【文档说明】第一章 三角形的证明（A卷·夯实基础）-2021-2022学年八年级数学下册同步单元AB卷（北师大版）（解析版）.docx，共(16)页，843.234 KB，由管理员店铺上传

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第1章三角形的证明单元测试卷（A卷·夯实基础）【北师版】考试时间：120分钟；满分：150分题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、单选题(共12题，每题4分，共48分)1、A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公

园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的()A．三条中线的交点B．三条垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点【答案】B【详解】解：三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，建造一座公园，且三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的三

边垂直平分线的交点处．故选：.B2、已知，如图在ABC中，ABAC=，AD是三角形的高，若20CAD=，则BÐ的度数是()A．55B．60C．65D．70【答案】D【详解】∵AB＝AC，AD是△ABC的高，∴∠BAD＝

∠CAD＝20°，∠B＝∠C，∴∠B＝180402−＝70°，故选：D．3、等腰三角形的一个外角为102，则等腰三角形的顶角为()A．24B．78C．24或78D．102【答案】C【解析】解：分为两种情况：(1)当

这个102的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为78；(2)当这个102的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为180787824−−=．故选：C．4、下列条件不能得到等边

三角形的是()A．有两个内角是60的三角形B．有一个角是60的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形【答案】D【解析】A、有两个内角是60°，因为三角形内角和是180°，可知另一个角也是60°，故该三角形为等边三角形，

故本选项不合题意；B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；C、腰和底相等的等腰三角形，即三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；D、等腰三角形中两个底角是相等的，故不能判定该三角形是等边三角形，故本选项符合题意；故答案为D.5、如图，在△AB

C中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是()A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm【答案】A【解析】解：∵AD平分∠CAB，DE

⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，又∵AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB＝6cm，∴△DBE的周长＝6cm．故选：A．6、已知ABC中，

a、b、c分别是A、BÐ、C的对边，下列条件中不能判断ABC是直角三角形的是()A．::3:4:5ABC=B．CAB=−C．222+=abcD．::6:8:10abc=【答案】A【详解】解：A、∠

A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；B、因为∠C=∠A-∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形；C、因为a2+b2=c2，故△AB

C是直角三角形；D、因为a：b：c=6：8：10，设a=6x，b=8x，c=10x，(6x)2+(8x)2=(10x)2，故△ABC是直角三角形．选：A．7、如图，BECF=，AEBC⊥，DFBC⊥，要根据“HL”证明RtABERtDCF，则还要添加一个条件是()A．A

BDC=B．AD=C．BC=D．AEBF=【答案】A【解析】解：条件是ABCD=，理由是：AEBC⊥，DFBC⊥，90CFDAEB==，在RtABE和RtDCF中，ABCDBECF==，RtABERtDCF(HL)，故选：A．8、

如图，在ABC中，AD是ABC的角平分线，DEAC⊥，若40,60BC==，则ADE的度数为()A．30B．40C．50D．60【答案】C【详解】解：∵40,60BC==，∴BAC=180

B-C=80−，∵AD是ABC的角平分线，∴1DAC=BAC=402，∵DEAC⊥，∴90DAC=50ADE=−，故选：C．9、如图，DE是ABC中AB边的垂直平分线，若6BC=，8AC=，则BCE的周长为()A．10B．12C．1

4D．16【答案】C【详解】解：DE是ABC中AB边的垂直平分线，AEBE=，又6BC=，8AC=，BCE的周长BCCEBE=++BCCEAE=++BCAC=+14=，故选：C．10、等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为()A．3cmB．4.5cmC．5

cmD．6cm【答案】A【详解】解：等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，当3cm为腰长时，则另一腰为3cm，此时底边为12336,cm−−=而3+3=6，故不合题意舍去，当3cm为底边时，则腰为：1234.

5,2cm−=此时3+4.5＞4.5，符合题意，所以等腰三角形的底边长为：3.cm故选：.A11、在ABC中，30A=°，4AC=，22BC=，那么ABC为()度．A．45B．60或120C．45或135D．30【答案】C【解析】解：如图1，当∠A

BC为锐角时，作CD⊥AB于D，∵∠A=30°，∴CD=12AC=2，又BC=22，∴BD=()222222−=，∴BD=CD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°；如图2，当∠ABC为钝角时，同理可求出∠CBD=45°，∴∠ABC=135°，故选：C．12、如图

，在等腰RtABC中，90ACB=，点P是ABC内一点，且1CP=，2BP=，2AP=，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰RtDCP，下列结论：①点A与点D的距离为2；②APPC⊥；③22AB=；④2APBS=，其中正确结

论有是（）A．①②③B．②④C．①②D．②③④【答案】C【分析】连结AD，由等腰RtABC，可得AC=BC，等腰RtDCP，可得CD=CP，由余角性质可∠DCA=∠PCB，可证△ADC≌△BPC（SAS）2ADB

