【文档说明】2023届高考数学易错题专项突破——易错点29 双曲线及其性质含解析【高考】.docx，共(11)页，62.259 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1易错点29双曲线及其性质一、单选题1.若椭圆𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1(𝑚>𝑛>0)和双曲线𝑥2𝑎−𝑦2𝑏=1(𝑎>𝑏>0)有相同的焦点𝐹1,𝐹2，P是两条曲线的一个交点，则|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|的值是A.𝑚−𝑎B.12(𝑚−𝑎)C.𝑚2−𝑎2D.√�

�−√𝑎2.与圆𝑥2+𝑦2=1及圆𝑥2+𝑦2−8𝑥+7=0都外切的圆的圆心轨迹是A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支3.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为F，O为坐标原点，P为渐近线上的一点．若等腰三角形PFO的面积为2，

且𝑂𝑃⊥𝑃𝐹，则双曲线的方程为A.𝑥2−𝑦2=1B.𝑥22−𝑦22=1C.𝑥23−𝑦23=1D.𝑥24−𝑦24=14.若方程𝑥29−𝑘+𝑦2𝑘−1=1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是A.𝑘

<1或𝑘>9B.𝑘>9C.1<𝑘<9且𝑘≠5D.5<𝑘<95.已知双曲线8𝑘𝑥2−𝑘𝑦2=8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为A.1B.−1C.13√65D.−13√656.与椭圆𝑥236+𝑦220=1有公共焦点，且过点𝑃(−4,6)的双曲线方程为A.𝑦24−

𝑥212=1B.𝑥24−𝑦212=1C.𝑦212−𝑥24=1D.𝑥212−𝑦24=17.已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为

A.B.C.D.8.已知A是双曲线E：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左顶点，B是该双曲线的一条渐近线上一点，若线段AB的中垂线为该双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的渐近线方程为A.𝑦=±√33𝑥B

.𝑦=±√3𝑥C.𝑦=±2𝑥D.𝑦=±12𝑥二、填空题29.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，过点𝐹1作圆𝑥2+𝑦2=𝑎2的切线交双曲线右支于点M，若∠𝐹1𝑀𝐹2

=𝜋4，则双曲线的离心率为______．10.已知命题p：方程𝑥22𝑚−𝑦2𝑚−1=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线𝑦25−𝑥2𝑚=1的离心率𝑒∈(1,2)；若“𝑝∨𝑞”为真命题，“𝑝∧𝑞”

为假命题，则实数m的取值范围为______．11.已知圆C：(𝑥+5)2+𝑦2=36和点𝐵(5,0)，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是______．12.已知双曲线𝑥2−𝑦23=1的左、右焦点

分别为𝐹1、𝐹2，点M在该双曲线的右支上，且|𝑀𝐹2|=3，则|𝑀𝐹1|=___________.三、解答题13.已知条件p：“曲线𝐶1：𝑥2𝑚−1+𝑦25−𝑚=1表示焦点在x轴上的椭圆”，条件q：“曲线𝐶2：𝑥2𝑚−𝑡+𝑦2𝑚−

𝑡−1=1表示双曲线”．(1)若条件p成立，求m的取值范围；(2)若条件p，q都成立且p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．14.已知双曲线𝐶1的离心率等于√52，且与椭圆𝐶2：𝑥29+𝑦24=1有公共焦点

，(1)求双曲线𝐶1的方程；(2)若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆𝐶2的焦距，求该抛物线方程．315.已知条件p：“存在𝑥∈R，3𝑥2+(2𝑎−1)𝑥+3<0”，条件q：“曲线𝐶1：𝑥2𝑎2+𝑦22𝑎+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，条件s：“曲线𝐶2：𝑥

2𝑎−3𝑡+𝑦2𝑎−4𝑡=1(𝑡>0)表示双曲线”．(1)若p与q同时成立，求实数a的取值范围；(2)若s是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．16.已知𝐹1,𝐹2分别为双曲线𝑥𝑎22−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左，右焦点

，P为双曲线右支上的一点．(1)若|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2|且为等腰三角形，求该双曲线的离心率；(2)若且，求该双曲线的离心率的取值范围一、单选题1若椭圆𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1(𝑚>𝑛>0)和双曲线𝑥2𝑎−𝑦2𝑏=1(𝑎>𝑏>0)有相同的焦点𝐹1

