】通过面积计算得到1r=，再计算周长得到答案.【详解】22112236Srr===，故1r=，周长为：223rr+=+.故选：A.【点睛】本题考查了扇形的面积和周长，计算扇形半径

是解题的关键.7．A【分析】根据函数最值的定义，结合余弦函数的最值进行求解即可.【详解】因为()()4fxf对任意的实数x都成立，所以说明当4x=时，函数有最大值，所以有2()46kkZ−=成立，解得：28()3kkZ=+，而0，所以有kN，当0k=时，

有最小值23.故选：A【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数最小值问题，考查了余弦函数的最值，考查了函数最值的定义，考查了数学运算能力.8．B【分析】由于a在b方向上的射影为abb，代入值直接求解即可.【详解】解：因为1,12abb=−=，所以a在b方向上的射影为112=1

2abb−=−，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积的几何意义，属于基础题.9．C【解析】∵()4sincos12sin122xxfxx=+=+，()314sincos4sincossin22622222xxxxxgx=−=+223sinc

os2sin3sincos12sin12226xxxxxx=+=−+=−+，当()()fxgx即sinsin6xx−，解得5722,1212kxkkZ−++

；当()()fxgx，即sinsin6xx−，解得719221212kxk++，故()572sin1,22,12127192sin1,2261212xkxkkZhxxkxk+−++=−+++，故

函数()hx在5,212−−上单调递减，在55,1212−上单调递增，故选C.10．C【分析】根据诱导公式可得3cossin88=，则代入函数解析式计算可得；【详解

】解：因为3cossinsin8288=−=，(sin)cos2fxx=所以3332cossincos2cos88842ff====−故选：C【点睛】本题考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数值，属于基础题.11．A【分析】作出

图形，利用AB、AC表示AO，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OCACAO=−可得出结果.【详解】如下图所示：DQ为BC的中点，则()1122ADABBDABBCABACAB=+=+=+−1122ABAC=+，2AOOD=，211333

AOADABAC==+，11123333OCACAOACABACABAC=−=−+=−+，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.12．A【分析】直接

利用直线与圆的位置关系，由于存在点P使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式求出k的取值范围.【详解】解：设过点P的圆C的两条切线分别与圆相切于,AB,因为过点P的圆C的两条切线互相垂直，所以四边形APBC为正方形，此时正方形的对角线长为2，所以只需圆心(1,2)−

到直线的距离小于等于2，即222441kk+−+≤2，1k−≤241k+，解得23k−或0k，故选：A【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.13．512−【分析】首先分子和分母上下同

时除以cos，求得tan，再利用二倍角公式求解.【详解】cos0=时，等式不成立，当cos0时，分子和分母上下同时除以cos，得tan12tan2+=−，解得：tan5=22tan105tan21tan12512===−−−.故答案为：512−【点睛】本题考查二倍角

的正切公式，已知sin,cos的齐次方程求tan，重点考查公式和计算，属于基础题型.14．-1【解析】【分析】由对称知直线20xya++=过圆心()1,0，再由垂直关系可得k，从而得解.【详解】易得直线20xya++=过圆心()1,0，所以2a=−，直线ykx=与直线20xya++=垂

直，所以12k=，所以1ak=−.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题.15．2nan=+【分析】记这2n+个数构成递增的等比数列为nb，则由1=1b，2=100nb+，可得到()1l

g2nq+=,将()*lgnnaTnN=化简后代入即可得出答案.【详解】记由2n+个数构成递增的等比数列为nb，则1=1b，2=100nb+，则1=100nq+.即()1lg=lg1002nq+=所以1232=nnTbbbb+，即()()()()2112

321111lg=lglglglgnnnabbbbbbqbqbq++=+++()()()1=2lg123+1lgnbnq+++++()()12=lg2nnq++2n=+故答案为：2nan=+.【点睛】本题考查等比数列的应用,属于中档题.解本题的关键在

于由1=1b，2=100nb+得出()1lg2nq+=代入()*lgnnaTnN=化简.16．154【分析】以ABAC、为一组基底，根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的定义和运算性质、二次函数的性质进行求解即可.【详解】11()()22MNANAMABACAEAF=−=+−

+11()()22ABACmABnAC=+−+，化简得：11(1)(1)22MNmABnAC=−+−，2222211(1)(1)44MNmABnAC=−+−112(1)(1)cos22mnABACA+−−，化简得：222

1(1)(1)(1)(1)2MNmnmn=−+−+−−，而21mn+=，所以有2222211154(1)2(1)41(2)2416MNnnnnnnn=+−+−=−+=−+，当1204n−=时，即18n=时，2MN有最小值1516，所以||MN的最小值是

154.故答案为：154【点睛】本题考查了求平面向量模的最小值问题，考查了平面向量数量积的运算性质和定义，考查了平面向量加法的几何意义，考查了数学运算能力.17．（1）32；（2）521【分析】（1）对27ab−=进行平方，然后利用平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可；（

2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）由27ab−=得22447aabb−+=，已知向量a与向量b的夹角为3，且1a=，所以化简得；2230bb−−=；解得3b=r或1b=−（舍去）