P==可判断①，由勾股定理DP=22CD+CP=2，再由()()22222AD+DP=2+2=4=AP，可证△ADP为等腰直角三角形，可判断②，由PB与PD可求BD=22，由勾股定理AB=22AD+BD=10，可判断③，由面积1122122APBSPBAD==

=可判断④即可【详解】连结AD，在等腰RtABC中，90ACB=，∴AC=BC，∵RtDCP是等腰三角形，∴CD=CP，∴∠ACD+ACP=90°，∠ACP+∠PCB=90°，∴∠DCA=∠PCB，在△ADC和△BPC中，AC=

BC，∠DCA=∠PCB，DC=PC，∴△ADC≌△BPC（SAS），∴2ADBP==，①点A与点D的距离为2正确，在Rt△DCP中，由勾股定理DP=22CD+CP=2，在△ADP中，()()22222AD+DP

=2+2=4=AP，∴△ADP为等腰直角三角形，∴AD⊥DP，②APPC⊥正确；BD=BP+PD=22，在Rt△ADB中，由勾股定理，AB=22AD+BD=2+8=10，③22AB=不正确；1122122APBSPBAD==

=，④2APBS=不正确．故选择：C．第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题4分，共16分)13、如图所示是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，8ABm=，30A＝，则立柱BC的长度为___________．【

答案】4m【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8m，∠A＝30°，∴BC＝12AB＝4m．则立柱BC的长度为4m．故答案为：4m．14、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠C＝35°，则∠

BAE＝_____．【答案】20°【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝35°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC＝90°−∠C＝55°，∴∠BAE＝∠BAC−∠EAC＝20°．故答案为：20°．15、已知：如图，

△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE=AC，且BF=18，CF=12，那么AF的长度为_______．【答案】3【解析】解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，在△ACD与△GBD中CDBDADCBDGADDG＝＝＝，∴△ACD

≌△GBD，∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BEG，∵∠BEG＝∠AEF，∴∠AEF＝∠EAF．∴EF＝AF，∴AF＋CF＝BF−AF，即AF＋12＝18−AF，∴A

F＝3，故答案为：3．16、如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处．当直线EF与直线AC垂直时，则

AE的长为_____．【答案】233或23【分析】当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据折叠的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质健康得到结论．【详解】解：∵AC＝4，点D为AC的中点，∴AD＝12AC＝2，

①当直线EF与直线AC垂直时，如图1，∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，∵∠AGE＝90°，∴∠AEG＝60°，∴∠AED＝∠FED＝30°，∴AD＝DE＝2，过D作D

M⊥AE与M，∴AE＝2AM＝2×32×2＝23；当直线EF与直线AC垂直时，如图2，∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，∵∠AGE＝∠FGE＝90°，∴∠FGD＝60°，∴∠ADE＝

∠FDE＝30°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE，∴AG＝12AD＝1，∴AE＝233，综上所述，233或23故答案为：233或23．三、解答题(共9题，86分)17、（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：AG⊥EF．【分析】只要证

明AF＝AE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；【答案】证明：∵BE平分∠ABC∴∠ABE＝∠CBE∠AEF＝90°﹣∠ABE又∵∠AFE＝∠DFB＝90°﹣∠CBE∴∠AFE＝∠AEF，∴

△AFE为等腰三角形又∵G为EF的中点∴AG⊥EF．18、（8分）证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【分析】根据三角形全等的判定解答即可．【答案】已知：ABC和△ABC是直角三角形，ACAC=，ABAB=，求证：ABC△ABC

，证明：ABC和△ABC是直角三角形，90BB==，ACAC=，ABAB=，由勾股定理可得：2222BCACABBCACAB=−==−，ABC△()ABCSSS

19、（10分）如图，在ABC中，ABAC=，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于点E．(1)若50ABE=，求EBC的度数；(2)若ABC的周长为43cm，BC的长为11cm，求BCE的周长【分析】(1)由DE是AB的垂直平分线，根据

线段垂直平分线的性质得出AEBE=，则可求得ABE的度数，又由ABAC=，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得ABC的度数，继而求得答案；(2)求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出AEBE

=，求出BCE的周长ACBC=+，代入求出即可．【答案】解：(1)DE垂直平分AB50AABE==，又ABAC=，ABCACB=，而180AABCACB++=，1(18050)652ABC=−=，655015EBCABCABE=−=−=；(

2)ABC的周长为43cm，11BCcm=16ABACcm==，又DE垂直平分ABEAEB=，BCE的周长为：161127BCBECEBCAECEBCACcm++=++=+=+=．20、（10分）如图所示，在图①和图②的网格中，小正方形的边长均为1．(1

)请在图①中画出端点在格点的线段MN和EF，使2MN=，5EF=，并选择其中的一个说明理由(2)如图②，ABC是一个格点三角形，这个三角形是直角三角形吗？为什么？【答案】(1)见解析；(2)是直角三角