,𝐹2，P是两条曲线的一个交点，则|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|的值是A.𝑚−𝑎B.12(𝑚−𝑎)C.𝑚2−𝑎2D.√𝑚−√𝑎【答案】A【解析】解：∵椭圆𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1(𝑚>𝑛>0)和双曲线𝑥2𝑎−𝑦

2𝑏=1(𝑎>0,𝑏>0)有相同的焦点𝐹1，𝐹2，P是两曲线的一个交点，4∴|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2√𝑚，||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=2√𝑎，|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=(|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|)2−(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|)24=𝑚−

𝑎．故选A．2与圆𝑥2+𝑦2=1及圆𝑥2+𝑦2−8𝑥+7=0都外切的圆的圆心轨迹是A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支【答案】C【解析】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆𝑥2+𝑦2=1的圆心

为𝑂(0,0)，半径为1；圆𝑥2+𝑦2−8𝑥+7=0的圆心为𝐹(4,0)，半径为3，依题意得|𝑃𝐹|=3+𝑟，|𝑃𝑂|=1+𝑟，则|𝑃𝐹|−|𝑃𝑂|=(3+𝑟)−(1+𝑟)=2<|𝐹𝑂|，所以点P的轨迹是双曲线的左支，

故选C．3已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为F，O为坐标原点，P为渐近线上的一点．若等腰三角形PFO的面积为2，且𝑂𝑃⊥𝑃𝐹，则双曲线的方程为A.𝑥2−𝑦2=1B.𝑥22−𝑦22=1C.𝑥23−�

�23=1D.𝑥24−𝑦24=1【答案】D【解析】解：依题意得双曲线的渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥，∴𝑏=2𝑎，又𝑆△𝑃𝑂𝐹=14𝑐2=2，∴𝑐=2√2，又𝑎2+𝑏2=𝑐2，解得𝑎=2，𝑏=2，∴双曲线C的标准方程为𝑥24−𝑦24=1．

故选D．4若方程𝑥29−𝑘+𝑦2𝑘−1=1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是A.𝑘<1或𝑘>9B.𝑘>95C.1<𝑘<9且𝑘≠5D.5<𝑘<9【答案】B【解析】解：𝑥29−𝑘+𝑦2𝑘−1=1表示焦点在y轴上的双曲线，即方程为𝑦2𝑘−1−𝑥2𝑘−

9=1所以{𝑘−1>0𝑘−9>0,解得𝑘>9故选B．5已知双曲线8𝑘𝑥2−𝑘𝑦2=8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为A.1B.−1C.13√65D.−13√65【答案】B【解析】解：双曲线8𝑘𝑥2−𝑘𝑦2=8，化为𝑦2−8𝑘−𝑥

2−1𝑘=1，∵双曲线的一个焦点为(0,3)，∴−8𝑘−1𝑘=32，解得𝑘=−1．故选B．6与椭圆𝑥236+𝑦220=1有公共焦点，且过点𝑃(−4,6)的双曲线方程为A.𝑦24−𝑥212=1B.𝑥24−𝑦212=1C.𝑦212−𝑥24=1D.𝑥

212−𝑦24=1【答案】B【解析】解：根据题意，椭圆的方程为𝑥236+𝑦220=1，其焦点在x轴上，且𝑐2=36−20=16，则其焦点坐标为(±4,0)，设要求双曲线的方程为：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1，又由

过点𝑃(−4,6)且焦点坐标为(±4,0)，则有{16𝑎2−36𝑏2=1𝑎2+𝑏2=166解可得：{𝑎2=4𝑏2=12,故要求双曲线方程为𝑥24−𝑦212=1；故选B．7已知双曲线𝐶:

𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：∵双曲线焦点到渐近线的距离等于实轴长，即点𝐹(𝑐,0)到直线𝑏𝑥±𝑎�

�=0的距离等于2a，即|𝑏𝑐|√𝑎2+𝑏2=2𝑎，即𝑏=2𝑎，可得𝑒2=𝑐2𝑎2=1+𝑏2𝑎2=5，即𝑒=√5．故选C．8已知A是双曲线E：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左顶点，B是该双曲线的一条渐近线上一点，若线段AB的中垂线

为该双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的渐近线方程为A.𝑦=±√33𝑥B.𝑦=±√3𝑥C.𝑦=±2𝑥D.𝑦=±12𝑥【答案】B【解析】解：设线段AB的中点为C，∵线段AB的中垂线为该双曲线的另一条渐近线，∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐶，由双曲线的几何性质知，∠𝐴𝑂𝐶=