∴3b=r；13cos13322abab===（2）由()()0abab+−=得2235(1)01(1)90221aabb+−−=+−−==【点睛】本题考查了已知平面向量的模求平面向量数量积，考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了平面向量垂直的性质，考查了

数学运算能力.18．（1）21nan=−；（2）21nnTn=+.【分析】⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到答案⑵由na的通项公式得到nb的通项公式，然后根据裂项相消法求前n项和nT【详解】（1）由已知条件得11a25,3a69,

dd+=+=解得1a1,d2,==所以通项公式为；na2n1=−（2）由（1）知，na2n1=−，∴()()111111212122121nnnbaannnn+===−−+−+数列nb的前n项和n12nSbbb=+++=11111111

1--)1.2335212122121nnnnn+++−=−=−+++（【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题，遇到形如11nnnbaa+=形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式．19．（

1）9；（2）1090xy+−=【分析】（1）由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可得b的值；（2）由于42PQr==，所以直线过圆心，从而可求出直线l的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【详解】解：（1）圆C：22(1)(1)4xy

−++=的圆心为(1,1)−，半径为2因为直线34(0)xybb+=与圆C相切，所以2234234b−−=+，解得9b=（2）因为圆的半径为2，弦4PQ=，所以直线l过圆心，所以l的斜率为9(1)1001k−−==−−，所以直线l的方程为910yx−=−，即1090xy+−=【点睛】此题考查直

线与圆的位置关系，属于基础题.20．（1）21+；（2）()424,433kkkZ−++【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合正弦函数的诱导公式、余弦型函数的最小正周期公式、特殊角的

余弦函数值进行求解即可；（2）根据余弦型函数()fx的图象变换过程写出函数()gx的解析式，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为()fx为偶函数，所以πππ(Z)62kk−=+，所以2ππ(Z)3kk=+.又0π，

所以2π3=，所以π()2sin12cos12fxxx=++=+.因为函数()fx的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，所以2ππ22T==，因为0，所以2=，所以()2cos

21fxx=+，所以ππ2cos212188f=+=+；（2）将()fx的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数π6fx−的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到π46xf−的图象，所以πππ()2cos21

2cos1464623xxxgxf=−=−+=−+.当()2223xkkkZ−+−，即4244,33kxkkZ−++时，()gx单调

递增.所以函数()gx的单调递增区间是()424,433kkkZ−++.【点睛】本题考查了通过正弦型函数的性质求解析式，考查了由余弦型函数图象的变换求解析式，考查了余弦型函数的单调性，考查了数学运算能力.21．（1）2cosx；（2）最大值为1−，最小值为32−【分析】（

1）根据平面向量加法的坐标表示公式和平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式、配方法进行求解即可.【详解】（1）因为(cos,sin),(cos,sin)axxbxx==

−，所以(2cos,0)abx+=，因此2cosabx+=，因为0,2x，所以2cos2cosabxx+==（2）由()fxabab=−+可得：222213()cossin2cos2cos2cos12(

cos)22fxxxxxxx=−−=−−=−−当1cos2x=时，即当3x=时，函数()fx有最小值32−；当cos0x=或cos1x=时，即当2x=或0x=时，函数()fx有最大值213(0)2(1)122f=−−=−或213()2(0)

1222f=−−=−.所以()fx的最大值为1−，最小值为32−.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量加法和平面向量的模的坐标表示公式，考查了配方法的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了含cosx的二次式的最值，考查了数学运算能力.22．

（1）252−，25453,455B−−；（2）是定值，定值为6【分析】（1）根据ABBCAC+可得AB的最小值，利用直线AC的方程与圆的方程联立可得B的坐标；（2）设直线1l的方程为kxyk0−−=，联立直线1l与2l解得N的坐标，联立直线CM与1l得

M的坐标，再根据两点间的距离公式得AMAN，化简可得结果.【详解】（1）因为ABBCAC+，所以()()22231402252ABAC−=−+−−=−，当且仅当B为线段AC与圆的交点时，取得等号，因为直线AC的方程为：()21yx=−，联立()()2222344yxxy=−−+−=

，消去y整理得2530410xx−+=，解得2535x=−或2535x=+（舍），所以4545y=−，所以25453,455B−−.所以AB的最小值为252−，出此时点B的坐标为25453,455B−−.（2）因为直线1l与圆C相交，斜率必定存在且不为0

,可设直线1l的方程为kxyk0−−=，由2200xykxyk++=−−=，得2221321kxkkyk−=+=−+，所以223,2121kkNkk−−++.又直线CM与1l垂直，所以

直线CM的方程为14(3)yxk−=−−，由()143ykxkyxk=−−=−−，得2222431421kkxkkkyk++=++=+，所以22224342,11kkkkMkk+++++.所以AMAN22222222434222311112121kkkkkkk

kkk+++−=−+−+−++++2222213116121kkkkk++=+=++为定值.故AMAN是定值，且为6.【点睛】本题考查了直线与圆的

位置关系，考查了圆的性质，考查了求直线的交点坐标，属于基础题.