形，见解析【详解】解：(1)如图MN、EF即为所求，理由：小正方形的边长均为1，22112MN=+=,22215EF=+=(2)是直角三角形，理由：213AC=，252AB=，265BC=22213

5265ACABBC+=+==ABC是直角三角形．21、（10分）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．(1)求证：△PMN是等边三角形；(2)若AB＝12cm，求CM的长．【分析】(1)根据等边

三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；(2)易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得B

M+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．【答案】解：(1)∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，M

N⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；(2)根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝A

B＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．22、（10分）如图，已知,,45ABCACABC=．(1)尺规作图：在AC边上求作一点P，使45PBC=．

(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)中延长BP到Q，使PQBP=，连接QC，求证：QCBC⊥．【答案】(1)见解析；(2)见解析【详解】(1)法一：法二：法三：如图所示，PBC即为所求．(2)如图所示：4

5PBCPCB==，∴PB=PC，454590QPCPBCPCB=+=+=，PQBP=，PQPC=，180180904522QPCQCPQ−−====，454590QCBQCPBCP=+=+=，QCBC⊥．23、（10分）如图，Rt△AB

C中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，CE=DE．连接CD交BE于点F．（1）求证：BC=BD；（2）若点D为AB的中点，求∠AED的度数．【答案】（1）见详解；（2）60°．【详解】证明：（1）∵DE⊥AB，∠AC

B=90°，∴△DEB与△CEB都是直角三角形，在△DEB与△CEB中，EBEBDECE==，∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL），∴BC=BD．（2）∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠BDE=90°；∵点D为AB的中点，∴AD=BD；在△ADE与

△BDE中，ADBDADEBDEDEDE===，∴△ADE≌△BDE（SAS），∴∠AED=∠DEB；∵△DEB≌△CEB，∴∠CEB=∠DEB，∴∠AED=∠DEB=∠CEB；∵∠AED+∠DEB+∠CEB=

180°，∴∠AED=60°．24、（10分）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM(点D与点A重合除外)上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．(1)判断AD与BE是否相等，

请说明理由；(2)如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；(3)在第(2)小题的条件下，当点D在线段AM的延长线(或反向延长线)上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．【

分析】(1)根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，再求出∠ACD＝∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；(2)过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ＝2P

N，CM⊥AD，根据全等三角形对应边上的高线相等可得CN＝CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；(3)根据(2)的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变．【答案】解：(1)AD＝B

E．理由如下：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，∠BCE+∠BCD＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵，∴

△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE；(2)如图，过点C作CN⊥BQ于点N，∵CP＝CQ，∴PQ＝2PN，∵△ABC是等边三角形，AM是中线，∴CM⊥AD，CM＝BC＝×8＝4，∴CN＝CM＝4(全等三角形对应边上的高相等)，∵CP＝CQ＝5，∴PN＝＝

＝3，∴PQ＝2PN＝2×3＝6；(3)PQ的长为定值6．∵点D在线段AM的延长线(或反向延长线)上时，△ACD和△BCE全等，∴对应边AD、BE上的高线对应相等，∴CN＝CM＝4是定值，∴PQ的长是定值．25、（10分）已知：如图，ABC中，90C=，BCAC

，点D是AB的中点，点P是直线BC上的一个动点，连接DP，过点D作DQDP⊥交直线AC于点Q．(1)如图，当点P、Q分别在线段BC、AC上时(点Q与点A、C不重合)，过点B作AC的平行线交QD的延长线于点G，连

接PG、PQ．①求证：PGPQ=；②若12BC=，9AC=，设BPx=，CQy=，求y关于x的函数表达式．(2)当点P在线段CB的延长线上时，依据题意补全下图，用等式表示线段BP、PQ、AQ之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②4732yx=−；(2)图见解析，222BPAQ

PQ+=，理由见解析【详解】解：(1)①//BGAC，AGBA=，AD=DBGDB=ADQ，，()ASAADQBDG△≌△，GD=QD，又PDGQ⊥，PG=PQ；②ADQBDG△≌△，AQ=BG，12BC=，9AC=，BPx=

，CQy=，AQ=BG=9-y，PC=12-x，在RtGBP△中，222BPB=GPG+，在PCQRt△中，222PQC=PQC+GPPQ=，2222BPB=PQCGC++，()()22229x=12yyx−+−+，整理，得4732y

x=−；(2)依据题意画出图形，当点P在线段CB的延长线上时，222AQPBPQ+=，理由如下：过点B作//ACBE交QD的延长线于点E，连接PE，//EBAC，EBDA=，又EDBADQADDB==，，()A

SAADQBDE△≌△，EB=AQ，ED=DQ，PDDQ⊥，EPPQ=，在EBPRt△中，222EBPBEP+=，222AQPBPQ+=．