∠𝑥𝑂𝐵，∵∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐵𝑂𝐶+∠𝑥𝑂𝐵=𝜋，7∴∠𝑥𝑂𝐵=𝜋3，∴该双曲线的渐近线方程为𝑦=±√3𝑥，故选B．二、填空题9已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，

过点𝐹1作圆𝑥2+𝑦2=𝑎2的切线交双曲线右支于点M，若∠𝐹1𝑀𝐹2=𝜋4，则双曲线的离心率为______．【答案】√3【解析】解：如图：|𝑀𝐹1|−|𝑀𝐹2|=2𝑎，设|𝑀𝐹2|=𝑡，则|𝑀𝐹1|=2𝑎+𝑡，∵sin∠𝑀𝐹1𝐹2=|𝑂𝑁||𝑂

𝐹1|=𝑎𝑐，在△𝑀𝐹1𝐹2中，由正弦定理得|𝑀𝐹2|sin∠𝑀𝐹1𝐹2=|𝐹1𝐹2|sin∠𝐹1𝑀𝐹2，即𝑡𝑎𝑐=2𝑐√22，∴𝑡=2√2𝑎，∴|𝑀𝐹2|=2√2𝑎，|𝑀𝐹

1|=(2√2+2)𝑎，由余弦定理得4𝑐2=8𝑎2+(12+8√2)𝑎2−2×2√2𝑎×(2√2+2)𝑎×√224𝑐2=12𝑎2，∴𝑐2=3𝑎2，∴𝑒=√3．故答案为：√3．10

已知命题p：方程𝑥22𝑚−𝑦2𝑚−1=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线𝑦25−𝑥2𝑚=1的离心率𝑒∈(1,2)；若“𝑝∨𝑞”为真命题，“𝑝∧𝑞”为假命题，则实数m的取值范围为______

．【答案】[13,15)【解析】解：∵已知命题p：方程𝑥22𝑚−𝑦2𝑚−1=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴若p为真命题，那么{1−𝑚>02𝑚>01−𝑚>2𝑚，∴实数m的取值范围：0<𝑚<13；∵命题q：

双曲线𝑦25−𝑥2𝑚=1的离心率𝑒∈(1,2)，若q为真命题，那么𝑒2=5+𝑚5∈(1,4)，∴实数m的取值范围：0<𝑚<15，又∵“𝑝∨𝑞”为真命题，“𝑝∧𝑞”为假命题，所以命题p、q一真一假，①若p真q假，则{0<𝑚<13𝑚≤0或𝑚≥15，那么

m的取值范围为⌀；8②若p假q真，{𝑚≤0或𝑚≥130<𝑚<15，那么m的取值范围为[13,15)，∴实数m的取值范围：𝑚∈[13,15)．故答案为[13,15)．11已知圆C：(𝑥+5)2+𝑦2=36和点𝐵(5,0)，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于

M点，则M点的轨迹方程是______．【答案】𝑥29−𝑦216=1．【解析】解：由圆的方程可知，圆心𝐶(−5,0)，半径等于6，设点M的坐标为(𝑥,𝑦)，∵𝐵𝑃的垂直平分线交CQ于点M，∴|𝑀𝐵|=|𝑀𝑃|.又|𝑀𝐶|

−|𝑃𝑀|=6，∴|𝑀𝐶|−|𝑀𝐵|=6<|𝐵𝐶|.依据双曲线的定义可得，点M的轨迹是以B、C为焦点的双曲线，且2𝑎=6，𝑐=5，∴𝑏=4，故双曲线方程为𝑥29−𝑦216=1．故答案为：

𝑥29−𝑦216=1．12已知双曲线𝑥2−𝑦23=1的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，点M在该双曲线的右支上，且|𝑀𝐹2|=3，则|𝑀𝐹1|=___________.【答案】5【解析】解：由双曲线𝑥2−𝑦23=1，可得𝑎2=1，所以𝑎=1

，∵点M在双曲线上，𝐹1、𝐹2是双曲线的焦点，∴|𝑀𝐹1|−|𝑀𝐹2|=2𝑎=2，∵|𝑀𝐹2|=3，∴|𝑀𝐹1|=5，故答案为5．三、解答题13已知条件p：“曲线𝐶1：𝑥2𝑚−1+𝑦25−𝑚=1表示焦点在x轴上的椭圆”，条件q：“曲线�

�2：𝑥2𝑚−𝑡+𝑦2𝑚−𝑡−1=1表示双曲线”．(1)若条件p成立，求m的取值范围；(2)若条件p，q都成立且p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．9【答案】解：(1)若条件p成立，则{𝑚−1>5−𝑚5−𝑚>0,解得3<�

�<5，即m的取值范围(3,5)；(2)若条件q成立，则(𝑚−𝑡)(𝑚−𝑡−1)<0，解得𝑡<𝑚<𝑡+1，由p是q的必要不充分条件，则可得{𝑚|𝑡<𝑚<𝑡+1}⫋{𝑚|3<𝑚<5}，即

{𝑡⩾3𝑡+1⩽5，且等号不同时成立，解得3⩽𝑡⩽4，即t的取值范围为[3,4]．14已知双曲线𝐶1的离心率等于√52，且与椭圆𝐶2：𝑥29+𝑦24=1有公共焦点，(1)求双曲线𝐶1的方程；(2)若抛

物线的焦点到准线的距离等于椭圆𝐶2的焦距，求该抛物线方程．【答案】解：(1)由椭圆𝐶2：𝑥29+𝑦24=1得𝑐=√9−4=√5，焦点在x轴上，𝑐𝑎=√52，∴𝑎=2，𝑏=1，所以双曲线

方程为𝑥24−𝑦2=1．(2)∵椭圆𝐶2：𝑥29+𝑦24=1的焦距为2𝑐=2√5，∴𝑝=2√5，抛物线方程为𝑦2=±4√5𝑥或𝑥2=±4√5𝑦15已知条件p：“存在𝑥∈R，3𝑥2+(2𝑎−

1)𝑥+3<0”，条件q：“曲线𝐶1：𝑥2𝑎2+𝑦22𝑎+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，条件s：“曲线𝐶2：𝑥2𝑎−3𝑡+𝑦2𝑎−4𝑡=1(𝑡>0)表示双曲线”．(1)若p

与q同时成立，求实数a的取值范围；(2)若s是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．【答案】解：(1)若p成立，则𝛥=(2𝑎−1)2−4⋅3⋅3>0，10解得𝑎<−52或𝑎>72．若q成立，则{𝑎2>2𝑎+82𝑎+8>0,得−4<𝑎<−2或𝑎>4．若p和q同时成立

，则{𝑎<−52或𝑎>72−4<𝑎<−2或𝑎>4，解得−4<𝑎<−52或𝑎>4.∴𝑎的取值范围是{𝑎|−4<𝑎<−52或𝑎>4}．(2)解：若s成立，则(𝑎−3𝑡)(𝑎−4𝑡)<0，即3𝑡<𝑎<4𝑡．∵由s是q的充分不必要条件，∴{𝑎|3𝑡<𝑎<

4𝑡}⊆{𝑎|−4<𝑎<−52或𝑎>4}.，∵𝑡>0，∴3𝑡≥4，解得𝑡≥43，∴𝑡的取值范围是{𝑡|𝑡≥43}.16、已知𝐹1,𝐹2分别为双曲线𝑥𝑎22−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左，右焦

点，P为双曲线右支上的一点．(1)若|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2|且为等腰三角形，求该双曲线的离心率；(2)若且，求该双曲线的离心率的取值范围．【答案】解：(1)因为|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2|且𝛥𝑃𝐹1𝐹2为等腰三角形，所以|𝑃𝐹1|=|𝐹1𝐹2|=2�

�，|𝑃𝐹2|=𝑐，因为|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2𝑎，所以2𝑐−𝑐=2𝑎，得𝑐=2𝑎，所以该双曲线的离心率𝑒=𝑐𝑎=2;(2)因为，把𝑥=𝑐代入𝑥𝑎22−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，得𝑦2𝑏2=𝑐2𝑎2−1=𝑐2−𝑎2𝑎2=�

�2𝑎2，所以𝑦=±𝑏2𝑎，所以|𝑃𝐹2|=𝑏2𝑎，在𝑅𝑡△𝑃𝐹1𝐹2中，，11因为，所以，所以𝑏2𝑎≥2𝑐，即𝑐2−2𝑎𝑐−𝑎2≥0，所以𝑒2−2𝑒−1≥0，解得：𝑒≥1+√2或𝑒≤1−√2(舍去)，所以

该双曲线的离心率的取值范围为[1+√2,+∞)